011 đề hsg toán 8 bắc giang 22 23

Tính diện tích hình thang ABCD theo a.. Gọi I là trung điểm của BC, H là chân đường vuông góc kẻ từ D xuống AC.. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:... Tìm x để biểu thức xác định, khi đ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠO

BẮC GIANG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề thi có 01 trang

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2022-2023 MÔN THI: TOÁN; LỚP: 8 PHỔ THÔNG

Ngày thi: 30/3/2023

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (4,5 điểm)

1) Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: P 2a3  7a b2  7ab2  2b3.

2) Cho x2 x 1 Tính giá trị biểu thức Q x 62x52x42x32x22x1.

Câu 2 (4,5 điểm)

1) Cho biểu thức: 2 2 3

:

R

xác định, khi đó hãy rút gọn biểu thức.

2) Giải phương trình sau: x 2x1 x1 x2 4.

Câu 3 (4,0 điểm)

1) Cho n là số tự nhiên lẻ Chứng minh n3  n chia hết cho 24.

2) Tìm số tự nhiên n để n2 4n 2013 là một số chính phương.

Câu 4 (6,0 điểm)

1) Cho hình thang ABCD vuông tại A và D Biết CD=2AB=2AD và

2

BC a

a Tính diện tích hình thang ABCD theo a.

b Gọi I là trung điểm của BC, H là chân đường vuông góc kẻ từ

D xuống AC Chứng minh HDI 450.

2) Cho tam giác ABC có BC a CA b AB c ,  ,  Độ dài các đường phân giác trong của tam giác kẻ từ các đỉnh A, B, C lần lượt là l l l a, ,b c Chứng minh rằng:

a b c

l l l  a b c 

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho hai số không âm avà b thoả mãn a2b2  a b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1 1

S

ĐẤP ÁN

Câu 1 (4,5 điểm)

3) Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: P 2a3  7a b2  7ab2  2b3.

Ta có P2a3b37ab a b  

     

   

2 2

a b a ab b ab a b

a b  2a2  4ab 2b2 ab

a b 2a a 2bb b 2a

a b  2a b a   2b

Kết luận Pa b  2a b a   2b

4) Cho x2 x 1 Tính giá trị biểu thức Q x 62x52x42x32x22x1.

Ta có Q x x 2 4  2x3 x2  x4  2x3 x2x2   x x 1

x x2 2x 2 x2x2 x 2

x2  x 3 4

Vậy Q 4

Câu 2 (4,5 điểm)

3) Cho biểu thức: 2 2 3

:

R

  Tìm x để biểu thức xác định, khi đó hãy rút gọn biểu thức.

R

ĐK:  2 

0

2

x

x





 





Khi đó:

2

R

       

2

1

x





2

x

x





Vậy R xác định khi

0 2

x x









1 2013

R 

4) Giải phương trình sau: x 2x1 x1 x2 4.

+ Nếu x 2, phương trình đã cho trở thành

x 2 x1 x1 x24

 x2 1 x2 44

 x4  5x2   0 x x2 2  5 0

 

 

 

0 5 5







  







Nếu x 2, phương trình đã cho trở thành

2 x x  1 x1 x2 4

x 2 x1 x1 x24

x21 x2 4 4

 x4 5x2  8 0

2

2 5 7

0

x

KL: Phương trình có một nghiệm x  5

Câu 3 (4,0 điểm)

3) Cho n là số tự nhiên lẻ Chứng minh n3 n chia hết cho 24.

Ta có n3 n n n  1 n1

Vì n1; ;n n1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một trong ba số đó chia hết cho 3 Do đó

n3  n 3

(1)

Vì n là số tự nhiên lẻ nên n 1 và n 1 là hai số tự nhiên chẵn liên tiếp Do đó

     3 

(2)

Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên kết hợp với (1), (2) suy ra n3 n24

(đpcm)

4) Tìm số tự nhiên n để n2  4n 2013 là một số chính phương.

+ Giả sử n2 4n2013m2,m 

n  m  m  n 

 m n 2 m n  22009

+ Mặt khác 2009 2009.1 287.7 49.41   và m n  2 m n  2nên có các trường hợp sau xảy ra:

 TH1:



 TH1:



 TH3:



Vậy các số cần tìm là: 1002; 138; 2

Câu 4 (6,0 điểm)

3) Cho hình thang ABCD vuông tại A và D Biết CD=2AB=2AD và

2

BC a

I H

C E

B A

D

a Tính diện tích hình thang ABCD theo a.

Gọi E là trung điểm của CD, chỉ ra ABED là hình vuông và BEC là tam giác vuông cân + Từ đó suy ra ABAD a BC ; 2a

+ Diện tích của hình thang ABCD là

 

2

AB CD AD

 2  3 2

a a a a

b Gọi I là trung điểm của BC, H là chân đường vuông góc kẻ

từ D xuống AC Chứng minh HDI  450.

b) + ADH ACD (1) (hai góc nhọn có cặp cạnh tương ứng vuông góc)

+ Xét hai tam giác ADC và IBD vuông tại D và B có

1 2

DC BD  , do đó hai tam giác ADC và IBD đồng dạng

Suy ra ACD BDI (2)

+ Từ (1) và (2), suy ra ADH BDI

+ Mà ADH BDH 450 BDI BDH 450 hay HDI  450

4) Cho tam giác ABC có BC a CA b AB c ,  ,  Độ dài các đường phân giác trong của tam giác kẻ từ các đỉnh A, B, C lần lượt là l l l a, ,b c Chứng minh rằng:

a b c

l l l  a b c 

M

A

B

C

+ Gọi AD là đường phân giác trong góc A, qua C kẻ đường thẳng song song

với AD cắt đường thẳng AB tại M

Ta có BADAMC (hai góc ở vị trí đồng vị)

DACACM (hai góc ở vị trí so le trong)

Mà BAD DAC  nên AMCACM hay tam giác ACM cân tại A, suy ra

AM AC b

0.5

+ Do AD//CM nên

+ Mà

2

+ Tương tự ta có

2

b

   

  (2);

2

a

   

  (3) Cộng (1), (2), (3) theo vế, ta có đpcm

0.5

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho hai số không âm avà b thoả mãn a2b2  a b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

S

+ Ta có a2 1 2 ;a b2 1 2b a2b2 2 2a2b a b 2 + Chứng minh được với hai số dương x y, thì

x yx y + Do đó

S

+ Kết luận: GTLN của S là 1, đạt được khi a b 1