182 đề hsg toán 8 cẩm thủy 22 23

6,0 điểm Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn, gọi Flà trung điểm của cạnh AB.. Tia phân giác trong của góc BFCcắt BC tại N, tia phân giác trong của góc AFCcắt AC tại Q a Chứng minh rằng QN/

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CẨM THỦY

GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2022-2023 _MÔN TOÁN Câu I (4.0 điểm)

1) Cho biểu thức

:

A

a) Tim điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A

b) Tìm x để Ax

2) Cho ba số thực a b c, , thỏa mãn a0,b0,c0và a a b  b b c  c c a   Tính giá trị của biểu thức 3 4 338

B

        

Câu II (4,,0 điểm)

1) Giải phương trình

2) Cho ba số thực x y z, , thỏa mãn điều kiện : x y z  0và xyz 0

Chứng minh rằng :

3 2

y z x z x y x y z



Câu III: (4.0 điểm).

1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 x y42y33y22y

2) Cho x y, là các số nguyên thỏa mãn đẳng thức 3x2  1  2y2  1

Chứng minh rằng x2 y2chia hết cho 40

Câu IV (6,0 điểm) Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn, gọi Flà trung điểm của cạnh AB. Tia phân giác trong của góc BFCcắt BC tại N, tia phân giác trong của góc AFCcắt

AC tại Q

a) Chứng minh rằng QN/ /AB

b) Lấy điểm Gthuộc FCsao cho AGcắt FQ tại P và APAQ.Gọi Mlà giao điểm của FN và BG Chứng minh APF∽ CQFvà BM BN

c) Trên cạnh BClấy điểm K bất kỳ Từ K kẻ các đường thẳng song song với ABvà

AClần lượt cắt ACtại J và cắt ABtại I Xác định vị trí của điểm K trên cạnh BC sao cho độ dài IJ nhỏ nhất

Câu V: (2.0 điểm) Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn a2b2c2  3

Chứng minh rằng :

2a 2b 2c

a b c

a b b c c a   

ĐÁP ÁN Câu I (4.0 điểm)

3) Cho biểu thức

:

A

c) Tim điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A

Điều kiện : x0;x1 *  Ta có :

 

 

2

A

do

Vậy với x0;x1thì

2 1

x A x





d) Tìm x để Ax

Ta có

2









4) Cho ba số thực a b c, , thỏa mãn a0,b0,c0và a a b  b b c   c c a  

Tính giá trị của biểu thức 3 4 338

B

        

Ta có : a a b  b b c   c a c  

0

a ab b bc ac c a b c ab bc ca

0

a b c ab bc ca

a ab b b bc c a ac c

a b b c a c

a b  b c  c a 

nên để đẳng thức (1) thỏa mãn thì phải xảy ra đồng

thời

2

2

2

0 0 0

a b

c a









Khi đó với a0,b0,c0thì

3 a 4 b 338 c 3 1 4 1 338 1 2.3.337 2022

B

             

Câu II (4,,0 điểm)

3) Giải phương trình

Điều kiện x2,x4,x6,x8

 

 

 





 Vậy phương trình có tập nghiệm S 0;5

4) Cho ba số thực x y z, , thỏa mãn điều kiện : x y z  0và xyz 0 Chứng minh rằng :

3 2

y z x z x y x y z



Từ x y z   0 x y  z x22xy y 2z2 x2y2 z22xy

Tương tự ta có : y2z2 x2 2 ;yz z2x2 y2 2zx

Suy ra vế trái của  

 

3 3 3

x y z

Mặt khác ta có :  

x y z x y  z

 

2

x y xy x y z x y z xy x y xyz

y z x z x y x y z xyz

Vậy

3 ( ) 2

dfcm

y z x z x y x y z



Câu III: (4.0 điểm).

3) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 x y42y33y22 1y 

 

2

1

Nên x2 x 1là số chính phương Đặt x2  x 1 k2(với kN)

 

2

2 1 2 2 1 2 3 ( 3).1 ( 1).3

Vì 2x 1 2k 2x 1 2knên chỉ xảy ra các trường hợp sau :

  

  

Vậy phương trình có các cặp nghiệm x y ;   0;0 ; 0; 1 ; 1;0 ; 1; 1         

4) Cho x y, là các số nguyên thỏa mãn đẳng thức  2   2 

Chứng minh rằng x2 y2chia hết cho 40

Ta có 3x21 2y21  3x2 2y2 1 * 

Th1: Trước hết ta chứng minh x2 y28

Ta có :

0;1;4 mod 8 3 0;3;4 mod 8

3 2 0;6;3;1; 4; 2 mod8 0;1; 4 mod8 2 0; 2 mod8

x y

Do đó từ (*) ta có : 3x2 2y2 1 mod 8   x2 y2 1 mod8 

2 2 0(mod 8) 2 2 8 1

Th2: Chứng minh x2 y25

Ta có

0;1;4 mod 5 3 0;3; 2 mod 5

3 2 0;3; 2;1; 4 mod 5 0;1; 4 mod 5 2 0; 2;3 mod 5

x y

Do đó từ  * ta có : 3x2 2y2 1 mod 5  x2 y2 1 mod 5 

2 2 0 mod 5 2 2 5 2

Từ (1) và (2) kết hợp với 5;8  1 x2 y240 dfcm

Câu IV (6,0 điểm) Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn, gọi Flà trung điểm của cạnh

AB Tia phân giác trong của góc BFCcắt BC tại N, tia phân giác trong của góc

AFC

 cắt AC tại Q

H L

S Q

P

N M

J F

A

G

K

d) Chứng minh rằng QN/ /AB

Theo giả thiết FQlà tia phân giác của

AQ FA CFA

QC FC

Và FNlà tia phân giác của BFC

BN BF

NC FC

Mà FA FB nên từ đó suy ra

AQ BN

QC NC

Theo Talet đảo ta suy ra QN/ /ABdfcm 1

e) Lấy điểm Gthuộc FCsao cho AGcắt FQ tại P và APAQ.Gọi M là giao điểm của FNvà BG Chứng minh APF∽ CQFvà BM BN

Vì APAQ APQcân tại A

Xét APFvà CQFcó :

 

PFA QFC gt

APQ CQF g g dfcm APF CQF cmt







∽

PF FA APF CQF g g

QF FC

Theo tính chất phân giác trong GAFvà

GBF

MP AB

PG FG FG GM  PG  AB  (Theo Talet đảo)

Từ (1) và (3) suy ra QN/ /PM (Theo Ta let)  4

FP FM

FQ FN

Từ (2) và (4) suy ra

FM FA FB

FN FC FC

Xét BFM và CFNcó :

 

BFM CFN gt

BFM CFN c g c BMF CNF

FM FB

cmt

FN FC













∽

             cân tại B  BM BN dfcm( )

f) Trên cạnh BClấy điểm K bất kỳ Từ K kẻ các đường thẳng song song với AB

và AClần lượt cắt ACtại J và cắt ABtại I Xác định vị trí của điểm K trên cạnh BCsao cho độ dài IJ nhỏ nhất

Lấy điểm L đối xứng với B qua A Ta có ALCcố định, kẻ AH LC.Gọi S là giao điểm của KJvới LC

Theo talet ta có :

KJ JS

AB AL (cùng )

CJ CA



mà AB AL  KJ JS

Xét tứ giác AIJSta có

/ /

AI SI KJ

AIJS

AI SJ







 là hình bình hành suy ra IJ AS Xét tam giác vuông AHSta có ASAH Dấu bằng xảy ra khi S H

Suy ra Min AS  S H

Khi đó độ dài đoạn thẳng IJ nhỏ nhất khi và chỉ khi AS nhỏ nhất  S H

Đường thẳng kẻ từ H song song với AB cắt cạnh BC tại O Vì H cố định nên O cố định Mặt khác vì KS/ /AB KS/ /HO Như vậy khi S H thì K O và O chính là đểm cần tìm Vây độ dài đoạn thẳng IJ nhỏ nhất khi K O

Câu V: (2.0 điểm) Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn a2b2c2  3

Chứng minh rằng :

2a 2b 2c

a b c

a b b c c a   

Ta có

2a 2b 2c a a b ab b b c bc c c a ca

2a ab 2b bc 2c ca 2 a b c ab bc ca

Mặt khác ta có : a b 2 2b a b c;  2 2c b c a;  2 2a c Suy ra :

b a c b a c

a b b c c a

Ta cần chứng minh 2  2

a b c ab bc ca

a b c          a b c

a b c ab bc ca 0

Thật vậy, ta có :

a b c  2 3a2b2c29

a b c a b c ab bc ca a b c ab bc ca

a b c ab bc ca

     

Vậy

2a 2b 2c

a b c

a b b c c a    Dấu bằng xảy ra khi  

3 3

a b c   dfcm