180 đề hsg toán 8 thiệu hóa 22 23

6,0 điểm Cho đoạn thẳng ABcố định có O là trung điểm.. Trên đường thẳng vuông góc với AB tại A, lấy điểm C sao cho ACAO.. Kẻ AK vuông góc CO tại K, điểm D đối xứng với A qua K.. Đường t

111Equation Chapter 1 Section 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THIỆU HÓA

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2022-2023_MÔN TOÁN Câu 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức

 

 

:

M

a a

 

1) Rút gọn M Tìm a để M 5a

2) Cho a b c, , đôi một khác nhau và khác 0 Cho a b c  0

N

Câu 2 (4,0 điểm)

1) Giải phương trình :  

3

3

3

28 0 1

1

x

x x



 2) Tìm hai số x y, thỏa mãn hai điều kiện sau x3xy210y0và x26y2 10

Câu 3 (4,0 điểm)

1) Tìm số x y, nguyên thỏa mãn x y2 2 3xy3 x23xy x y 2 3xy2 6y2 6y 7 0 2) Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta vẫn được một số chính

phương

Câu 4 (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng ABcố định có O là trung điểm Trên đường thẳng vuông góc với AB tại A, lấy điểm C sao cho ACAO Kẻ AK vuông góc CO tại K, điểm D đối xứng với A qua K Đường thẳng qua O vuông góc với AB cắt BD tại E Kẻ

DH vuông góc với AB tại H, DH cắt BC tại I

a) Chứng minh CD EO

b) Chứng minh KI đi qua trung điểm của BD

c) Kẻ INvuông góc với AC tại N, kẻ DM vuông góc với AC tại M, DM cắt CO tại J Chứng minh tứ giác JNOIlà hình bình hành Khi C di chuyển (sao cho ACAO) Tính giá trị nhỏ nhất của NI2OJ2

Câu 5 (2,0 điểm) Cho a b c , , 0thỏa mãn a b c  3

Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2

A

ĐÁP ÁN Câu 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức

 

 

:

M

a a

 

3) Rút gọn M Tìm a để M 5a

ĐK: a0;a1 Ta có :

 

 

4 2

2

:

4

M

a a

a

 

Khi M 5a a2 4 5a a2 5a   4 0 1 a4

4) Cho a b c, , đôi một khác nhau và khác 0 Cho a b c  0

N

Đặt

1 1 1

1

N x y z

x y z

       

  1 1 1 1 4 y z x z x y

N x y z

           

y z b c c a c b bc ac a c

  c c2 a b c 2 2

  



Cmtt ta có :

;

  1 1 1 2 2 2 2 2 2 2  3 3 3

Vì a b c    0 a3b3c3  3abc, Do đó

  1 1 1 1 4 2 3 4 6 10

           

Vậy N=10

Câu 2 (4,0 điểm)

3) Giải phương trình :  

3

3

3

28 0 1

1

x

x x



 

3

3

3

3

2

1

3

x



             

4) Tìm hai số x y, thỏa mãn hai điều kiện sau x3xy210y0và x26y2 10

Từ 10x26y2 Thay vào x3xy210y0ta có :

 

11

  









            



Câu 3 (4,0 điểm)

3) Tìm số x y, nguyên thỏa mãn x y2 2 3xy3 x23xy x y 2 3xy2 6y2 6y 7 0

Từ x y2 2 3xy3 x23xy x y 2 3xy26y2 6y 7 0

 2   2 

2

2

2

1 2

3 6 1

5 1:

1 1

2 :

x y

x xy

x Th

y y

Th

 





  

    







Vậy phương trình có nghiệm nguyên là x y ;   1; 2 ; 5;2   

4) Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta vẫn được một

số chính phương

Gọi abcdlà số phải tìm (a b c d, , , N, 0a b c d, , , 9,a0) Ta có :

2

2

2

2 2 2

1353 1353

abcd k

abcd k

m k











    123.11 41.33 200

hoac

Vậy số cần tìm là 3136

Câu 4 (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng ABcố định có O là trung điểm Trên đường thẳng vuông góc với AB tại A, lấy điểm C sao cho ACAO Kẻ AK vuông góc CO tại K, điểm D đối xứng với A qua K Đường thẳng qua O vuông góc với AB cắt BD tại E

Kẻ DH vuông góc với AB tại H, DH cắt BC tại I

J M

H

E

D K

O

C

d) Chứng minh CD EO

Chứng minh được CO BE/ / (cùng vuông góc với AD)

Chứng minh được ACOOEB ch gn(  ) AC OE

Mà AC CD (CO là trung trực của AD)  CD EO

e) Chứng minh KI đi qua trung điểm của BD

Do / /

, do / /

Mà

1

2

1 2

CA EO Mà CA EO Suy ra

1 2

hay I là trung điểm DH, mà K là trung điểm của AD nên IK//AB Suy ra IKđi qua trung điểm của BD

f) Kẻ INvuông góc với AC tại N, kẻ DM vuông góc với AC tại M, DM cắt CO tại J Chứng minh tứ giác JNOIlà hình bình hành Khi C di chuyển (sao cho

)

ACAO Tính giá trị nhỏ nhất của NI2OJ2

Do AMDH là hình chữ nhật và có I là trung điểm DH và IN vuông góc với MAnên N là trung điểm của AM và K là trung điểm của AD nên I K N, , thẳng hàng

Chứng minh JKDOKA KJ KO

Chứng minh NKAIKD KN KI Suy ra tứ giác NJIOlà hình bình hành Chứng minh được NI AH JO BD, 

Ta có NI2JO2 AH2 BD2 Chứng minh được BD2 BH AB. nên :

2

NI JO AH BH AB AH AB AH AB AH AB AH AB

Vậy

Câu 5 (2,0 điểm) Cho a b c , , 0thỏa mãn a b c  3

Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2

A

Sử dụng bất đẳng thức Co si ta có :

 

1

1

b c

  

1

c a

  

 Từ      1 , 2 , 3 suy ra

3

Mặt khác : a2b2c2 ab bc ca  hay    

2

A

3

A

   Dấu bằng xảy ra khi a b c  1