009 đề hsg toán 8 thanh chương 22 23

6,0 điểm Cho tam giác ABCvuông tại A, đường cao AH,trung tuyến AM.. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của Htrên AB và AC a Chứng minh AD AB AE AC.. 2,0 điểm Sáu điểm phân biệt thuộc một

PHÒNG GD & ĐT

THANH CHƯƠNG

ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022-2023 Thời gian làm bài :120 phút Bài 1 (4,0 điểm)

1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

 2   2 

a m x   x m 

b x x x x 

2 Cho

1

33 3 555 55444 44

A



        

(nlà số tự nhiên lớn hơn 1) Chứng minh rằng Alà số chính phương

Bài 2 (4,0 điểm)

a) Giải phương trình

6

b) Cho abc 1.Chứng minh

1

1  a ab1  b bc1  c ca

Bài 3 (4,0 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2

2

N

x

 



 b) Cho x y z, , là các số không âm thỏa mãn Chứng minh rằng :

2

P

Bài 4 (6,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A, đường cao AH,trung tuyến AM. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của Htrên AB và AC

a) Chứng minh AD AB AE AC 

b) Tam giác ABCphải có thêm điều kiện gì nữa để diện tích tứ giác AEHDbằng

1

2diện tích tam giác ABC

c) Vẽ phân giác góc ACBcắt AM tại F và cắt ABtại G Chứng minh

1

Bài 5 (2,0 điểm) Sáu điểm phân biệt thuộc một hình chữ nhật có độ dài các cạnh

Chứng minh rằng luôn tồn tại hai điểm trong sáu điểm này mà bình phương

khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn hoặc bằng 5

ĐÁP ÁN Bài 1 (4,0 điểm)

3 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

1

              

4 Cho

1

33 3 555 55444 44

A



        

(nlà số tự nhiên lớn hơn 1) Chứng minh rằng Alà số chính phương

Đặt

10 1 111 1

9

n n

a    

Ta có 10n  9a 1và

1 111 1

10

n

a 



  

, suy ra

A a   a  a  a      

Vì A lẻ nên

2

2

a 

nguyên Suy ra Alà số chính phương

Bài 2 (4,0 điểm)

c) Giải phương trình

6

1009 1010 3 2.1011 2017 3.1012

0

1010 1011 1012

d) Cho abc 1.Chứng minh

1

1  a ab1  b bc1  c ca 

Vì abc 1nên đặt ; ;

với x y z , , 0 Ta có :

1

a ab b bc c ca

xy yz zx xy yz zx xy yz zx

Bài 3 (4,0 điểm)

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2

2

N

x

 





1

3 3

x

N



Dấu bằng xảy ra khi x 1.Vậy Min N  3 x1

d) Cho x y z, , là các số không âm thỏa mãn Chứng minh rằng :

2

P

Ta có :

2 2

xy x

 

;

y z     z x    

Hay:

P

Dấu bằng xảy ra khi x  y z 1

Bài 4 (6,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A, đường cao AH,trung tuyến

.

AM Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của Htrên AB và AC

G

F

E

D

A

B

C

d) Chứng minh AD AB AE AC.  .

Ta có AEHDlà hình chữ nhật nên ADEAHE Mà AHEC(vì cùng phụ

)

EHC

  ADE∽ ACB AD AB AE AC 

e) Tam giác ABCphải có thêm điều kiện gì nữa để diện tích tứ giác AEHD

bằng

1

2diện tích tam giác ABC

Ta có

2

 

  Khi đó AH AM , nghĩa là ABCvuông cân tại A

f) Vẽ phân giác góc ACBcắt AMtại F và cắt ABtại G Chứng minh

1

Kẻ GK/ /AM,ta có  1

MK FG (Theo Talet) và  2

GA KM (Talet)

Mặt khác lại có  3

Từ (2) và (3) ta có  4

KM CA Từ (1) và (4) lấy vế trừ vế ta có :



Bài 5 (2,0 điểm) Sáu điểm phân biệt thuộc một hình chữ nhật có độ dài các cạnh là 3cm cm, 4 (các điểm này có thể nằm trong hoặc trên cạnh của hình chữ nhật) Chứng minh rằng luôn tồn tại hai điểm trong sáu điểm này mà bình phương khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn hoặc bằng 5

Chia hình chữ nhật đã cho thành 5phần như hình vẽ Khi đó tồn tại hai điểm trong

6 điểm nằm trong hoặc trên một hình Ta có khoảng cách lớn nhất của 2 diểm trong một hình theo định lý Pytago : Bình phương khoảng cách giữa hai điểm lớn nhất bằng 12 22  25 Vậy luôn tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn hoặc bằng 5