007 đề hsg toán 8 ân thi 22 23

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnhAB, BC.. a Chứng minhCE vuông góc với DF.. c Gọi K là giao điểm của CM và DA.. Chứng minh tam giác MADcân.. b Tính diện tích của tam giác MDC

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN ÂN THI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC: 2022-2023 MÔN: TOÁN LỚP 8 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (1,5 điểm)

A

     

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của A biết x 2

Bài 2: (1,5 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2y2 2x 2y2xy1

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2

3

B

x x



Bài 3: (1,0 điểm)

Chứng minh rằng: n3 3n2 n3 chia hết cho 48 với mọi số nguyên lẻ n

Bài 4: (2,0 điểm)

a) Giải phương trình: (1+ 1

1.3)(1+ 1

2.4)(1+ 1

3.5)…[1+ 1

x ( x+2)]=2.2017

2018 (x ∈ N¿

)

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 1 x x  2x3 y3

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho các số dương a,b,c,d thỏa mãn a b c d   2 Chứng minh rằng:

1 2

a b c d

a b c d

  



  

Bài 6: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnhAB, BC M là giao điểm của CE và DF

a) Chứng minhCE vuông góc với DF

b) Chứng minh

CM CE

a

CF  c) Gọi K là giao điểm của CM và DA Chứng minh tam giác MADcân

b) Tính diện tích của tam giác MDC theo a.

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =

ĐÁP ÁN ĐỀ THI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8

HUYỆN ÂN THI Năm học: 2022-2023 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (1,5 điểm)

A

     

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của A biết x 2

Lời giải

A

     

1 1 2

x,x

A

1 2 2 5 1 2

A

     

2 2

1 1 2

x A

2

1 2

A

x



 b)

2

1 2

A

x



 với điều kiện

1 1 2

x,x

Ta có |x|=2↔¿

Khi x 2 thì

1 2 2 3

A

.



Khi x 2 thì  

1 2 2 5

A

.

Bài 2: (1,5 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2y2 2x 2y2xy1

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2

3

B

x x



Lời giải

a) x2y2 2x 2y2xy1

x2 2xy y2 2x 2y 1

3

B



  ĐKXĐ:x ∈ R

 2

3

2 1 2

B

x



 

Vì  

2

2x 1   2 2 x nên  

2

2

2 1 2

B x

  x

Dấu "" xảy ra

1

2

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức 2

3

B



  là

3

2 khi

1 2

x

Bài 3: (1,0 điểm)

Chứng minh rằng: n3 3n2 n3 chia hết cho 48 với mọi số nguyên lẻ n

Lời giải

Ta có: n3  3n2  n  3 n3  n  3n2  3

 2 1 3 2 1

n 1 n 1 n 3

Vì n lẻ nên.n=2 k +1(k ∈ Z)

Do đó n1 n1 n 3  2k 1 1 2  k 1 1 2  k 1 3

2 2k k2 2  k 2 8k k 1 k1

Vì k k 1 k1 là tích của ba số nguyên liên tiếp nên k k 1 k 1 chia hết cho 2

và 3

Mà ƯCLN2 3,  1 nên k k 1 k1 chia hết cho 6, suy ra 8k k 1 k1 chia hết cho 48.

Vậy n3 3n2 n3 chia hết cho 48 với mọi số nguyên lẻ n

Bài 4: (2,0 điểm)

a) Giải phương trình: (1+ 1

1.3)(1+ 1

2.4)(1+ 1

3.5)…[1+ 1

x ( x+2)]=2.2017

2018 (x ∈ N¿

)

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 1 x x  2x3 y3

Lời giải

a) Ta có:    

 

 



 

2

1

x

Do đó: (1)





2 3 4 ( 1) 2.2017 1.3 2.4 3.5 ( 2) 2018

x

x x

 



2.3.4 1 2.3.4 1 2.2017 1.2.3 3.4.5 2 2018



2 1 2.2017

2 2018

x x

1 2017

2 2018

x x



 2016

x

  (thỏa mãn x ∈ N¿) Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S {2016}

b) Ta thấy:

2

           

- Nếu y x  1 thì 1  x x2x3  (x 1)3

2

0 1

x x

 





Suy ra x y;  0;1 ; 1;0    .

- Nếu y x  1thì y3 x13  1 x x2x3 x33x23x1

2

Không có giá trị x ∈ Zthỏa mãn:  1 x0

Vậy x y ;      0;1 ; 1;0  

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho các số dương a,b,c,d thỏa mãn a b c d   2 Chứng minh rằng:

1 2

a b c d

a b c d



Lời giải

Từ giả thiết: 2 a b c d   

suy ra 22 1 1 1 1.a b c d2 1 1 1 12 2 2 2 a2 b2 c2d2

     (1) Lại có: 1.a21.b21.c21.d22 1 1 1 12 2 2 2 a4b4c4d4

Hay (a2 b2 c2d a2)( 2b2c2d2) 4(  a4 b4c4d4) (2)

Từ (1) và (2)  1.(a2 b2 c2d2) 4(  a4 b4 c4 d4) (3)

Mặt khác: a3b3c3d32 a a 2b b 2c c 2d d 22

       (4)

Từ (3) và (4) suy ra a3b3c3d32 4a4 b4c4d42

1 2

a b c d

a b c d

  

   Dấu “=” xảy ra:

1 2

a b c d   

Bài 6: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnhAB, BC M là giao điểm của CE và DF

a) Chứng minhCE vuông góc với DF.

b) Chứng minh

CM CE

a

CF  c) Gọi K là giao điểm của CM và DA Chứng minh tam giác MADcân

d) Tính diện tích của tam giác MDC theo a.

Lời giải

21 1

K

E

B A

a) Chứng minh CE DF

Vì ABCDlà hình vuông nên^ABC=^ BCD=^ CDA=^ DAB=900; AB BC CA DA a   

Vì Evà Flà trung điểm của AB và BC nên AE EB BF FC  

Xét BEC và CFDcó:

( )

BEC CFD c g c

 C^1=^D1

Mà C^1+ ^C2=900

 ^D1+ ^C2=900

CE DF

  tại M.

b) Chứng minh

CM CE a

CF 

Xét CMFvà CBE có:

^

Cchung

F

  ∽CBE g g( )

CM CF

CB CE

CM CE CB

CF

Vậy

CM CE a

CF 

c) Chứng minh MAD cân

Xét AEKvà BECcó:

^

EAK =^ EBC=900

AE EB (gt)

^AEK=^ BEC (2 góc đối đỉnh)

( )

AEK BEC g c g

AK BC

Mà BC AD

AK AD

Xét DMKvuông tại Mcó MAlà đường trung tuyến ứng với cạnh huyền KD

MA AD AK

MAD

  cân tại A.

d) Tính S MDCtheo a

Xét CMDvàFCDcó:

^

D1chung

 CMD S FCD g g( )

.

CMD

FCD

Ta có:

2

1 . 1 1 .

FCD

a

S  CF CD a a

Xét CDF vuông tại Ccó: FD2 CF2 CD2(định lý Py-ta-go)

FD   a

    

 

2

4 5 5

4

 

    

 

Do đó:

2 2

4

5 4 5

CMD

a a

Vậy

2 5

CMD

a

(đvdt)

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =