185 đề hsg toán 8 tiền hải 22 23

Chứng minh AE AC.. và AN vuông góc với NB 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T cosBACcosCBAcosACB Câu 5... Chứng minh AE AC.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TIỀN HẢI

ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 NĂM 2022-2023 Câu 1 (4,5 điểm)

1) Hai số x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện xy 1

Chứng minh x5 y5 x2 y2 x3 y3 x y

2) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x5 x 1

3) Cho hai đa thức f x   x1 x2 x3 x4 x53x1 và g x x27x11. Tìm phần dư của f x chia cho g x 

Câu 2 (4,0 điểm)

1) Tìm xnguyên để biểu thức 2

2

x A x





 nhận giá trị nguyên

2) Cho biểu thức 2

0

1

x

P

x





Rút gọn biểu thức P và tìm giá trị nhỏ nhất của P

Câu 3 (3,5 diểm)

1) Giải phương trình : 2 2

6

2) Cho Q x( )là đa thức bậc ba có hệ số cao nhất là số nguyên và thỏa mãn điều kiện :

2020 2021, 2021 2022.

Q  Q  Chứng minh Q2022 Q2019chia hết cho 3

Câu 4 (6,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC,các đường cao AD BE CF, , cắt nhau tại H 1) Chứng minh : CDH∽ CFBvà BH BE CH CF.  . BC2

2) Lấy điểm M N, theo thứ tự thuộc đoạn BE và CF sao cho AM AN và AMC 90  Chứng minh AE AC. AF AB. và AN vuông góc với NB

3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T cosBACcosCBAcosACB

Câu 5 (1,5 điểm) Chứng minh rằng với mọi số dương x y z, , ta luôn có bất đẳng thức sau :

2 2 2

5 2

ĐÁP ÁN Câu 1 (4,5 điểm)

4) Hai số x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện xy 1

Chứng minh x5 y5 x2 y2 x3 y3 x y

Ta có :

5) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x5 x 1

6) Cho hai đa thức f x   x1 x2 x3 x4 x53x1 và g x x27x11. Tìm phần dư của f x chia cho g x 

Ta có :

2

Suy ra phần dư của f(x) chia cho g(x) là 2x-2

Câu 2 (4,0 điểm)

3) Tìm xnguyên để biểu thức 2

2

x A x





 nhận giá trị nguyên

Ta có :

2

2

x

 

Vì

2

1

3











Vậy A nguyên khi x=1

4) Cho biểu thức 2

0

1

x

P

x





Rút gọn biểu thức P và tìm giá trị nhỏ nhất của P

   

 

   

   

   

       

   

   

3

P

x



Vậy với x0,x1thì

16 3

x P x







Với x0,x1 ta có :

 

25

3

x



Vậy MinP 4 x4

Câu 3 (3,5 diểm)

3) Giải phương trình : 2 2

6

Điều kiện :

1 1, 3

Vì x 0không là nghiệm của phương trình nên phương trình đã

cho tương đương với :

6

Đặt

1

x

ta có phương trình :

2

1

y















2

x



2

1

x

Vậy phương trình có tập nghiệm

;

4) Cho Q x( )là đa thức bậc ba có hệ số cao nhất là số nguyên và thỏa mãn điều kiện :

2020 2021, 2021 2022.

Chứng minh Q2022 Q2019chia hết cho 3

Xét đa thức H x( )Q x( ) x1 Ta có :

(2020) (2020) 2020 1 0, 2021 (2021) 2021 1 0

Suy ra H(x) có nghiệm là 2020 và 2021

H(x) là đa thức bậc 3 có hai nghiệm là 2020 và 2021 nên H(x) có thêm nghiệm nữa là x0

Gọi k là hệ số cao nhất của H(x) thì:

0

Suy ra Q x( )k x(  2020)(x 2021)(x x 0) x 1 Ta có :

0 0

Vậy Q2022 Q2019chia hết cho 3

Câu 4 (6,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC,các đường cao AD BE CF, , cắt nhau tại H.

H

E

M N

F

A

B

C

4) Chứng minh : CDH∽ CFBvà BH BE CH CF.  . BC2

C chung









∽

(g.g)

Tương tự ta có : BH BE. BD BC.

BH BE CH CF BD BC CB CD BC BD CD   BC BCBC dfcm

5) Lấy điểm M N, theo thứ tự thuộc đoạn BE và CF sao cho AM AN và AMC90 Chứng minh AE AC AF AB. và AN vuông góc với NB

Tam giác ABEvuông tại E nên cos ,

AE

AB

vuông tại F suy ra cos

AF A AC



Tam giác AMCcó

2

90

AMC









Theo giả thiết AM AN  AN2 AE AC.

Mà

2

Mà AFN 90  ANB90  AN NB dfcm( )

6) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T cosBACcosCBAcosACB

Ta có :

 

1

2

Từ  

1 ,(2),(3)

T

 

4

Mặt khác khi tam giác ABC đều thì  

3 5 2

T 

Từ (4) và (5) suy ra giá trị lớn nhất của T là

3 2

Câu 5 (1,5 điểm) Chứng minh rằng với mọi số dương x y z, , ta luôn có bất đẳng thức sau :

2 2 2

5 2

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :

2

2

1

x y z

 

Do đó vế trái của (1)  

2 2 2

2 2 2

5 1

Đặt 2 2 2

xy yz zx

  Khi đó ta có :

3 2 2

Đẳng thức xảy ra   t 1 x y z 