Luận văn cs môdđun và môđun với tính chất cs cho các môđun con đều

CS-Trong những năm 80 thế kỷ trước, Harada và các học trò đã nghiên cứu lớpmôđun mở rộng của CS- môđun tức là lớp môđun với tính chất CS cho cácmôđun con đều.. Mục đích của đề tài Mục đí

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luận văn, luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố.

Người cam đoan

Trần Thị Thúy Vân

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS TS Ngô SỹTùng Trong quá trình làm luận văn, Thầy không những là người hướng dẫn vềmặt khoa học mà Thầy còn luôn động viên, khích lệ tác giả khắc phục nhữngkhó khăn để hoàn thành luận văn này Tác giả xin cảm ơn và bày tỏ sự kínhtrọng, lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến các Thầy cô đã giảng dạy lớp K11cao học Đại số và Lý thuyết số Trường Đại học Hồng Đức Tại đây tác giả nhậnđược nhiều sự chỉ dẫn, góp ý quý báu là môi trường thuận lợi để tác giả hoànthành luận văn của mình

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Quản lý đào tạo Sauđại học, Ban chủ nhiệm khoa Khoa học Tự nhiên, Bộ môn Đại số của khoaKhoa học Tự nhiên - Trường ĐH Hồng Đức đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tácgiả hoàn thành đúng thời hạn luận văn của mình

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường TH-THCS QuangTrung, Bỉm Sơn và các đồng nghiệp tại trường đã luôn tạo điều kiện thuận lợicho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Xin cảm ơn bạn bè và người thân luôn động viên giúp đỡ

Thanh Hóa, tháng 10 năm 2020

Tác giả

Trần Thị Thúy Vân

Mục lục

Bảng kí hiệu iv

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Môđun con cốt yếu, môđun con đóng 3

1.2 Môđun con bù - giao 6

1.3 Môđun đều và chiều đều 7

1.4 Môđun A- nội xạ, môđun nội xạ, môđun π- nội xạ, môđun tựa nội xạ 8 1.5 Môđun đơn, môđun nửa đơn và sự phân tích của môđun 9

Chương 2 CS- MÔĐUN VÀ MÔĐUN VỚI TÍNH CHẤT CS CHO CÁC MÔĐUN CON ĐỀU 10

2.1 CS- Môđun 10

2.2 Môđun với tính chất CS cho các môđun con đều 14

2.3 Liên hệ giữa lớp CS- môđun và lớp môđun với tính chất CS cho các môđun con đều 23

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 33

Tài liệu tham khảo 34

• A⊆ M: A là môđun con của môđun M

• A⊆∗M: A là môđun con cốt yếu của M

• A⊆⊕M: A là hạng tử trực tiếp của M

• A ∼= B: môđun A đẳng cấu với môđun B

• E(M): Bao nội xạ của M

• ⊕

i∈IMi : Tổng trực tiếp các môđun Mi với tập chỉ số I

• : Kết thúc một chứng minh

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Năm 1977, A.W Chatters và C.R Hajarnavis đã đưa ra khái niệm môđun hay môđun mở rộng (Extending modules) Từ đó lớp CS- môđun đãđược nhiều người nghiên cứu và có nhiều kết quả sâu sắc Năm 1994, N.V.Dung, D.V Huynh, P.F Smith và R Wisbauer đã viết cuốn sách "ExtendingModules" trình bày rất nhiều vấn đề liên quan đến CS- môđun và nhiều lớpvành

CS-Trong những năm 80 thế kỷ trước, Harada và các học trò đã nghiên cứu lớpmôđun mở rộng của CS- môđun tức là lớp môđun với tính chất CS cho cácmôđun con đều Năm 1988, Kamal và Muller đã gọi lớp môđun thỏa mãn điềukiện trên là lớp (1 −C1)- môđun Vì vậy lớp CS- môđun và lớp (1 −C1)- môđun

đã hướng chúng tôi nghiên cứu tìm hiểu hai lớp môđun đó

Dựa vào các tài liệu chính [6], [7] chúng tôi hệ thống các khái niệm và trìnhbày tường minh một số ví dụ, tính chất, định lý về CS- môđun và môđun có tínhchất CS cho các môđun con đều

Xuất phát từ hướng nghiên cứu trên và dưới sự hướng dẫn chỉ bảo củaPGS.TS Ngô sỹ Tùng, chúng tôi chọn đề tài luận văn:" CS- môđun và môđunvới tính chất CS cho các môđun con đều"

2 Mục đích của đề tài

Mục đích nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu tìm hiểu về CS- môđun vàmôđun với tính chất CS cho các môđun con đều, các tính chất nội xạ và mốiquan hệ với các môđun có chiều đều hữu hạn cũng được xây dựng và trình bàymột cách có hệ thống và chi tiết

3 Phương pháp nghiên cứu

Để hoàn thành luận văn này chúng tôi đã sử dụng các phương pháp nghiêncứu như: Đọc, dịch và nghiên cứu tài liệu; phân tích và tổng hợp các tài liệu

có liên quan đến đề tài; sử dụng các kĩ thuật chứng minh đặc thù của đại số đểchứng minh các kết quả trong đề tài

4 Nội dung nghiên cứu

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành

2 chương:

- Chương I Kiến thức cơ sở chuẩn bị

Nội dung chính của chương là nhắc lại một số khái niệm, tính chất cơ sở của

lý thuyết môđun như: môđun, môđun con cốt yếu, môđun đều, môđun nội xạ,môđun A-nội xạ và một số mệnh đề, bổ đề và các tính chất

- Chương II CS- môđun và môđun với tính chất CS cho các môđun conđều

Chương này chúng tôi trình bày một cách có hệ thống về CS- môđun vàmôđun với tính chất CS cho các môđun con đều; Mối liên hệ giữa lớp CS-môđun và lớp môđun với tính chất CS cho các môđun con đều

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong luận văn này chúng tôi chỉ xét các vành kết hợp, có đơn vị, các môđun

là môđun phải unita được xét trên cùng một vành R Vì vậy các R- môđun phải

M sẽ được nói gọn là môđun M Các khái niệm, tính chất, kí hiệu trong Luậnvăn này chúng tôi chủ yếu dựa theo [4], [6]

1.1 Môđun con cốt yếu, môđun con đóng

Định nghĩa 1.1.1 Cho M là một R- môđun phải và A là môđun con của M.

(i) Môđun A được gọi là môđun con cốt yếu (essential) trong M nếu với mọi

0 6= X ⊆ M thì A ∩ X 6= 0 Trong trường hợp này ta cũng nói M là một

mở rộng cốt yếu (essential extension) của A và được kí hiệu A ⊆∗ M hay

A⊆eM;

(ii) Một mở rộng cốt yếu M của A được gọi là mở rộng cốt yếu thực sự

(properessential extension) nếu M 6= A;

(iii) Môđun con A được gọi là đóng (closed) trong M nếu A không có mở rộng

cốt yếu thực sự trong M Nói khác đi, A được gọi là đóng trong M nếu vớimọi môđun con X khác không của M mà A ⊆∗ X thì X = A;

(iv) Môđun con B của M được gọi là bao đóng (closure) của môđun con A

trong M nếu B là môđun con tối đại trong M sao cho A là cốt yếu trong B;

(v) Môđun con B của M được gọi là bé (small) trong M (hay là đối cốt yếu)

trong M và kí hiệu B  M nếu mọi môđun con thực sự L của M và L 6= Mthì B + L 6= M Nói cách khác, nếu B + L = M thì L = M

Bổ đề 1.1.2. (i) Nếu trong môđun M có dãy các môđun con A ⊆ B ⊆ C ⊆ M thì A ⊆∗M kéo theo B ⊆∗C;

(ii) Nếu Ai ⊆∗M, i = 1, , n thì ∩n

i=1Ai ⊆∗M ;

(iii) Nếu ϕ : M → N là đồng cấu môđun và B ⊆∗ N thì ϕ−1(B) ⊆∗M;

(iv) Cho α : A → B, β : B → C là các đơn cấu cốt yếu Khi đó β α : A → C cũng là đơn cấu cốt yếu.

Chứng minh. (i) Giả sử U 6= 0 là môđun con của C Khi đó U cũng là môđuncon khác không của M

Ta có A ⊆∗M, A ⊆ B nên 0 6= A ∩U ⊆ B ∩U Do đó B ⊆∗C

(ii) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n

Với n = 1 : Hiển nhiên

vì B ⊆∗N Từ đó ta có:

U ⊆ kerϕ = ϕ−1(0) ⊆ ϕ−1(B) ⇒ U ∩ ϕ−1(B) = U = 0

Điều này dẫn đến ϕ−1(B) ⊆∗M

(iv) Giả sử U ⊆ C và Im(β α) ∩U = 0 Do β là đơn cấu nên ta có:

0 = β−1(0) = β−1(Imβ α) ∩U) = β−1(Im(β α)) ∩ β−1(U ) = Imα ∩ β−1(U )

Mà Imα ⊆∗Bnên suy ra β−1(U ) = 0 ⇒ U = 0 Do đó, Im(β α) ⊆∗C

Theo giả thiết α, β là đơn cấu nên β α là đơn cấu cốt yếu

Bổ đề 1.1.3 Cho A là môđun con của M Khi đó ta có:

A⊆∗M ⇔ ∀m ∈ M, m 6= 0, ∃r ∈ R [ 0 6= mr ∈ A]

Chứng minh. (⇒) Giả sử m 6= 0, m ∈ M, khi đó mR 6= 0 Do A ⊆∗M nên A ∩

mR6= 0 Từ đó suy ra tồn tại r ∈ R sao cho mr 6= 0 và mr ∈ A

(⇐) Ngược lại, giả sử B là môđun con khác không của M Khi đó, lấy 0 6= m ∈ B

và tồn tại r ∈ R sao cho 0 6= mr ∈ A Vì mr ∈ B nên A ∩ B 6= 0 Điều này chứng

tỏ A ⊆∗M

n= 2.

Ta có M = M1+ M2, A = A1⊕ A2, A1 ⊆∗ M1, A2 ⊆∗ M2 Ta có (A1∩ A2) ⊆∗(M1∩ M2) Mà A1∩ A2= 0 nên 0 ⊆∗(M1∩ M2), suy ra M1∩ M2= 0 Do đó tồntại tổng M1⊕ M2

i∈FMi và sự biểu diễn đó là duy nhất

Tiếp theo lấy 0 6= X ⊆ ⊕

i∈IMi Tồn tại 0 6= x ∈ X sao cho:

x∈ ⊕i∈FMi,

⊕i∈IAi ⊆∗ ⊕

Chứng minh. Do M = ⊕

i∈IMi và Ai ⊆∗ Mi suy ra A = ⊕

i∈IAi.Khi đó theo Hệ quả 1.1.4 thì A ⊆∗M

i∈IAi ⊆ B Khi đó ta códãy các môđun con như sau: A ⊆ B ⊆ M ⊆ M

Mà A ⊆∗M nên theo Bổ đề 1.1.2 ta được B ⊆∗M

(iii) ⇒ (i) Giả sử 0 6= mi ∈ Mi Khi đó 0 6= mi∈ M, theo Bổ đề 1.1.3 thì tồn tại

r∈ R sao cho 0 6= mir ∈ B Do vậy 0 6= mir ∈ B ∩ Mi ⊆ Mi Điều này chứng tỏ

B∩ Mi ⊆∗Mi, ∀i ∈ I

1.2 Môđun con bù - giao

Định nghĩa 1.2.1 Cho A là môđun con của M Môđun con A0 của M tối đại

trong các môđun con của M có giao với A bằng 0 được gọi là bù- giao

(complement) của A trong M

Môđun con B của M được gọi là môđun con bù - giao (complement

sub-module) nếu tồn tại một môđun A của M sao cho B là bù - giao của A trong M.Một môđun con B của môđun M là đóng trong M nếu và chỉ nếu B là mộtmôđun con bù - giao của M

Nhận xét 1.2.2 Bù- giao của một môđun trong M luôn tồn tại nhưng nói chung

Mệnh đề 1.2.4 Mỗi môđun con A của M tồn tại môđun con đóng (bù- giao) B

sao cho A là môđun con cốt yếu trong B.

Mệnh đề 1.2.5 Nếu A là môđun con của M và B là môđun con đóng trong M

sao cho A ∩ B = 0 và A ⊕ B ⊆∗ M thì B là một bù- giao của A trong M.

1.3 Môđun đều và chiều đều

Định nghĩa 1.3.1 Cho R là vành, một R- môđun phải M khác 0 được gọi là

đềunếu với bất kì hai môđun con khác không A, B của M ta luôn có A ∩ B 6= 0.Nói cách khác, M là đều nếu M 6= 0 và mọi môđun con khác 0 của M là cốt yếutrong M

Định nghĩa 1.3.2. (i) Một môđun M trên vành R được goi là có chiều đều

hữu hạnnếu không tồn tại một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con kháckhông trong M

Môđun M được gọi là có chiều đều vô hạn trong trường hợp ngược lại;(ii) Cho R là một vành tùy ý, ta gọi chiều đều phải của R là chiều đều của RR

và chiều đều trái của R là chiều đều củaRR

Người ta đã chứng minh được rằng nếu môđun M có chiều đều hữu hạnthì số hạng tử lớn nhất của một tổng trực tiếp các môđun con đều, mà cốt yếutrong M là một số bất biến Số đó được gọi là chiều đều của M hay còn gọi làchiều Goldie và kí hiệu là udim(M)

Mệnh đề 1.3.3 Cho M là một R- môđun và N là môđun con của M.

(i) Cho N ⊆∗M Khi đó M có chiều đều hữu hạn nếu và chỉ nếu N có chiều

đều hữu hạn và trong trường hợp này udim M = udim N Ngược lại, nếu

M có chiều đều hữu hạn và udim M = udim N thì N ⊆∗M;

(ii) Nếu M = M1⊕ M2 ⊕ Mn thì udim M = udim M1+ udim M2+ +udim Mn;

(iii) Giả sử N và M/N đồng thời có chiều đều hữu hạn Khi đó M có chiều đều hữu hạn và udim M ≤ udim N + udim M/N ;

(iv) Nếu M có chiều đều hữu hạn thì mọi môđun con của M có chiều đều hữu hạn.

1.4 Môđun A- nội xạ, môđun nội xạ, môđun π- nội xạ, môđun tựa nội xạ

Định nghĩa 1.4.1 Cho A và M là các R- môđun

(i) Môđun M được gọi A- nội xạ ( A- injective) nếu với mọi X ⊆ A, mọi đồng

cấu f : X → M, luôn tồn tại một mở rộng của f là f∗ : A → M Nghĩa là

f = f∗i, trong đó i là phép nhúng;

(ii) Môđun M được gọi là nội xạ (injective) nếu M là A- nội xạ với mọi môđun

Atrên vành R;

(iii) Môđun M được gọi là tựa nội xạ hay tự nội xạ (quasi- injective or

self-injective) nếu M là M- nội xạ

Định nghĩa 1.4.2. (i) Cho M là một R- môđun phải Bao nội xạ (injective

hull) của M là môđun Q thỏa mãn:

(a) Q là môđun nội xạ;

(b) Tồn tại đơn cấu R- môđun f : M → Q mà f (M) ⊆∗Q

Kí hiệu: Q = E(M)

(ii) Hai R- môđun phải M và N được gọi là nội xạ lẫn nhau (relatively

injec-tive) trong trường hợp đồng thời M là N- nội xạ và N là M- nội xạ

Mệnh đề 1.4.3 Cho N là A- nội xạ và B ⊆ A Khi đó

(i) N là B- nội xạ;

(ii) N là A/B - nội xạ.

Tính chất 1.4.4 Bao nội xạ E(M) luôn tồn tại với mọi R- môđun phải M.

Nhận xét 1.4.5. (i) Bao nội xạ của M là tối thiểu trong các mở rộng nội xạcủa M;

(ii) Bao nội xạ của M là tối đại trong các mở rộng cốt yếu của M.

Định nghĩa 1.4.6 Cho M là R- môđun phải Ta xét các điều kiện sau:

(C1): Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M Nóicách khác, mọi môđun con đóng trong M là hạng tử trực tiếp của M;

(C2): Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và A là hạng tửtrực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M;

(C3): Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M và A ∩ B = 0 thì A ⊕ B cũng làhạng tử trực tiếp của M;

Môđun M được gọi là π- nội xạ (tựa liên tục) nếu M thỏa mãn các điều kiện

(C1) và (C2)

1.5 Môđun đơn, môđun nửa đơn và sự phân tích của môđun

Định nghĩa 1.5.1 Cho R là một vành và M là R- môđun phải.

(i) Một R- môđun khác không M được gọi là môđun đơn trong trường hợp nó

không có những môđun con không tầm thường;

(ii) Cho (Mi)i∈I là một tập hợp những môđun con của M Nếu M là tổng trựctiếp của tập hợp này thì M = ⊕

I

Mi là một sự phân tích nửa đơn của M Một

môđun M được gọi là môđun nửa đơn trong trường hợp nó có sự phân tích

nửa đơn

Định nghĩa 1.5.2 Cho vành R và một R- môđun phải M.

(i) M là không thể phân tích được trong trường hợp nó khác không và không

có những hạng tử trực tiếp không tầm thường;

(ii) Một sự phân tích M = ⊕

I

Mi của môđun M như một tổng trực tiếp củanhững môđun con khác không (Mi)i∈I được gọi là bù hạng tử trực tiếptrong trường hợp cho mọi hạng tử trực tiếp K của M có một tập hợp con

J ⊆ I với M = (⊕

J

Mj) ⊕ K

Chương 2

CS- MÔĐUN VÀ MÔĐUN VỚI TÍNH CHẤT

CS CHO CÁC MÔĐUN CON ĐỀU

2.1 CS- Môđun

Định nghĩa 2.1.1 Môđun M được gọi là mở rộng, hoặc CS- môđun nếu mọi

môđun con đóng là một hạng tử trực tiếp của nó Nói cách khác, M là môđun

mở rộng nếu và chỉ nếu mọi môđun con là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp

Ví dụ 2.1.3 1) Môđun nửa đơn là môđun mở rộng vì mọi môđun con của

môđun nửa đơn là một hạng tử trực tiếp của môđun

2) Môđun đều là môđun mở rộng vì mọi môđun con khác không là các môđun

Một Z- môđun tự do F là mở rộng nếu và chỉ nếu F có hạng hữu hạn Điềukiện đủ là hiển nhiên Giả sử F có hạng vô hạn Tồn tại một môđun con G của

F sao cho F/G ∼= Q, nhóm cộng các số hữu tỉ Do F/G không là môđun xoắnnên G đóng trong F Tuy nhiên, G không phải là hạng tử trực tiếp vì nếu G làhạng tử trực tiếp của F thì F ∼= G ⊕ (F/G) ∼= G ⊕ Q Do vậy, F không phải làmôđun mở rộng

Cho p là số nguyên tố bất kì khi đó Z- môđun (Z/Zp) ⊕ (Z/Zp2) là môđun

mở rộng Tuy nhiên Z- môđun (Z/Zp) ⊕ (Z/Zp 3) không phải là môđun mởrộng vì môđun con k = Z(1 + Zp, p + Zp3) là đóng nhưng không là hạng tử trựctiếp do nó có bậc là p2

Bổ đề 2.1.5 Cho A và B là các môđun đều với vành các tự đồng cấu địa phương

sao cho M = A ⊕ B là CS- môđun Giả thiết C là môđun con của A và f : C → B

là một đồng cấu Khi đó các diều sau là đúng:

(i) Nếu f không mở rộng được thành đồng cấu từ A đến B thì f là một đơn cấu và B nhúng được trong A;

(ii) Nếu bất kì đơn cấu B → A là đẳng cấu thì B là A- nội xạ;

(iii) Nếu B không nhúng được trong A thì B là A- nội xạ.

Chứng minh. (i) Giả sử f không thể mở rộng tới A Xét

U = {x − f (x) | x ∈ C} ⊆ A ⊕ B

Khi đó, U ∼= C là một môđun con đều của M và U ∩ B = 0 Do đó tồn tại mộthạng tử trực tiếp U1 của M sao cho U ⊆∗U1.

Theo Định lí Krull- Schmidt- Azumaya, ta có M = U1⊕ A hoặc M = U1⊕ B.Giả sử M = U1⊕ B

Xét π : U1⊕ B → B là phép chiếu Dễ dàng kiểm tra được π|Amở rộng f : C →

B, mâu thuẫn

Do vậy M = U1⊕ A Điều này suy ra f (x) 6= 0 với x 6= 0, tức là f là đơn cấu Do

U1∩ B = 0 nên B nhúng được trong A

(ii) Theo chứng minh (i), với bất kì đồng cấu f : C → B với C ⊆ A, giả sử

M= U1⊕ A Xét ξ : U1⊕ A → A là phép chiếu Hiển nhiên„ ξ |B là đơn cấu ( Vì

U là cốt yếu trong U1), do đó là đẳng cấu (theo giả thiết) Suy ra M = U1⊕ B,theo (i), f có thể mở rộng thành đồng cấu từ A đến B Điều này chỉ ra rằng B làA- nội xạ

(iii) Suy ra từ (i)

Hệ quả 2.1.6 Cho M là môđun đơn chuỗi với dãy hợp thành duy nhất M ⊃ U ⊃

V ⊃ 0 Khi đó, M ⊕ (U/V ) không phải là môđun mở rộng.

Chứng minh. Hiển nhiên M và U /V có các tự đồng cấu vành địa phương Giả

sử M ⊕ (U /V ) là mở rộng Xét đồng cấu chính tắc π : U → U /V Do π không

là đơn cấu nên theo Bổ đề 2.1.5 π có thể mở rộng thành đồng cấu g : M → U /V

Do U /V là môđun đơn nên Kerg = U hoặc M, mâu thuẫn

Như đã chỉ ra ở trên, với số nguyên tố p bất kì thì Z/Zp) ⊕ (Z/Zp 3)không phải là môđun mở rộng Điều này có nghĩa là, trong trường hợp tổngquát thì tổng trực tiếp của hai môđun mở rộng ( thậm chí đều ) không nhất thiết

là môđun mở rộng

Bây giờ ta xét đối với các môđun có chiều đều hữu hạn U là môđun conđều của M Nếu U là cốt yếu trong K ⊆ M thì K cũng là môđun con đều Hiểnnhiên một môđun con đều U ⊆ M là đóng trong M nếu và chỉ nếu U là môđuncực đại trong tập các môđun con đều của M

Bổ đề 2.1.7 Cho M là môđun con mở rộng đều và K ⊆ M là môđun con đóng

với chiều đều hữu hạn Khi đó K là một hạng tử trực tiếp của M.

Chứng minh. Gọi U là môđun con đóng đều của K Khi đó U là môđun conđóng đều của M và M = U ⊕ U0 với U0 là một môđun con nào đó của M Khi

đó K = U ⊕ (K ∩ U0) và K ∩ U0 là môđun con đóng của M Dễ thấy, K ∩ U0 cóchiều đều nhỏ hơn K Theo phép quy nạp thì K ∩U0 là một hạng tử trực tiếp của

M, cũng như là của U0 Do vậy K là hạng tử trực tiếp của M>

Hệ quả 2.1.8 Một môđun với chiều đều hữu hạn là mở rộng nếu và chỉ nếu nó

là mở rộng đều.

Tiếp theo chúng ta xét về tổng trực tiếp và điều kiện đủ cho tổng trực tiếpcủa các môđun mở rộng là môđun mở rộng

Bổ đề 2.1.9 Cho M = M1⊕ M2 với M1, M2 là các môđun mở rộng Khi đó M

là mở rộng nếu và chỉ nếu mọi môđun con đóng K ⊆ M mà K ∩ M1 = 0 hoặc

K∩ M2= 0 là một hạng tử trực tiếp của M.

Chứng minh. Điều kiện cần: Hiển nhiên

Điều kiện đủ: Giả sử với mọi môđun con đóng K ⊆ M mà K ∩ M1= 0 hoặc

K∩ M2= 0 là một hạng tử trực tiếp của M Gọi L ⊆ M là môđun con đóng Khi

đó tồn tại phần bù H trong L sao cho L ∩ M2 là cốt yếu trong H Suy ra H đóngtrong L Dễ thấy H ∩ M1= 0 Theo giả thiết, M = H ⊕ H0 với H0 là môđun concủa M; L = H ⊕ (L ∩ H0) Suy ra L ∩ H0đóng trong M Lại có (L ∩ H0) ∩ M2= 0.Theo giả thiết, L ∩ H0là hạng tử trực tiếp của M, do đó cũng là hạng tử trực tiếpcủa H0 Điều này kéo theo L là hạng tử trực tiếp của M Do vậy, M là môđun

mở rộng

Mệnh đề 2.1.10 Cho M = M1⊕ M2⊕ ⊕ Mn là tổng trực tiếp của hữu hạn các môđun nội xạ lẫn nhau Mi Khi đó M là mở rộng nếu và chỉ nếu Mi là mở rộng với mọi i = 1, , n.

Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên theo Bổ đề 2.1.5

Giả sử Mi là các môđun mở rộng với mọi i Quy nạp theo n, ta chỉ cần chứngminh M là môđun mở rộng khi n = 2

Lấy K ⊆ M đóng và K ∩ M1 = 0 Khi đó, tồn tại một môđun con M0 của Msao cho M = M1⊕ M0 và K ⊆ M0 Hiển nhiên M0∼= M

2.2 Môđun với tính chất CS cho các môđun con đều

Một môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện (1 − C1) nếu M là một mởrộng đều, tức là mọi môđun con đều của M là cốt yếu trong một hạng tử trựctiếp của M Trong phần này chúng tôi nghiên cứu môđun với tính chất CS chocác môđun con đều, tức là môđun thỏa mãn điều kiện (1 − C1) hay nói gọn

là (1 − C1)- môđun Ta nhắc lại rằng một môđun được gọi là CS- môđun nếumọi môđun con đóng của nó là hạng tử trực tiếp Như vậy, điều kiện để mộtmôđun là CS chặt hơn nhiều so với các điều kiện để môđun là (1 − C1) LớpCS- môđun đã được rất nhiều người nghiên cứu và đưa ra nhiều kết quả quantrọng Một vấn đề đặt ra là những tính chất nào của CS-môđun vẫn đúng trongtrường hợp nó là (1 − C1)- môđun, và khi nào thì môđun (1 − C1) chính là CS-môđun Một số bài báo đã đăng và có nhiều kết quả có liên quan đến vấn đề

đó như sau: " Some results on quasi- continuous modules" của PGS TS Ngô

Sỹ Tùng, hoặc "The structure of extending modules over noetherian rings" củaKamal M.A và Muller B.J Dựa trên cơ sở đó chúng tôi trình bày một số kếtquả như sau:

Bổ đề 2.2.1 Giả sử M là (1 − C1)- môđun Khi đó mỗi môđun con đóng trong

M cũng là (1 −C1)- môđun.

Chứng minh. Giả sử N là môđun con đóng trong của M,U là môđun con đóngđều nào đó của N Khi đó, U đóng trong M Do M là (1 −C1)- môđun nên U làhạng tử trực tiếp của M, nghĩa là M = U ⊕ X với môđun con X nào đó của M

Do U ⊆ M nên theo luật Modula ta có:

N = U ⊕ (X ∩ N)

Do đó U là hạng tử trực tiếp của N

Bổ đề 2.2.2 Cho M là môđun không chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con

khác không Khi đó tồn tại môđun con đều khác không của M.

Chứng minh. Giả sử trong M không có một môđun con đều nào Khi đó tồn tạicác môđun con N1, N1∗ của M sao cho N1∩ N1∗= 0

Trong N1∗ cũng không có môđun con đều, do đó tồn tại các môđun con

N2, N2∗ của N1∗ để N2∩ N2∗= 0

Ta xét cho N2∗ tương tự như N1∗ Quá trình cứ tiếp tục như vậy vô hạn lần Ta

có trong M tồn tại các môđun con N1, N2, sao cho Ni∩ ∑

Vậy môđun M chứa môđun con đều

Hệ quả 2.2.3 Cho M là (1 − C1)- môđun và có chiều Goldie hữu hạn Khi đó

M phân tích được thành tổng tực tiếp hữu hạn các môđun con đều.

Chứng minh. Do M có chiều Goldie hữu hạn nên theo Bổ đề 2.2.2, M chứamôđun con đều U1 Gọi X1 là bao đóng của U1 trong M (tức là U1⊆∗X1 và X1

là môđun con đóng trong M X1 luôn tồn tại vì nó chính là hợp của tất cả các

mở rộng cốt yếu của U1 trong M) Vì U1 là môđun đều nên X1 cũng là môđunđều Theo giả thiết, M là (1 − C1)- môđun nên X1 là hạng tử trực tiếp của M,nghĩa là M = X1⊕ M1 với môđun con M1 nào đó của M Khi đó M1 là môđuncon đóng trong M

Do M là (1 −C1)- môđun nên theo Bổ đề 2.2.1, M1cũng là (1 −C1)- môđun

Lí luận như trên đối với M1ta có M1 = X2⊕ M2, trong đó X2 là môđun con đều

và đóng của M1 Như vậy M = X1⊕ X2⊕ M2

Quá trình cứ tiếp tục như vậy ta được

M = X1⊕ X2⊕ ⊕ Xn⊕

Do M có chiều Goldie hữu hạn nên quá trình trên phải dừng sau hữu hạnbước, nghĩa là tồn tại n để:

M= X1⊕ X2⊕ ⊕ Xntrong đó các Xi, i= 1, 2, , n là các môđun con đều của M

Bổ đề 2.2.4 Giả sử M = ⊕

i∈IMi là tổng trực tiếp các môđun đều Mi (i ∈ I).

Khi đó mỗi môđun con khác không của M chứa một môđun con đều.

Chứng minh. Giả sử A là môđun con khác không bất kì của M Khi đó tồn tại

0 6= a ∈ A Xét môđun con xyclic aR của A Do M = ⊕

i∈IMi nên a = ∑

j∈F

mj, trong

đó F là tập con hữu hạn của I và mj ∈ Mj với j ∈ F

Do aR là môđun xyclic nên với phần tử bất kỳ x ∈ aR thì x = ar với r ∈ R

Ta có: x = ar = ( ∑

j∈J

mj)r Do đó aR ⊆ ⊕

j∈FMj