Môđun không bé, môđun không đối bé và áp dụng

M là một R-môđun phải t.ư., trái;A là môđun con t.ư., con thực sự của B; A là môđun con cực đại của B; A là hạng tử trực tiếp của B; A là môđun con cốt yếu của B; A là môđun con đôi cốt

HỒ THỊ MINH HƯƠNG

MÔĐUN KHÔNG BÉ, MÔĐUN KHÔNG ĐốI

BÉ VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

Bình Đinh - 2020

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Lê Đức Thoang

Muc luc

Mở đầu 3

1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Môđun con cốt yếu, đối cốt yếu 5

1.2 Môđunmởrộng 6

1.3 Môđun xạ ảnh, môđun nội xạ 8

1.4 Vành Artin, Vành Nơte 9

1.5 Vành nửa hoàn chỉnh, hoàn chỉnh 10

1.6 Vành Goldie và vành QF 12

2 Môđun không bé, môđun không đối bé 14 2.1 Môđun không bé 14

2.2 Môđun không đối bé 17

3 Áp dung vào vành 21 3.1 Về đặc trưng vành co-H 21

3.2 Đặc trưng vành nửa hoàn chỉnh QF-3 30

KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)

1

M là một R-môđun phải (t.ư., trái);

A là môđun con (t.ư., con thực sự) của B;

A là môđun con cực đại của B;

A là hạng tử trực tiếp của B;

A là môđun con cốt yếu của B;

A là môđun con đôi cốt yếu của B;

A đẳng cấu với B;

A không đẳng cấu với B;

tổng trực tiếp của môđun A và môđun B; Mô đuncon suy biến của mô đun M;

bao nội xạ, đế của môđun M (tương ứng); vành các tự đồng cấu của môđun M;

nhóm các R-đồng cấu từ M vào N;

ảnh, hạt nhân của đồng cấu f (tương ứng); căn của môđun M, căn của vành R (tương ứng); linh hóa tử của môđun M

MỞ ĐẦU

Khái niệm môđun không bé và môđun không đối bé là những khái niệmcông cụ tiện ích cho việc nghiên cứu vành, được Rayar đề xuất nghiên cứuđầu tiên vào năm 1971, sau đó Harada tiếp tục nghiên cứu và thu được

2

nhiều kết quả có ý nghĩa và áp dụng, một trong những áp dụng là đặc trưngcác lớp vành Đây là một hướng nghiên cứu được nhiều tác giả quan tâm.

Chúng tôi chọn đề tài: MÔĐUN KHÔNG BÉ, MÔĐUN KHÔNG ĐỐI BÉ

VÀ ÁP DỤNG

Khái niệm môđun bé, trước đây đã được nhiều tác giả quan tâm nghiêncứu như W W Leonard (xem [9]), M Rayar (xem [11]) Năm 1978, M.Harada đã định nghĩa và dùng khái niệm môđun không bé để nghiên cứulớp vành Artin và thu được nhiều tính chất và kết quả đẹp cho lĩnh vực lýthuyết vành Từ đó khái niệm môđun không bé trở thành một khái niệmcông cụ tiện ích cho việc nghiên cứu vành

Luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận và Tài liệu tham khảo.Nội dung của luận văn gồm ba chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.

Chương 2: Môđun không bé, môđun không đối bé

Chương 3: Áp dụng vào vành.

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sự kính trọng sâu sắc đến

TS Lê Đức Thoang, thầy đã trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn và tạo mọi điềukiện trong quá trình học tập và nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận vănnày một cách tốt nhất Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sauđại học, Khoa Toán và Thống kê trường đại học Quy Nhơn cùng quý thầy

cô giáo đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại trường.Nhân đây, tôi cũng xin cảm ơn các anh, chị học viên trong lớp Đại số và Lýthuyết số khóa 21, gia đình và

3

bạn bè đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thànhluận văn.

Mặc dù rất cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và trình độ nên bêncạnh những kết quả đã đạt được, luận văn không thể tránh khỏi những hạnchế và thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự góp ý thẳng thắn và chânthành của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niêm cơ bản về lýthuyết mô-đun, lý thuyết vành Các khái niệm, kết quả trong chương nàyđược trình bày dựa vào [1]

(2) Cho M là R-môđun Môđun con K của M được gọi là đối cốt yếu (

hay bé) trong M nếu với mỗi môđun con X của M mà X = M thì K + X =

M Nói cách khác, môđun con K được gọi là môđun con bé trong M

nếu với mọi môđun con X của M mà K + X = M thì X = M Khi đó ta kíhiệu: K ■M

Ví dụ 1.1.1 Xét Z-môđun Z, Q ta có 2Z <e Z, Z <e Q Nếu R là miền nguyênthì mọi ideal phải khác không là cốt yếu trong RR

Môđun con 0 M, môđun con 2Z là đối cốt yếu trong Z-môđun Q

Tính chất 1.1.1.

(1) Cho A, B, C là các môđun con của M Khi đó:

(a) Neu A < B < C thì A <e M kéo theo B <e C

(b) Neu A <e M và B <e M thì A n B <e M

(c) Neu ty : M N là đồng cấu môđun và A <e N thì ty -1 (A) <e M

(2) Cho A, B, C là các môđun con của M Khi đó:

(a) Neu A < B < C thì B<cC kéo theo A<cM

(b) Neu A ■■M và B ■M thì A + B <M

(c) Neu ty : M N là đồng cấu môđun và A<cM thì ty (A)^N

Hệ quả 1.1 Giả sử M = 0 M i và B là môđun con của M Khi đó các phát I

biểu sau là tương đương:

(1) Một R-môđun M được gọi là môđun mở rộng (hay CS-Môđun) nếu

mỗi môđun con của M là cốt yeu trong một hạng tử trực tiep của M.Tương đương, một R-môđun M được gọi là môđun mở rộng neu mỗimôđun con đóng của M là một hạng tử trực tiep của M

(2) Một R-môđun M được gọi là mở rộng đều (uniform-extending) neu

mỗi môđun con đều là cốt yeu trong một hạng tử trực tiep của M

(3) Một môđun M được gọi là môđun FI-mở rộng nếu với mọi N < M tồn tạimột hạng tử trực tiếp N' < ® M sao cho N <e N'.

Định lý 1.1 Cho M là một R -môđun Khi đó, các điều kiện sau là tương đương:

(2) Mỗi môđun con N của M đều có sự phân tích M = Ml © M2 sao cho

N < M1 và N + M2 < e M

(3) Mỗi môđun con đóng của M là một hạng tử trực tiếp của nó.

Hệ quả 1.2 Một R -môđun M không phân tích được là mở rộng nếu và chỉ nếu

Định lý 1.2 Nếu M là môđun mở rộng và M = Ml 0 M2 thì Ml , M2 là các môđun

mở rộng.

Nhận xét 1.1 Mọi hạng tử trực tiếp của môđun mở rộng đều

Ví dụ 1.2.1 (1) Mỗi môđun nửa hoàn chỉnh là mở rộng, vì mỗi môđun con

là hạng tử trực tiếp

(2) Mỗi môđun đều là mở rộng, vì mỗi môđun con khác 0 là cốt yếu

Định lý 1.3 Cho M = Ml (D M2 với M l , M 2 là các môđun mở rộng Khi đó, M là

Mệnh đề 1.2 Cho M = Ml (D M2 với M l , M 2 là các môđun mở rộng Nếu M l là

Mệnh đề 1.3 Cho M là R -môđun có chiều uniform hữu hạn Nếu M là môđun n

i= l

Mệnh đề 1.4 Cho M là môđun chuỗi với chuỗi hợp thành duy nhất 0 c U c V c

1.3 Môđun xạ ảnh, môđun nội xạ

Định nghĩa 1.3 R-môđun P được gọi là xạ ảnh nếu với mỗi đồng cấu f: P —>

B và mỗi toàn cấu g: A —> B của những R-môđun đều tồn tại đồng cấu h: P —

> A sao cho goh = f Có nghĩa, biểu đồ sau giao hoán

P

3h / f

f

7

Định nghĩa 1.13 Một vành R được gọi là vành địa phương nếu R có duynhất một ideal phải (hoặc trái) cực đại Vành R được gọi là nửa địa phương

nếu vành thương R/ J(R) là Artin nửa đơn

Ta có, mọi vành Artin đều là vành nửa địa phương và điều kiện nêu trongđịnh nghĩa vành địa phương tương đương với một trong các điều kiện sau

(i) R/J(R) là một thể.

(ii) R J(R) bao gồm tất cả các phần tử khả nghịch của R

(iii) Nếu a 6 R thì hoặc a hoặc 1 — a khả nghịch trong R

(iv) J(R) là ideal phải (trái) cực đại của R

Định nghĩa 1.14 Phần tử e của vành R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu 2

e2 = e

Nhận xét 1.2 Mỗi vành luôn có hai phần tử lũy đẳng là 0,1 và chúng đượcgọi là hai phần tử lũy đẳng tầm thường Vành nguyên chỉ có hai phần tử lũyđẳng là 0 và 1

Định nghĩa 1.15 Hai lũy đẳng e và f của vành R được gọi là trực giao vớinhau nếu ef = f e = 0

Nếu lũy đẳng e = 0 của vành R không phân tích được thành tổng của hailũy đẳng khác 0 trực giao với nhau, thì e được gọi là lũy đẳng nguyên thủy

Lũy đẳng e e R được gọi là lũy đẳng địa phương nếu eRe là một vành địaphương Tập {ei , , en , } các lũy đẳng của vành R được gọi là trực giao nếu

e/ej = 0 với mọi cặp i = j Tập {ei , , en , } các lũy đẳng nguyên thủy trực giaocủa R được gọi là đầy đủ nếu 1 = ei + • • • + en

Định nghĩa 1.16 Vành R được gọi là nửa hoàn chỉnh nếu R là vành nửa địaphương và mọi phần tử lũy đẳng của R / J ( R ) có thể nâng được theo môđun J

2 Nếu R là vành địa phương thì R / J ( R ) là vành chia và R là nửa địa phương.

Định nghĩa 1.17 Tập con A của vành R được gọi là T-lũy linh trái (phải)nếu với mọi dãy phần tử {ai ,a2 ,«3 , } c A, luôn tồn tại n e Z+sao cho a 1 a 2

a n = 0 ( a n a2a 1 = 0 )

Định nghĩa 1.18 Vành R được gọi là vành hoàn chỉnh phải (trái) nếu R/ J ( R )

là vành nửa đơn và J(R) là T-lũy linh phải (trái)

Nếu R là vành hoàn chỉnh hai phía thì R là vành hoàn chỉnh

Kết quả dưới đây là đặc trưng vành hoàn chỉnh của Bass

Định lý 1.5 ([1],Định lý 28.4) Cho vành R Khi đó, các phát biểu sau đây là tương đương

(i) R là vành hoàn chỉnh trái.

(ii) Mọi R -môđun trái đều có một phủ xạ ảnh.

(iii) R thỏa mãn DCC trên các ideal phải chính.

(iv) Mọi R -môđun phải không tầm thường đều chứa một môđun con cực tiểu và

Mệnh đề 1.6 Vành nửa nguyên sơ là vành hoàn chỉnh Do đó, vành Artin một phía là vành hoàn chỉnh Vành hoàn chỉnh một phía là vành nửa hoàn chỉnh.

Một R-môđun M được gọi là chiều Goldie hữu hạn n, kí hiệu

u • dim (M = n) hoặc G • dim (M) = n,

tồn tại n môđun con đều Mi của M sao cho

n

® Mi <e M.

i = 1Khi RR có chiều Goldie hữu hạn thì ta gọi u • dim (RR ) là chiều phải của vành R

Định nghĩa 1.19 R được gọi là vành Goldie phải nếu R có điều kiện dây chuyền tăng trên linh hóa tử phải và có chiều Goldie hữu hạn

9

Định nghĩa 1.20 R được gọi là vành CEF phải nếu mỗi R-môđun xiclic nhúng cốt yếu được trong một môđun xạ ảnh.

Định nghĩa 1.21 R được gọi là vành QF nếu R thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng trên iđêan phải và R là tựa nội xạ phải

Các kết quả dưới đây, được đưa ra bởi Faith và Walker năm 1967, chỉ ra rằng trên vành QF thì các lớp môđun nội xạ và xạ ảnh trùng nhau

Định lý 1.6 Các điều kiện sau là tương đương:

(1) R là vành QF,

(2) Mỗi R -môđun nhúng được trong một môđun xạ ảnh,

(3) Mỗi R -môđun xạ ảnh là nội xạ,

(4) Mỗi R -môđun nội xạ là xạ ảnh.

Định lý 1.7 R là vành QF nếu và chỉ nếu R là vành CEF phải và trái.

Định nghĩa 1.22 R được gọi là vành CF nếu mỗi R-môđun xiclíc nhúng được trong một môđun tự do

10

2.1 Môđun không bé

Định nghĩa 2.1 Môđun N được gọi là môđun bé (small module) nếu N

E(N), trong đó E(N) là bao nội xạ của N Ngược lại, N được gọi là môđunkhông bé (non-small module) nếu N E(N)

Tiếp theo, chúng ta xem xét một số kết quả về môđun không bé Trướchết chúng ta xét các điều kiện tương đương sau đây

Mệnh đề 2.1 Cho M là một R -môđun Những điều kiện sau đây là tương đương

với El là môđun con nào đó của E (Mz ) .Vì M E (M) nên M E (M)

Do đó, tồn tại A < E (M), A = E (M) sao cho

11

Chứng minh (i) (ii)

Mệnh đề 2.2 Giả sử có đơn cấu f : M Q và toàn cấu p : P M Khi đó, nếu M là

bao nội xạ của M Khi đó

M E(M) và điều này là mâu thuẫn

Gọi Ả : P E ( P ) là bao nội xạ của P Do tính nội xạ của E(M) nên

tồn tại đồng cấu ụ : E ( P ) E ( M ) thỏa mãn

ụ • Ả = j • p ,

12

tức biểu đồ sau giao hoán.

p : P M thỏa mãn ker p<eP

Đặt Q = p- 1 (N) = {x 6 P|p(x) 6 N}, ta có Q < P Xét

q = P| o:o N, q(x) = p(x) , Vx 6 Q.

Ta có q là toàn cấu và rõ ràng ker q <e Q Điều này mâu thuẫn với N

không đối bé Vậy M không đối bé

(2) Giả sử M đối bé, khi đó tồn tại môn đun xạ ảnh P và toàn cấu p : P —> M

sao cho ker p <e P Đặt M = M/N Xét toàn cấu tự nhiên, n: M —> M Khi

đó, dựa vào tính chất xạ ảnh của môđun P, ta xây dựng được toàn cấu f:

P —> M sao cho ker f <e P, điều này mâu thuẩn với giả thiết M là môđunkhông đối bé

tồn tại toàn cấu : L —> M sao cho ker < e L, [xem [6], Mệnh đề 1.20 (b)] Từ

đây, chúng ta nhận được kết quả của bổ đề □Mọi môđun xạ ảnh là không đối bé và do vậy mọi môđun chứa mộtmôđun con xạ ảnh đều là môđun không đối bé Bây giờ chúng ta xem xéttrường hợp ngược lại

13

• (*) *: Mọi R— môđun phải không đối bé đều chứa một mô-đun con

xạ ảnh

• (**) *: Mọi mô-đun xạ ảnh không phân tích được là đều

Bô’ đề 2.1 Giả sử chúng ta có (*) * Khi đó mọi môđun xạ ảnh địa phương là đều.

đại của P Lúc này, P/K là môđun không phân tích được, với mọi môđun con

môđun xạ ảnh với môđun P Vì P là tổng của môđun tự do và là nội xạ, do

đó R là chứa một tổng trực tiếp đẳng cấu với tổng P □Kết quả dưới đây, cho chúng ta điều kiện cần và đủ để môđun M là môđunkhông đối bé khi có (**) *

Mệnh đề 2.7 Cho R là vành nửa hoàn chỉnh thỏa mãn điều kiện (**) * Khi đó M

môđun con không đối bé xyclic mR Gọi

0 mR Ậ- @ ez-R

là phủ xạ ảnh của mR.

Vì ker f không cốt yếu trong © ez-R, ker f n ejR không cốt yếu trong ejR

với j nào đó Do vậy, ker f n ejR = 0 và M chứa một môđun con

Mệnh đề 2.8 Giả sử chúng ta có (*) * Khi đó, mọi môđun con xạ ảnh đều P hoặc

Z (P) = 0 hoặc Z (P/ ( Z ( P )) ) = P/ ( Z (P )) Mọi môđun con không chứa trong Z (P) đều xạ ảnh.

tích được Do vậy T xạ ảnh Lấy K i là môđun con chứa Z (P) ( i = 1,2 ) Khi đó

Mặt khác, đặt K = K1 n &2, xét đồng cấu tự nhiên

K1 ® K2 K i + K2 —^ 0,

trong đó ty = 1 K 1 — 1 K 2 Khi đó ker ty — K Vì K1 + K2 xạ ảnh nên K xạ ảnh

Do vậy, K = Z (P) Do đó Z (P) khả nghịch và P/Z (P) không phân tích được Dovậy

P/ ( Z ( P ))) = P/ ( Z (P))

15

Chương 3

Áp dụng vào vành

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một ứng dụng môđun không bé vàovành nửa hoàn chỉnh và đặc trưng vành nửa hoàn chỉnh QF — 3 Trong chươngnày, chúng ta tập trung vào nghiên cứu các điều kiện (*) và (*) *, các điều kiệnnày đã được Harada chỉ ra trong [7]

• (*): Mọi R— môđun phải không bé đều chứa một mô-đun con nội xạ

• (*) *: Mọi mô-đun không đối bé chứa tổng trực tiếp của modules xạ ảnhkhác 0

Các kết quả ở đây, được trình bày dựa vào [2], [7], [13]

3.1 về đặc trưng vành co-H

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số đặc trưng của vành co—H Định nghĩa 3.1 Vành R được gọi là H phải nếu R là vành Artin phải và thỏa mãnđiều kiện (*) Vành R được gọi là co—H phải nếu R thỏa mãn điều kiện (*) * vàtrên các linh hóa tử phải

Ví dụ dưới đây chỉ ra rằng lớp các vành co—H là một mở rộng thực sự của

lớp các vành QF.

Ví dụ 3.1.1 Xét vành QF địa phương

Q = K [x y] / (x^ y2)/

1 6

(ii) V là vành H và co-H (phải và trái).

(iii) W là vành H trái và co-H phải Tuy nhiên, W không là vành H phải cũng không là co-H trái

(iv) V, W không là vành QF

Ta có, mọi vành QF đều là vành co-H hai phía và quan hệ giữa H và co- H như sau

• co-H phải H trái;

• co-H phải = H phải

Kết quả dưới đây, được đưa ra bởi Harada, cho chúng ta cấu trúc của vành nửa hoàn chỉnh thỏa mãn điều kiện (*) *

Định lý 3.1 ([7], Định lý 3.6) Cho vành R nửa hoàn chỉnh Khi đó R thỏa mãn điều kiện (*) * khi và chỉ khi

R R =e 1 R © • • • © e k R 0) f 1R © • • • © f l R ,

QQJQ

QQJQ

Q Q

J Q

abdc

abdc

a b dc

trong đó { e 1 , , e k} u {f1 , , f l} là tập đầy đủ các lũy đẳng nguyên thủy trực giao của

(i) k > 1 và với mọi i e [ 1, k ] , e ị R là nội xạ.

(ii) Với bất kỳ đều tồn tại e ị , i = 1, , k , sao cho f i R < e ị R

(iii) Với mỗi i , 1 < i < k , tồn tại số nguyên ti sao cho eJ là mô-đun xạ ảnh với mọi

t < ti và eJ+ 1 là mô-đun suy biến, tức là J = J ( R )

nguyên thủy {ei} sao cho eiR là nội xạ Đặt e = ei và eK là môđun con nội xạthực sự của eR Khi đó

eR D eJ D eK.

Vì eR đều và eK c Z (eR) nên eJ là môđun xạ ảnh, theo Mệnh đề 2.8

Ta có eJ ~ f R và e J2 là môđun con cực đại duy nhất của e J Do vậy, chúng

ta có duy nhất dây chuyền

sao cho eJ m xạ ảnh và eJ m +1 đối bé, tức là suy biến

Nếu f j R không nội xạ thì f j R chứa trong eiR nào đó Do vậy f j R = eJ Ngược

lại, gọi M là môđun không đối bé Khi đó, tồn tại m e M và một lũy linhnguyên thủy g sao cho gmR đối bé Vì gR là đều nên mgR ~ eR và gR ~ eJ Do

vậy, chúng ta có biểu đồ giao hoán

là dây chuyền duy nhất như trên Imh = eJ là xạ ảnh Từ đây, ta thấy rằng M

chứa một môđun xạ ảnh đẳng cấu với eJ như một tổng trực tiếp. □

eiJ

18