Một số đặc trưng của môđun buchsbaum

13 2.2 Đạc trưng của môđun Buchsbaum qua đối đồng điều địa phương ..... Ví dụ như môđun Macaulay lớp môđun quan trọng trong Đại số giao hoán,có thể đạc trưng bởimột trong các điều kiện d

MỞ ĐẦU 1

1.1 Địa phương hóa 4

1.2 Sự phân tích nguyên sơ 6

1.3 Chiều Krull 7

1.4 Đối đồng điều địa phương 11

2 Đặc trưng của môđun Buchsbaum 13 2.1 Đạc trưng của môđun Buchsbaum qua hệ tham số 13

2.2 Đạc trưng của môđun Buchsbaum qua đối đồng điều địa phương 24

2.3 Môđun Buchsbaum phân bậc 42

MỞ ĐẦU

Cho (R,m) là một vành giao hoán Noether địa phương, M là một R- môđunhữu hạn sinh với dim M = d > 1 và q là một iđêan tham số Khi đó,định lý đathức Hillbert nói rằng hàm độ dài X M , q (n) = l (M/q n M) là đa thức theo n khi n

đủ lớn (n 0) Đạc biệt, bậc của đa thức này bằng d, còn tích giữa hệ số của nd

với d! bằng đúng bội số e(q, M) Hơn nữa, hiệu I (M)=l (M/q n M) — e(q,M)

cho ta nhiều thông tin về cấu trúc của Môđun M Ví dụ như môđun Macaulay lớp môđun quan trọng trong Đại số giao hoán,có thể đạc trưng bởimột trong các điều kiện dưới đây:

Cohen-(i) Hm(M) = 0 với mọi i = d

(ii) Mọi hệ tham số của M đều là dãy chính quy

(iii) Iq(M) = 0 với mọi iđêan tham số q của M

Từ ý tưởng nghiên cứu Iq(M) như là một hàm theo q dẫn đến việc hình thành

lý thuyết các môđun Buchsbaum như sau:

Năm 1965, Buchsbaum nêu giả thiết: Với mỗi môđun M tùy ý, Iq(M) luôn làmột hằng số không phụ thuộc vào cách chọn iđêan tham số q Năm 1973,Vogel và Stuckrad đã xây dựng nhiều phản ví dụ để chứng tỏ rằng giả thiết củaBuchsbaum không đúng trong trường hợp tổng quát Tuy nhiên, Vogel cũngchỉ ra rằng lớp các môđun thỏa mãn giả thiết

1

Buchsbaum là một môđun Buchsbaum

Chúng tôi chọn đề tài : “Một số đạc trưng của môđun Buchsbaum” để tiếp cậnsâu hơn về Đại số giao hoán

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày định nghĩa và chứng minh lại một số tính chất cơ bảncủa địa phương hóa, sự phân tích nguyên sơ, chiều Krull, đối đồng điều địaphương

Chương 2: Đặc trưng của môđun Buchsbaum

Trong chương này trình bày một số đạc trưng của môđun Buchsbaum,môđun Buchsbaum phân bậc

Nội dung gồm: Đạc trưng của môđun Buchsbaum qua hệ tham số, đạctrưng của môđun Buchsbaum qua đối đồng điều địa phương, môđunBuchsbaum phân bậc

Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của thầyhướng dẫn TS Nguyễn Thái Hòa, Trường Đại học Quy Nhơn Tôi xin bày tỏ

sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy đã giúp đỡ tôi trong suốt quátrình học tập và thực hiện luận văn Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý Banlãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toáncùng quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học Đại số và Lý thuyết số khóa 19

đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và thựchiện đề tài Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến người thân, bạn bè đã luôngiúp đỡ động viên để tôi hoàn thành khóa học và luận văn này

Mạc dù luận văn được thực hiện với sự nỗ lực cố gắng hết sức của bảnthân, nhưng do điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức và kinh nghiệm

nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Tôi rấtmong nhận được những góp ý của quý thầy cô giáo để luận văn được hoànthiện hơn.

Quy Nhơn, tháng năm 2020

Học viên

Nguyễn Thị Tri

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Địa phương hóa

Nội dung của tiết này được trình bày theo [1]

Cho R là một vành giao hoán có đơn vị Tập S c R được gọi là một tập

Xét tập

S X R = {(s,r) | s E S và r E R}

và định nghĩa trên S X R một quan hệ hai ngôi:

V(s, r), (t, k) E S X R, (s, r) ~ (t, k) o 3u E S : u(st — kr) = 0

Khi đó, quan hệ ~ là một quan hệ tương đương Với mỗi (s, r) E S X R , ta kí

hiệu lớp tương đương (s,r) là r và tập thương (S X R)/^, là S—1R s

với tập nhân đóng S.

5

Chúng ta có thể kiểm tra M S là một RS-môđun.

Định nghĩa 1.1.3 Môđun MS trên vành RS được gọi là môđun địa phương hóa

của M tương ứng với tập nhân đóng S

Chú ý rằng, với mỗi p G Spec(R), S = R \ p là một tập nhân đóng Khi đó, ta

kí hiệu MS = Mp

1.2 Sự phân tích nguyên sơ

Nội dung của tiết này được trình bày theo [5]

Cho R là một vành Noether giao hoán và M là một R-môđun

Định nghĩa 1.2.1 Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là một iđêan nguyên tố

Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssR(M) hayAss(M)

đó Ass(M) C Supp(M) và mọi phần tử cực tiểu của Supp(M) thuộc về Ass(M).

Mệnh đề 1.2.6 Cho R là một vành Noether và M là một R -môđun hữu hạn sinh.

Định nghĩa 1.2.7 Một R-môđun được gọi là đối nguyên sơ nếu nó có duy nhất

một iđêan nguyên tố liên kết Một môđun con N của M được gọi là một môđun

là p-nguyên sơ hay N liên kết với p

Cho N là một môđun con của M Một phân tích nguyên sơ của N là một biểudiễn dạng N = Q1 n Q2 n n Qrvới mọi Qilà nguyên sơ trong M Hơn nữa, một

phân tích nguyên sơ được gọi là rút gọn nếu không thể bỏ một Qinào và nhữngiđêan nguyên tố liên kết của M/Q ị là những phần tử khác nhau với 1 < i < r

Hiển nhiên, một phân tích nguyên sơ của N có thể đưa về một phân tíchnguyên sơ rút gọn

Bổ đề 1.2.8 Nếu N = Q 1 n n Qrlà một phân tích nguyên sơ rút gọn và nếu Q i

Ass(M/N) = {p1, , pr }

Định lý 1.2.9 Cho R là một vành Noether và M là một R -môđun Khi đó 0 =

1.3 Chiều Krull

Nội dung của tiết này được trình bày theo [5]

Cho R là một vành giao hoán có đơn vị 1 = 0 Một dãy hữu hạn gồm n + 1iđêan nguyên tố p0 D p1 D D pnđược gọi là một dây chuyền nguyên tố độ dài n

7

Nếu p G Spec(R), chạn trên nhỏ nhất của tất cả độ dài của các dây chuyềnnguyên tố với p = p0được gọi là độ cao của p và kí hiệu là ht(p) Vì vậy ht(p) =

0 tức là p là iđêan nguyên tố tối tiểu của R

Cho I là một iđêan thực sự của R Chúng ta định nghĩa độ cao của I là chạndưới lớn nhất của các độ cao của các iđêan nguyên tố chứa I, tức là

ht(I) = inf{ht(p) | p 3 I}

Định nghĩa 1.3.1 Chiều của R được định nghĩa là chạn trên nhỏ nhất của tất cả

độ cao của tất cả iđêan nguyên tố của R, tức là

dim(R) = sup{ht(p) | p E Spec(R)}

Nó còn được gọi là chiều Krull của R

Ví dụ 1.3.2.

1) Cho K là một trường Khi đó dim K = 0

2) dim(Z) = 1

Nhận xét 1.3.3.

(i) Với mỗi p E Spec(R),ht(p) = dim(Rp)

(ii) Với mỗi iđêan I của R, dim(R/I) + ht(I) < dim R

Định nghĩa 1.3.4 Cho M = 0 là một R-môđun Chiều Krull của M là

dim(M) = dim(R/ Ann(M))

Trong trường hợp M = 0, ta qui ước dim(M) = -1

Mệnh đề 1.3.5 Giả sử R là một vành giao hoán Noether và M = 0 là một R môđun hữu hạn sinh Khi đó các mệnh đề sau là tương đương.

-(i) M là một R -môđun có độ dài hữu hạn.

(ii) Vành R/ Ann(M) là Artin.

(iii) dim M = 0

Cho R là một vành Noether giao hoán địa phương với iđêan cực đại m Mộtiđêan I được gọi là một iđêan định nghĩa của R nếu mk c I c m với một k > 1.Điều này tương đương với I c m và R/I là Artin.

Cho I là một iđêan định nghĩa của R và M là một R-môđun hữu hạn sinh Đạt

R* = gr 1 (R) = ® n S oIn/In+1

và

M ♦ = gr1(M) = ® n ặ oInM/In+1M

Giả sử I = Rx1 + • • •+Rx r Khi đó vành phân bậc R* là ảnh đồng cấu của B =

(R/I)[x1, , xr], và M* là R*-môđun phân bậc hữu hạn sinh Khi đó F M* (n) =

í(I n M/I n+1 M) là một đa thức theo n với deg F M* (n) < r — 1 khi n 0 Suy ra rằng,hàm

n - 1

X(M, I; n) = l(M/I n M) = £ FM (j)

j=0

là một đa thức theo n với bậc không quá r khi n 0 Đa thức X(M, I; n) khi n 0

được gọi là đa thức Hilbert của M tương ứng với I Đa thức này không phụ thuộcvào iđêan định nghĩa I Bậc của đa thức này được kí hiệu là d(M).

Mệnh đề 1.3.6 Cho (R, m) là một R -môđun Noether giao hoán địa phương, I là

Bổ đề 1.3.8 Cho (R, m) là một vành giao hoán Noether địa phương và M = 0 là

d(M) > dim(M/xM) > d(M) — 1

Bổ đề 1.3.9 Cho (R, m) là một vành giao hoán Noether địa phương và M = 0 là

Định lý 1.3.10 Cho (R, m) là một vành giao hoán Noether địa phương và M = 0

d(M) = dim(M) = Ỗ(M)

(x1, , xr)M) < o

Chú ý rằng, nếu d = dim(M) và hệ phần tử x1, , xd G m sao cho Ỉ(M/(x1, ,

x d )M) < o được gọi là một hệ tham số của M

Mệnh đề 1.3.11 Cho (R, m) là một vành giao hoán Noether địa phương và M =

(i) dimR(M) = dimR(M)

(ii) dim M = max{dim(R/p) | p G Ass(M)}

1.4 Đối đồng điều địa phương

Lý thuyết đối đồng điều địa phương được giới thiệu đầu tiên bởi A.Grothendieck vào những năm 1960, sau đó được quan tâm nghiên cứu bởi rấtnhiều nhà toán trên thế giới như R Hartshorne, M Brodmann, J Rotman, C.Huneke Lý thuyết đối đồng điều địa phương đã có những ứng dụng to lớn trongnhiều lĩnh vực của toán học Trước hết, chúng tôi trình bày khái niệm hàm tử

xoắn theo [3],[4].

Cho R là vành giao hoán Noether, M là R-môđun và I c R là một iđêan của

R Khi đó hàm tử I-xoắn rI(—) từ phạm trù các R-môđun vào chính nó là mộthàm tử hiệp biến, cộng tính và khớp trái Với mỗi R-môđun M, rI(M) được xácđịnh bởi công thức

ro

ri(M) = u(0 :MIn)

n =0Với mỗi số nguyên i không âm, ta có hàm tử dẫn xuất phải thứ i RirI(—) của hàm

tử rI(—) Khi đó môđun đối đồng điều địa phương H'I(M) thứ i của R-môđun Mhữu hạn sinh với giá I được xác định bởi

H I (M) = RirI(M)

Định lý sau đây chỉ ra rằng môđun đối đồng điều địa phương không phụ thuộcvào vành cơ sở (xem [4], Định lý 4.2.1) Chú ý rằng, nếu f : R —> R' là mộtđồng cấu vành và N là R'-môđun thì N có cấu trúc R-môđun cảm sinh bởi f,trong đó phép nhân xác định bởi Vr G R, Vm' G N', f (r)mz= rm'

Định lý 1.4.1 (Tính độc lập của vành cơ sở) Cho R' là R -đại số và N là R '

Khi R! là R-đại số phẳng, ta có định lý sau

Định lý 1.4.2 (Định lý chuyển cơ sở phẳng) Cho R' là R -đại số phẳng Khi đó

Cho p là iđêan nguyên tố bất kì của R Khi đó Rp là R-đại số phẳng Từ định

H I (N) 0 R Rp = H i

I R (N ® R Rp)

11

Hơn nữa, vì N 0 RRp = Np với mọi R-môđun N nên

(Hi (N ))p = Hị R p (Np)

Một trong những kết quả quan trọng và có nhiều ứng dụng của lý thuyết đối đồng điều địa phương là tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương (xem[4])

Chương 2

Đặc trưng của môđun Buchsbaum

2.1 Đặc trưng của môđun Buchsbaum qua hê tham số

Trong chương 2, chúng tôi trình bày mốt số đạc trưng của môđunBuchsbaum, môđun phân bậc theo [6]

Kí hiệu R là một vành giao hoán Noether địa phương với iđêan cực đại m và

M là một R-môđun Noether

Cho q là iđêan của R sao cho Ể(M/qM) < co Khi đó, ta có hàm Samuel Pq(n) = ê(M/q n+l M) và tồn tại các số nguyên e0(q; M) > 0,e1 (q; M) , ,

Hilbert-ed(q; M) sao cho với n đủ lớn, ta có

Hệ số e0(q; M) gọi là số bội của M ứng với iđêan q

Năm 1965, D A Buchsbaum đã đạt ra giả thiết: Tồn tại một số tự nhiênI(M) sao cho hiệu Ề R (M/qM) — e0(q,M) = I(M) là hằng số với mọi iđêan tham

số q của M Tuy nhiên, giả thiết trên không đúng Và mục đích của phần này làtrình bày tính chất đầu tiên của R-môđun M thỏa mãn giả thiết trên

Định nghĩa 2.1.1 Cho M là R-môđun Noether Một hệ các phần tử X1, , Xr G

m được gọi là một M-dãy yếu nếu với mỗi i = 1, , r

Định lý 2.1.11 Cho M là một R -môđun Noether với dim M = d Khi đó M là

l(M/qM) — e0(q, M) = I(M) với mọi iđêan tham số q của M

e(q, M) := l(M/q • M) — e0(q, M) > 0.Giả sử tồn tại số nguyên I(M) sao cho e(q,M) = I(M) với mọi iđêan tham số q

i=1Thay xdbằng xd và đạt (i < i < d — 1)

q' := (xi, , xd — 1, xd)R, e := e(xi+1, , xd — 1, xd |M — i)

Khi đó theo ([6]), với i = 1, ,d — 1 ta có

Ngược lại, giả sử rằng M là một môđun Buchsbaum Cho x1, , xdlà một hệ tham

số của M Ta sử dụng các ký hiệu giống như đã định nghĩa ở trên, cho i =

Vì vế trái của phương trình này không phụ thuộc vào thứ tự của các phần tử

x1, , xd Do đó vế phải không phụ thuộc vào thứ tự này

Bây giờ, đạt q := (y1, ,y d )R là một iđêan tham số khác của M Ta sẽ chứngminh bằng quy nạp theo d rằng e(q,M) = e(q,M) Thật vậy, nếu d =1 thì c(q,M)

= l(O : M x1) = l(O : M m) = l(O : M y 1 ) = c(q', M) Giả sử d > 2 Chọn z G m saocho x1, , xd- 1, z và y1, , yd- 1, z là các hệ tham số của M Khi đó q := (x1, , xd- 1)R,

vì M là môđun Buchsbaum có chiều d — 1 theo Hệ quả 2.1.9 và q tương ứng q'

là các iđêan tham số của M Định lý được chứng minh

□

Bổ đề 2.1.12 Cho M là một R -môđun Noether có chiều dương M là một môđun

một môđun Buchsbaum và v là một iđêan tham số của M Khi đó, tồn tại mộtiđêan tham số q của M với vM = qM và l A (M/v • M) — eo(v, Tử) = l R (M/q •M) — eo(q, M)

= I R M Ỉ M ) — e o (q,M).

Điều này không phụ thuộc khi ta chọn v, tức là M là môđun Buchsbaum vớiI(M) = I(M) theo Định lý 2.1.11

Ngược lại, nếu q là một iđêan tham số của M thì q là một iđêan tham số của

Bổ đề 2.1.13 Cho M là một R -môđun Noether và a c R là một iđêan sao cho

số x 1 , ,x r của M/aM và b := (x 1 , ,x r )R thì

Chứng minh Giả sử bổ đề sai Khi đó, tồn tại một iđêan cực đại trong số tất cả

các iđêan a, kí hiệu là a0, thỏa mãn điều kiện trên nhưng phát biểu là khôngđúng Khi đó, tồn tại x1, , xrlà một phần của hệ tham số của M/a0 • M và tồn tại

số nguyên k > 1 sao cho

Bây giờ, với mọi x G m ta có x • b = x • x r • u r = x • a G a0 • M, tức là

b G ((a0+ xr • R) • M : m) n b /k • M.

Vì M/(a0+ xr • R) • M ~ (M/a0 • M)/xr • (M/a0 • M) là môđun Buchsbaum cóchiều dương (r > 2) từ Hệ quả 2.1.9(i) nên

Bổ đề 2.1.14 Cho M là một môđun Buchsbaum trên R có chiều dương.

((xd • M : m) n q/k+1 • M): xd = qk • M + xd = qk• M + O : M xd.Neu depthM > 1, O :Mxd= O :Mm = 0 và ta có đẳng thức cần chứng minh.

-Định nghĩa 2.1.15 Cho R là một vành địa phương có độ dài n > 0 Giả sử rằng

x1, , xnlà một hệ tham số của R Khi đó

1 X1, , xnlà một R -dãy yếu nếu

(xi, , xi) • R : xi +1= (x 1 , ,x i ) • R : m với mọi i = 0, ,n — 1

2.x1, , xnđược cho là một d -dãy nếu với mỗi tập con { i 1 , ,i j} (có thể là tập

0) của tập 1, , n và với mọi k, m G {1, , n} \ {i1, , ij } ta có

( x 1, , x i — G Xi+1, , x n)• R.

4 Một phần tử x trong iđêan m-nguyên sơ q là một phần tử ngoài tuyệt đối

cho q trong R nếu

(qk+1: x) n q = qkvới mọi số nguyên k > 1,

x1, , xnđược gọi là một hệ ngoài tuyệt đối của tham số nếu xi là một phần

tử ngoài tuyệt đối cho ảnh của (x1, , xn) • R trong R/(x1, , xi- 1) • R với mọi số nguyên i = 1, , n

5 x 1 , ,x n có thuộc tính (F) nếu

với mọi số nguyên 1 < i < n

Nếu i = 1 ta được (O : x1) n (x1, , xn) • R = 0

Mệnh đề 2.1.16 R là một vành Buchsbaum nếu và chỉ nếu năm điều kiện của

năm điều kiện trên là tương đương.

1 thỏa mãn với mỗi hệ tham số của R Theo Mệnh đề 2.1.10(ii) và (iii) thì 1 và

2 là tương đương Bây giờ, ta chứng minh 1 4

5 3 1 ( với mọi hệ tham số của R)

Xi - 1)•R

(O :B xi) n (xi,

,x„)k • B

Hm(M) = O với mọi 0 < i < dim M (xem [6]).

Kết quả sau cho ta thấy đối đồng điều địa phương là một công cụ để nghiên cứu các môđun Buchsbaum

Mệnh đề 2.2.1 Cho M là một R -môđun Noether với chiều dương Các điều kiện theo sau là tương đương:

Hơn nữa, nếu một trong số các điều kiện là thỏa mãn thì ta có

=

(iv) l(M/q.M) — e0(q, M) là độc lập của q với mọi iđêan tham số q c m 2

Đầu tiên chúng ta chứng minh (i)^ (iii) Đạt d := dim M > 1 Cho x1, , xd

là một M-dãy yếu trong m2 Vì x1 G m2nên O : Mm2 c O : M x1= O : M m c O : M

m2, nghĩa là O : M m = O : M m2 Do đó O : M m = O :Mmnvới mọi n > 1 Từ đó suy ra H m (M) = u O :Mmn= O :Mm, n > 1

nghĩa là m • H m (M) = 0

Bây giờ chúng ta dùng quy nạp theo d Trường hợp d =1 đã được chứng minh Giả sử d > 2 Ta có hai dãy khớp

O > O :M X1 - > M p ■ X1 • M -> 0 (E1)và

Từ giả thiết quy nạp dim M' = d — 1 và x 2 , ,x d tạo thành một chuỗi

M' yếu trong m2ta suy ra m• Hm_1(M') = O với mọi j thỏa 1 < j < d—1

Vì vậy m • \O : H j (M) x1J = O với mọi j = 1, , d — 1 Vì x1E m 2 nên ta có

H m( M) = H m ( H m( M)) = u O:H m(M) mn= O:H m (M) m,

23