Môđun con môđun đơn, môđun thương

Một tập M được gọi là một R – môđun trái, hay còn gọi môđun trái trên vành R, nếu các điều kiện sau đây được thỏamãn: a Một vành R luôn có thể xem là một môđun trên chính nó với phép nhâ

CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Định nghĩa và ví dụ

1.1.2 Định nghĩa Cho R là một vành Một tập M được gọi là một R – môđun

trái, hay còn gọi môđun trái trên vành R, nếu các điều kiện sau đây được thỏamãn:

a) Một vành R luôn có thể xem là một môđun trên chính nó với phép nhân với

vô hướng chính là phép nhân của vành

b) Mọi nhóm Abel G đều có thể xem là môđun trên vành các số nguyên Z Với a

G và nZ tùy ý, phép nhân với vô hướng được xác định là:

a a

a na a

n

G G Z

c)Giả sử R là vành giao hoán với đơn vị và X a a ij nn \a ij R là tập hợp các

ma trận vuông cấp n với phần tử trên R

Trên X ta xác định hai phép toán:

i

i

i x a R a

x f x R

i

i x a x

f

0





là một môđun và được gọi là môđun các đa thức ẩn x với hệ số thực

1.2 Môđun con, môđun đơn, môđun thương

1.2.1 Định nghĩa Cho M là một R – môđun và N là tập con khác rỗng của M.

Khi đó N được gọi là R – môđun con (hay gọi tắt là môđun con) của R – môđun

M nếu N cũng là một R – môđun với các phép toán của M hạn chế trên N

1.2.2 Tiêu chuẩn môđun con.

Cho M là một R – môđun và N là tập con khác rỗng của M Khi đó bađiều kiện sau đây tương đương:

(i) N là môđun con của M

(ii) xyN, x,yN và axN, xN, aR

(iii) axbyN, x,yN, a,bR

1.2.3 Định nghĩa Môđun con N của môđun M được gọi là môđun con cực đại

nếu NM và không tồn tại môđun P sao cho PM và PN

1.2.4 Định nghĩa Cho M là một R – môđun Khi đó M được gọi là môđun đơn

nếu M  0 và M chỉ có duy nhất hai môđun con là 0 và chính M

1.2.5 Định nghĩa Cho M là R – môđun và N là môđun con của M Khi đó N là

nhóm con chuẩu tắc của nhóm cộng abel M Do đó tồn tại nhóm thương

M}

x

\ N

Khi đó M N là một R – môđun với phép cộng và phép nhân với vô hướng nóitrên Môđun này được gọi là môđun thương của M theo môđun N

1.2.6 Định lý Cho M là R – môđun và G là môđun con của M Khi đó

(i) Nếu G'là môđun con của M mà G ' G thì G'G là môđun con của M G

(ii) Mỗi môđun con của M G có dạng G"G của đúng một môđun con G"

f(x+y) = f(x)+f(y)rf(x)= f(rx)

Đồng cấu f được gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu nếu f tương ứng là đơnánh, toàn ánh hay song ánh

Hai môđun M và N đẳng cấu với nhau nếu tồn tại một ánh xạ đẳng cấu f: MN

Kí hiệu là MN

1.3.2 Định lý Giả sử f : M N là một đồng cấu từ môđun M đến môđun N , p :

M M Kerf là toàn cấu chính tắc từ môđun M đến môđun thương của M trênKerf Khi đó có một đồng cấu duy nhất sao cho tam giác:

M Im

1.3.4 Định lý Giả sử N và P là hai môđun con của R – môđun M Khi đó

P N

P N P N

M P

(i) Dãy   được gọi là một phức các R – môđun nếu Imfi  Kerfi 1,i

(ii) Dãy   được gọi là một dãy khớp nếu Imfi= Kerfi 1,i

(iii) Một dãy khớp có dạng : 0M’  f M  g M” 0 được gọi là dãykhớp ngắn

1.4.2 Định nghĩa Cho M là một R – môđun Khi đó M được gọi là môđun

Noether, một cách chính xác khi nó thỏa mãn các điều kiện sau đây

(i) Khi (G i)i N là một họ các môđun con của M để mà

(ii) Mọi tập khác rỗng các môđun con của M luôn chứa ít nhất một phần

tử cực đại (theo quan hệ bao hàm)

1.4.3 Định nghĩa Cho M là một R – môđun Khi đó M được gọi là môđun Artin

một cách chính xác khi nó thỏa mãn các điều kiện sau đây:

(i) Khi (G i)i N là một họ các môđun con của M để mà

(ii) Mọi tập khác rỗng các môđun con của M luôn chứa ít nhất một phần

tử cực tiểu (theo quan hệ bao hàm)

1.4.4 Định lý Cho 0  L  f M   g N  0 là một dãy khớp ngắn của R –môđun và R – đồng cấu

(i) R – môđun M là Noether nếu và chỉ nếu L và N là Noether

(ii) R – môđun M là Artin nếu và chỉ nếu L và N là Artin

1.4.5 Định lý Cho M1 và M2 là đẳng cấu R – môđun Khi đó

(i) M1 là Noether nếu và chỉ nếu M2 là môđun Noether

(ii) M1 là Artin nếu và chỉ nếu M2 là môđun Artin

CHƯƠNG II DÃY HỢP THÀNH CỦA MÔĐUN

Ta luôn xét R là vành giao hoán có đơn vị là 1

(i) Số tự nhiên k được gọi là độ dài của xích  , ký hiệu là l( ) = k

(ii) Môđun thương

M

} được gọi là tập thương của xích 

(iii) Ta nói hai xích  và  là đẳng cấu với nhau, ký hiệu là   , nếutồn tại một song ánh giữa hai tập chỉ số  : IJ sao cho

' 1 )

' )

i

M

M M

M



 , i 1 , k

(iv) Xích  gọi là dãy hợp thành của môđun M, nếu M i 1 là môđun con

cực đại của M i, i1,……,k Điều này tương đương với điều kiện

' )

' ) 1

i

M

M M

M vẫn đẳng cấu với nhau

Hơn nữa, ta thấy định nghĩa (iii) về đẳng cấu ở trên là một quan hệ tươngtrên tập hợp các xích của môđun M Điều này cho phép chúng ta có thể giả thiết

mà không mất tính tổng quát rằng trong một xích  của M thỏa mãn

1

là một dãy hợp thành của V có độ dài là n

Thật vậy ; Xét môđun thương x1K0

Ta có x1K là không gian vectơ con của V và có số chiều là 1

Do đó x1K chỉ có hai môđun con là 0 và chính x1K

Suy ra x1K là môđun đơn hay x1K0 là môđun đơn

Xét môđun thương x K x K x K

1 2

( 

Theo định lý 1.3.4 ta có:

) (

) (

2 1

2 1 2 1

K x K x K x K x K x K x

2

) (   , mà x2K là môđơn (giống x1K)

Do đó x K x K x K

1 2

K x

n i i

x K x K

1

0

và độ dài bằng n

(b) Xét Z là Z – môđun Khi đó Z không có dãy hợp thành

Thật vậy ; giả sử 0 A0 A1  Z là dãy các môđun con của Z

Ta cóA ilà môđun con của Z khi và chỉ khiA ilà iđêan của Z

Giả sửA 1 nZ(VìA1là iđêan của Z nên n  N sao cho A 1 nZ)

Khi đó luôn tồn tại một môđun con nằm giữa 0 và A1 Chẳng hạn A' n2Z

2 '

(c)Xét Q là Q – môđun Khi đó Q có chuỗi hợp thành với độ dài là 1

Thật vậy ; Ta có mỗi môđun con của Q là một iđêan của Q

Mặt khác Q là một trường nên Q chỉ có hai iđêan là 0 và Q

Do đó Q có dãy hợp thành là 0  Q và có độ dài bằng 1

Sau đây là một số kết quả cơ bản về dãy hợp thành.

2.2 Độ dài của dãy hợp thành

2.2.1 Định nghĩa Cho M là R – môđun có một dãy hợp thành là :

0 = M0  M1 … Mn 1  Mn= M

Ta gọi độ dài của dãy hợp thành này là số các mắt xích của nó, có nghĩa độ dài

bé thua số các số hạng trong dãy 1 đơn vị

2.2.2 Định lý Cho M là R – môđun và giả sử M có một dãy hợp thành có độ dài

n Khi đó

(i) Không có một xích (tăng ngặt) các môđun con nào của M có độ dài lớnhơn n.

(ii) Mọi dãy hợp thành của M đều có độ dài đúng bằng n

(iii) Mỗi xích (tăng ngặt) các môđun con của M có độ dài n’ n có thể mởrộng thành một dãy hợp thành của M bằng cách đưa thêm vào xích đó n-n’ sốhạng

(iv) Mọi xích (tăng ngặt) các môđun con của M có độ dài n đều là dãy hợpthành của M

Chứng minh: Chúng ta có thể giả thiết n > 0 Cho mỗi R – môđun M, chúng ta

kí hiệu l(M) là độ dài nhỏ nhất của một dãy hợp thành của M nếu M có một dãyhợp thành và l(M) =  nếu M không có dãy hợp thành

Bước đầu tiên trong chứng minh, chúng ta chứng minh rằng: nếu A làmôđun con thực sự của M thì l(A) < l(M)

Cho l(M) = t và 0 = M0  M1 … Mt 1  Mt = M là một dãy hợp thànhcho M với độ dài t

Với mỗi i = 0,….,t , cho A i AM i

Theo hệ quả 1.3.3 : Với mỗi i = 1, …,t, hợp thành R – đồng

(mà trong đó ánh xạ f là đồng cấu bao hàm và g là toàn cấu chính tắc) có hạtnhân bằng A Mi  Mi 1 = A  Mi 1 = Ai 1 và cũng cảm sinh một R- đơn cấu

 i :

1 1

1 1

i

i i

i

M a A

a

M

M A

là đơn nếu và chỉ nếu i là một đẳng cấu

Khi đó nếu chúng ta bỏ đi vài số hạng lặp lại trong

0 = A0  A1 … Ai 1  At = A Mt = Achúng ta sẽ thu được một dãy hợp thành của A

 i=1……t.,

Từ Ai= 0 = Mi, nó kéo theo trình tự

A1 = M1 , A2 = M2,……….,At = Mt,mâu thuẫn với thực tế có A  M

Khi đó chúng ta chứng tỏ rằng l(A) < l(M)

Chú ý chúng ta cũng chứng tỏ rằng mọi môđun con của M có một dãy hợp thành

(i) Bây giờ cho 0 = M'

Ta có l(0) = 0 và áp dụng kết quả chứng minh ở trên ta có

Vậy không có xích các môđun con nào của M có độ dài lớn hơn n

(ii) Giả sử M có dãy hợp thành với độ dài n1

Theo cách kí hiệu ở phần đầu của chứng minh ta có l(M) n1

Mặt khác theo cách chứng minh ở phần (i) ta có l(M) n1 (vì dãy hợpthành là trường hợp đặc biệt của xích ngặt)

(iii), (iv) Được suy ra ngay từ phần (i) và (ii) và chú ý 2.1.2(ii): một xíchngặt các môđun con của M với độ dài n'< n = l(M) không thể là một dãy hợpthành của M, bởi vì từ phần (ii): tất cả các dãy hợp thành của M đều có độ dài n

và nó có thể mở rộng được một xích ngặt có độ dài n'+1 bởi đưa vào số hạnggiữa hai số hạng mà thương của chúng chưa phải là môđun đơn

Ngược lại một xích ngặt các môđun con của M có độ dài n phải là mộtdãy hợp thành của M bởi vì nếu có thể mở rộng một xích ngặt các môđun concủa M có độ dài n + 1 Mâu thuẫn với phần (i)

Chú ý trong chứng minh trên l(M) chưa phải là kí hiệu của độ dài dãy hợpthành

Sau đây ta mới đưa ra kí hiệu của độ dài dãy hợp thành trong định nghĩa 2.3

2.2.3 Định nghĩa Giả sử M là R – môđun Ta nói rằng M có độ dài hữu hạn nếu

M có dãy hợp thành Khi đó độ dài của M được kí hiệu là l(M) hay lR(M) (nếumuốn nhấn mạnh R là vành cơ sở) là độ dài của dãy hợp thành nào đó của M

Chúng ta đã biết ở Định lý 2.2 rằng tất cả các dãy hợp thành của M có độdài như nhau

Khi M không có độ dài hữu hạn có nghĩa là M không có dãy hợp thành và

ta có thể kí hiệu l(M) = 

2.2.4 Ví dụ.

(1) lQ(Q) = 1 (Ở ví dụ 2.1.3 đã nêu)

(2) lZ(Z) = (Ở ví dụ 2.1.3 đã nêu)

Ta có các môđun con của Z6Z là 0, Z6Z,2Z6Z,3Z6Z

Vậy Z6Z chỉ có hai dãy hợp thành là 0 2Z6Z Z6Z và 03Z6Z Z6Z

đều có độ dài bằng 2

Do đó lZ(Z6Z) = 2

2.2.5 Mệnh đề Cho M là R – môđun Khi đó M có độ dài hữu hạn nếu và chỉ

nếu M vừa là Noether vừa là Artin nghĩa là nếu và chỉ nếu M thỏa mãn cả chuỗiđiều kiện tăng và giảm cho các môđun con

Chứng minh

 Giả sử M có độ dài hữu hạn l(M)

Khi đó kéo theo từ định lý 2.2.2 có vài xích tăng các môđun con của Mkhông thể có nhiều hơn l(M) của nó trong bao hàm ngặt và cuối cùng cũng phảidừng

Đồng thời vài xích giảm các môđun con của M cuối cùng cũng phải dừng.Theo định nghĩa suy ra M vừa là môđun Noether vừa là môđun Artin

 Giả sử M là môđun Noether và Artin

Từ định nghĩa của môđun Noether và Artin M thỏa mãn cả điều kiệnmôđun con cực đại và cực tiểu

Chúng ta giả sử M không có một dãy hợp thành và tìm một mâu thuẫn.Khi đó  ={A : A là môđun con của M và l(A) =  }

Tập  không rỗng vì M , do đó theo điều kiện cực tiểu,  có một phần

tử tiểu gọi là H

Vì 0 môđun con của M và có một dãy hợp thành

Theo định nghĩa của  suy ra 0   Mặt khác H 

Do đó H  0 Khi đó theo điều kiện cực đại tập môđun con thực sự của H

có ít nhất một thành viên cực đại gọi là H'

Bằng sự lựa chọn của H và thực tế H ' H, vì H là phần tử cực tiểu nên

2.3 Đẳng cấu của dãy hợp thành

2.3.1 Định nghĩa Cho M là R – môđun và giả sử M có độ dài hữu hạn.Gọi

Ta nói rằng hai dãy hợp thành của M đẳng cấu nều tồn tại một hoán vị  của tập

{1,…n} của n số nguyên dương đầu tiên sao cho với mọi i =1,…,n ta có

' 1 )

' )

i

M

M M

Do đó A  A+A'  M (vì A , A' là môđun con của M)

Mà M Alà đơn hay A là môđun con cực đại của M

Khi đó A+A'= M

Vì thế theo định lý 1.3.4 ta có

) ' ( ' ) ' (

A A

A A A A A

2.3.3 Định lý Jordan-Holder Cho M là R – môđun khác không có độ dài hữu

hạn Khi đó mỗi cặp dãy hợp thành cho M đều đẳng cấu với nhau

M

 0 1 10

M M M

M

 0' 1' '1 '0

là hai dãy hợp thành của M

Biện chứng cho bước quy nạp chia thành hai trường hợp

Trường hợp đầu tiên là khi Mn 1 = M'

M

 0 1 10

M M M

M

 0' 1' '1 '0

là hai dãy hợp thành của Mn 1 = M'

1



n Bởi vì l(Mn 1) = n - 1 nên chúng ta có thể áp dụng giả thiết quy nạp cho hai dãyhợp thành của Mn 1 và kết quả được mong muốn trong trường hợp này dễ dàngsuy ra

Trường hợp thứ hai là khi Mn 1  M n'1

H H

 0 1 3 20

Ý kiến trong đoạn trước bây giờ chứng tỏ có hai dãy hợp thành

n n

n

H H

H0  1   3  2  1 

' '

1 2

3 1

3

H n H n M n M n

' '

1

' 1

'

0 M M n M n

là đẳng cấu và chúng ta cũng có thể hoàn thành bước quy nạp

Định lý được chứng minh bằng phương pháp quy nạp

2.3.4 Ví dụ

Xét Z – môđun M = Z6Z Theo ví dụ 2.4 : M có hai dãy hợp thành là

(1) 02Z6Z Z6Z M,

(2) 03Z6Z Z6Z M Khi đó dãy (1) và (2) là đẳng cấu với nhau

(ii) Khi L, N, M tất cả đều có độ dài hữu hạn thì l(M) = l(L) + l(N)

Chứng minh: (i) Điều này dễ dàng từ 1.4.4 và 2.2.5

Bởi định lý 2.2.5 : R – môđun M có độ dài hữu hạn nếu và chỉ nếu nó vừa

là Noether vừa là Artin

Bởi định lý 1.4.4 : M là Noether nếu và chỉ nếu L và N là Noether và M

là Artin nếu và chỉ nếu L và N là Artin

Bởi 2.2.5 : L vừa là Noether vừa là Artin nếu và chỉ nếu L có độ dài hữuhạn, và N vừa là Noether vừa là Arrtin nếu và chỉ nếu N có độ dài hữu hạn

Do đó M có độ dài hữu hạn nếu và chỉ nếu L và N có độ dài hữu hạnii) Chú ý rằng L Imf = Kerg và bằng hệ quả 1.3.3 chúng ta cũng có

N

Kerg

Thật vậy ; Bởi 7.40, Kerg và M Kerg có độ dài hữu hạn và l(L) = l(Kerg) và

l(N) = l(M Kerg ) Điều đó đủ cho chúng tôi chứng tỏ rằng nếu A là một môđun

con của R – môđun M (và M có độ dài hữu hạn) thì l(M) = l(A)+l(M A)

Các kết quả mong muốn là rõ ràng nếu một trong hai A = 0 hoặc A = M,

và chúng ta cũng giả sử 0 A  M

Bởi định lý 2.2 dãy ngặt ở trên của môđun con của M có thể bổ sung bởi

sự đưa vào số hạng đến một dãy hợp thành của M là

M M M

M A

l Z 20  27 và chỉ ra một dãy hợp thành của Z – môđun

Ta có mỗi môđun con của Z20Zđều có dạng X20Z, trong đó X là môđun concủa Z chứa 20Z.

Mặt khác X có dạng nZ với n là ước của 20

Do đó các môđun con của Z20Z là:

Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z

20 10 , 20 5 , 20 4 , 20 2 , 20 , 0

Vậy Z20Z có ba dãy hợp thành là:

Z

Z Z

Z Z

Z

20 20

2 20 4

Z

Z Z

Z Z

Z

20 20

2 20 10

Z

Z Z

Z Z

Z

20 20

5 20 10

và đều có độ dài bằng 3

Khi đó l ZZ20Z 3

Tiếp theo xác định dãy hợp thành và độ dài của Z – môđun Z27Z

Tương tự như môđun Z20Z ta cũng tìm được các môđun con của Z27Z là

27 9 , 27

Z Z

Z

27 27

3 27 9

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z Z

Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z

27 20

27

3 20 27

3 20 2

27

3 20

4 27

9 20 4 0 20 4 0

và chỉ nếu nó vừa là K – môđun Noether vừa là K – môđun Artin Thật vậy theomục 7.36 có V là một K – không gian hữu hạn chiều nếu và chỉ nếu nó là một K– môđun có độ dài hữu hạn

Bây giờ chúng ta kiểm rằng trong trường hợp này vdimKv =l(V)

1.12 Mệnh đề Cho V là một không gian vectơ trên trường K Khi đó V là một K

– không gian véctơ hữu hạn chiều nếu và chỉ nếu nó là K – môđun có độ dài hữuhạn, và trong trường hợp này vdimKV = l(V)

Khi n = 1, tập không gian con duy nhất của V là 0 và chính V

Vì vậy 0  V là một chuỗi hợp thành cho K – môđun V và l(V) = 1

Do đó chúng ta giả thiết rằng n >1 và kết quả đã được chứng minh nhỏ hơn giá trị của n

Cho vV với v 0; tập U = Kv là một không gian con một chiều của V Khi đó có một dãy khớp

0 U   i V   f V U  0của K – không gian và K – ánh xạ tuyến tính, trong đó i là ánh xạ nhúng và f là

toàn cấu chính tắc Bây giờ (U và V U là hữu hạn chiều)

vdimKV = vdimK(Kerf) + vdimK(Imf) = vdimKU + vdimK(V U ) và vdimK(

KẾT LUẬN

Sau một thời gian làm việc nghiêm túc dưới sự hướng dẫn tận tình của côgiáo T.S Đào Thanh Hà khóa luận thu được một số kết quả:

1 Hệ thống một số khái niệm và tính chất cơ bản về lý thuyết môđun

2 Trình bày khái niệm, cung cấp ví dụ về dãy hợp thành của môđun.Đồng thời chứng minh chi tiết các tính chất về dãy hợp thành

3 Đưa ra mối quan hê giữa độ dài của dãy hợp thành và số chiều của mộtkhông gian hữu hạn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng việt[1] Nguyễn Tự Cường, Giáo trình đại số hiện đại, NXB Đại học quốc gia

Hà Nội ,2003

Tiếng anh