Môđun con cốt yếu và (1- c1) môđun

Trong chương 1, chúng tôi trình bày lại một số khái niệm cơ sở của Lý thuyết vành và môđun như : môđun, môđun con và các tính chất của nó dưới dạng một bổ đề hay định lý.. Tiết hai chúng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN TRẦN MỸ PHƯƠNG TRANG

MÔĐUN CON CỐT YẾU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

_

NGUYỄN TRẦN MỸ PHƯƠNG TRANG

MÔĐUN CON CỐT YẾU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

MÃ SỐ : 60 46 01 04

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS NGÔ SỸ TÙNG

NGHỆ AN 2014

MỤC LỤC

trang MỤC LỤC……… ……… 1

MỞ ĐẦU……… ……… 2

CHƯƠNG 1 : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun con cốt yếu và môđun con bé ………… ……… 4

1.2 Tính chất của môđun con cốt yếu và môđun con bé ……… 5

CHƯƠNG 2 : MÔĐUN CON CỐT YẾU VÀ ( 1 – C1) MÔĐUN 2.1 Các điều kiện (Ci) của môđun……… ………… ………13

2.2 Tính chất của ( 1 – C1) môđun.……….………… …… 14

2.3 Tổng trực tiếp các môđun đều ……… ….18

KẾT LUẬN ……… ……… 26

TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… ……… 27

MỞ ĐẦU

Môđun con A của môđun M được gọi là cốt yếu (hay lớn) trong M nếu với mỗi môđun con khác không B của M ta đều có : A ∩ B ≠ 0 ( một cách tương đương nếu A ∩ B = 0 thì B = 0 ) Khi đó ta cũng nói rằng M là mở rộng cốt yếu của A và

P F Smith, R.Wisbauer, A Harmanci, Nguyễn Việt Dũng, Ngô Sỹ Tùng, là những người nghiên cứu và đạt nhiều kết quả về CS – môđun

Dựa trên tài liệu tham khảo chính là [2] và [4], luận văn tìm hiểu lớp (1 – C1) môđun trên cơ sở các kến thức về môđun con cốt yếu Vì vậy đề tài luận văn của chúng tôi có tên là :

“Môđun con cốt yếu và ( 1 – C 1 ) môđun”

Mục đích của luận văn là dựa vào các tài liệu tham khảo, trình bày lại một số tính chất của môđun con cốt yếu và ( 1 – C1) môđun

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn dự kiến chia thành 2 chương.

Trong chương 1, chúng tôi trình bày lại một số khái niệm cơ sở của Lý thuyết vành và môđun như : môđun, môđun con và các tính chất của nó dưới dạng một bổ

đề hay định lý

Ở chương 2, đây là nội dung chính của Luận văn Chương này được chia thành

3 tiết, tiết đầu tiên chúng tôi trình bày về khái niệm ( 1 – C1) môđun và CS – môđun theo [1] và [2] Tiết hai chúng tôi dùng để trình bày các kết quả chính trong [2] là các tính chất của ( 1 – C1) môđun bởi môđun con cốt yếu và tiết 3 dành cho việc khảo sát tính chất CS của một tổng trực tiếp các môđun đều

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của Thầy PGS TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, Người đã hết lòng giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu, đồng thời tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn Thầy PGS.TS Lê Quốc Hán, PGS.TS Nguyễn Thành Quang, Cô GVC.TS Nguyễn Thị Hồng Loan, Cô GV.TS Đào Thị Thanh Hà và Thầy TS Thiều Đình Phong

Tác giả xin cảm ơn quý Thầy Cô trong chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số khoa Toán, Phòng Sau Đại học của Trường Đại học Vinh, Phòng QLKH&SĐH của Trường Đại học Đồng Tháp, bạn bè gần xa và gia đình đã tạo điều kiện cho tác giả thực hiện tốt luận văn này

Nghệ An, tháng 9 năm 2014

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong toàn bộ luận văn này, vành luôn được giả thiết là vành có đơn vị, kí hệu là 1 và các môđun luôn hiểu là môđun phải unita

Trong chương này chúng tôi xin nêu một số kiến thức về môđun cốt yếu và môđun con bé

1.1 Môđun con cốt yếu và môđun con bé.

1.1.1 Định nghĩa (Môđun con cốt yếu).

a) Môđun con A của R – môđun M gọi là cốt yếu (hay lớn) trong M nếu với mỗi môđun con khác không B của M ta đều có A BI ≠0 (một cách tương đương,

1) Với mỗi môđun M, ta đều có M ⊂*M

2) Vành số nguyên Z xem như môđun trên chính nó Khi đó, mỗi iđêan khác

không trong Z tức là các môđun con khác không của Z- môđun Z đều cốt yếu

Thật vậy, đối với hai iđêan khác không bất kỳ aZ và bZ ta đều có:

0≠ab aZ b∈ I Z (vì ,a b≠0)

1.1.3 Nhận xét

Từ định nghĩa, ta có: M ≠0 và A⊂*M thì A≠0

1.1.4 Định nghĩa (Môđun con bé).

Môđun con H của M được gọi là đối cốt yếu ( hay bé ) nếu với mỗi môđun con

E ≠M ta đều có H + E ≠ M ( một cách tương đương, H + E = M ⇒ E = M ) Khi

đó ta kí hiệu H⊂ 0M

1.1.5 Ví dụ.

1) Đối với mỗi môđun M ta đều có 0 ⊂ 0M

2) Trong Z – môđun tự do chỉ có môđun tầm thường 0 là đối cốt yếu.

3) Mỗi môđun con hữu hạn sinh trong QZ là đối cốt yếu trong QZ

Thật vậy, giả sử H là môđun con của Q, sinh bởi tập

1.2 Một số tính chất của môđun con cốt yếu và môđun con bé.

Một số tính chất cơ bản của môđun con cốt yếu được thể hiện thông qua các

bổ đề và hệ quả sau

⊂

(c) Nếu : Mϕ →N là đồng cấu môđun và B⊂*N thì ϕ− 1( )B ⊂*M

(d) Cho : Aα →B , : Bβ →C là các đơn cấu cốt yếu Khi đó, βα: A→C cũng là đơn cấu cốt yếu.

(b) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Với n=1, mệnh đề đúng theo giả thiết

Giả sử mệnh đề đúng với n−1, tức là: 1

1

*

n i i

Do đó ϕ( )U =0, vì B⊂*N Từ đó ta có:

( ) 1( ) 1( ) 1( )

U ⊂ K ϕ =ϕ− ⊂ϕ− B ⇒U Iϕ− B = =U Điều này dẫn đến 1( )

( )⇒ Giả sử m≠0, m M∈ , khi đó mR≠0 Do A⊂*M nên A mRI ≠0 Từ

đó suy ra ∃ ∈r R sao cho mr ≠0 và mr A∈

( )⇐ Ngược lại, giả sử B là môđun con khác không của M Khi đó, lấy

0 m B≠ ∈ và tồn tại r R∈ sao cho 0 mr A≠ ∈ Vì mr B∈ nên A BI ≠0 Điều này chứng tỏ A⊂*M 

Từ bổ đề 1.2.2, ta suy ra một số tính chất cơ bản của môđun con cốt yếu thông qua các hệ quả sau

đề trên tìm được r ∈ R sao cho

n i i

n i i

n i i

Khi đó, theo hệ quả 1.2.3 thì A⊂*M 

dãy các môđun con như sau: A⊂ ⊂B M ⊂M

Mà A⊂*M , nên theo bổ đề 1.2.1 (a) ta được B⊂*M

( ) ( )3 ⇒ 1 Giả sử 0≠ ∈m i M i Khi đó 0≠ ∈m i M , theo bổ đề 1.2.2 thì tồn tại

r R∈ sao cho 0≠m r B i ∈ Ta cũng có m r M i ∈ i, nên ta suy ra được

0≠m r B M i ∈ I i ⊂M i Điều này chứng tỏ B MI i ⊂*M i, ∀ ∈i I 

Ta cũng có một số tính chất sau của môđun con bé

1) Giả sử K là môđun con trong M sao cho H + K = M

Khi đó B + K = M và theo luật môđula ta có

( K ∩C) + B = ( K + B ) ∩ C = M ∩ C = C

Do B ⊂ 0 C nên K ∩ C = C Điều này kéo theo C ⊂ K Bởi vậy

M = H + K = K ,chứng tỏ H ⊂ 0 M

2) Ta tiến hành quy nạp theo n

Với n = 1 mệnh đề đúng do giả thiết Giả sử ta đã chứng minh được

H = H2 + + Hn ⊂0 MBây giờ, giả sử K là môđun con của M sao cho

MÔĐUN CON CỐT YẾU VÀ ( 1 – C 1 ) MÔĐUN

Chương này là phần nội dung chính của luận văn, chúng tôi tìm hiểu và trình bày các điều kiện (Ci) của môđun, trình bày các khái niệm và một số tính chất cơ bản của của ( 1 – C1) môđun, cũng như tổng trực tiếp các môđun con đều dựa vào tính chất của môđun con cốt yếu

2.1 Các điều kiện (C i ) của môđun

2.1.1 Định nghĩa CS – môđun.

Cho M là R – môđun phải Ta xét điều kiện sau :

(C1 ) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M, hay

nói cách khác mọi môđun con đóng trong M là hạng tử trực tiếp của M

(C2) Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và A là hạng tử

trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M

(C3) Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M và AI B = 0 thì A + B cũng

là hạng tử trực tiếp của M

(1) Một môđun M được gọi là CS – môđun (hay extending module), nếu M

thõa mãn điều kiện (C1) trên.

(2) Môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện (C1) và (C2) (3) Môđun M được gọi là tựa liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện (C1) và (C3)

(4) Một vành R gọi là CS – vành (liên tục, tựa liên tục) phải nếu RR là CS – môđun (liên tục, tựa liên tục) như một R – môđun phải R

Tương tự ta có các khái niệm CS – vành, vành liên tục và tựa liên tục trái.

Ta có thể chứng minh được nếu M thỏa mãn (C2) thì cũng thỏa mãn (C3) Tứ

đó ta có phép kéo theo sau đây là đúng :

Nội xạ ⇒ tựa nội xạ ⇒ liên tục ⇒ tựa liên tục ⇒ CS

2.1.2 Môđun đều.

Giả sử R là một vành, một R – môđun phải U được gọi là là đều (hay uniform) nếu U ≠ 0 và A∩B ≠ 0 đối với mọi môđun con khác không A, B của U Hay nói cách khác, U là đều nếu U ≠ 0 và mọi môđun con khác không là cốt yếu trong U.

ii) ⇒ iii) Để chứng minh M(J) là M(K) – nội xạ, ta chỉ cần chứng minh rằng

M(J) là Mk – nội xạ với mọi k∈ K Giả sử U là môđun con bất kỳ của Mk và

α: U → M(J) là một đồng cấu ta gọi

X = { x –α (x) : x∈U}

Dễ thấy X ∩ M(J) = 0, do đó X nhúng đẳng cấu được vào Mk, vì vậy X là môđun đều Ta có Mj ⊕Mk là sự phân tích bù hạng tử trực tiếp do vậy có 2 khả năng xảy ra :

1) M(J)⊕ k = X’ ⊕ (J’) hoặc

2) M(J) ⊕Mk = X’ ⊕M(i1) ⊕Mk

trong đó J’ và J1 là các tập con nào đó của J

Nếu khả năng 1) xảy ra khi đó ta có

M(J) ⊕Mk = X’ ⊕M(J’) ⊆ X’ ⊕M(J) ⊕Mk

Và vì vậy X’ ⊕ (J’) = X’ ⊕ M(J) hay M( J) = X’ ⊕ M(J) Từ đó ta phải có J

= J’ Gọi π là phép chiếu từ X’ ⊕M(J) đến M(J) và gọi α '= π|Mk.

Khi đó với mọi x ∈Mk, x = α (x) + (x - α (x)) trong đó α (x) ∈ M(J) và x - α(x) ∈ X’ Từ đó ta có

α ’(x) = α ’[ α (x) + ( x – α (x))] = α (x)Nghĩa là α ’ là mở rộng của α .

Nếu khả năng 2) xảy ra Khi đó ta gọi

M(J) ⊕ Mk = Mj ⊕ Mk = X’⊕Mk.

Dễ kiểm tra được rằng ( A⊕M(J))M.

Giả sử K = I – J và πK và πJ là các phép chiếu từ M lên M(K) và M(J) tương

ứng Bởi vì A∩ KerπK= 0, Do vậy πK|A là một đơn cấu nên tồn tại (πK|A)-1 Giả sử

K

π (A) = M( K)

Từ đó suy ra rằng M = A ⊕ M(J)

Nghĩa là A là hạng tử trực tiếp của M và M là môđun CS Định lý đã được chứng minh xong 

2.3 Tổng trực tiếp các môđun đều.

2.3.1 Định nghĩa.

Môđun M được gọi là ( 1 – C1 ) môđun ( hay có tính chất CS cho các môđun con đều), nói gọn M là ( 1 – C1 ) môđun hay M có ( 1 – C1 ) nếu mỗi môđun con đều của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M, có thể xem thêm trong [2])

Giả sử M i I M i

∈

= ⊕ là tổng trực tiếp các môđun đều Mi ( i ∈I ), khi đó mỗi

môđun con khác không của M đều chứa một môđun con đều.

Chứng minh

Giả sử A là một môđun con khác không bất kì của M, khi đó tồn tại tập con J tối đại của I với tính chất

A ∩ M(J) = 0( ở đây ta hiểu M(J) được kí hiệu là M(J) j⊕∈JMi )Chúng ta xét k ∈ I\J và giả sử πk : Mk ⊕M(J) → Mk là phép chiếu tự nhiên.Gọi Ak = A ∩ (Mk ⊕ M(J) ) Bởi tính tối đại của J, Ak ≠ 0 Bởi vì

Ak ∩ M(J) = 0,nên chúng ta có

= ⊕ với tất cà các Mi là đều Nếu M có ( 1 – C1) khi đó mỗi

môđun con đóng khác 0 của M đều chứa một môđun con đều là hạng tử trực tiếp của M.

Chứng minh

Giả sử A là môđun con đóng khác 0 của M Khi đó bởi bổ đề 2.3.3,

A chứa một môđun con đều U Gọi V là bao đóng của U trong A, bởi vì A đóng trong M do vậy V là môđun con đóng đều của M Bởi M có ( 1 – C1) do

đó V là hạng tử trực tiếp của M 

2.3.5 Bổ đề

Giả sử M là ( 1 – C1 ) môđun và X⊕U là một môđun con đóng của M, trong

đó X là hạng tử trực tiếp của M và U là môđun đều Khi đó X⊕U là một hạng

là phép chiếu tự nhiên Giả sử V là mở rộng cốt yếu của π(U) trong M1

Bởi vì U∩X = 0 do đó π|U là một đơn cấu, nên ta có π(U) ≅U Từ đó V là một môđun con đóng đều của M1

Bây giờ ta thấy rằng π -1(V)⊇ π -1( π(U)) ⊇ X⊕ U (bởi vì π(X) = 0)

v = x – x’ + u, v≠0 do u ≠ 0Điều đó chứng tỏ rằng Z ≠ 0 Bởi vì V là đều do vậy ZV

Từ đó chúng ta có

Từ M = X⊕M1 và V là hạng tử trực tiếp của M1 nên suy ra X⊕ V là hạng

tử trực tiếp của M, hay X⊕ U là hạng tử trực tiếp của M 

đó chứng tỏ rằng A là ( 1 – C1 ) môđun khi đó bởi hệ quả 2.3.7 ta có sự phân

tích thành tổng trực tiếp hữu hạn

A = A1 ⊕ ⊕An

Trong đó mỗi Ai là đều ( 1≤ i ≤ n) Bây giờ quy nạp theo n và sử dụng bổ đề

2.3.5 ta nhận được A là hạng tử trực tiếp của M 

do đó F không phải là môđun CS

Bây giờ ta chứng minh F là ( 1 – C1 ) môđun Giả sử U là một môđun con đóng và đều của F

Bởi vì nhóm con của nhóm aben tự do là nhóm aben tự do

Từ đó U là tổng trực tiếp với một số lượng bản nào đó với tất cả các bản đẳng cấu với Z

Nhưng U là không phân tích được, do vậy U ≅Z từ đó U là một Z – môđun xiclic

Khi đó tồn tại số tự nhiên n sao cho

U ⊆U1 ⊕… ⊕ Un

Trong đó { 1,…, n}⊂ I Bởi vì U1 ⊕… ⊕ Un là nhóm aben tự do hạng hữu hạn nên

U1 ⊕… ⊕ Un là một môđun CS

Bởi vì là môđun con đóng trong U1 ⊕… ⊕ Un

Do vậy U là hạng tử trực tiếp của U1 ⊕… ⊕ Un và do đó U là hạng tử trực tiếp của F Từ đó F là ( 1 – C1 ) môđun 

2.3.11 Định nghĩa (U – liên tục).

Một môđun M được gọi là U – liên tục nếu M là ( 1 – C1 ) môđun và nếu A và

B là các môđun con của M sao cho A≅B và A là hạng tử trực tiếp của M, khi

đó B cũng là hạng tử trực tiếp của M

2.3.12 Định nghĩa (Chiều Goldie)

Một môđun M trên một vành R gọi là có chiều Goldie (hay chiều đều) hữu hạn nếu không tồn tại một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không trong

M, M được gọi là có chiều Goldie vô hạn trong trường hợp ngược lại

Để ý rằng hệ quả 2.3.13, 1) của chúng tôi ở trên không cần điều kiện M là

môđun không suy biến

Từ đó ta có một đặc trưng sau đây đối với ( 1 – C1 ) môđun có chiều Goldie hữu hạn

KẾT LUẬN

Luận văn đã đề cập, tìm hiểu và trình bày các vấn đề sau :

1 Khảo sát và hệ thống các khái niệm về môđun con cốt yếu và môđun con bé, bên cạnh cũng đã trình bày một số tính chất cơ bản của chúng

2 Sử dụng các điều kiện liên tục và lớp CS – môđun, Luận văn trình bày một

số tính chất của lớp ( 1 – C1) môđun dựa trên các tính chất của môđun con cốt yếu

3 Trình bày một số tính chất của tổng trực tiếp các môđun con đều dựa trên khái niệm ( 1 – C1) môđun và môđun con cốt yếu

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

[1] Nguyễn Tiến Quang – Nguyễn Duy Thuận ( 2001 ), Cơ Sở Lý Thuyết Vành và

Mô Đun, NXB Giáo Dục, Hà Nội.

[2] Ngô Sỹ Tùng ( 1995 ), Một số lớp vành đặc trưng bởi các điều kiện liên tục và

lớp cs – môđun, Luận án PTS Toán lý, ĐHVinh

Tiếng Anh

[3] F Kasch (1982), Modules and Rings Academic Press, London –NewYork.

[4] M A Kamal and B J Muller, (1988), The structure of extending modules over

noetherian rings, Osaka J Math 25, 539 – 551