Luận văn môđun đều và chiều đều của môđun

Ta xét các điều kiện sau đốivới môđun M: C1 : Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M.Nói cách khác, mọi môđun con đóng trong M là một hạng tử trực tiếp của M.C2

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luận văn, luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố.

Người cam đoan

Mai Thị Hiền

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS TS Ngô SỹTùng Trong quá trình làm luận văn, Thầy không những là người hướng dẫn vềmặt khoa học mà Thầy còn luôn động viên, khích lệ tác giả khắc phục nhữngkhó khăn để hoàn thành luận văn này Tác giả xin cảm ơn và bày tỏ sự kínhtrọng, lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến các Thầy cô đã giảng dạy lớp K11cao học Đại số và Lý thuyết số Trường Đại học Hồng Đức Tại đây tác giả nhậnđược nhiều sự chỉ dẫn, góp ý quý báu là môi trường thuận lợi để tác giả hoànthành luận văn của mình

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Quản lý đào tạo Sauđại học, Ban chủ nhiệm khoa Khoa học Tự nhiên, Bộ môn Đại số của khoaKhoa học Tự nhiên - Trường ĐH Hồng Đức đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tácgiả hoàn thành đúng thời hạn luận văn của mình

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Ba Đình, NgaSơn và các đồng nghiệp tại trường đã luôn tạo điều kiện thuận lợi cho tác giảtrong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Xin cảm ơn bạn bè và người thân luôn động viên giúp đỡ

Thanh Hóa, tháng 10 năm 2020

Tác giả

Mai Thị Hiền

Mục lục

Bảng kí hiệu iv

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Môđun con cốt yếu 3

1.2 Phạm trù σ [M] 7

1.3 Bao đóng nội xạ và bao đóng M- nội xạ 9

Chương 2 MÔĐUN ĐỀU VÀ CHIỀU ĐỀU CỦA MÔĐUN 10

2.1 Khái niệm và tính chất của môđun đều 10

2.2 Chiều đều của môđun 14

2.3 Chiều đều hữu hạn của môđun và một số ứng dụng 21

KẾT LUẬN 26

Tài liệu tham khảo 27

• A⊂ M: A là môđun con của môđun M

• A⊂∗M: A là môđun con cốt yếu của môđun M

• A⊂⊕M: A là hạng tử trực tiếp của môđun M

• A ∼= B: Môđun A đẳng cấu với môđun B

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Việc nghiên cứu lý thuyết môđun cho đến nay được phát triển mạnh mẽ và

có nhiều ứng dụng quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết vành Một trong cáchướng để nghiên cứu lý thuyết vành là đặc trưng vành qua tính chất của một lớpmôđun xác định nào đó trên chúng

Năm 1959 và 1960, A W Goldie đã giới thiệu khái niệm môđun đều vàchiều đều của môđun (xem [6] và [7]) Từ đó đến nay nhiều người đã quan tâm

và dùng đến môđun đều và chiều đều của môđun Môđun đều và chiều đều củamôđun cũng được dùng nhiều vào đặc trưng các lớp môđun và vành

Chúng tôi xem việc nghiên cứu và tìm hiểu môđun đều và chiều đều củamôđun là công việc thích thú để học tập thêm về đại số nói chung và lý thuyếtmôđun và vành nói riêng

Dựa vào tài liệu chính "Extending Modules" của N V Dung, D V Huynh,

P F Smith và R Wisbauer 1994 (xem [5]), tài liệu ([10]) chúng tôi nghiên cứu,tìm hiểu để hệ thống và trình bày một số vấn đề về lớp môđun đều, chiều đềucủa môđun và một số tính chất liên quan cũng như một số ứng dụng của chúng

Vì vậy chúng tôi chọn đề tài luận văn là: "Môđun đều và chiều đều củamôđun"

2 Mục đích của đề tài

Mục đích nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu tìm hiểu về khái niệm môđunđều, chiều đều của môđun và một số tính chất liên quan Chứng minh chi tiếtmột số kết quả đã có về môđun đều, chiều đều

3 Phương pháp nghiên cứu

Để hoàn thành luận văn này chúng tôi đã sử dụng các phương pháp tìm hiểu

lý thuyết: đọc, dịch và nghiên cứu tài liệu; phân tích, suy luận logic và tổng hợpcác tài liệu có liên quan đến đề tài; sử dụng các kĩ thuật chứng minh đặc thù củađại số để chứng minh các kết quả trong đề tài.

4 Nội dung nghiên cứu

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành

2 chương:

- Chương I Kiến thức chuẩn bị

Nội dung chính của chương là nhắc lại một số khái niệm, tính chất cơ sởcủa lý thuyết môđun như: môđun cốt yếu, phạm trù σ [M], bao đóng nội xạ, baođóng M- nội xạ và một số mệnh đề, bổ đề và các tính chất

- Chương II Môđun đều và chiều đều của môđun

Chương này chúng tôi trình bày một cách có hệ thống về các tính chất đặctrưng của môđun đều, chiều đều của môđun và một số ứng dụng của chiều đềuhữu hạn để đặc trưng một số lớp môđun

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong Luận văn này chúng tôi chỉ xét các vành kết hợp, có đơn vị, các môđun

là môđun phải, có đơn vị và được xét trên một vành R Vì vậy các R- môđunphải M sẽ được nói gọn là môđun M Các khái niệm, tính chất, kí hiệu trongLuận văn chủ yếu dựa theo [4], [5]

1.1 Môđun con cốt yếu

Định nghĩa 1.1.1. (i) Cho M là một R- môđun phải và N là môđun con của

M Môđun N được gọi là môđun con cốt yếu trong M nếu với mọi 0 6= K ⊂

(iv) Môđun con K của M được gọi là bao đóng của môđun con N trong M nếu

K là môđun con tối đại trong M sao cho N là cốt yếu trong K

Nhận xét:

• Bao đóng của môđun con N trong M luôn tồn tại

• Nếu 0 ⊂∗M thì M = 0

Mệnh đề 1.1.2 Cho M là R- môđun Khi đó ta có:

(i) A ⊂∗M khi và chỉ khi với mọi 0 6= x ∈ M, xR ∩ A 6= 0;

(ii) Cho A ⊂ B ⊂ M thì A ⊂∗M khi và chỉ khi A ⊂∗B và B ⊂∗M;

(iii) Nếu Ai ⊂∗Bi (∀i = 1, 2, , n), Ai, Bi ⊂ M thì ∩n

i=1Ai ⊂∗ ∩n

i=1Bi Đặc biệt, nếu Ai ⊂∗M với mọi i = 1, , n thì ∩n

i=1Ai⊂∗M;

(iv) Cho A ⊂ B ⊂ M Nếu B/A ⊂∗M/A thì B ⊂∗M;

(v) Nếu f : M → N là đồng cấu môđun và A ⊂∗N thì f−1(A) ⊂∗M;

(ii) Giả sử A ⊂∗ M Lấy 0 6= X ⊂ B bất kì Ta có X ⊂ M và X ∩ A 6= 0 ( do

x+ a + A = b + A Suy ra x = b + a0 ∈ X ∩ B (a0 ∈ A) Điều này vô lý

Vậy X ∩ B 6= 0, tức là B ⊂∗M

(v) Lấy 0 6= X ⊂ M.

- Nếu f (X ) = 0 thì X ⊂ f−1(A) Do vậy (X ∩ f−1(A)) = X 6= 0

- Nếu f (X ) 6= 0 Vì A ⊂∗N nên A ∩ f (X ) 6= 0, tức là tồn tại 0 6= a ∈ A ∩ f (X )

Do đó tồn tại 0 6= x ∈ X sao cho a = f (x) hay x = f−1(a) Do vậy 0 6= x ∈

X∩ f−1(A) Vậy f−1(A) ⊂∗M

(vi) Trước hết ta chứng minh cho trường hợp I hữu hạn Dùng quy nạp ta chỉxét với n = 2

i∈FMi và sự biểu diễn đó là duy nhất

Tiếp theo lấy 0 6= X ⊂ ⊕

i∈IMi, tồn tại 0 6= x ∈ X sao cho:

x∈ ⊕i∈FMi, và ⊕

Vậy

⊕i∈IAi ⊂∗ ⊕

i∈IMi

Định nghĩa 1.1.3 Cho M là một R- môđun phải Ta xét các điều kiện sau đối

với môđun M:

(C1) : Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M.Nói cách khác, mọi môđun con đóng trong M là một hạng tử trực tiếp của M.(C2): Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và A là hạng

tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M

(C3): Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M và A ∩ B = 0 thì A ⊕ B cũng

là hạng tử trực tiếp của M

Một môđun M được gọi là CS- môđun nếu M thỏa mãn điều kiện (C1)

Một môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa mãn điều kiện (C1) và (C2)

Một môđun M được gọi là tựa liên tục nếu M thỏa mãn điều kiện (C1) và (C3).Nhận xét: Ta có sơ đồ sau:

Nội xạ ⇒ Tựa nội xạ ⇒ Liên tục ⇒ Tựa liên tục ⇒ CS

Môđun U 6= 0 được gọi là môđun đều nếu hai môđun con khác 0 của U đều

có giao khác 0, tức là mỗi môđun con khác không của U đều cốt yếu trong U Môđun M được gọi là (1 − C1)- môđun nếu mỗi môđun đều của M là cốt

yếu trong hạng tử trực tiếp của M hay mỗi môđun con đóng đều của M là mộthạng tử trực tiếp

Môđun M được gọi là U - liên tục nếu M là (1 − C1)- môđun và nếu A, B làcác môđun con của M sao cho A ∼= B và A ⊂⊕ M thì B ⊂⊕ M

Một môđun M được gọi là noether địa phương (locally noetherian) nếu mọi

môđun con hữu hạn sinh của M là noether

Cho M là R- môđun phải và m ∈ M Tập hợp

rR(m) = {r ∈ R : mr = 0}

được gọi là linh hóa tử của phần tử m Kí hiệu là r(m).

Tập hợp rR(M) = {r ∈ R : mr = 0, ∀m ∈ M} được gọi là linh hóa tử củamôđun M Kí hiệu là r(M)

Một môđun M được gọi là trung thành nếu r(M) = 0.

1.2 Phạm trù σ [M]

Định nghĩa 1.2.1 Một R- môđun N được gọi là phần sinh bởi M (subgenerated)

nếu N đẳng cấu với một môđun con của M- môđun sinh Tức là N là hạt nhâncủa một phép đồng cấu giữa các M- môđun sinh

Ta kí hiệu σ [M] là tập tất cả các R- môđun phần sinh bởi M Khi đó σ [M]

là một phạm trù con của R- mod và đóng kín dưới phép toán tổng trực tiếp, hạtnhân và đối hạt nhân

Trong σ [M] tích của bất kỳ họ các môđun đều tồn tại Nhìn chung, nó khácvới tích trực tiếp của họ môđun lấy ra trong R- mod Vì thế tập hợp MR =n

Rm | m ∈ M(N)olà tập sinh trong σ [M]

Với M = R thì σ [M] trùng với phạm trù R-mod Tổng quát hơn, σ [M] = R − modkhi và chỉ khi R ⊂ MK với K ⊂ N Ví dụ, nếu R- môđun M là hữu hạn sinh nhưmột môđun trên EndR(M) thì σ [M] = R/l(M) − Mod

Dãy M−→ Nf −→ L trong σ [M] được gọi là khớp nếu Im f = Kerg.g

Môđun hữu hạn sinh N trong σ [M] được gọi là biểu diễn hữu hạn trong

σ [M] nếu với mọi dãy khớp 0 −→ K −→ L −→ N −→ 0 và L hữu hạn sinh thì

K cũng hữu hạn sinh

Môđun N ∈ σ [M] là một phần tử sinh trong σ [M] nếu mọi L ∈ σ [M] thì L

là N- sinh hay hàm tử HomR(N, −) : σ [M] → AB là trung thành

Một R- môđun được gọi là tự sinh (tự đồng sinh) nếu nó sinh tất cả các

môđun con của nó (đồng sinh tất cả các môđun thương của nó)

M là phần tử sinh trong σ [M] khi và chỉ khi M(N) là tự sinh; M là phần tửđồng sinh trong σ [M] khi và chỉ khi M(N) là phần tử tự sinh với mọi tập N

Định nghĩa 1.2.2 (Môđun Noether và môđun Artin) Một R- môđun M được

gọi là Noether nếu với mỗi tập con khác rỗng các môđun con của nó đều có

phần tử tối đại

Một R- môđun M được gọi là Artin nếu mỗi tập con khác rỗng của nó đều

có phần tử tối thiểu

Định lý 1.2.3 (Đặc trưng của môđun Artin và môđun Noether)

Cho môđun M, A là môđun con của M.

(1) Các điều kiện sau là tương đương:

(i) M là môđun Artin;

(ii) A và M/A là môđun Artin;

(iii) Mọi môđun thương của M là đối sinh hữu hạn;

(iv) Mỗi họ {Ai}I, I 6= /0, Ai ⊂∗M đều tồn tại tập I0 hữu hạn, I0⊂ I sao cho

∩

I0 Ai= ∩

I Ai

(2) Các điều kiện sau là tương đương:

(i) M là môđun Noether;

(ii) A và M/A là môđun Noether;

(iii) Mọi môđun con của M là hữu hạn sinh;

(iv) Mỗi họ {Ai}I, I 6= /0, Ai ⊂∗M đều tồn tại tập I0 hữu hạn, I0⊂ I sao cho

(3) Các điều kiện sau là tương đương:

(i) M có độ dài hữu hạn;

(ii) M là Artin và Noerther.

Hệ quả 1.2.4 Cho R- là vành Noether và M là R- môđun hữu hạn sinh Khi đó

Do R là Noether nên R/Kerϕalà Noether Do đó aR là môđun Noether

Theo giả thiết M là môđun hữu hạn sinh, tức là:

M = a1R+ a2R+ + anR, ai∈ M, i = 1, , n

Theo Định lý 1.2.3 ta có M là môđun Noether

1.3 Bao đóng nội xạ và bao đóng M- nội xạ

Định nghĩa 1.3.1 (Bao đóng nội xạ) Nếu N là một môđun con cốt yếu của một

môđun nội xạ E trong σ [M] thì E được gọi là bao nội xạ của N trong σ [M] hoặcmột M- bao nội xạ của N, ký hiệu là bN

Mọi môđun N trong σ [M] có một bao nội xạ trong σ [M] và bao nội xạ trongR-mod và chúng đều là duy nhất theo phép đẳng cấu

Gọi bM là một M- bao nội xạ của M và E(M) là một R- bao nội xạ của

M (trong R-mod) với M ⊂ bM ⊂ E(M) Khi đó M là tự nội xạ khi và chỉ khi

M = bM = End(M), tức là M là môđun con hoàn toàn bất biến của E(M)

Định lý 1.3.2 Cho E là R- môđun Các mệnh đề sau là tương đương:

(i) E là R- môđun nội xạ;

(ii) E không có mở rộng cốt yếu nào.

Hệ quả 1.3.3 Cho E là mở rộng của R- môđun M Khi đó các mệnh đề sau là

tương đương:

(i) E là một bao nội xạ của M;

(ii) E là một mở rộng cốt yếu cực đại của M.

Chương 2

MÔĐUN ĐỀU VÀ CHIỀU ĐỀU CỦA MÔĐUN

2.1 Khái niệm và tính chất của môđun đều

Định nghĩa 2.1.1 Giả sử R là một vành, một R- môđun phải U được gọi là đều

nếu U 6= 0 và A ∩ B 6= 0 đối với mọi môđun con khác không A, B của U

Nói cách khác, U là đều nếu U 6= 0 và mọi môđun con khác không là cốtyếu trong U

Ví dụ 2.1.2 1) Z- môđun Z là môđun đều vì :

Lấy A = mZ ⊂ Z; m 6= 0 và B = kZ ⊂ Z, k 6= 0 Ta luôn có:

0 6= mk ∈ mZ ∩ kZ

2) Z- môđun Q là môđun đều vì:

Lấy A 6= 0; B ⊂Z Q Tồn tại a, b, m, n ∈ Z∗sao cho

0 6= a/b ∈ A, 0 6= m/n ∈ B

Ta có:

am= bm × a/b ∈ A và am = an × m/n ∈ B

Hay: 0 6= am ∈ A ∩ B

3) Mọi môđun con khác không của môđun đều là đều

Mệnh đề 2.1.3 Cho M là môđun khác 0, không chứa tổng trực tiếp của vô hạn

các môđun con khác 0 Khi đó, M chứa một môđun con đều.

Chứng minh. Nếu M là môđun đều thì M chính là môđun con đều của chính nó.Nếu M không là môđun đều Tồn tại các môđun con khác không K1, L1 của

M sao cho K1∩ L1= 0 Suy ra (K1⊕ L1) ⊂ M.

Nếu L1 là môđun đều thì L1là môđun con đều của M

Nếu L1 không là môđun đều thì tồn tại các môđun con khác 0 là K2, L2 của

L1 sao cho K2∩ L2= 0 Suy ra

K2⊕ L2⊂ L1 và (K2⊕ L2⊕ K1) ⊂ M

Tiếp tục quá trình trên, do M không chứa tổng trực tiếp của vô hạn cácmôđun con khác không nên quá trình này phải dừng lại sau hữu hạn bước

Do vậy luôn tồn tại môđun con Ki là môđun con đều của môđun M

Hệ quả 2.1.4. (i) Mọi môđun Noether khác 0 đều chứa môđun con đều;

(ii) Cho M là môđun Noether địa phương Khi đó, mọi môđun khác không trong σ [M] chứa một môđun con đều;

(iii) Cho R là một vành Noether trái Khi đó, mọi R- môđun khác không đều chứa một môđun con đều.

Chứng minh (i) Do M là môđun Noether nên không chứa tổng trực tiếp của

vô hạn các môđun con khác không Theo Mệnh đề 2.1.3 ta có điều phải chứngminh

(ii) Do M là môđun Noether địa phương nên mọi môđun hữu hạn sinh trong

σ [M] là môđun Noether Theo (i) ta có (ii)

(iii) Giả sử M là một môđun trái Do R là vành Noether trái nên mọi môđun hữu hạn sinh là Noether Do vậy, với mọi 0 6= x ∈ M ta có Rx là môđunNoether, theo (i) thì Rx chứa môđun con đều Vì vậy M chứa môđun con đều

R-Mệnh đề 2.1.5 Cho M là một môđun khác không sao cho mọi môđun con khác

không của nó đều chứa một môđun con đều Khi đó M chứa một môđun con cốt yếu là tổng trực tiếp của những môđun con đều của M.

Chứng minh. Đặt

S=



⊕i∈IUi | Ui đều, Ui ⊂ M, ∀i ∈ I



Ta xác định quan hệ thứ tự như sau:

⊕Ui⊂ ⊕Vj ⇔ I ⊂ J và Vi = Ui, ∀i ∈ I

Theo giả thiết, M chứa môđun đều U nên tồn tại ⊕

Hệ quả 2.1.6 (Điều kiện về sự hữu hạn và môđun con cốt yếu)

Cho M là môđun khác 0 và không chứa tổng trực tiếp của vô hạn các môđun

con khác 0 Khi đó, M chứa một môđun con cốt yếu là tổng trực tiếp của hữu

hạn các môđun con đều.

Chứng minh. Chứng minh được suy ra từ Hệ quả 2.1.3 và Mệnh đề 2.1.5

Hệ quả 2.1.7. (i) Mọi môđun Noether khác không luôn chứa một môđun con cốt yếu là tổng trực tiếp của các môđun con đều của nó;

(ii) Cho M là môđun Noether địa phương Khi đó mọi môđun khác không trong

σ [M] chứa một môđun con cốt yếu là tổng trực tiếp của các môđun con

đó Ui là các môđun con đều của M với mọi i ∈ I Khi đó môđun con N của M

là cốt yếu trong M khi và chỉ khi N ∩ Ui 6= 0, ∀i ∈ I.

Chứng minh. Giả sử N ⊂∗M Suy ra N ∩ X 6= 0 với mọi 0 6= X ⊂ M Từ đó ta

có N ∩Ui 6= 0, ∀i ∈ I

Ngược lại, giả sử N ⊂ M, N ∩Ui 6= 0, ∀i ∈ I Đặt Ni = N ∩Ui

Theo giả thiết, Ni 6= 0, ∀ i ∈ I Vì Ui đều nên Ni⊂∗Ui, ∀i ∈ I

Theo giả thiết ⊕

i∈IUi ⊂∗M, ta có

⊕i∈INi ⊂∗ ⊕

Lại có Ni⊂ N, ∀i ∈ I nên Ni⊂ N ⊂ M Vậy N ⊂∗M ( vì ngược lại nếu N không

là môđun con cốt yếu của M suy ra tồn tại K 6= 0, K ⊂ M mà N ∩ K = 0 Suy ra

K∩ ⊕

i∈INi= 0, mâu thuẫn với (1) )

Do vậy ta có điều phải chứng minh

Định lý 2.1.9 Cho môđun M chứa một môđun con cốt yếu có dạng ⊕n

i=1Ui với Ui

là các môđun con đều của M, i = 1, 2, , n thì :

(i) Mọi tổng trực tiếp của các môđun con khác không của M có nhiều nhất n hạng tử;

(ii) Nếu tồn tại các môđun Vi đều ( i = 1, 2, , k ) và V1⊕ V2⊕ ⊕ Vk ⊂∗ M

thì n = k.

Chứng minh (i) Giả sử M chứa tổng trực tiếp K1⊕ K2⊕ Kn+1 của nhữngmôđun con Ki Khi đó K1∩ (K2⊕ ⊕ Kn+1) = 0 Suy ra K2⊕ ⊕ Kn+1 không

là môđun con cốt yếu trong M

Theo Bổ đề 2.1.8 thì tồn tại Ui, ∀i = 1, 2, , n để