khóa luận tốt nghiệp về môđun baer và môđun baer đối ngẫu

Lý do chọn đề tài Sự xuất hiện của khái niệm môđun Baer và Baer đối ngẫu trong những năm gần đây đã đặt nền móng cho việc chuyển hướng nghiên cứu từ cấu trúc vành sang cấu trúc môđun.. M

Trường đại học hà tĩnh

khoa sư phạm tự nhiên

nguyễn đình nam

về môđun baer và môđun baer đối ngẫu

khóa luận tốt nghiệp đại học

Người hướng dẫn khoa học:

TS lê văn an

Hà tĩnh - 2013

Trường đại học hà tĩnh

khoa sư phạm tự nhiên

nguyễn đình nam

về môđun baer và môđun baer đối ngẫu

khóa luận tốt nghiệp đại học

Chuyờn ngành: Sư phạm Toỏn Lớp: K2 - Toỏn Khúa: 2009 - 2013

Người hướng dẫn khoa học:

TS Lờ Văn An

Hà Tĩnh - 2013

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận được hoàn thành tại Đại học Hà Tĩnh, dưới sự hướng dẫn tậntình, nghiêm khắc của TS Lê Văn An Qua khóa luận này tác giả xin bày tỏlòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn, người đã định

hướng nghiên cứu và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học

cô giáo và bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Những kết quả và

các số liệu trong khóa luận chưa được ai công bố dưới bất kì hình thức nào.Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trước nhà trường về sự cam đoan này

Hà Tĩnh, ngày 25 tháng 05 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Đình Nam

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Phương pháp nghiên cứu 1

4 Lịch sử vấn đề 1

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

6 Đóng góp của khóa luận 3

7 Bố cục khóa luận 3

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Môđun không phân tích được, môđun cốt yếu và môđun hoàn toàn bất biến 4

1.2 Linh hoá tử 4

1.3 Môđun CS, K - nonsingular và K - cononsingular 5

1.4 Môđun con bé, hollow, lifting và T - non - cosingular 5

1.5 K −môđun 5

1.7 SSP và SSSP 6

1.8 Phần tử lũy đẳng 6

1.10 Một số bổ đề 6

1.11 Tâm của vành 8

Chương 2 MÔĐUN BAER - MÔĐUN BAER ĐỐI NGẪU 9

§ 1 Môđun Baer và môđun Baer đối ngẫu 9

1.1 Môđun Baer 9

1.2 Môđun Baer đối ngẫu 17

§ 2 Vành tự đồng cấu của môđun Baer và môđun Baer đối ngẫu 21

2.1 Góc của vành các tự đồng cấu 21

2.2 Tâm của vành các tự đồng cấu 23

TÀI LIỆU THAM KHẢO 27

CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG ĐỀ TÀI

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Sự xuất hiện của khái niệm môđun Baer và Baer đối ngẫu trong những

năm gần đây đã đặt nền móng cho việc chuyển hướng nghiên cứu từ cấu trúc

vành sang cấu trúc môđun Nhờ đó, các tác giả đã đạt đ ược nhiều kết quả hấpdẫn về hai lớp môđun này và tạo ra những hướng tiếp cận khác có hiệ u quả

trên vành trong bài toán “đặc trưng vành” Khi tiếp xúc và nghiên cứu về lớpmôđun Baer và Baer đối ngẫu, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến tâm và góc

của nó Đây là những lớp môđun mới mà tâm và góc của vành tự đồn g cấu

của nó có tính kế thừa Vì vậy, chúng tôi quyết định chọn đề tài “Về môđun

Baer và môđun Baer đối ngẫu” để tiến hành nghiên cứu.

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài thực hiện với mục đích tìm hiểu một số tính chất của vành tựđồng cấu của môđun Baer và môđun Bear đối ngẫu

3 Phương pháp nghiên cứu

(i) Phương pháp nghiên cứu lý thuyết:

cứu liên quan đến môđun Baer và môđun Baer đối ngẫu

(ii) Phương pháp phân tích tổng hợp, dựa vào các kết quả đã biết để

nghiên cứu và chứng minh kết quả mới

4 Lịch sử vấn đề

Khái niệm vành Baer và tựa Baer xuất hiện từ sự kết hợp giữa các

I Kaplansky và S K Berberian đã đưa ra khái niệm vành Baer trong quyển

sách “Rings of operators” Một vành R được gọi là Baer nếu với mỗi tập con

I của R ta có l R( )I =Re với, e2= ∈e R (trong đó, l R( )I ={∈R I =0} là

linh hóa tử trái của vành R ) Năm 1967, J Clack đã mở rộng khái niệm vành Baer và đưa ra khái niệm vành tựa Baer Một vành R được gọi là tựa Baer nếu với mỗi iđêan I của R ta có l R( )I =Re với, e2 = ∈e R Lớp vành Baer.

và tựa Baer đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết Vành và Môđun, được sửdụng để đặc trưng vành Những năm gần đây, các tác giả G F Birkenmeier,

A W Chatters, S M Khuri, J Y Kim, J K Park,… (xem [6], [7], [8], [9])tiếp tục quan tâm, tìm kiếm các mở rộng của hai lớp vành này và đạt đượcnhiều kết quả suất sắc Năm 2004, S T Rizvi và C S Roman đã chuyể n kháiniệm vành sang môđun, đưa ra khái niệm môđu n Baer và môđun tựa Baer

(xem [10], [11]) Môđun M được gọi là Baer (tựa Baer) nếu với mỗi môđun con N của M (tương ứng, N là hoàn toàn bất biến trong M ) tồn tại lũy

đẳng e của S sao cho l S( )N =Se (trong đó, S =End M( ) là vành các tự

đồng cấu của M và l N s( )={∈S( )N =0}={∈S Ker ⊇N} là linh

hóa tử trái của vành S ) Năm 2010, hai tác giả D K Tutuncu và R Tribak đã

sử dụng tư tưởng đối ngẫu (hình thức) để đi đến định nghĩa iđêan phải

môđun M ) Từ đó, hai tác giả đã đưa ra khái n iệm môđun Baer đối ngẫu

(xem [11]), môđun M được gọi là Baer đối ngẫu nếu với mỗi môđun con N

một số kết quả thú vị về lớp môđun này Hiện nay có rất nhiều nhà toán họcquan tâm nghiên cứu các lớp môđun Baer, tựa Bear và Baer đối ngẫu, cũng

như những lớp môđun được xây dựng từ những lớp môđun này, chẳng hạnnhư môđun Rickart, môđun Rickart đối ngẫu,…

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

(i) Đối tượng nghiên cứu: đối tượng chính của đề tài là môđun Baer vàmôđun Baer đối ngẫu Đồng thời nghiên cứu vành các tự đồng cấu của môđun

Baer và môđun Baer đối ngẫu và một số lớp môđun có tính chất liên quan

(ii) Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết Vành và Môđun

6 Đóng góp của khóa luận

rõ một số kết quả của các sách và bài báo có liên quan

môđun Baer, cũng như một số lớp vành và môđun có liên quan

7 Bố cục khóa luận

Cấu trúc khóa luận được chi a làm hai chương:

Chương 1 Trình bày một số khái niệm như môđun K - nonsingular, K

- cononsingular, môđun con bé, hollow, lifting,… Đồng thời, chúng tôi nêulại một số tính chất cơ bản cần thiết hỗ trợ cho chương sau

Chương 2 Chúng tôi nghiên cứu các tính chất trên lớp môđun Baer và

môđun Baer đối ngẫu Đồng thời nghiên cứu về tâm và góc trên vành các tựđồng cấu của môđun Baer và môđun Baer đối ngẫu Chương hai được chia

làm hai tiết:

§ 1 Môđun Baer và môđun Baer đối ngẫu

§ 2 Vành các tự đồng cấu của môđun Baer và môđun Baer đối ngẫu

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Môđun không phân tích được, môđun cốt yếu và môđun hoàn toàn bất biến

(a) Môđun M ≠ 0 được gọi là không phân tích được nếu 0 và M là

những hạng tử trực tiếp duy nhất trong M

(b) Môđun 0≠N ⊂M gọi là cốt yếu trong M nếu với ∀X ≠0 và

(a) Với A⊆R thì l R( ) {A = b∈R|ba=0,∀a∈A} được gọi là linh hoá

tử trái của A trên vành R, r R( ) {A = b∈R|ab=0,∀a∈A} được gọi là linh hoá

tử phải của A trên vành R

(b) Với M là R - môđun phải thì l R( ) {M = r∈R|rm=0,∀m∈M}

gọi là linh hoá tử trái của môđun M trên vành R.

(c) Với M là R - môđun trái thì r R( ) {M = r∈R|mr =0,∀m∈M}

gọi là linh hoá tử phải của môđun M trên vành R.

(d) Với M là R - môđun phải thì l M( ) {I = m∈M |mr=0,∀r∈I}

(e) Với M là R - môđun trái thì r M( ) {I = m∈M |rm=0,∀r∈I}

1.3 Môđun CS, K - nonsingular và K - cononsingular

(a) Môđun M gọi là CS môđun nếu với mỗi N ⊆M , luôn tồn tại hạng

tử trực tiếp N’ của M sao cho N⊂eN’

(b) Cho môđun M Khi đó M là K - nonsingular nếu mọi

1.4 Môđun con bé, hollow, lifting và T - non - cosingular

(a) Môđun con N của môđun M là môđun con bé, kí hiệu N <<M

(b) Môđun M được gọi là hollow nếu với mọi môđun con X của M

(c) Môđun M là lifting nếu với mọi môđun con N của M tồn tại hạng tử

(d) Môđun M được gọi là T - non - cosingular nếu với mọi đồng cấu

(b) Môđun M được gọi là có GSIP nếu giao của một họ những hạng tử

trực tiếp của M là một hạng tử trực tiếp của M

1.7 SSP và SSSP

(a) Môđun M được gọi là có SSP nếu tổng của hai hạng tử trực tiếp của

M là một hạng tử trực tiếp của M

(b) Môđun M được gọi là có SSSP nếu tổng của một họ những hạng tử

trực tiếp của M là một hạng tử trực tiếp của M

Một vành R gọi là vành Baer nếu và chỉ nếu với mỗi tập con I của R

ta có l R( )I =Re với e là phần tử lũy đẳng của vành R , nếu và chỉ nếu với mỗi

tập con I của R ta có r R( )I =eR với e là phần tử lũy đẳng của vành R

Nhận xét: Như vậy đối với vành Baer điều kiện trái và phải tương

Các bổ đề vi, vii, vii chứng minh tương tự.

Bổ đề 2 Cho N là môđun con của môđun M Khi đó N ⊂⊕ M nếu và chỉ nếu ∃e2 =e∈S=End( )M

sao cho e( )M =N Chứng minh:

Điều kiện cần: Giả sử N ⊂⊕ M ⇒M =N ⊕ N'

toàn cấu và i là đơn cấu

Xét e=i0p:M →M;e( )m =n, đây là đồng cấu thoả mãn e2 =e

Chương 2 MÔĐUN BAER - MÔĐUN BAER ĐỐI NGẪU

§ 1 Môđun Baer và môđun Baer đối ngẫu

1.1 Môđun Baer

1.1.1 Định nghĩa.

Một R - môđun phải M được gọi là Baer nếu với mỗi môđun con N của

M thì l S( )N ⊂⊕S S(tương đương với tồn tại lũy đẳng e của S sao cho

( )N Se

l S = )

Theo Bổ đề 1 ta có thể chứng minh được mệnh đề sau:

1.1.2 Mệnh đề Môđun M là Baer nếu và chỉ nếu ∀I∈s S thì

Vậy r M( ) (Se = 1−e)M Nên ta có r M( )I =r M( ) (Se = 1−e)( )M , với

Vậy l S( ) (eM =S 1−e) Suy ra l S( )N ⊂⊕s S hay M Baer

1.1.3 Bổ đề Môđun M là K - nonsingular nếu và chỉ nếu I ⊂s S và

Điều kiện đủ: Lấy ∈S, với ker⊂e M Ta có m∈ker suy ra

K - nonsingular, suy ra N ⊕(1−e)M ⊂e M nên N ⊂e e( )M =r M(l S( )N ).

Ngược lại, N ⊂M với l S( )N =0, suy ra r M(l S( )N )=M Kết hợp

Khi  ≠0 thì tồn tại 0≠m∈M /ker Xét tập I ={r∈R|mr∈ker}

là iđêan phải của R Do I⊂e R,r∉I suy ra mr∉ker nên tồn tại r’ sao cho



ker

'

Dẫn đến 0≠rr'∈I Nhưng 0≠( ) ( )m , m I =0 nên mâu thuẫn

Vậy mọi môđun M nonsingular là K - nonsingular

1.1.6 Định lý Môđun M là CS và K - nonsingular khi và chỉ khi M là

môđun Baer và K - cononsingular

môđun nên N ⊂M Suy ra ∃N'⊂⊕ M để N ⊂e N' hay N ⊂e e( )M với

1,

Giả sử mọi điều giả thiết là con thực sự thì tồn tại ∈l S( ) (N \ S 1−e).Mặt khác, S =Se⊕S(1−e) nên  =s1e+s2(1−e) với s1,s2∈S,0

Vậy kết hợp với tính K - nonsingular của M thì =0 mâu thuẫn vớigiả thiết Suy ra l S( ) (N =S 1−e).

Vậy M môđun Baer

1.1.9 Bổ đề Môđun M là môđun Baer thì M là K - nonsingular.

Giả sử môđun M là K - cononsingular và là môđun Baer Ta cần chứng

1.1.11 Định lý M là một môđun Baer, N ⊂⊕ M thì N là môđun Baer Chứng minh:

Xét M =N ⊕P Lấy S'=End R( )N Thì bất kỳ ' S∈ ' đều tồn tại

từ M vào N thì chúng ta có thể xem N/Q⊕L:Q⊕L →N là đẳng cấu (Hạt

P i i

Do r N( )I' là hạng tử của N nên N là môđun Baer

1.1.12 Mệnh đề M là môđun Baer nếu và chỉ nếu M có GSIP và

Đối với hai hạng tử thì điều này là hiể n nhiên

Ta chứng minh cho một họ hạng tử Lấy e i2 =e i∈S,i∈J và xét

1.2 Môđun Baer đối ngẫu

1.2.1 Định nghĩa.

Môđun M được gọi là Baer đối ngẫu nếu với mỗi môđun con N của M

tồn tại lũy đẳng e của S sao cho D( )N =eS

1.2.2 Hệ quả Môđun đơn M là Baer đối ngẫu.

Chứng minh:

M là môđun đơn nên 0 và M là hai môđun con duy nhất của M Khi đó

ta có D( )0 =0=0S và D( )M =S =i d S với 0 và i là luỹ đẳng của S Vậy M d

là baer đối ngẫu

1.2.3 Định lý Đối với môđun M các điều kiện sau tương đương:

(i) M là môđun Baer đối ngẫu;

(ii) Với mỗi tập con A≠∅ của S : Im ( )

là môđun Baer đối ngẫu nên tồn tại lũy đẳng e∈S sao cho D N( )=eS Do

f ∈A, ta có f y( )=es( )y =e s y( ( ))∈e M( ) (do s( )y ∈M ) Suy ra N là

môđun con của (e M) Vậy N =e M( ) với e= ∈e2 S Hay Im ( )

(ii) ⇒ (iv). Với mỗi ∈S thì ta có Im=e M( ) (với e= ∈e2 S) (theo

i I

M

∈

đẳng e i∈S sao cho e M i( )=M i i( ∈I) Do e i∈S (∀ ∈i I) nên

e= ∈e S Thật vậy, với mỗi f ∈ ⊆I S nên theo (iv), Im f là hạng tử trực

f I

∈

SSSP) Từ N là hạng tử trực tiếp của M nên theo Bổ đề 2, suy ra tồn tại lũy

đẳng e∈S sao cho (e M)= N Vậy ta có Im ( )

(iii) ⇒ (i). Cho N là môđun con của M ta sẽ chứng minh, D N( )=eS,

f I

f e M

∈

=

môđun con của N nên suy ra Im

f I

f

∈

là môđun con của N Khi đó e∈D N( ) và do đó eS⊆D N( ) Lại do

f = hay f ∈eS Do đó D( )N ⊂eS Vậy D( )N =eS với e= ∈e2 S Như

vậy M là môđun Baer đối ngẫu.

1.2.4 Hệ quả (i) Mỗi môđun Baer đối ngẫu là tổng trực tiếp của

những môđun không phân tích được.

(ii) Mỗi môđun Baer đối ngẫu lifting là tổng trực tiếp của những

M là những môđun không phân tích được Xét họ bất kỳ {X  ∈ Ω} các

môđun con của M sao cho N X X

được Ta chứng minh M i là môđun hollow Theo [9, Lemma 4.7], ta có M i là

lifting môđun Xét N là môđun thực sự của M khi đó tồn tại hạng tử trực i

không phân tích được và K ≠M i nên K =0 Do đó N M i, suy ra M là i

môđun hollow với mọi i∈I

1.2.5 Hệ quả Mọi môđun Baer đối ngẫu M là T - non - cosingular.

Chứng minh:

M là T - non -cosingular.

1.2.6 Định lý Cho M là một môđun Baer đối ngẫu Khi đó mỗi hạng

tử trực tiếp của M cũng là Baer đối ngẫu.

Chứng minh:

Giả sử N là hạng tử trực tiếp của M , ta chứng minh N là môđun Baer

đối ngẫu Thật vậy, vì M có SSSP nên theo [1, Bổ đề 7] thì N cũng có SSSP.

K là một môđun con nào đó của M Mặt khác, do Im f là môđun con của N

nên theo định luật Môđula, ta có N= ∩ =M N (Imf ⊕ ∩K) N=Imf ⊕(K∩N)

Suy ra M là môđun Baer đối ngẫu

§ 2 Vành tự đồng cấu của môđun Baer và môđun Baer đối ngẫu.

2.1 Góc của vành các tự đồng cấu

2.1.1 Định lý Cho M là môđun Baer với S =End( )M là vành tự đồng cấu Khi đó eSe là vành Baer với e là một phần tử luỹ đẳng của S.

Chứng minh:

Lấy I là tập con của eSe chúng ta sẽ chứng minh r eSe( ) ( )I =g eSe với g

là luỹ đẳng nào đó của eSe

(1−e)=ese(1−e)=0

Do đó I(1−e)=0, suy ra I(1−e)( )m =0, với bất kỳ phần tử m của

môđun M Điều này dẫn đến (1−e)( )m là phần tử của r M( )I

Vì M là môđun Bear, suy ra r M( ) ( )I = f M với f là luỹ đẳng nào đó của S

Từ đó (1−e)( ) ( )m = f m' với m là một phần tử bất kỳ của môđun M và

Do đó g là luỹ đẳng của eSe

Ta chứng minh r eSe( ) ( )I =g eSe

Với mọi phần tử m của môđun M chúng ta có f( )m là phần tử của

( )M r ( )I

f = M , suy ra I(f( )m )=0, từ đó If = 0

Lại thấy là một phần tử của eSe,  =ese suy ra e=( )ese e=ese=

và do đó Ie = I Ta có Ig =Ief =( )Ie f =If =0

Từ đó nếu x là một phần tử của g(eSe) thì x = g(ese), Ix=Igese=0.

Điều này dẫn đến x là phần tử của r eSe( )I và suy ra g( )eSe là tập concủa r eSe( )I

Với mọi x là phần tử của r eSe( )I , x là phần tử của eSe và Ix = 0

Vì Ix( )m =0 với m là phần tử bất kỳ của M, suy ra x(m) là phần tử của

( ) ( )I f M

r M = Do đó x( ) ( )m = f m' với m’ là phần tử nào đó của M

Điều này dẫn đến fx( )m = f(f( )m') ( ) ( )= f m' =x m với phần tử m bất

kỳ của môđun M Suy ra fx = x

Mặt khác x là phần tử của eSe , x=es1e suy ra ex=e( )es1e =es1e=x

Do đó x=ex=efx=gx là phần tử của g(eSe)

Điều này dẫn đến r eSe( )I là tập con của g( )eSe

Vậy r eSe( ) ( )I =g eSe , tức là eSe là vành Baer

2.1.2 Định lý Cho M là môđun Baer đối ngẫu với S=End( )M là vành

tự đồng cấu Khi đó eSe là vành Baer với e là một phần tử luỹ đẳng của S.

Chứng minh:

tồn tại luỹ đẳng f của S sao cho ( ) ( )M = f M

Vì =ese với s là phần tử nào đó của S nên (1−e) (= 1−e)ese=0suy ra (1−e) ( ) ( M = 1−e) ( )f M =0 Nên (1−e)f =0 dẫn đến f(1−e)f

Đặt g = fe, chúng ta sẽ chứng minh l eSe( ) =eSe(1−g).

Thật vậy, xét phần tử x thuộc l eSe( ) , ta có x là phần tử của

eSe eSeg

Điều này dẫn đến x=es2e(1−g) là phần tử của eSe(1−g), hay l eSe( )

là tập con của eSe(1−g)

Ngược lại, giả sử x là phần tử của eSe(1−g), x=ese(1−g) Ta có

Tóm lại, l eSe( ) =eSe(1−g) và suy ra eSe là vành Bear

2.2 Tâm của vành các tự đồng cấu

2.2.1 Định lý Cho M là môđun Baer với S =End( )M là vành tự đồng cấu Khi đó Z là tâm của S thì Z là vành Baer.

Chứng minh:

+) Ta sẽ chứng minh với ∀I⊂S thì r S( )I =eS (*) e2 =e∈S

Ta có: ∀∈S,∀m∈M ⇒( )m ∈M ⇒e( ) ( )m ∈e M Do M là môđunBaer nên r M( ) ( )I =e M , dẫn đến e( )m ∈r M( )I ,∀m∈M

Suy ra Ie( )m =0,∀m∈M ⇒Ie =0 hay e∈r S( )I

I r

eS⊂ S

Ngược lại, ∈r S( )I ⇒I=0⇒ I( )M =0⇒( )M ∈r M( ) ( )I =e M Vậy với ∀m∈M thì ( )m =e (m'), suy ra e( )m =eem'=em'=( )m , nên

r S ⊂