Chỉ số chính quy Castelnuovo - Mumford của môđun chính tắc và môđun khuyết

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHNGUYỄN HUỲNH NGỌC TÚ CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO – MUMFORD CỦA MÔĐUN CHÍNH TẮC VÀ MÔĐUN KHUYẾT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014... BỘ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN HUỲNH NGỌC TÚ

CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO – MUMFORD CỦA MÔĐUN CHÍNH TẮC VÀ

MÔĐUN KHUYẾT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN HUỲNH NGỌC TÚ

CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO – MUMFORD CỦA MÔĐUN CHÍNH TẮC VÀ

MÔĐUN KHUYẾT

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS ĐÀO THỊ THANH HÀ

NGHỆ AN - 2014

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

MỞ ĐẦU 2

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 Vành và môđun phân bậc 5

1.2 Độ dài môđun 7

1.3 Chiều Krull 9

1.4 Dãy chính qui 10

1.5 Iđêan nguyên tố liên kết 11

1.6 Môđun đối đồng điều địa phương 13

CHƯƠNG 2 CHỈ SỐ CHÍNH QUI CASTELNUOVO – MUMFORD CỦA MÔĐUN CHÍNH TẮC VÀ MÔĐUN KHUYẾT 15

2.1 Các khái niệm và tính chất cơ sở của chỉ số chính qui Castelnuovo–Mumford .15

2.2 So sánh chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford của môđun chính tắc và môđun khuyết với bậc đồng điều 18

KẾT LUẬN 26

TÀI LIỆU THAM KHẢO 27

MỞ ĐẦU

phân bậc hữu hạn sinh có chiều d Môđun chính tắc

R

K M =Ext − M R −n của M được đưa ra bởi Grothendieck đóng một vai trò quan trọng trong Đại số

giao hoán và Hình học Đại số (Xem, chẳng hạn [3]) Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là

reg K M của

( )

d

K M theo các bất biến khác của M hay không Bên cạnh môđun chính tắc,

người ta cũng quan tâm đến môđun khuyết

reg K M , i < d Người ta có thể nói rằng chỉ số chính

qui Castelnuovo-Mumford reg(M) điều khiển thành phần phân bậc dương của tất

l H M sẽ trở thành đa thức với j< −reg K M( i( ) ) Từ điều

âm Chú ý rằng trong các bài báo của M Brodmann và một số nhà Toán học khác

l H M trở thành đa thức (xem, chẳng hạn [2]) Trên

thực tế, một kết quả của [2] sẽ đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu

các kết quả của [8] Trong [8] đưa ra hai loại chăn trên cho ( i( ) )

reg K M Trong

.

Bậc đồng điều đã được đưa ra bởi Vasconcelos [11] và người ta có thể dùng

chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford và bậc đồng điều

Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại chi tiết các vấn đề trong

bài báo [8] của Lê Tuấn Hoa và E Hyry.

Ngoài lời mở đầu, mục lục, tài liệu tham khảo và kết luận, luận văn sẽ được chia thành 2 chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày một số

khái niệm cơ sở cuả Đại số giao hoán có sử dụng trong luận văn như: Vành và môđun phân bậc, chiều, độ sâu của môđun, hàm và đa thức Hilbert,

Chương 2 Chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford của môđun chính tắc và môđun khuyết

2.1 Các khái niệm và tính chất cơ sở của chỉ số chính qui

xin trân trọng cảm ơn tới ban giám hiệu cùng quí Thầy Cô khoa Toán của Trường Đại Học Vinh đã tạo điều kiện để em hoàn thành luận văn này.

Do đây là lần đầu tiên thực hiện công việc nghiên cứu, nên trong luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong được sự đóng góp ý kiến của các Thầy, Cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện

Đồng Tháp, ngày 09 tháng 09 năm 2014

Tác giả Nguyễn Huỳnh Ngọc Tú

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành và môđun phân bậc

1.1.1. Định nghĩa (i) Vành R được gọi là ¢ -phân bậc nếu R= ⊕i∈ R

cộng, và R R i j ⊆R i j+ , với mọi , i j∈¢ Hơn nữa, nếu R i =0 với mọi i<0 thì gọi R

là vành phân bậc dương hay ¥ -phân bậc.

nhất thì

deg ax = deg a + deg x , hoặc ax=0

là R -môđun Nếu x M0 ∈ và

x x= +x+ + +L x Với x k∈M i k k, ≤ ≤ j i j; , ∈¢Thì x (có thể k x k =0) được gọi là thành phần thuần nhất hoặc thành phần phân bậc

k của x Mỗi phần tử chỉ có một biểu diễn duy nhất thành tổng các thành phần phân

bậc

Cho S là vành con của vành R (không nhất thiết phân bậc) Khi đó người ta gọi R

là S -đại số Nếu a1, ,K a n∈R , kí hiệu S a[ 1, ,K a n] là tập hợp các tổ hợp tuyến tính

là các biến độc lập Nếu tồn tại a1, ,K a n∈R để R S a= [ 1, ,K a n] thì R được gọi là

S -đại số hữu hạn sinh.

1.1.2. Định nghĩa Vành phân bậc dương R= ⊕i 0≥ R được gọi là vành phân bậc

chuẩn trên R nếu 0 R R R= 0[ ]1

1.1.3. Ví dụ Xét vành đa thức n biến R k x= [ 1, ,K x n] Gọi R t là tập hợp các đa

≥

[ 1, , n]

cả các đa thức thuần nhất bậc nhất

1.1.4 Định nghĩa Môđun con N ⊆M được gọi là môđun con thuần nhất, hay

môđun con phân bậc nếu nó thoã mãn một trong ba điều kiện tương đương sau.

(i) N sinh bởi các phần tử thuần nhất

∈

= ⊕ ∩

1.1.5 Chú ý Nếu I là iđêan thuần nhất của R, thì R I là vành phân bậc Cũng vậy,

(ii) (x4 −yz x yz y z3, 3 − 4 +4xy z2 2) là iđêan thuần nhất của vành k x y z Khi đó[ , , ] [ ]

M p là môđun M nhưng với phân bậc M p( )i =M p i+ .

chuyển của M với p là số dịch chuyển.

1.1.8. Định nghĩa Cho M và N là hai môđun phân bậc trên vành phân bậc R Đồng

mọi i∈¢ ta có f M( )i ⊆ N i

1.1.9 Mệnh đề (i) Nếu f là đồng cấu thuần nhất thì hạch (hạt nhân) Kerf và ảnh

Imf của nó là các môđun con thuần nhất.

(ii) Nếu có dãy khớp

1.1.10 Định nghĩa Một tập sinh của R-môđun phân bậc bao gồm các phần tử

thuần nhất được gọi là tập sinh thuần nhất

Đối với iđêan thuần nhất cũng như môđun phân bậc, số phần tử sinh của mọi tập sinh thuần nhất tối tiểu nói chung là như nhau Cụ thể ta có:

1.2 Độ dài môđun

1.2.1 Định nghĩa Một R-môđun M khác môđun không được gọi là một môđun

đơn, nếu M chỉ có đúng hai môđun con là môđun không và chính nó.

1.2.2 Định nghĩa Một dãy hợp thành của R-môđun M là một dãy giảm gồm một

1.2.3 Ví dụ (i) Một không gian véc tơ có dãy hợp thành khi và chỉ khi nó có chiều

dài hữu hạn Một không gian véc tơ có dãy hợp thành với độ dài d khi và chỉ khi nó

có chiều d

1.2.4 Định lý (Jordan-Holder) Nếu R-môđun M có một dãy hợp thành với độ dài

n, thì tất cả các dãy hợp thành của M cũng có độ dài n Hơn thế nữa, mỗi dãy tăng hoặc giảm thật sự các môđun con của M đều có độ dài không vượt quá độ dài của các dãy hợp thành, và đều có thể mở rộng thành một dãy hợp thành.

Từ Định lý 1.2.4 ta có định nghĩa sau

1.2.5 Định nghĩa Độ dài của các dãy hợp thành tuỳ ý của R-môđun M được gọi là

độ dài của môđun M và ký hiệu là l M hoặc đơn giản là R( ) l M Nếu R-môđun M ( )

là một dãy khớp ngắn của các R-môđun và R-đồng cấu Khi đó

(i) R-môđun M có độ dài hữu hạn nếu và chỉ nếu cả L và N đều có độ dài hữu

được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n.

Cho p Spec R∈ ( ), cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố với p0 = p

( ) sup{

Cho I là một iđêan của R, khi đó độ cao của I được định nghĩa

ht I = ht p p Spec R p∈ ⊇I

Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong R được gọi là chiều

Cho M là một R-môđun, kí hiệu

1.3.2 Ví dụ a) Nếu K là một trường thì chiều Krull của K là 0 vì K chỉ có hai

iđêan là (0) và K, và (0) là iđêan nguyên tố duy nhất của K Vậy chiều Krull của K

là p¢ với p là số nguyên tố Hơn nữa mọi iđêan p¢ với p nguyên tố là iđêan cực

đại Từ đó xích nguyên tố của ¢ có độ dài lớn nhất có dạng

( )0 ⊂ p¢c) Xét vành đa thức 4 biến k x y z t Ta có[ , , , ]

1.4.1 Định nghĩa Cho M là R-môđun.

m M m∈ ≠ sao cho xm=0

0 đối với M.

(iii) Một dãy {x1, ,K x t} các phần tử của R được gọi là dãy chính qui của M hay

1.4.2 Định nghĩa Cho I ⊆R là một iđêan Nếu {x1, ,K x t} ∈I và là dãy chính qui

qui cực đại nằm trong iđêan I luôn như nhau Vì vậy ta có định nghĩa sau.

1.4.3 Định nghĩa Cho (R m là vành địa phương Noether Khi đó độ dài của dãy , )

sâu của môđun M.

1.4.4 Chú ý Cho M là R-môđun, ta luôn có

( )

depth M ≤dimM

1.4.5 Định nghĩa Cho ( R m là một vành địa phương Noether, M là R-môđun , )

0 :M x= m M xm∈ =0

1.5 Iđêan nguyên tố liên kết

1.5.1 Định nghĩa Cho M là R-môđun Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là

iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại một phần tử x M∈ để

1.5.3 Định nghĩa Môđun con N cuả M được gọi là môđun con nguyên sơ nếu

1.5.4 Định nghĩa Cho N là môđun con của M N được gọi là có phân tích nguyên

sơ nếu N được biểu diễn dưới dạng

1.5.5 Định lý Nếu N là một môđun con của môđun Noether M thì N có phân tích

nguyên sơ, và do đó có một phân tích nguyên sơ thu gọn.

1.5.6. Định Lý Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R Khi đó

nếu môđun con N của M có dạng phân tích nguyên sơ thu gọn

1

r i i

( )

k x, y,z,t Ass = p = x,z , p = x, y

1.6 Môđun đối đồng điều địa phương

Khái niệm đối đồng điều địa phương được đưa ra bởi Grothendieck Giả sử R là vành giao hoán địa phương Noether, I là iđêan của R và M là R-môđun

Γ • → a Γ →Γ( )

I

1.6.2. Định nghĩa Hàm tử Γ •I( ) xác định ở trên được gọi là I-xoắn.

1.6.3 Định nghĩa Xét giải nội xạ của môđun M

E• → → → → → →L − + →L

H Γ E• =K Γ d Γ d−

và gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M với giá là iđêan I.

H M = ∀i < r

I

H M = ∀i < depth M

1.6.7 Định lý (Định lý triệt tiêu của Grothendieck) Cho I la iđêan của vành giao

hoán Noether R và M là R - môđun hữu hạn sinh chiều d Khi đó

( ) 0,

i I

Trong đó ∂ ∂0, ,1 K là các đồng cấu nối.

Chương 2 CHỈ SỐ CHÍNH QUI CASTELNUOVO-MUMFORD CỦA MÔĐUN CHÍNH TẮC VÀ MÔĐUN KHUYẾT

2.1 Các khái niệm và tính chất cơ sở của chỉ số chính qui Castelnuovo– Mumford

( ) inf{ /[ ]i 0}

beg N = i∈¢ N ≠ ,và

e dn N =sup i∈¢ / N i ≠0

2.1.1 Định nghĩa Cho M là R-môđun hữu hạn sinh Số

( ) ax{ d( i ( ) ) / 0}

m

được gọi là chỉ số chính qui Castelnuovo–Mumford của M.

là dãy khớp ngắn các R-môđun phân bậc Khi đó

(i) reg B( ) ≤max{reg A reg C( ), ( ) },

(ii) reg A( ) ≤max{reg B reg C( ), ( ) +1 }

x∉ ∀ ∈p p As Ms \ m

trường k là vô hạn, luôn tồn tại phần tử lọc chính qui đối với hữu hạn các môđun hữu hạn sinh

Giả sử x là phần tử M-lọc chính qui tuyến tính Khi đó

2.1.4 Bổ đề Cho x là phần tử M-lọc chính qui tuyến tính

1

reg M ≤reg M xM/ ≤regM

Cuối cùng chúng ta hãy nhớ lại khái niệm của chỉ số chính qui (của hàm Hilbert)

trong đó d là số chiều của môđun M.

h n = p n với n reg M> ( ).Công thức này là một hệ quả của công thức Grothendieck - Serre sẽ nói ở trong phần chứng minh của Bổ đề 2.1.6

2.1.5 Định nghĩa Cho h t và M( ) p t tương ứng là hàm Hilbert và đa thức M( )

Hilbert của M, số

( ) ax{ / M( ) M( ) }

ri M =m j∈¢ h j ≠ p j

Được gọi là chỉ số chính qui của M.

2.1.6 Bổ đề Cho x là phần tử M-lọc chính qui tuyến tính Khi đó

(i) (cf [5], Mệnh đề 20.20) reg M( ) =max{reg M xM en H M( / ), d( m0( ) ) },

(ii) reg M( ) =max{reg M xM ri M( / ) ( ), },

(iii) Nếu M là một môđun Cohen-Macaulay có chiều d thì reg M( ) =ri M( ) +d

Chứng minh

(i) Dựa theo Bổ đề 2.1.4 và (1)

(ii) Từ công thức Grothendieck-Serre

cách đệ quy theo chiều như sau:

2.2.1 Định nghĩa ([ ]11 và [ ]12 , Định nghĩa 9.4.1) Bậc đồng điều của M là số

1 0

K M là môđun chính tắc của M Theo Schenzel ([ ]9 ,phần 3.1) người ta

K M là hữu hạn sinh và từ [ ]9 , phần 3.1 ( xem Bổ đề 3.1.1 và trang 63) chúng ta có:

( ) ( ) ( )

cấu chính tắc sau đây của môđun phân bậc

Từ Bổ đề 2.2.2, một câu hỏi tự nhiên đặt ra là có thể dùng bậc đồng điều để chặn

Định lý sau đây trả lời cho câu hỏi này và cũng là kết quả chính của phần này

2.2.3 Định lý (i) với mọi i d≤ −1 ta có

( )

reg K M i ≤d h deg M −deg M −beg M −i.(ii) reg K M( d( ) ) ≤d1+hdeg( )M −deg( )M −beg M( )

Chú ý khi M là môđun Cohen-Macaulay, d( )

K M hoặc từ tính đối ngẫu Do đó trong trường hợp này chúng ta có

đẳng thức (ii) của định lý trên

Để chứng minh Định lí 2.2.3 ta cần một vài kết quả bổ trợ

2.2.4 Bổ đề ([ ]10 ,Mệnh đề 2.4) Cho x là một phần tử M - lọc chính qui tuyến tính

Thì có dãy khớp ngắn các môđun phân bậc

với mọi số nguyên i≥0.

Để ngắn gọn hơn, trong chứng minh chúng ta thường dùng kí hiệu sau

Trong phần tiếp theo luôn giả thiết x là phần tử tuyến tính tồng quát, ở đây ta hiểu x

khuyết được nhắc lại trong [11], Định nghĩa 2.12 Đây là tập hữu hạn các môđun

mà các phần tử như thế luôn tồn tại

2.2.6 Bổ đề Giả sử depth M( ) 0> và r i d≤ < Khi đó

1

i

j j

reg K M xM reg K M xM

d

M xM h K M xM i

j d

1 1

j

reg K M xM

d beg M h K h K i

K beg M i

∑

Bổ đề 2.2.6 được chứng minh hoàn chỉnh W

Chứng minh Định lý 2.2.3 Từ hdeg( )M ≥deg( )M ,và Bổ đề 2.2.5 chúng ta giả sử

2.2.1 có thể viết lại như sau

1 1

1

1

d

d j j

d

j j

i

j j

i

j j

d

j d

j d

j d

j d

Từ hdeg( )M ≤hdeg( )M ,deg( )M =deg( )M và beg M( ) ≥beg M( ),bất đẳng thức trên cho ta

reg K ≤d h M − M −beg M −i

Như vậy (i) đã chứng minh xong

(ii) Chúng ta thực hiện qui nạp theo d

Ta phân biệt hai trường hợp:

Định lý 2.2.3 được chứng minh xong

2.2.7 Chú ý Từ ý tưởng bậc đồng điều Vasconcelos cũng đưa ra lớp các hàm,

KẾT LUẬN

Luận văn đã trình bày lại một số kết quả sau

1 Các khái niệm và tính chất cơ sở của chỉ số chính qui Mumford

Castelnuovo-2 So sánh chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford của môđun chính tắc và môđun khuyết với bậc đồng điều

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

Nội.

Tiếng Anh

cohomological deficiency functions of projective schemes over Artinian rings

Vietnam J Math 31, no 1, 71–113.

in Advanced Mathematics, 39 Cambridge University Press, Cambridge.

degrees and Hilbert functions of graded modules Amer J Math 120, no 3, 493–

504

geometry Graduate Texts in Mathematics, 150 Springer-Verlag, New York.

multiplicity J Algebra 88, no 1, 89–133.

modules, Communication in Algebra, 36, pp, 992 - 1004.

and deficiency modules, J Algebra, 305, no 2, 877–900.

[9] P Schenzel (1982), Dualisierende Komplexe in der lokalen Algebra and

Buchsbaum-Ringe, Lecture Notes in Mathematics, 907, Springer-Verlag,

Berlin-New York

[10] P Schenzel (2004), On birational Macaulayfications and Cohen-Macaulay

canonical modules, J Algebra 275, no 2, 751-770.

[11] W V Vasconcelos (1998), The homological degree of a module Tran

Amer Math Soc 350, no 3, 1167-1179.

[12] W V Vasconcelos (1998), Computational methods in commutative algebra and algebraic geometry With chapters by David Eisenbud, Daniel R Grayson, Jurgen Herzog and Michael Stillman Algorithms and Computation in

Mathematics, 2 Springer-Verlag, Berlin.