Chiều và bội của môđun đối đồng điều địa phương

SpecR Tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành RMaxR Tập tất cả các iđêan cực đại của vành R AnnM Linh hóa tử của môđun M AssM Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của môđun MSuppM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN THỊ THANH CHƯƠNG

CHIỀU VÀ BỘI CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Đinh - 2020

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN THỊ THANH CHƯƠNG

CHIỀU VÀ BỘI CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số

Người hướng dẫn

TS NGUYỄN THÁI HÒALời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài Chiều và bội của môđun đối đồng

điều địa phương là công trình nghiên cứu khoa học của riêng tôi dưới sự

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

hướng dẫn của TS Nguyễn Thái Hòa, nội dung không sao chép của bất kỳ ai

và chưa từng được công bố dưới bất kỳ hình thức nào, các kết quả không phảicủa riêng tôi mà đều được trích dẫn với nguồn gốc rõ ràng

Bình Định, ngày tháng năm 2020

Người thực hiện

Nguyễn Thị Thanh Chương

Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của thầyhướng dẫn TS Nguyễn Thái Hòa, Trường Đại học Quy Nhơn Tôi xin bày tỏ

sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy đã giúp đỡ tôi trong suốt quátrình học tập và thực hiện luận văn Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý Banlãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán

và Thống kê cùng quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học Đại số và lí thuyết

số khóa 21 đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình họctập và thực hiện đề tài

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến người thân, bạn bè đã luôn giúp đỡđộng viên để tôi hoàn thành khóa học và luận văn này

Spec(R) Tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R

Max(R) Tập tất cả các iđêan cực đại của vành R

Ann(M ) Linh hóa tử của môđun M

Ass(M ) Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của môđun MSupp(M ) Giá của môđun M

Psuppi

R(M ) Giả giá thứ i của môđun Mpsdi(M) Giả chiều thứ i của môđun M

lR(M) Độ dài của R-môđun M

gr(R) Vành phân bậc liên kết của vành R

gr(M) Môđun phân bậc liên kết của môđun M

d(M) Bậc của đa thức Hilbert-Samuel của môđun M

dim R Chiều Krull của vành R

dim M Chiều Krull của môđun M

ht(I) Chiều cao của iđêan I

idR(M) Chiều nội xạ của môđun M trên vành R

depth M Độ sâu của môđun M

Muc luc

Lời cảm ơn

Một số ký hiệu

1.1 Đầy đủ 4

1.2 Tôpô Zariski 6

1.3 Địa phương hóa 7

1.4 Sự phân tích nguyên sơ 10

1.5 Lý thuyết biểu diễn thứ cấp 12

1.6 Đa thức Hilbert, chiều Krull và môđun Cohen-Macaulay 13

1.7 Đồng cấu phẳng 22

1.8 Đối đồng điều địa phương 23

1.9 Đối ngẫu Matlis 29

1.10 Tính catenary của vành và vành Gorenstein 30

2 CHIỀU VÀ BỘI CỦA MÔĐUN ĐốI ĐồNG ĐIÊU ĐỊA PHƯƠNG 33 2.1 Đa thức Hilbert, chiều và bội của môđun Artin 34 2.2 Công thức bội liên kết của môđun đối đồng điều địa phương 38

sơ q (xem [6]):

e(q, M) = lRp(Mp)e(q, R/p)

p eSupp(M) dim R/p=d

Năm 1973, D Kirby [11] đã chỉ ra rằng với mỗi R-môđun Artin A, nếu q làiđêan của R sao cho l(0 : A q) hữu hạn thì l(0 : A qn) là một đa thức khi n đủ lớn Ông

gọi đa thức này là đa thức Hilbert của một R-môđun Artin A Năm 1974, R N.

Roberts [18] đưa ra khái niệm chiều Noether cho môđun Artin A và chứng tỏ rằng

nó bằng bậc của đa thức Hilbert-Samuel

của môđun A Khi đó trong đó gs= e(q, A) là số bội của A ứng với iđêan q và s =

N — dim A là chiều Noether của môđun A

Biết rằng, với mỗi số nguyên không âm i, môđun đối đồng điều thứ i H m (M)

của M là môđun Artin Năm 2002, M Brodmann và R Y Sharp (xem [5]) đưa ra

hai khái niệm giả giá thứ i của M, kí hiệu PsuppR(M) và giả chiều thứ i của M, kíhiệu là psd*(M) :

(i) Giả giá thứ i của M, kí hiệu PsuppR(M), được cho bởi công thức

PsuppR(M) = {p e Spec(R) | Rp M p = 0}

(ii) Giả chiều thứ i của M, kí hiệu là psd*(M), được xác định bởi

psd*(M) = max{dim(R/p) | p E PsuppR(M)}

và thiết lập công thức bội liên kết của môđun đối đồng điều địa phương thứ i Hm

(M) trong hai trường hợp là vành cơ sở là ảnh đồng cấu của một vành Gorensteinđịa phương và vành cơ sở là catenary phổ dụng địa phương mà tất cả thớ hình thứccủa nó là Cohen-Macaulay

Nếu //m(M) = 0 thì

e'(q,Hm (M ))= £ l R p — m (Mp))e(q,R/p)

p e Psupp i(M) dim R/p=psdi(M )

Với mục đích tìm hiểu sâu hơn về đại số giao hoán, chúng tôi chọn đề tài:

"Chiều và bội của môđun đối đồng điều địa phương" Mục tiêu của luận văn là

trình bày lại một số kết quả liên quan đến chiều và bội của môđun đối đồng điềuđịa phương trong [3], [4], [5], [6], [8], [14], [19],

Nội dung của luận văn gồm hai chương

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số kiến thức về đầy đủ, địa phương hóa, sự phân tíchnguyên sơ, biểu diễn thứ cấp, đa thức Hilbert-Samuel, chiều Krull, môđun Cohen-

Macaulay, đối đồng điều địa phương, tôpô Zariski, đối ngẫu Matlis, vành catenaryphổ dụng, vành Gorenstein và đồng cấu phẳng.

Chương 2: Chiều và bội của môđun đối đồng điều địa phương

Chương này trình bày một số kết quả về chiều và bội của môđun Artin; chiều

và bội của môđun đối đồng điều địa phương trong hai trường hợp là vành cơ sở làảnh đồng cấu của một vành Gorenstein địa phương và vành cơ sở là catenary phổdụng địa phương mà tất cả thớ hình thức của nó là Cohen-Macaulay

Mặc dù luận văn được thực hiện với sự nỗ lực cố gắng hết sức của bản thân,nhưng do điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức và kinh nghiệm nghiên cứucòn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận đượcnhững góp ý của quý thầy cô giáo để luận văn được hoàn thiện hơn

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUAN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức về đầy đủ, địa phươnghóa, đa thức Hilbert-Samuel, chiều Krull, môđun Cohen-Macaulay, sự phân tíchnguyên sơ, lý thuyết biểu diễn thứ cấp, đồng cấu phẳng, đối đồng điều địa phương,đối ngẫu Matlis, vành catenary phổ dụng, vành Gorenstein và tôpô Zariski theo[4], [5], [9], [10], [12], [13], [14]

Nội dung của phần này được trình bày theo [14].

Định nghĩa 1.1.1 Một vành lọc R là một vành R cùng với một họ (Rn)n> 0các nhómcon của (R, +) thỏa mãn các điều kiện:

(i) R0 = R;

(ii) Rn +1c Rnvới mọi n > 0;

(iii) R n R m c R n+m với mọi n,m > 0

Ví dụ 1.1.2 (i) Giả sử R là một vành bất kì Cho R0= R và Rn= 0 với mọi n > 1 Khi

đó (Rn)n> 0là một lọc của vành R và nó được gọi là một lọc tầm thường của R

(ii) Cho I là một iđêan của R Khi đó (In)n> 0là một lọc của R, nó được gọi làmột lọc I-adic của R

(iii) Cho (Rn)n> 0là một lọc của R và S là một vành con của R Khi đó (Rnn S)n^ 0

là một lọc của S, nó được gọi là lọc cảm sinh trên S

Định nghĩa 1.1.3 Cho R là một vành lọc với lọc (Rn)n> 0 Một R-môđun M lọc là một

R-môđun M cùng với một họ (Mn)n^ 0các R-môđun con của M thỏa mãn các điềukiện:

(i) M0 = M;

(ii) Mn +1c Mnvới mọi n > 0;

(iii) R m M n c M m+n với mọi n,m > 0

Ví dụ 1.1.4 (i) Cho M là một R-môđun và R có lọc tầm thường Khi đó M cũng có

một lọc tầm thường và được định nghĩa bởi M0= M, Mn= 0 với mọi n 1.

(ii) Xét lọc I-adic của R với I là một iđêan của R Định nghĩa lọc I-adic của M

là M = InM với mọi n > 0 Khi đó M là một R-môđun lọc

Cho M là một R-môđun lọc Lọc (Mn)n^ 0trên M xác định một tôpô trên M tươngthích với cấu trúc nhóm con abel của M mà (Mn)n> 0là một cơ sở lân cận của 0 Tôpô

này được gọi là tôpô cảm sinh bởi lọc (M n ) n ^ 0

Trước hết chúng tôi nhắc lại khái niệm dãy Cauchy: Một dãy (xn) các phần tửtrong M được gọi là một dãy Cauchy nếu với mỗi k E N, tồn tại n0sao cho xm— xn

E M k , với mọi m, n > n0

Gọi T là tập tất cả các dãy Cauchy trong M Trên T quan hệ hai ngôi được định

nghĩa bởi: Với mọi (x n ), (y n ) E T, (xn) ~ (yn) khi và chỉ khi với mỗi m E N, tồn tại n0

sao cho xn— ynE M m , với mọi n > n 0 Khi đó quan hệ trên là quan hệ tương đương

Kí hiệu

Tương tự, gọi S là tập các dãy Cauchy trong R ứng với lọc (R n ) n > 0 Kí hiệu R = S/ ~

được gọi là tôpô I-adic và bao đầy đủ M được gọi là bao đầy đủ I-adic.

Nội dung phần này được trình bày theo [14]

Kí hiệu Var(a) = {p E Spec(R) | a c p} cho tập hợp tất cả iđêan nguyên tố chứa

a

Bổ đề 1.2.1 Cho a, b E Id(R) và (ci)iE r là một họ các iđêan của vành R Khi đó

a) Var(0) = Spec(R), Var((1)) = 0

b) Var(a) u Var(b) = Var(a n b) = Var(ab)

Var(c

i) = Var( Eic r ci)

Định nghĩa 1.2.2 Tôpô trên Spec(R) xác định bởi họ các tập con mở

T := {M c Spec(R) | a E Id(R) sao cho M = R\ Var(a)} được gọi là tôpô Zariski

Không gian tôpô (Spec(R), T) thường được gọi là phổ (spectrum) của R Tôpô cảm sinh trên Max(R) gọi là phổ cực đại.

Ví dụ 1.2.3 1) Cho R là một trường khi đó Spec(R) = {0}.

2) Cho R = Z khi đó Spec(R) = {0;pZ}, p là số nguyên tố

1.3 Địa phương hóa

Nội dung của phần này được trình bày theo [9]

Cho R là một vành giao hoán có đơn vị Tập S c R được gọi là một tập nhân

S X R = {(s, r) | s E S và r E R}

và định nghĩa trên S X R một quan hệ hai ngôi:

V(s,r), (t, k) E S X R, (s, r) ~ (t, k) o 3u E S : u(ks — tr) = 0.

Khi đó, quan hệ ~ là một quan hệ tương đương Với mỗi (s,r) E S X R,

ta kí hiệu lớp tương đương (s,r) là - và tập thương (S X R)/^ là S-1R

shay RS Ta định nghĩa hai phép toán cộng và nhân như sau:

Với mọi - và — E R S, —+— = -— và - = —.

Chúng ta có thể kiểm tra (RS, +, •) là một vành giao hoán có đơn vị ĩ

Định nghĩa 1.3.1 Vành RSđược gọi là vành các thương của vành R tương ứng với

(ii) Với mỗi p E Spec(R), Spec(Rp) = {qRp | q E Spec(R) và q c p}

(iii) Với mỗi p E Spec (R), vành R p là một vành địa phương với iđêan cực đại

p R p

Cho M là một R-môđun Xét vành các thương RSvới S là một tập nhân đóng.Xét tập

(S X M)/^, là S—1M hay M S Ta định nghĩa phép cộng và phép nhân vô hướng như sau:

Chúng ta có thể kiểm tra M S là một RS-môđun

Định nghĩa 1.3.3 Môđun MS trên vành RSđược gọi là môđun địa

phương hóa của M tương ứng với tập nhân đóng S.

Chú ý rằng, với mỗi p E Spec(R'), S = R \ p là một tập nhân đóng Khi đó,

Định nghĩa 1.3.4 Cho M là một R-môđun Tập

SuppR(M) = {p E Spec(R) | Mp = 0}

được gọi là giá của môđun M

Mệnh đề 1.3.5 Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì

Supp(M) = Var(AnnRM)

Cho f : R —> S là một đồng cấu giữa các vành Một S-môđun M có thể xem làmột R-môđun thông qua ánh xạ f bằng định nghĩa ax = f (a)x với mọi a E R và mọi

x E M

Định nghĩa 1.3.6 Cho M là một R-môđun Môđun S 0 R M là một S-môđun với phép nhân vô hướng được xác định bởi s(si 0 x) = ssi 0 x với mọi s, s1E R và mọi x

E M.

Định lý 1.3.7 Ánh xạ chính tắc f : RS0RM —> MSđược cho bởi f[(a/s) 0 x] — ax/s,

Trong chương này, chúng tôi trình bày sự phân tích nguyên sơ của một môđuntheo [13]

Cho R là một vành Noether giao hoán và M là một R-môđun

Định nghĩa 1.4.1 Môđun con thực sự N của M được gọi là nguyên sơ nếu với mọi

Mệnh đề 1.4.2 Cho N là môđun con nguyên sơ của M Khi đó

RadM(N) — {a E R | 3k E N,akM c N} — p là một iđêan nguyên tố của R Môđun

Định nghĩa 1.4.3 Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là một iđêan nguyên tố

Ann(x) = (0 :R x) = p

Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssR(M) hayAss(M).

Mệnh đề 1.4.4 Cho R là một vành Noether giao hoán và M là một môđun khác

không hữu hạn sinh trên vành R Khi đó tồn tại một dây chuyền chặt các môđun

Spec(R), với mọi i = 1, Hơn nữa

Ass R (M) C {pi, ,Pn} C Suppfí(M)

và tập các phần tử cực tiểu của ba tập này là trùng nhau.

Cho N là một môđun con của M Một phân tích nguyên sơ của N là một biểu

diễn N = Q1n Q2n n Qrvới mọi Qi là môđun con nguyên sơ trong M Hơn nữa,

một phân tích nguyên sơ được gọi là tối thiểu nếu không thể bỏ đi bất cứ một Qi

k=i

RadM ( Qi ) = RadM (Qj )

Hiển nhiên, một phân tích nguyên sơ của N có thể đưa về một phân tích nguyên

sơ tối thiểu

Định lý 1.4.5 Mọi môđun con thực sự của một môđun Noether đều có sự phân tích nguyên sơ tối thiểu.

Mệnh đề 1.4.6 Cho R là một vành Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh Khi đó

0 = Q(p), trong đó Q(p) là môđun con p-nguyên sơ.

p e Ass(M)

1.5 Lý thuyết biểu diễn thứ cấp

Ta đều biết rằng lý thuyết về sự phân tích nguyên sơ của các môđun con củamột môđun Noether đóng vai trò quan trọng trong Đại số giao hoán Một lý thuyết

tương tự đối với các môđun Artin gọi là lý thuyết biểu diễn thứ cấp được đưa ra

bởi D Kirby và I G Macdonal Chúng tôi trích dẫn một số nội dung của lý thuyếtnày theo ngôn ngữ của Macdonal [12]

Định nghĩa 1.5.1 Cho C là một R-môđun.

(i) C gọi là môđun thứ cấp nếu C = 0 và với mọi x E R, tự đồng cấu C A Choặc là toàn cấu hoặc là lũy linh

Trong trường hợp p = Rad(0 : C) là một iđêan nguyên tố và ta nói C là p-thứcấp

(ii) Cho C là một R-môđun Một biểu diễn thứ cấp R-môđun C là một phân

tích C = C1+ C2+ + Cnthành tổng hữu hạn các môđun con Pi-thứ cấp Ci Nếu C =

0 hoặc C có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói C là biểu diễn được Biểu diễn thứ cấp

này được gọi là tối thiểu nếu các iđêan nguyên tố pi đôi một khác nhau và không

có Cinào bỏ đi được

Dễ thấy rằng, mọi biểu diễn thứ cấp của R-môđun C đều có thể quy về tốithiểu Tập hợp {p1, , pn} là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối thiểu của

C Vì thế ta gọi nó là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của C và kí hiệu là Attfì(C).Các hạng tử Ci, i = 1, ,n, được gọi là các thành phần thứ cấp của C Nếu Pi là tốithiểu trong AttR(C) thì Ci được gọi là thành phần cô lập Tập AttR(C) đóng vai tròquan trọng tương tự như tập Ass(M) của một môđun Noether M

Định lý 1.5.2 Mọi R-môđun Artin L đều có một biểu diễn thứ cấp tối thiểu.

Mệnh đề 1.5.3 Giả sử L là một R-môđun biểu diễn được Khi đó các phát biểu sau

là đúng:

(i) AttR L = 0 khi và chỉ khi L = 0.

(ii) minAttRL = minVar(AnnRL) Đặc biệt,

dim(R/AnnRL) = max{dim(R/p) | p E AttRL }

(iii) Cho 0 L' L !' ' > 0 là dãy khớp các R-môđun biểu diễn

được Khi đó ta có Att R L " c AttRL c Att R L' u AttRL".

Nội dung của phần này được trình bày theo [9], [13] và [14]

Định nghĩa 1.6.1 Vành R được gọi là vành phân bậc nếu tồn tại một họ các nhóm

con (Rn)n> 0của nhóm (R, +) thỏa mãn các điều kiện sau:

(i)R = ®n> 0Rn;

(ii) R n R m c R n+m với mọi n, m > 0

Ví dụ 1.6.2 (i) Cho R là một vành bất kì và R0 = R và Rn= 0 với mọi n > 1 Khi đó

R là vành phân bậc và gọi là vành phân bậc tầm thường

(ii) Xét vành đa thức n biến R = K[X1, X2, , Xn] với K là một trường Gọi Rd làtập tất cả các đa thức thuần nhất bậc d và đa thức không Khi đó ta có R = ®d> 0Rdvà

RdRmc R d+m với mọi d, m > 0 Vậy R = K[X1,X2, ,Xn] là một vành phân bậc

Định nghĩa 1.6.3 Giả sử R = ®n> 0Rnlà một vành phân bậc, R-môđun M được gọi là

các điều kiện sau:

(i)M = ®n> 0Mn;

(ii) R n M m c M n+m với mọi n, m > 0

Ví dụ 1.6.4 Xét vành đa thức n biến R = K[X1,X2, ,Xn] với sự phân bậc được địnhnghĩa ở ví dụ (ii) ở trên, khi đó R được xem là một R-môđun phân bậc

Những phần tử của Rnhoặc Mntrong một vành phân bậc hoặc một môđun phân

bậc được gọi là thành phần thuần nhất bậc n.

Định nghĩa 1.6.5 Cho R là một vành lọc với lọc (Rn)n> 0 Đặt

gr n (R) = R n /R n+i ; gr(R) = ® n > o gr‘ n (R)

Khi đó gr(R) có một phép toán nhân được cho bởi

(a + Rn+1)(b + Rm+1) = ab + Rn+m+1 với a E R n , b E R m Khi đó gr(R') là một vành

phân bậc Vành này được gọi là vành phân bậc liên kết của R.

Ví dụ 1.6.6 Xét lọc I-adic của vành lọc R, Rn= Invới mọi n > 0 Đặt gr n (R) = I n /

Định nghĩa 1.6.7 Cho M là một R-môđun lọc trên vành lọc R với lọc (Mn)n^ 0của M

và lọc (Rn)n> 0của R Đặt

Khi đó gr(M) có một phép toán nhân được cho bởi

(a + Rn+1)(x+ Mm+1) = ax + Rn+m+1

với a E Rn, x E M m Khi đó gr(M) là một R-môđun phân bậc Môđun này được gọi

là môđun phân bậc liên kết của M.

Tiếp theo, chúng tôi trình bày khái niệm đa thức Hilbert và chiều Krull của mộtmôđun

Định nghĩa 1.6.8 Một hàm đa thức f là một ánh xạ f : N —> Q sao cho tồn tại một

đa thức g(X) E Q[X] thỏa mãn f (n) = g(n) khi n đủ lớn.

Chú ý rằng, đa thức g(X) là duy nhất Bậc và hệ tứ cao nhất của đa thức này

được gọi là bậc và hệ tứ cao nhất của hàm đa thức f.

Định lý 1.6.9 Cho f : N —> Q là một ánh xạ Khi đó, f là một hàm đa thức bậc r

khi và chỉ khi : N —> Q được định nghĩa bởi (n) = f (n + 1) — f (n) là một hàm đa

Tiếp theo, chúng tôi trình bày một loại hàm đa thức đặc biệt

Mệnh đề 1.6.10 Cho R = ® n > 0 R n là một vành phân bậc, trong đó R 0 là vành Artin, R

Hệ quả 1.6.11 Với mỗi n > 0, lR o(Mn) < TO

Định lý 1.6.12 Cho R = ® n > 0 R n là một vành phân bậc với R 0 là vành Artin và R là

x (M,n) = l R o (M n ) là một hàm đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng r — 1.

Hệ quả 1.6.13 Cho R là một vành Noether địa phương với iđêan cực đại m sinh

Định nghĩa 1.6.14 Đa thức được định nghĩa từ hàm đa thức X(M, n) được gọi là đa

thức Hilbert của môđun M.

Tiếp theo, chúng tôi trình bày trường hợp đặc biệt của đa thức Hilbert

Cho R là một vành Noether giao hoán địa phương với iđêan cực đại m Một

iđêan I được gọi là một iđêan định nghĩa của R nếu mkc I c m với một k > 1 Điềunày tương đương với I c m và R/I là Artin

Cho I là một iđêan định nghĩa của R và M là một R-môđun hữu hạn sinh Khi

đó M/IM là môđun hữu hạn sinh trên R/I Xét lọc I-adic của R và M Khi đó ta có

vành phân bậc liên kết và môđun phân bậc liên kết grI(R) = ®n> 0In/In+1và grI(M) =

a1, , artrên R thì ảnh của chúng a1, ,artrong I/1 2 sinh ra grI(R) trên R/I Vì vậy,hàm đa thức x (gr I (M),n) được xác định, trong đó

Ký hiệu P I (M,n) = l R (M/I n M) Từ dãy khớp ngắn các R-môđun

và l R (I n M/I n+ỉ M) = lR/I(InM/In+1M), ta được

Mệnh đề 1.6.15 Cho R là một vành Noether địa phương với iđêan cực đại m, M là

một R-môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan định nghĩa của R sinh bởi r phần tứ.

Mệnh đề 1.6.16 Bậc của hàm đa thức P I (M,n) của môđun M không phụ thuộc vào

Cho R là một vành giao hoán có đơn vị 1 = 0 Một dãy hữu hạn gồm n + 1iđêan nguyên tố p0D pl D D pnđược gọi là một dây chuyền nguyên tố độ dài n.

Nếu p E Spec(R), chặn trên nhỏ nhất của tất cả độ dài của các dây chuyền nguyên

tố với p = p0được gọi là độ cao của p và kí hiệu là ht(p) Vì vậy ht(p) = 0 tức là p

là iđêan nguyên tố tối tiểu của R

Cho I là một iđêan thực sự của R Chúng ta định nghĩa độ cao của I là chặn

dưới lớn nhất của các độ cao của các iđêan nguyên tố chứa I:

ht(I) = inf{ht(p) | p 3 I}

Định nghĩa 1.6.17 Chiều Krull của R được định nghĩa là chặn trên nhỏ nhất của tất

cả độ cao của tất cả iđêan nguyên tố của R:

dim R = sup{ht(p) | p E Spec(R)}

Ví dụ 1.6.18 1) Cho K là một trường Khi đó dim K = 0.

2) dim Z = 1

Nhận xét 1.6.19 (i) Với mỗi p G Spec(R),ht(p) = dim(Rp).

(ii) Với mỗi iđêan I của R, dim(R/I) + ht(I) < dim R

Định nghĩa 1.6.20 Cho M = 0 là một R-môđun Chiều Krull của M là

dim(M) = dim(R/Ann(M))

Nếu M = 0, qui ước dim(M) = -1

Bổ đề 1.6.21 Cho (R, m) là một vành giao hoán Noether địa phương và M = 0 là

Định lý 1.6.22 Cho (R, m) là một vành giao hoán Noether địa phương và M = 0 là

một R-môđun hữu hạn sinh Khi đó

d(M) = dim(M) = Ỗ(M)

x r )M) < TO.

Mệnh đề 1.6.23 Cho (R, m) là một vành giao hoán Noether địa phương và M = 0

là một R-môđun hữu hạn sinh Khi đó

(i) dimR(M) = dim R(M)

(ii) dim M = max{dim(R/p) | p E Ass(M)}.

Chúng tôi sẽ trình bày một số nội dung về môđun Cohen-Macaulay

Định nghĩa 1.6.24 Cho (R, m) là vành giao hoán Noether địa phương với iđêan cựcđại m, M là một R-môđun hữu hạn sinh chiều d Một hệ phần tử x1, , xdE m sao

cho £(M/(x , , x )M) < TO được gọi là một hệ tham số của M.

Ví dụ 1.6.25 Cho R là vành Noether địa phương với dim R = d và I = (x1, , xd) là iđêan định nghĩa của R Khi đó x1, , xdlà hệ tham số của R.

Nếu R = k[[Xi, , Xn]], k là một trường thì X1, , Xnlà hệ tham số của R

Ghi chú 1.6.26 Cho (R, m) là vành Noether địa phương, M là R-môđun hữu hạn

1R (M/qnM) = P q (M, n) = eo(n + ộ +ejn + d

11V +en, khi n > 0.

Định nghĩa 1.6.27 Cho M là một R-môđun Một dãy a = a1 ,a 2 , ,a n của R được gọi

là một dãy chính quy đối với M (còn gọi là M-dãy chính quy hay M-dãy) nếu các

điều kiện sau được thỏa mãn

(1) (a)M = M với (a) = (ai,a2, ,an)

(2) aikhông là ước của không đối với M/(a1, a2, , ai -1)M, với mọi i= 1, ,n.Chú ý rằng, Với i = 1 thì điều kiện (2) có nghĩa là a1không là ước của không đối với M

Nếu tất cả các phần tử a 1 ,a 2 , ,a n cùng thuộc một iđêan I của R thì ta nói a 1 ,

Định lý 1.6.28 Cho R là một vành Noether giao hoán địa phương, M là một

R-môđun hữu hạn sinh trên vành R và I là một iđêan của R sao cho IM = M Khi đó hai M-dãy cực đại bất kì trong I có cùng độ dài.

Định nghĩa 1.6.29 Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành Noether giao hoán

R và I là một iđêan của R sao cho IM = M Số phần tử của một M-dãy cực đại chứa trong I được kí hiệu là depthI(M)

Nếu R là một vành Noether địa phương với iđêan cực đại m thì depthm(M)

được gọi là độ sâu của môđun M và được kí hiệu là depth(M).

Mệnh đề 1.6.30 Nếu M là một môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán Noether

Định nghĩa 1.6.31 Môđun M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu M = 0 hoặc

dim M = depth M

Vành R được gọi là vành Macaulay nếu nó là một R-môđun

Cohen-Macaulay

Mệnh đề 1.6.32 (Xem [14]) Các điều kiện sau là tương đương.

(i) M là môđun Cohen-Macaulay.

(ii) Tồn tại một hệ tham số x của M sao cho e(x; M) = t(M/(X)M).

(iii) e(x; M) = Ế R (M/( X )M ) với mọi hệ tham số X.

(iv) Mọi hệ tham số của M đều là M-dãy.

(v) Hm(M) = 0 với i = 0, ,d — 1

(vi) M là môđun Cohen-Macaulay.

Trong phần này, chúng tôi trình bày một số kết quả theo [13]

Giả sử f : R S là đồng cấu vành Khi đó mỗi S-môđun L đều có cấu trúc môđun, trong đó phép cộng đã có sẵn trong L và tích vô hướng xác định bởi Vr E

R-R, Va E L, f (r)a = ra Cấu trúc R-môđun L xác định như thế được gọi là cấu trúc R-môđun xác định bởi f.

Một đồng cấu f : R S được gọi là đồng cấu phẳng nếu S xét như R-môđun xác

định thông qua f là R-môđun phẳng, tức là với mỗi dãy khớp các R-môđun

0 !: ' ■ L í " ■ 0dãy cảm sinh 0 // S L 0 S /V S 0 là khớp

Một đồng cấu f : R S được gọi là đồng cấu hoàn toàn phẳng nếu S xét như

R-môđun xác định thông qua f là R-R-môđun hoàn toàn phẳng, tức là với mỗi dãy

0 !: ' ■ L í " ■ 0các R-môđun là khớp nếu và chỉ nếu dãy cảm sinh

0 L 0 S L 0 S L " S 0 là khớp.

Mệnh đề 1.7.1 Các phát biểu sau là đúng:

(i) Nếu f : R S là đồng cấu hoàn toàn phẳng thì ánh xạ cảm sinh a f : SpecS

SpecR cho bởi a f (p) = f-1(p) := p n R với p E SpecS là toàn ánh.

(ii) Neu f : R S là đồng cấu hoàn toàn phẳng và L là R-môđun khác 0 thì L 0RS

là S-môđun khác 0

Cho f : R S là đồng cấu giữa các vành Noether Ta nói rằng f thỏa mãn Định lý

nguyên tố P của S sao cho f-1(P) = p đều tồn tại iđêan nguyên tố Q của S sao cho Q

c P và f-1(Q) = q

Mệnh đề 1.7.2 Cho (R, m) và (S, n) là các vành Noether địa phương Neu f : R S

là đồng cấu phẳng địa phương (tức là f (m) C n) thì f thỏa mãn Định lý Going

down.

Bổ đề 1.7.3 (Xem [10], 8.1) Cho h : (R,m) —> (B,n) là một đồng cấu phẳng của

dim B = dim B/mB + dim R

Lý thuyết đối đồng điều địa phương được quan tâm nghiên cứu bởi rất nhiềunhà toán trên thế giới như A Grothendieck, R Hartshorne, M Brodmann, J.Rotman, C Huneke Lý thuyết đối đồng điều địa phương đã có những ứng dụng

to lớn trong nhiều lĩnh vực của toán học Trước hết, chúng tôi trình bày khái niệmhàm tử xoắn theo [5]

Cho R là vành giao hoán Noether, M là R-môđun, a c R là một iđêan của R và

N là một môđun con của M, kí hiệu

(N : M a) = {m G M | am c N},với am = {am | a E a} Khi đó (N :Ma) là một môđun con của M và

Khi đó ra(M) là một môđun con của M

Mệnh đề 1.8.2 Cho R là vành giao hoán Noether và a là một iđêan của

R Khi đó nếu h : M —> N là một đồng cấu các R-môđun thì

h(r,(M)) c r,(N)Nhận xét rằng, từ Mệnh đề trên ta có h k(M): ra(M) > r

a(N) là một đồng cấu và kí hiệu ra(h) = h |r a(M)

Xét phép gán từ phạm trù các R-môđun vào chính nó

r = ra(.) : Mod R Mod R

Với mỗi R-môđun M, M ra(M)

Với mỗi R-đỒng cấu h, (M ị N) (r a (M) —ị ra(N))

Mệnh đề 1.8.3 Với các giả thiết như trên, phép gán ra(.) là một hàm tứ tuyến tính

Định nghĩa 1.8.4 Cho R là một vành giao hoán có đơn vị Một R-môđun I được gọi

là nội xạ nếu mỗi đơn cấu i : N —> M của các R-môđun và với mỗi đồng cấu h : N

—> I của các R-môđun, tồn tại một đồng cấu l : M —> I của các R-môđun sao cho

h = l ◦ i, tức là biểu đồ sau đây giao hoán

0 -- \ - M

• ■ l

>■

Mệnh đề 1.8.5 M là một R-môđun Khi đó tồn tại một R-môđun nội xạ I cùng với

một đơn cấu h : M —> I của các R-môđun.

Định nghĩa 1.8.6 Cho M là một R-môđun Một phép giải phải ((E*, e* ), b) của

R-môđun M bao gồm một đối phức (E•, e*) và đồng cấu b : M —> E• sao cho

(i) Ei= 0 với mọi i < 0;

(ii) Dãy sau đây là khớp.

0 -- M b - E0 - E1

-Định nghĩa 1.8.7 Cho M là một R-môđun Một phép giải nội xạ của M là một phép

giải ((I•, d*), a) của M sao cho các R-môđun Iilà nội xạ, tức là ta có một dãy khớp

0 - M a - I0- d - I i - d I 2

-với các R-môđun 10, 11, 12, là nội xạ

Mệnh đề 1.8.8 Mỗi R-môđun M đều tồn tại một phép giải nội xạ.

Định nghĩa 1.8.9 Cho f : M —A N là một đồng cấu R-môđun Cho ((D*,d*),a) là

một phép giải phải của M và ((E*,e*),b) là một phép giải phải của N Khi đó một phép giải phải của h (giữa ((D*,d*),a) và ((E*,e ^ ),b)) là một đồng cấu của các đối

phức h* : (D*,d*) —A (E*,e*) sao cho h0◦ a = b ◦ h, tức là biểu đồ sau giao hoán

0 -A N -A b E0 A E1- A E2-A • • •

Mệnh đề 1.8.10. Cho

h : M- A N là một đồng cấu của các R-môđun.

một phép giải phải h* của h.

Chúng tôi trình bày hàm tử dẫn xuất phải của hàm tử a-xoắn F = ra(.)

1) Với mỗi R-môđun M, chúng ta có thể chọn một phép giải nội xạ của M là

((I M , d * M ),a M), tức là với mỗi môđun M ta có dãy khớp sau

0 M Ả

M Ả M Ả M

với mọi môđun I M là nội xạ

Ta viết I* là phép gán, M IM= ((I M , d M ),a M), với mỗi R-môđun M tùy ý Ta địnhnghĩa, với n G N0, R£F(M) := H n (F(I M), F(dM)) (À)

Thật vậy, chúng ta xét đối phức các R-môđun

-A 0 F(I M) F(I M) F(I M) —A • • •