Môđun bù và chiều đều của môđun

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH Nguyễn thị thúy Môđun con bù và chiều đều của môđun LUẬN VĂN THẠC SỸ toán học Chuyên ngành: đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 05 Ngời hớng dẫ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

Nguyễn thị thúy

Môđun con bù và chiều đều của môđun

LUẬN VĂN THẠC SỸ toán học

Nghệ an - 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

Nguyễn thị thúy

Môđun con bù và chiều đều của môđun

LUẬN VĂN THẠC SỸ toán học

Chuyên ngành: đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 05

Ngời hớng dẫn khoa học

PGS TS Ngô Sỹ Tùng

Nghệ an - 2013 MỤC LỤC

Trang

Mục lục 1

Danh mục các kí hiệu 2

Mở đầu 3

Chương 1: Kiến thức cơ sở 5

1.1 Môđun con cốt yếu 5

1.2 Môđun con đóng-môđun con bù 8

1.3 Môđun đều 11

Chương 2: Môđun con bù và chiều đều của môđun 14

2.1 Một số tính chất của môđun con bù 14

2.2 Chiều đều hữu hạn với tính chất phần bù 20

Kết luận 28

Tài liệu tham khảo 29

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU

:

N ⊂M N là môđun con của môđun M

Tổng trực tiếp của các môđun M i,1≤ ≤i n

dimM: Số chiều đều của môđun M

Việc nghiên cứu lí thuyết môđun cho đến nay được phát triển mạnh mẽ và

có nhiều ứng dụng quan trọng trong nghiên cứu lí thuyết vành

Từ năm 1958, khi Goldie chứng minh định lý nổi tiếng của ông về nhữngvành có vành thương Artin nửa đơn thì khái niệm chiều đều của môđun đã đượcnhiều nhà toán học nghiên cứu

Chiều đều của môđun là một hướng mở rộng chiều của không gian vectơ.Những vấn đề cơ bản của chiều đều đã được trình bày trong cuốn sách

“Extending modules” của N.V Dung, D.V Huynh, P F Smith and

R.Wisbauer Dựa vào tài liệu [6] của R L McCasland and P F Smith (2004),

Uniform dimendsion of modules, Quart J Math 55, 491-498, luận văn của

chúng tôi trình bày một cách có hệ thống và chi tiết một số vấn đề về môđuncon bù và chiều đều của môđun

Luận văn được chia làm hai chương cùng với phần mở đầu, kết luận, danhmục các kí hiệu và tài liệu tham khảo Cụ thể:

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Trình bày các định nghĩa về môđun con cốt yếu, môđun con đóng, môđuncon bù, môđun con đều và các tính chất cơ bản có liên quan đến luận văn

Chương 2: Môđun con bù và chiều đều của môđun Chương này được chiathành hai phần:

Phần thứ nhất: Một số tính chất của môđun con bù

Phần thứ hai: Chiều đều của môđun Cụ thể phần này chúng tôi trình bàyđiều kiện của một môđun chứa các môđun con đều, điều kiện để một tổng trựctiếp các môđun con đều là cốt yếu trong một môđun và chiều đều hữu hạn vớitính chất phần bù

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sựhướng dẫn của PGS TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp này tác giả xin được tỏ lòngbiết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, người đã trực tiếp động viên, dìu dắt

tận tình, chỉ bảo nghiêm túc trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoànthành luận văn.

Trong quá trình học tập và viết luận văn, tác giả cũng nhận được sự giúp

đỡ tận tình của các thầy cô giáo trong tổ Đại số trường Đại học Vinh

Cũng trong dịp này, tác giả xin được cảm ơn đến PGS TS Nguyễn ThànhQuang, PGS TS Lê Quốc Hán, TS Mai Văn Tư, TS Nguyễn Thị Hồng Loan

và các thầy, cô giáo trong khoa Toán, Khoa sau đại học trường Đại học Vinh vàcác bạn lớp cao học khoá 19 chuyên ngành Đại số và lý thuyết số

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, tổ toán và đồngnghiệp trường THPT Cửa lò đã động viên và giúp đỡ để luận văn được hoànthành đúng kế hoạch

Cuối cùng, do khả năng còn nhiều hạn chế nên không tránh khỏi nhữngsai sót, tác giả rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy giáo, cô giáo cùng tất

cả các bạn

Vinh, tháng 8 năm 2013

Tác giả

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong toàn bộ luận văn vành được hiểu là vành có đơn vị kí hiệu 1, các

môđun là môđun phải unita và R được kí hiệu là một vành cho trước (nếu

không nói gì thêm)

1.1 Môđun con cốt yếu1.1.1 Định nghĩa. Cho M là một R- môđun và N là môđun con của M.

* Môđun con N được gọi là cốt yếu trong M và kí hiệu là N ⊂* M , nếu với mọi

môđun K ⊂M K, ≠0 thì N ∩ ≠K 0.

* Nếu N ⊂* M thì M được gọi là mở rộng cốt yếu của N.

1.1.2 Ví dụ Xét ¢ là ¢–môđun Khi đó mọi môđun con khác 0 của ¢ đều làmôđun con cốt yếu

1.1.3 Mệnh đề Cho M là R–môđun Khi đó ta có:

iv) Cho A⊂B B, ⊂M. Nếu B A⊂* M A thì B⊂* M

v) Nếu : f M →N là đồng cấu R- môđun và A⊂* N thì f −1( )A ⊂* M.Điều

ngược lại nói chung là không đúng.

ra A⊂* B. Lấy 0≠ ⊂X M ⇒ ∩ ≠ ⇒ ∩ ≠X A 0 X B 0 (do A⊂B), suy ra

suy ra 0⊂* Z. Điều này vô lý Vậy trường

hợp giao vô hạn nói chung là không đúng Wiv) Lấy 0≠ ⊂X M. Giả sử X ∩ =B 0 suy ra tồn tại X ⊕B. Ta có

(X ⊕ A A) ⊂M A. Do B A⊂* M A nên ((X ⊕ A A) ) (∩ B A) 0.≠

Suy ra tồn tại x+a+A=b+A ⇒ = +x b a a'( '∈A) Vô lý

Vậy X ∩ ≠ ⇒B 0 B⊂* M. Wv) Lấy 0≠ ⊂X M.

Tiếp theo lấy 0 X i I M i 0 x X;

1.1.4 Mệnh đề Cho M là R-môđun, A là môđun con của M Khi đó tồn tại B là

môđun con của M sao cho A⊕ ⊂B * M.

Chứng minh Xét S ={B B∩ =A 0,B⊂M} với quan hệ thứ tự trên S là quan

hệ bao hàm Khi đó ta có:

* S ≠ ∅( do 0 S∈ ).

* Vì hợp của một tập con sắp thứ tự hoàn toàn trong S là thuộc S nên mỗi tập con như vậy có cận trên trong S Vì vậy S thoả mãn Bổ đề Zorn

Do đó, theo Bổ đề Zorn trong S có phần tử tối đại kí hiệu là B Khi đó tồn tại

A⊕B Bây giờ ta chứng minh A⊕ ⊂B * M. Thật vậy, lấy 0≠ ⊂X M. Nếu

1.1.5 Bổ đề Choϕ: N →M là đẳng cấu môđun trên R Khi đó môđun con L

của N cốt yếu trong N khi và chỉ khi ( )ϕ L cốt yếu trong M.

Chứng minh ( )⇒ Cho L⊂* N, ∀ ⊂X M sao cho ( )ϕ L ∩ =X 0 suy ra

L∩ϕ− X =ϕ ϕ− 1( ( )L ∩X)=ϕ− 1(0) 0= .

Do L⊂* N nên ϕ−1( ) 0X = , màϕ đẳng cấu nên X=0.

Vậy ϕ( )L ⊂* M .

( )⇐ Cho ϕ( )L ⊂* M , Y∀ ⊂ N sao cho L Y∩ =0 Do ϕ đẳng cấu nên

1( ( )L ( ))Y

ϕ ϕ− ∩ϕ =ϕ ϕ− 1( ( ))L ∩ϕ ϕ− 1( ( ))Y = ∩ =L Y 0 suy ra ( )ϕ L ∩ϕ( ) 0L =

Do ϕ( )L ⊂* M nên ( ) 0ϕ Y = suy ra Y =0.

VậyL⊂* N W

1.2 Môđun con đóng-môđun con bù

1.2.1 Định nghĩa Cho M là R-môđun Môđun con A của M được gọi là đóng

trong M nếu A không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M, tức là nếu:

*

A⊂ B⊂M thì A B=

1.2.2 Ví dụ

* Với mọi môđun M, ta có M ⊂*M, suy ra M đóng trong M.

* Nếu A và B là các môđun con của môđun M thoả mãn M = ⊕A B thì A và B

là các môđun con đóng trong M.

1.2.3 Định nghĩa Cho A là môđun con của môđun M Môđun con X của M

được gọi là bao đóng của A trong M nếu A⊂* X và X đóng trong M.

1.2.4 Định nghĩa Môđun con A của M được gọi là tối đại nếu A M≠ và A

không chứa trong một môđun con thật sự nào của M , tức là nếu

,

1.2.5 Mệnh đề Cho M là R-môđun Mọi môđun con A của M luôn tồn tại bao

đóng của A trong M.

Chứng minh Xét S ={K A⊂* K K, ⊂M} với quan hệ thứ tự trên S là quan hệ

bao hàm Khi đó ta có:

* S ≠ ∅( do A S∈ ).

* Vì hợp của một tập con sắp thứ tự hoàn toàn trong S là thuộc S nên mỗi tập con như vậy có cận trên trong S Vì vậy S thoả mãn Bổ đề Zorn

Do đó, theo Bổ đề Zorn trong S có phần tử tối đại kí hiệu là D Ta chứng minh

D là bao đóng của A Thật vậy, vì D S∈ nên A⊂* D⊂M. Môđun con D đóng

trong M vì nếu D⊂* X ⊂M ⇒ ∈X S. Khi đó, D X= (do D tối đại) W

1.2.6 Mệnh đề Cho A là môđun con của M Nếu A đóng trong M 1 và

1

M ⊂⊕ M thì A đóng trong M.

Chứng minh Giả sử M =M1⊕M2. Xét phép chiếu

1 2 1:M M M M

Giả sử A⊂* B⊂M (1) Ta có ( )Π A = A (do A⊂M1), *

1( )A ( )B M

1.2.7 Hệ quả Nếu A là môđun con đóng trong M thì hạng tử trực tiếp của A

cũng đóng trong M.

1.2.8 Định nghĩa Cho M là R- môđun và A⊂M. Môđun K được gọi là bù (bù

giao) của A trong M nếu:

i) K ⊂M

ii) K ∩ =A 0

iii) K là môđun con tối đại có tính chất K ∩ =A 0.

1.2.9 Định nghĩa Cho M là R- môđun và A⊂M. Môđun K được gọi là bù

cộng tính của A trong M nếu:

i) K ⊂M

ii) K + =A M

iii) K là môđun con tối tiểu có tính chất K + =A M.

1.2.10 Định nghĩa Cho M là R- môđun Môđun K được gọi là phần bù nếu tồn

tại A⊂M để K là bù (bù giao) của A trong M.

1.2.11 Mệnh đề Cho A và B là hai môđun con của M Khi đó M = ⊕A B khi

và chỉ khi B đồng thời là bù cộng tính và bù (bù giao) của A trong M.

Chứng minh ( )⇐ Trực tiếp suy ra từ định nghĩa

( )⇒ Giả sử M = ⊕A B và C là môđun con của B có tính chất C A M+ = . Khi

đó theo luật môđunla ta có

(A∩B)+ =C (A C+ )∩ =B M ∩ =B B

Do A∩ =B 0nên C=B Điều này chứng tỏ B là bù cộng tính đối với A trong M.

Bây giờ nếu B⊂ Evà A∩ =E 0 với môđun con E của M thì theo luật

môđunla ta có

(A∩E)+ =B (A B+ )∩ =E M ∩ =E E

Mà A∩ =E 0 nên B=E Vậy B là bù của A trong M W

1.3 Môđun đều

1.3.1 Định nghĩa Cho R là vành, một R- môđun U được gọi là đều (hay

uniform) nếu U ≠0 và A∩ ≠B 0 đối với mọi môđun khác không A, B của U.

Hay nói cách khác, U là đều nếu U ≠0 và mọi môđun khác không là cốt yếu

* Mọi môđun con khác không của môđun đều là môđun đều

1.3.3 Mệnh đề Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R có đơn vị:

i) Mọi dãy tăng các ideal phải đều dừng.

ii) Mọi tập hợp khác rỗng các ideal phải đều có phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm.

iii) Mọi ideal phải của R là hữu hạn sinh.

iv) Đối với A là ideal của R thì A và R A có tính chất i).

1.3.4 Định nghĩa Vành R thoả mãn một trong các điều kiện của Mệnh đề

1.3.3 được gọi là vành Noether phải.

1.3.5 Mệnh đề Các điều kiện sau là tương đương đối với R- môđun M:

i) Mọi dãy tăng các môđun con của M đều dừng.

ii) Mọi tập khác rỗng các môđun của M đều có phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm.

iii) Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh.

iv) Đối với mỗi môđun con A của M thì A và M/A có tính chất i).

1.3.6 Định nghĩa Mọi R- môđun phải M thoả mãn một trong các điều kiện của

mệnh đề 1.3.5 được gọi là R-môđun Noether phải.

1.3.7 Ví dụ

i) ¢- môđun ¢ là môđun Noether.

ii) Không gian vectơ hữu hạn chiều là môđun Noether, không gian vectơ vôhạn chiều không là môđun Noether

1.3.8 Hệ quả Nếu môđun M là tổng hữu hạn của những môđun Noether thì

M là Noether.

Chứng minh Giả sử 1

n i i

=

=∑

, ta tiến hành quy nạp theo n.

Với n=1 mệnh đề là hiển nhiên.

Giả sử mệnh đề đúng với (n-1) Khi đó môđun con

1 1

n i i

CHƯƠNG 2 MÔĐUN CON BÙ VÀ CHIỀU ĐỀU CỦA MÔĐUN

2.1 Một số tính chất của môđun con bù

Để nghiên cứu các tính chất của môđun con bù, ta nhắc lại một số khái niệm

đã trình bày ở chương 1

* Cho M là R- môđun và A⊂M. Môđun K được gọi là bù (bù giao) của A

trong M nếu:

i) K ⊂M

ii) K ∩ =A 0

iii) K là môđun con tối đại có tính chất K ∩ =A 0.

* Cho M là R- môđun Môđun K được gọi là phần bù nếu tồn tại A⊂M để K

là bù của A trong M.

2.1.1 Bổ đề Cho L và N là các môđun con của M sao cho L∩ =N 0.Khi đó

tồn tại phần bù K của N trong M sao cho L⊂K và K ⊕N là môđun con cốt yếu của M.

Chứng minh Xét S ={D⊂M D⊃ L D, ∩ =N 0} với quan hệ thứ tự trên S làquan hệ bao hàm Khi đó ta có

= suy ra K'∈S (mâu thuẫn với tính tối đại của K)

ii) K đóng trong M;

iii) Với mỗi môđun cốt yếu L của M chứa K, môđun L/K là cốt yếu trong M/K Chứng minh ) i ⇒ii). Do K là phần bù trong M nên theo Bổ đề 2.1.1 tồn tại

môđun con L của M sao cho K là bù của L trong M

Giả sử N ⊂M sao cho K ⊂* N. Vì K ∩ =L 0 nên N∩ =L 0(thật vậy giả sử

Do đó, theo Bổ đề Zorn trong S có phần tử tối đại kí hiệu là N Ta chứng minh

K là phần bù của N trong M Thật vậy, ta đã có N ∩ =K 0 Giả sử

tồn tại H ≠0,H ⊂L sao cho H ∩ = ⇒ ∈ ⇒ ⊆K 0 H S H N (do N tối đại),

suy ra (L∩N)⊃H (mâu thuẫn) Vậy K tối đại có tính chất K ∩ =N 0. Do đó

K là bù của N trong M W) )

i ⇒iii Do K là phần bù trong M nên theo Bổ đề 2.1.1 tồn tại môđun con A của M sao cho K là bù của A trong M Vì L⊂* M ⇒ = ∩ ≠B L A 0. Giả sử H là

môđun con của M chứa K sao cho L K ∩H K = ⇒0 (L∩H)⊆K, mà

,

L⊇K H ⊇K nên L∩ =H K Vì K ∩ = ⇒ ∩A 0 L (H ∩ A) 0= ⇒

iii ⇒i Gọi N là môđun con bù của K trong M, đặt F = ⊕K N Ta có F ⊃ K

và theo Bổ đề 2.1.1 ta được F ⊂*M , do đó F K ⊂*M K. Giả sử H ⊃K và

0

H ∩ =N Theo luật môdunla ta có

(N K+ )∩ =H (N ∩H)+ =K K ⇒((N K+ ) / ) (K ∩ H K/ ) 0= ⇒H K/ =0

(do F K ⊂*M K ), suy ra H = K Vậy K tối đại nên K là bù của N W

2.1.4 Mệnh đề Cho N, K là các môđun con của môđun M sao cho K đóng

trong M, K ∩ =N 0 và K ⊕N là một môđun con cốt yếu của M Khi đó K là

bù của N trong M.

Chứng minh Ta có

i) K ⊂M .

ii) K ∩ =N 0.

Bây giờ ta chứng minh, K tối đại có tính chất K ∩ =N 0 Thật vậy:

Giả sử, H ⊂M sao cho H ⊃ K H, ≠K và H ∩ =N 0.Do K đóng, H ⊃K

suy ra K không cốt yếu trong H, tức là ∃ ⊂L H L, ≠0 sao cho: L∩ =K 0 Vì

H ∩ =N ) Vậy K=H hay K tối đại có tính chất K ∩ =N 0 W

2.1.5 Mệnh đề Cho K và L là các môđun con của môđun M sao cho

0

K ∩ =L Khi đó, tồn tại các môđun con K’ và L’ của M sao cho: K ⊂K',

L⊂ L K'∩ =L' 0, K’ là một phần bù của L’ và L’ là một phần bù của K’

trong M.

Chứng minh Do K ⊂M L, ⊂M sao cho K ∩ =L 0 nên theo bổ đề 2.1.1 tồn

tại phần bù K’ của L trong M sao cho: K ⊂K' và K'⊕ ⊂L * M (1).

Do L⊂M nên theo Mệnh đề 1.2.3 tồn tại L’ là môđun con đóng của L trong

Bây giờ ta chứng minh K’ tối đại có tính chất ' K ∩ =L' 0 Thật vậy, giả sử

H ⊂M sao cho H ⊃ K H', ≠K' và H ∩ =L' 0 Do K’ là phần bù trong M nên

K’ đóng trong M (theo Mệnh đề 2.1.3) Vì K’ đóng và H ⊃ K' suy ra K’ không cốt yếu trong H, tức là ∃ ⊂Q H Q, ≠0 sao cho: Q∩K' 0=

Bây giờ ta chứng minh L'⊕K'⊂* M Thật vậy, vì L⊕K'⊂* M nên

,

∀ ⊆ H ≠0thì L⊕ ∩ ≠ ⇒ ∃ ≠ ∈ ⊕ ∩K' H 0 0 x L K' H Khi đó, x Q∈ ,

x y z= + với y L∈ ⊂L z K', ∈ '⇒ ∩H ( 'L⊕K') 0≠ ⇒( 'L⊕K')⊂* M Vậy

theo Mệnh đề 2.1.4, L’là phần bù của K’ trong M W

2.1.6 Mệnh đề Cho K và L là các môđun con của môđun M sao cho: K là

phần bù của L trong M Cho G, H là các môđun con của M chứa K sao cho

G K là phần bù của H/K trong M/K Khi đó G là phần bù của H L∩ trong M Chứng minh Ta chứng minh G∩(H ∩L) 0.=

= ∩ = (do K là phần bù của L trong M)

Bây giờ ta chứng minh G tối đại có tính chất G∩(H ∩L) 0= Giả sử

2.1.7 Mệnh đề

i) Nếu K và L là các môđun con của M sao cho: K ∩ =L 0 thì K là bù của L

trong M khi và chỉ khi (K+L)/K là cốt yếu trong M/K.

ii) Nếu K’ là bù của K trong M và K’’ là bù của K’ trong M sao cho K ⊂K''

thì K ⊂* K''.

Chứng minh i) ( )⇒ Giả sử (K L K+ ) / ∩D K/ =0, trong đó D là môđun con

của M chứa K Khi đó ( K L+ )∩ =D K Theo luật môđunla ta có

( )

K = L∩D + ⇒ ∩ ⊂K L D K

Từ đó, bởi vì K là bù của L nên L∩ =K 0, do đó L∩ =D 0. Từ tính tối đại của

K suy ra D=K Bởi vậy D/K=0, điều này chứng tỏ (K+L)/K là cốt yếu trong M/K.

( )⇐ Bây giờ ta giả sử D là môđun con của M chứa K sao cho L∩ =D 0 Theo

luật môđunla ta có

(K L+ )∩ = +D K (L∩D)=K

Bởi vậy (K L K+ ) / ∩D K/ =0 Do tính cốt yếu của (K+L)/K trong M/K nên

/ 0

D K = ⇒ =D K Điều này chứng tỏ K là bù của L trong M W

ii) Giả sử D là môđun con của K’’ sao cho K ∩ =D 0. Ta chứng tỏ rằng

A∩ ≠B đối với mọi môđun khác không A, B của U

Hay nói cách khác, U là đều nếu U ≠0 và mọi môđun khác không là cốt yếu

trong U.

2.2.2 Định nghĩa Một môđun M trên vành R gọi là có chiều đều hữu hạn nếu

không tồn tại một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không trong M, M được gọi là có chiều đều vô hạn trong trường hợp ngược lại.

2.2.3 Mệnh đề Nếu M là một môđun khác không, không chứa tổng trực tiếp

vô hạn các môđun con khác không, thì M chứa môđun con đều.

Chứng minh - Nếu M là môđun đều: chứng minh xong.

- Nếu M không là môđun đều Khi đó tồn tại 0≠U U1, ⊂M mà U1∩ =U 0 suy

ra (U1⊕U)⊂M.

- Nếu U là môđun đều: Chứng minh xong.1

- Nếu U không là môđun đều, khi đó tồn tại 1 V V1 , 2 ⊂U V V1 1 , , 2 ≠ 0

Mà V1 ∩V2 = 0 suy ra (V1⊕V2)⊂U1 suy ra tồn tại (V1⊕ ⊕V2 U)⊂ M

Quá trình này tiếp tục, do M không chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con

khác không, nên quá trình này phải dừng lại sau hữu hạn bước

Vậy tồn tại môđun U k đều W

2.2.4 Hệ quả Cho R-môđun M.