Môđun phụ đối hữu hạn và môđun h phụ đối hữu hạn

Một môđuncon N của môđun M gọi là đối hữu hạn cofinite nếu môđun thương M/N là hữu hạn sinh, và M gọi là môđun phụ đối hữu hạn cofinitely supplementedmodule nếu mọi môđun con đối hữu hạn

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài: về môđun phụ đối hữu hạn và môđun

H- phụ đối hữu hạn là công trình nghiên cứu khoa học của tôi dưới sự hướng

dẫn của TS Mai Quý Năm và không sao chép của bất kì ai Các kết quả đượctrình bày trong luận văn đều được trích dẫn nguồn gốc rõ ràng

Bình Định, ngày 26 tháng 08 năm 2019Học viên thực hiện

Hà Thị Phương Thảo

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy TS MAI QUÝ NĂM,người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ dẫn tận tình và giải đáp mọi thắc mắc trongsuốt quá trình tôi hoàn thành luận văn này Đồng thời tôi xin bày tỏ sự biết ơnsâu sắc đến các thầy cô khoa Toán và thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn đãchỉ bảo, truyền dạy cho tôi những kiến thức bổ ích trong suốt những năm theohọc tại trường, cũng như lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, phòng Đào tạosau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi cũng như các học viên khác.Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, những người luôn ủng

hộ và cổ vũ tinh thần giúp tôi có động lực để hoàn thành luận văn này mộtcách tốt nhất

Trong quá trình làm luận văn, vì thời gian có hạn và năng lực, kiến thức củabản thân còn hạn chế nên không trách khỏi sai sót, kính mong các thầy cô chỉbảo và các độc giả có thể đóng góp ý kiến để giúp luận văn này hoàn thiệnhơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Lời mở đầu

Cho M là một R-môđun và N, L là hai môđun con của M Người ta gọi N làphần phụ của L trong M nếu N là cực tiểu theo quan hệ bao hàm trong tập cácmôđun con A của M thỏa mãn A + L = M Một môđun con của M được gọi làmôđun con phần phụ hay nói tắt là phần phụ nếu nó là phần phụ của mộtmôđun con nào đó trong M Phần phụ xuất hiện lần đầu tiên trong công trìnhnghiên cứu của E.A Mares (1966) về môđun và vành nửa hoàn chỉnh và tiếptục được nghiên cứu bởi F Kasch và Mares trong quan hệ với phủ xạ ảnh củamôđun Phần phụ của một môđun con không nhất thiết tồn tại và sự tồn tại củaphần phụ quan hệ chạt chẽ với sự tồn tại của phủ xạ ảnh Một môđun M đượcgọi là môđun phụ nếu mọi môđun con của nó đều có phần phụ Lớp các môđunphụ là mở rộng thực sự của lớp các môđun nâng- một lớp môđun quan trọngđược quan tâm nghiên cứu rộng rãi trong nhiều chục năm qua Một điều rõràng là mọi hạng tử trực tiếp của một môđun M đều là phần phụ, nhưng điềungược lại nói chung không đúng trong trường hợp tổng quát Bởi lẽ đó, cácphần phụ được khảo sát theo ý tưởng xấp xỉ hoạc đồng nhất với hạng tử trựctiếp Điều này dẫn đến khái niệm môđun H-phụ được định nghĩa như sau:Môđun M goị là H-phụ nếu với mỗi môđun con A của M, tồn tại hạng tử trựctiếp D của M sao cho với mọi môđun con X của M, M = A + X nếu và chỉ nếu

M =A + D Từ định nghĩa có thể dễ dàng chứng minh được rằng nếu M là phụ thì mỗi môđun con của M có một phần phụ là hạng tử trực tiếp của M, và

H-vì vậy, M là một môđun phụ Các tính chất cơ bản của môđun phụ và môđunH-phụ có thể tìm thấy trong [8; 11; 13; 15; 18; 21]

Vào năm 2001, R Alizade và các cộng sự [1] đã giới thiệu khái niệm

5

môđun phụ đối hữu hạn - một dạng tổng quát hóa của môđun phụ Một môđun

con N của môđun M gọi là đối hữu hạn (cofinite) nếu môđun thương M/N là

hữu hạn sinh, và M gọi là môđun phụ đối hữu hạn (cofinitely supplementedmodule) nếu mọi môđun con đối hữu hạn của M đều có phần phụ Rõ ràng mọimôđun phụ đều là phụ đối hữu hạn Theo hướng này, vào năm 2007,M.T.Kosan [12] đã định nghĩa và khảo sát môđun H-phụ đối hữu hạn như mộttổng quát hóa của môđun H- phụ bởi điều kiện tương tự hạn chế cho cácmôđun con đối hữu hạn Các môđun H-phụ đối hữu hạn tiếp tục được nghiêncứu bởi Y.Talebi và các cộng sự trong [17] (2013)

Như đã biết, phần phụ và môđun phụ có quan hệ chạt chẽ với sự tồn tại củaphủ xạ ảnh Bởi vậy, một cách tự nhiên, môđun phụ và môđun H-phụ được sửdụng và khảo sát vành hoàn chỉnh và nửa hoàn chỉnh Tương tự, Y.Talebi [17]

đã nghiên cứu các lớp vành với tính chất đạc trưng cho bởi các H-phụ đối hữuhạn Xuất phát từ nội dung trình bày trên đây, chúng tôi đã lựa chọn đề tài luận

văn thạc sĩ " về môđun phụ đối hữu hạn và môđun H-phụ đối hữu hạn".

Mục tiêu của đề tài là tổng hợp và trình bày với chứng minh chi tiết nhữngkết quả cơ bản về môđun phụ đối hữu hạn và môđun H-phụ đối hữu hạn từ cáctài liệu tham khảo [1], [2], [11], [12], [16] và [17] Đồng thời, chúng tôi cũngnghiên cứu, phát hiện nhằm bổ sung kết quả về mỗi lớp môđun này và mốiquan hệ giữa chúng với lớp các môđun phụ Nội dung của luận văn được trìnhbày trong 3 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và các kết quả liên quan đến nội dung chính của luận văn

Chương 2: Môđun phụ đối hữu hạn

6

Chúng tôi giới thiệu định nghĩa và một số kết quả về môđun phụ đối hữu hạn

và môđun phụ yếu đối hữu hạn

Chương 3: Môđun H-phụ đối hữu hạn và ứng dụng

Chúng tôi trình bày định nghĩa và một số kết quả về môđun

H-7

Mục lục

Bảng kí hiệu

Môđun con

< Môđun con nhỏ ( hay đối cốt yếu)

Q e Môđun con cốt yếu ( hay lớn)

C ® Hạng tử trực tiếp

Ker(f) Hạt nhân của đồng cấu f

Im(f) Anh của đồng cấu f

End R (M) Vành các tự đồng cấu của môđun MMôđun ®-phụ Môđun trực tiếp phụ

cws- môđun Môđun phụ yếu đối hữu hạn

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và các kết quảliên quan đến nội dung chính của luận văn được trích dẫn từ các tài liệu [8],[15], [16], [21]

1.1 Môđun con nhỏ, môđun hổng và căn của môđun

Định nghĩa 1.1.1 Một môđun con A của môđun M được gọi là nhỏ trong M nếu

với mỗi môđun con B = M ta đều có A + B = M Một cách tương đương, A + B

= M kéo theo B = M Khi đó ta kí hiệu A < M

Mệnh đề 1.1.2 ([21]; 19.3) Cho K, L và M là những R-môđun, khi đó

(1)Nếu K c L c M thì L M nếu và chỉ nếu K M và L/K c M/K

(2)Nếu K i M, (1 < i < n) thì K 1 + K2+ KnM

(3)Nếu K c L c M và L là một hạng tử trực tiếp của M thì K M nếu và chỉ

nếu K L.

Định nghĩa 1.1.3 (1) R-môđun khác không M được gọi là môđun hổng nếu mọi

môđun con thực sự của M đều nhỏ trong M

(2) R-môđun khác không M được gọi là môđun địa phương nếu M có môđun

con thực sự lớn nhất K (khi đó K là môđun con cực đại duy nhất của M).Mệnh đề sau đây sẽ trình bày một số tính chất của môđun hổng và mối liên

hệ giữa môđun hổng với môđun địa phương

Mệnh đề 1.1.4 ([8]; 2.15).

(1) Nếu M là môđun hổng thì mọi môđun thương của nó đều hổng.

(2) Nếu K M và M/K là hổng thì M là hổng.

(3) Các phát biểu sau là tương đương:

(i) M là môđun địa phương.

(ii)M là môđun hổng và xiclic.

(iii) M là môđun hổng và Rad(M) = M

Định nghĩa 1.1.5 Giả sử M là một R-môđun, Căn của M, kí hiệu là: Rad(M)

được định nghĩa là giao của tất cả các môđun con cực đại của M Nếu M không

có môđun con cực đại nào thì quy ước Rad(M) = M và khi đó M gọi là một

môđun căn.

Đối với một vành R, xét các R-môđun chính quy RR và RR Thế thì Rad( R R)

Căn Jacobson của vành R.

Tiếp sau đây sẽ là một số định nghĩa, kết quả liên quan đến môđun phụ,môđun con phần phụ, môđun phụ yếu và phần phụ yếu là các khái niệm liênquan mật thiết đến luận văn này

1.2 Môđun phụ và môđun phụ yếu, phần phụ yếu

Định nghĩa 1.2.1 Cho N là một môđun con của R-môđun M Môđun con K của

M được gọi là phần phụ của N trong M nếu K là phần tử cực tiểu theo quan hệbao hàm trong tập hợp những môđun L < M thỏa mãn N + L = M Môđun con Kcủa M được gọi là phần phụ nếu K là phần phụ của một môđun con nào đó củaM

Bổ đề sau đây cung cấp cho chúng ta một tiêu chuẩn để kiểm tra khi nào mộtmôđun con là phần phụ

Bổ đề 1.2.2 ([15]; Bổ đề 4.5 ) Cho N là một môđun con của M Môđun con K

N = N + K = N + (N n K) + X = N + X

Mệnh đề 1.2.3 ([21]; 41.1 ) Cho N,K là hai môđun con của môđun M, trong

đó, K là một phần phụ của N trong M Khi đó

(1) Nếu L + K = M với một môđun con L của N thì K là một phần phụ của L.

(2) Nếu M là hữu hạn sinh thì K cũng hữu hạn sinh.

Rad(K) là môđun con cực đại duy nhất của K.

(4) Nếu L M thì K là một phần phụ của N + L.

(5) Với L M ta có K n L K và do đó Rad(K) = K n Rad(M).

Định nghĩa 1.2.4 R-môđun M được gọi là môđun phụ nếu mỗi môđun con của

M đều có một phần phụ trong M

Bổ đề 1.2.5 ([16]; Định lý 3.2.10) Giả sử N và L là môđun con của M sao cho

Khi đó H + G là một phần phụ của L trong M.

Chứng minh Cho H là một phần phụ của N + L trong M và G là một phần phụ

của N n (H + L) trong N Khi đó

M = N + L + H, H n (N + L) < H, N = N n (H + L) + G và

N n G n (H + L) = (H + L) n G < GLúc này ta có:

(H + G) n L < H n (L + G) + G n (L + H)

< H n (L + N) + G n (L + H)

H + GVà

H + G + L = N n (H + L) + H + L + G = N + H + L = M

Do đó H + G là một phần phụ của L trong M □

Định nghĩa 1.2.6 Môđun con N của M được gọi là có phần phụ đủ trong M nếu

với mỗi L < M thỏa mãn N + L = M thì tồn tại một phần phụ L' của N sao cho L'

c L Môđun M được gọi là môđun phụ đủ nếu mỗi môđun con của M đều có một

phần phụ đủ trong M.

Rõ ràng ta thấy môđun phụ đủ cũng là môđun phụ

Định nghĩa 1.2.7 Cho môđun M và N là một môđun con của M Môđun con K

của M là một phần phụ yếu của N trong M nếu và chỉ nếu N + K = M và N n K

M Mô đun M được gọi là môđun phụ yếu nếu mọi môđun con N của M cóphần phụ yếu trong M

1.3 Một vài lớp môđun

Định nghĩa 1.3.1 Môđun M được gọi là xạ ảnh nếu với mỗi đồng cấu f : M B

và mỗi toàn cấu g : A B tồn tại một đồng cấu h : M A sao cho g ◦ h = f, nghĩa làbiểu đồ sau giao hoán

M

Định nghĩa 1.3.2.

(1) Toàn cấu : L —> M được gọi là nhỏ nếu ker(^) là môđun con nhỏ trong L.

(2) Toàn cấu : P —> M gọi là phủ xạ ảnh của M nếu P là môđun xạ ảnh và là

toàn cấu nhỏ

Khi đó, ta cũng gọi P là phủ xạ ảnh của M và viết P = P(M)

Phủ xạ ảnh của một môđun nếu tồn tại thì xác định duy nhất sai khác nhau đẳng cấu

Cho M là một R-môđun bất kì, xét hai điều kiện sau đây:

(D1) Với mỗi môđun con A của M, M có sự phân tích M = M 1 ® M2 sao cho M 1

(D3) Nếu M 1 và M2là hai hạng tử trực tiếp của M thỏa mãn M 1 + M2= M thì M 1

n M2cũng là một hạng tử trực tiếp của M

Định nghĩa 1.3.3 Môđun M được gọi là môđun nâng nếu mỗi môđun con N

của M chứa một hạng tử trực tiếp X của M sao cho N/X M/X.

Tiếp theo sẽ là bổ đề nói lên mối liên hệ giữa điều kiện (D1) với khái niệm môđun nâng và môđun phụ

Bổ đề 1.3.4 ([8]; 22.3) Với M là một R-môđun bất kì, các phát biểu sau là

tương đương:

(1) M là môđun nâng.

Định nghĩa 1.3.5 (1) R-môđun P được gọi là M-xạ ảnh nếu với mỗi biểu đồ

các R-môđun có dòng là khớp sau đây

P

tồn tại đồng cấu h : P M sao cho f = g ◦ h

(2) Môđun M được gọi là tự xạ ảnh (hay tựa xạ ảnh) nếu M là M-xạ ảnh (3) R-môđun M được gọi là n-xạ ảnh nếu với hai môđun U, V < M sao cho U+ V = M, các điều kiện tương đương sau đây thỏa mãn:

(a) Tồn tại f G End(M) sao cho Imf c U và Im(1 — f) c V

(b) Toàn cấu chính tắc g : U ® V —> M cho bởi g(u, v) = u + v là chẻ ra.(c) End(M) = Hom(M, U) + Hom(M, V)

Định nghĩa 1.3.6 Môđun M vừa là môđun n-xạ ảnh vừa là môđun phụ được

gọi là môđun tựa rời rạc.

Rõ ràng môđun hổng là môđun tựa rời rạc

Mệnh đề 1.3.7 ([8]; 26.7) Với một môđun M bất kì các phát biểu sau là tương

đương:

(1)M là tựa rời rạc.

(2)M là môđun nâng và n-xạ ảnh.

(3)M là môđun nâng và với hai hạng tử trực tiếp U,V của M thỏa mãn U + V

= M thì U n V cũng là một hạng tử trực tiếp của M Nói cách khác M

Định nghĩa 1.3.8 Vành R được gọi là hoàn chỉnh trái (nửa hoàn chỉnh) nếu

mọi R-môđun trái (tương ứng, mọi R-môđun trái hữu hạn sinh) đều có phủ xạ

ảnh Một môđun P được gọi là nửa hoàn chỉnh nếu P là xạ ảnh và mọi ảnh đồng

cấu của P có phủ xạ ảnh

Phần cuối của chương này sẽ là một số kết quả quan trọng liên quan đến

vành hoàn chỉnh trái (nửa hoàn chỉnh), môđun tựa rời rạc và môđun phụ.

Định lý 1.3.9 ([15]; Định lý 4.41) Các phát biểu sau đây là tương đương đối

với một vành R bất kì:

(1) R là vành hoàn chỉnh trái (nửa hoàn chỉnh).

(2)Mọi R-môđun tựa xạ ảnh (hữu hạn sinh) là rời rạc.

(3)Mỗi R-môđun (hữu hạn sinh) là môđun phụ đủ.

(4)Mỗi R-môđun tự do (xiclic) là môđun phụ.

Chương 2

MÔĐUN PHỤ ĐỐI HỮU HẠN

2.1 Môđun phụ đối hữu hạn

Nhắc lại, môđun M gọi là môđun phụ nếu mọi môđun con N của M có phần phụ trong M Môđun M được gọi là môđun phụ đủ nếu mọi môđun con N của M

có phần phụ đủ trong M, có nghĩa là, mỗi môđun con L của M mà M = N + Lđều chứa một phần phụ của N

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số kết quả về một dạng tổng quátcủa môđun phụ khi xét điều kiện tồn tại phần phụ của các môđun con mà môđunthương tương ứng là hữu hạn sinh được dẫn từ các tài liệu [1], [2] và [16]

Định nghĩa 2.1.1 [1] Một môđun con N của M môđun được gọi là đối hữu hạn

nếu môđun thương M/N là hữu hạn sinh.

Bổ đề 2.1.2 ([16]; Bổ đề 4.1.5) Giả sử f : M —> N là một toàn cấu môđun, X là

một môđun con đối hữu hạn của M và Y là một môđun con đối hữu hạn của N Thế thì

(a) f (X) là môđun con đối hữu hạn của N;

Chứng minh (a): Giả sử X là một môđun con đối hữu hạn của M, khi đó

N/f (X) (M/Ker/ )/(f-1(f (X))/Kerf)

= M/f-1(f (X)) = M/(X + Kerf)

nhưng X + Kerf là đối hữu hạn trong M bao hàm môđun con đối hữu hạn X, vì vậy f (X) là môđun con đối hữu hạn của N.

(b): Giả sử Y là một môđun con đối hữu hạn của N, khi đó

M/f-1(Y) = (M/Kerf )/(f-1(Y )/Kerf) = N/f (f-1) = N/Y

đẳng thức cố định vì f là một toàn cấu Vì Y là đối hữu hạn trong N

con L của M thỏa mãn N c L đều là đối hữu hạn Thật vậy, từ M/N là hữu hạn sinh và M/L = (M/N)/(L/N) suy ra M/L cũng hữu hạn sinh Nếu M hữu hạn sinh

thì hiển nhiên mọi môđun con N của môđun M đều là đối hữu hạn

b) Rõ ràng mọi môđun phụ là phụ đối hữu hạn Ngược lại, nếu môđun hữuhạn sinh M là phụ đối hữu hạn thì M là môđun phụ.

c) Mọi môđun phụ đối hữu hạn đủ là phụ đối hữu hạn

d) Môđun phụ đối hữu hạn là một dạng tổng quát hóa thực sự của môđunphụ Chúng tôi dẫn ra ví dụ sau đây trong [1] và không trình bày phépchứng minh Giả sử R là một miền giao hoán, R không là một trường vớitrường các thương Q Giả sử I là một tập chỉ số không rỗng và gọi M làR-môđun Q(I) Thế thì M không có môđun con cực đại nào và do đó M làmôđun con đối hữu hạn duy nhất của M Rõ ràng M là phụ đối hữu hạnđủ.Bây giờ, giả thiết thêm R là miền Dedekind và I là tập vô hạn Khi đó

M không là môđun phụ, và hiển nhiên không là phụ đủ theo H

Zoschinger, Komplementierte Module uber Dedekindringen, J.Algebra 29

(1974), 42-56

Mệnh đề 2.1.4 ([1]; Bổ đề 2.1) Giả sử M là một môđun phụ đối hữu hạn (phụ

đối hữu hạn đủ) Thế thì môđun thương — là môđun phụ đối hữu hạn (tương ứng, phụ đối hữu hạn đủ) với mọi môđun con N của M.

Chứng minh Giả sử rằng M là môđun phụ đối hữu hạn và N là một môđun con

của M, khi đó bất kì môđun con đối hữu hạn nào của môđun thương — đều códạng — trong đó L là môđun con đối hữu hạn của

M và N < L Vì M là môđun phụ đối hữu hạn nên L có một phần phụ

K trong M Theo Bổ đề 1.2.2 ta có M = L + K và L n K K với một

—vài môđun con K của M Do đó — =

N

— K + N (—n K) + N K + N

(K + N )và

theo [1; Bo đe 1.1.1] Theo Bo đe 1.2.2 , chương 1, -——- là một phần

L M MN

phụ cua — trong — Do vậy — là phụ đoi hữu hạn Chứng minh tương tự trongtrường hợp M là môđun phụ đoi hữu hạn đủ ta cũng được kết

, M

Bổ đề 2.1.5 ([16]; Bo đe 4.1.8) Ảnh đồng cấu của một môđun phụ đối hữu hạn

là phụ đối hữu hạn

Y là một môđun con đôi hữu hạn của f (M), khi đó

vì f-1(Y) là một môđun con đôi hữu hạn của M chứa Kerf và từ M là phụ đôi hữu

hạn, f-1(Y) có phần phụ trong M nên theo ([16]; Bo đe 3.2.4) nên f (f-1(Y)) = Y có

Bổ đề 2.1.6 ([16]; Bo đe 4.1.9) Giả sử f : M —> N là một toàn cấu nhỏ và N là

một môđun phụ đối hữu hạn Thế thì M cũng là một môđun phụ đối hữu hạn.

đôi hữu hạn Giả sử K là một môđun con đôi hữu hạn của M Thế thì theo Bo đe

2.1.2, f (K) là một môđun con đôi hữu hạn của N và bởi ([16]; Bo đe 3.2.6), K

có một phần phụ trong M Vậy M là phụ đôi hữu hạn □

Bổ đề 2.1.7 ([1]; Bo đe 2.2) Giả sử N và L là những môđun con của M, trong

đó N là đối hữu hạn, L là phụ đối hữu hạn và N + L có phần phụ trong M Thế thì N có một phần phụ trong M.

Chứng minh Cho K là một phần phụ của N + L trong M Để ý rằng, L N + K +

L _ M ~ M/N

L n (N + K) = N + K = N + K = (N + K)/N

là hữu hạn sinh Do đó L n (N + K) là môđun con đối hữu hạn của L Vì L là phụđối hữu hạn nên tồn tại phần phụ H của L n (N + K) trong L

Tiếp theo M = N + L + K = N + H + K và

Bổ đề 2.1.8 ([1]; Bổ đề 2.3) Giả sử (N i ) i e I là một họ tùy ý những môđun con của

của N sao cho N = H + L Tồn tại một tập con hữu hạn I' của I sao cho H < N, do

đó N = L + Ni Sử dụng Bổ đề 2.1.7 chúng ta suy ra i e l ' i e l '

L có một phần phụ trong N Do đó N là môđun phụ đối hữu hạn □

Hệ quả 2.1.9 ([1]; Hệ quả 2.4) Tổng trực tiếp của một họ tùy ý những môđun

phụ đối hữu hạn là môđun phụ đối hữu hạn.

Hệ quả 2.1.10 ([1]; Hệ quả 2.5) Giả sử M là một môđun phụ đối hữu hạn Thế

thì mọi môđun M-sinh là phụ đối hữu hạn.

Chứng minh Cho X là một môđun M-sinh bất kì Khi đó tồn tại tập chỉ số I và

một toàn cấu : M(I) X Theo Mệnh đề 2.1.4 và Hệ quả 2.1.9, X là phụ đối hữu

Đối với một môđun M chúng ta kí hiệu căn của M là Rad(M) và đế của M là

Soc(M) Nhắc lại, Rad(M) được định nghĩa là giao của tất cả các môđun con cực

đại của M Nếu M không có các môđun con cực đại nào thì quy ước Rad(M) =

M Soc(M) là tổng của các môđun con đơn đồng thời là giao của các môđun con lớn của M Nếu M là một môđun phụ thì môđun thương M/Rad(M) là nửa đơn, tức là Soc(M/Rad(M)) = M/Rad(M) (xem [16], 41.2) Bây giờ ta sẽ xem xét các

kết quả tương tự

Bổ đề 2.1.11 ([1]; Bổ đề 2.6) Giả sử M là một môđun phụ đối hữu hạn Thế thì

——,, -, trong đó N là một môđun con đối hữu hạn của M Theo Bổ đề Rad(N)

1.2.2 tồn tại môđun con K của M sao cho M = N + K và N n K K Ta có Nn K Mbởi Mệnh đề 1.1.2, do đó Nn K < Rad(M), cho nên

M _ N K + Rad(M)

□

Tiếp theo, chúng ta xem xét một số tính chất đạc trưng của môđun phụ đối

hữu hạn Giả sử M là một môđun Kí hiệu Loc(M) chỉ tổng tấtcả các môđun con

địa phương của M và Cof (M) là tổng của tất cả các môđun con phụ đối hữu hạncủa M và do đó là môđun con phụ đối hữu hạn lớn nhất của M Chú ý rằng mỗimôđun địa phương là môđun phụ hữu hạn sinh Mạt khác bởi [16; 41.6], mỗimôđun phụ hữu hạn sinh đều là một tổng của những môđun con địa phương

Thế thì Loc(M) là tổng của những môđun con phụ hữu hạn sinh và hiển nhiên cũng là tổng của các môđun phụ đối hữu hạn hữu hạn sinh Bởi vậy Loc(M) <

Cof (M) Kết quả dưới đây cho các đạc trưng của môđun phụ đối hữu hạn

Định lý 2.1.12 ([1]; Định lý 2.8) Cho R là một vành Các phát biểu sau là

tương đương đối với một R-môđun M:

Mọi môđun con cực đại của M có phần phụ trong M

M

Môđun -——— không chứa môđun con cực đại nào.

M

Môđun (' ị không chứa môđun con cực đại nào.

hữu hạn sinh (2) (3): Giả sử K là một môđun con cực đại của M,

khi đó tồn tại môđun con L của M sao cho M = K + L và K n L L theo [1; Bổ đề

1.2] Để ý rằng L , = L + K = M, do đó K n L là một môđun con cực đại của L Cho

nên L là môđun con địa phương của M Từ đây suy ra Loc(M) không là môđun

con của K Vì vậy MM) không chứa môđun con cực đại nào

(3) (4): Rõ ràng vì Loc(M) < Cof (M) nên ta có

(1) M là phụ đối hữu hạn.

(2)

(3)

(4)

M ~ M/Loc(M)

Theo giả thiết M/Loc(M) không có môđun con cực đại, kéo theo M/Cof (M)

không có môđun cực đại

(4 (1): Cho N là một môđun con đối hữu hạn của M Giả sử

N + Cof (M) = M Khi đó, M/(N + Cof (M)) là môđun hữu hạn sinh khác không, kéo theo tồn tại K/(N + Cof (M)) là một môđun con cực đại của M/(N + Cof

M và kéo theo M/Cof (M) có môđun con cực đại K/Cof (M), mâu thuẫn với (4).

Do vậy, M = N + Cof (M) Vì M/N là hữu hạn sinh nên M = N + K1 + + K n vớimột số nguyên dương n và các môđun con phụ đối hữu hạn Ki(1 < i < n) Sửdụng Bổ đề 2.1.7, ta được N có một phần phụ trong M cho nên M là môđun phụ

Tương tự như Định lý 2.1.12, ta có định lý về môđun phụ đối hữu hạn đủ.Trước hết là một Bổ đề tương tự như Bổ đề 2.1.7

Bổ đề 2.1.13 ([1]; Bổ đề 2.9) Giả sử Li(1 < i < n) là một họ những môđun con

i & I của N trong M.

H = L1thì 0 là một phần phụ của H trong L1và từ chứng minh của Bổ đề 2.1.7 ta thấy rằng K = K + 0 là một phần phụ của N trong M Nếu H = L1thì L1là một phần phụ của H trong L1và trong trường hơp này K + L1là một phần phụ của N

trong M, suy ra từ chứng minh của Bổ đề 2.1.7 Điều này chứng minh Bổ đề đúng trong trường hợp n =1 Giả sử n > 1, bằng phương pháp chứng minh quy

nạp theo n tồn tại một tập con I của {2, , n} sao cho K + 22 Lilà phần i ei'

phụ của N + L1trong M Từ trường hợp n =1 ta suy ra K + 22 Lihay i el'

i el'

Đối với một môđun con tùy ý N của một môđun M, kí hiệu YM(N) hoặc đơngiản Y(N) chỉ tập hợp tất cả các môđun con cực đại K của M với N c K Định lýdưới đây cho các đặc trưng của môđun phụ đối hữu hạn đủ

Định lý 2.1.14 ([1]; Định lý 2.10) Cho R là một vành Các phát biểu sau là

tương đương đối với một R-môđun M :

(1) M là phụ đối hữu hạn đủ.

(2) Mọi môđun con cực đại của M có phần phụ đủ trong M.

(3) Đối với mọi môđun con đối hữu hạn N và môđun con L của M sao cho M

< n) của L sao cho M = N + L1+ + L n ;

(4) Y(N) = Y(Loc(N)) với mọi môđun con N của M;

(2) (3): Giả sử rằng (2) thỏa mãn và tồn tại một môđun con đối hữu

hạn N của M sao cho M = N + L với một môđun con L của M nhưng M = N + Kvới mọi môđun con K của L, trong đó K là một tổng hữu hạn của các môđuncon địa phương Cho Q là một họ những môđun con H của M sao cho N < H và

M = H + K với mọi môđun con K của L, trong đó K là một tổng hữu hạn của

những môđun con địa phương Để ý rằng N G Q Cho {GA : A G A} là mộtchuỗi trong Q và G Pl GA.

A GA

Giả sử rằng G </ Q khi đó M = G + K với một môđun con K của L, trong đó K

là một tổng hữu hạn của các môđun con địa phương Để ý rằng N < G và do đó

G là một môđun con đối hữu hạn của M Tồn tại một số nguyên dương n vàphần tử mi G M(1 < i < n) sao cho M = Rm 1 + + Rm n + G Với mỗi (1 < i < n)tồn tại A(i) G A sao cho mi G GA ( i ) + K Ta thấy tồn tại 1 < j < n sao cho nếu A =A(j) thì GA ( i ) < GA, (1 < i < n) Cho nên

X + Y và X n Y < Y sao cho Y là môđun con địa phương của L Rõ ràng Ykhông là môđun con của X do đó Y không là môđun con của U, tức là U = U +

K Vì sự chọn U nên tồn tại môđun con V của L sao cho M = (U + Y) + V và V

là tổng hữu hạn của các môđun địa phương Nhưng U + V là một tổng hữu hạncủa các môđun con địa phương và một môđun con của L và M = U + (Y + V)điều này mâu thuẩn Do đó (3) được chứng minh

(3) (1): Theo Bổ đề 2.1.13

(2) (4): Cho N là một môđun con bất kì của M và K là một môđun

con cực đại của M sao cho N không là môđun con của K Khi đó M = K + N Theo (2), tồn tại một môđun con L của N sao cho L là phần phụ của K trong M

Như trước đây, L là môđun con địa phương của N, do đó Loc(N) không là

môđun con của K, (4) được chứng minh

(4) (5): Rõ ràng

(5) (2): Giả sử K là môđun con cực đại của M và H là môđun con của

M sao cho M = K+H Tồn tại x G H sao cho x ị K do đó M = K+Rx Rõ ràng x G

phương L của xR sao cho L không là môđun con của K Trong trường hợp này

M = K + L và K n L L do đó L là một phần phụ của K trong M Để ý rằng L là một môđun con của H, vậy (2) được chứng minh □

Hệ quả 2.1.15 ([1]; Hệ Quả 2.11) Giả sử M là một môđun sao cho mọi môđun

con xiclic đều là môđun phụ (hoặc phụ đối hữu hạn) Thế thì M là phụ đối hữu hạn đủ.

2.2 Môđun phụ yếu đối hữu hạn

Cho môđun M và N là một môđun con của M.Môđun con L của M là phần phụ của N trong M nếu N + L = M và N n L L Môđun con K của M là một phần phụ

môđun phụ yếu nếu mọi môđun con N của M có phần phụ yếu trong M Trong

mục này, chúng tôi trình bày một số kết quả về môđun phụ yếu đối hữu hạn- một

dạng tổng quát hóa của môđun phụ yếu Môđun phụ yếu đối hữu hạn được viết tắt

là cws- môđun

Định nghĩa 2.2.1 Môđun M được gọi là môđun phụ yếu đối hữu hạn nếu mọi

môđun con đối hữu hạn của M có phần phụ yếu trong M

Nhận xét: Rõ ràng mọi môđun phụ đối hữu hạn là môđun phụ yếu đối hữu

hạn Cũng như vậy, mọi môđun phụ yếu là môđun phụ yếu đối hữu hạn Điều ngược lại nói chung không đúng Trong phần cuối mục này, chúng tôi sẽ dẫn ra ví

dụ về một môđun phụ yếu đối hữu hạn mà nó không là môđun phụ đối hữu hạn và một môđun phụ yếu đối hữu hạn mà nó không là phụ yếu

Bổ đề 2.2.2 ([2]; Bổ đề 2.1) Cho M là một môđun và U là một môđun con đối

hữu hạn (môđun con cực đại) của M Nếu V là một phần phụ yếu của U trong M thì U có một phần phụ yếu hữu hạn sinh (tương ứng, xiclic) được chứa trong V.

X1 + V n U, X2 + V n U, , xn+ V n U

Thế thì đối với môđun con hữu hạn sinh W = Rx + Rx + + Rx của V, ta có

Bổ đề 2.2.3 ([2]; Bổ đề 2.4) Giả sử f : M —> N là một đồng cấu môđun và L là

một môđun con của M chứa Kerf Nếu L là một phần phụ yếu trong M thì f (L) có một phần phụ yếu trong f (M).

Chứng minh Nếu L là một phần phụ yếu của K trong M thì f (M) = f (L + K) = f

Bổ đề 1.1] Với Kerf c L, f (L) n f (K) = f (L n K) Vì vậy f (L) là một phần phụ

Mệnh đề 2.2.4 ([2]; Mệnh đề 2.5) Ảnh đồng cấu của một môđun phụ yếu đối hữu

hạn là một môđun phụ yếu đối hữu hạn.

hạn Giả sử rằng X là môđun con đối hữu hạn của f (M) thế thì

Bổ đề 2.2.5 ([2]; Mệnh đề 2.7) Nếu K là một phần phụ yếu của N trong môđun M

và T M thì K cũng là một phần phụ yếu của N + T trong M.

+ K) và g : (M/N) © (M/K) (M/((N + T)) ©

cấu vì M = N + K và Kerf = N n K M vì K là phần phụ yếu của N trong M Vì vậy

f là một toàn cấu nhỏ Kerg = (N + T)/N ©0 và (N + T)/N = ơ(T) c M/N vì T c

M,trong đó ơ : M M/N là toàn cấu chính tắc Do đó, g là một toàn cấu nhỏ Theo

19.2 trong Wisbauer (1991), g ◦ f là một toàn cấu nhỏ, nói cách khác (N + T) n K

= Ker(g ◦ f) c M Rõ ràng, (N + T) + K = M, vì vậy K là một phần phụ yếu của N +

Bổ đề 2.2.6 ([2]; Bổ đề 2.8) Nếu f : M —> N là một toàn cấu nhỏ thì một môđun

con L của M là một phần phụ yếu trong M nếu và chỉ nếu f (L) là một phần phụ yếu trong N

một phần phụ yếu trong N

Giả sử f (L) là một phần phụ yếu của một môđun con T của N hay N = f (L) +

T và f (L) n T < N Nên M = L + f-1(T) Từ Hệ quả 9.1.5 trong Kasch (1982) đãchứng minh rằng nghịch ảnh của một môđun con nhỏ của N là nhỏ trong M Do đó

L n f-1(T) < f-1(f (L) n T) c N

(T) là một phần phụ yếu của L

Nhắc lại, một môđun N được gọi là phủ nhỏ của một môđun M nếu tồn tại một

toàn cấu nhỏ f : N —> M hay Kerf N.

Mệnh đề 2.2.7 ([2]; Mệnh đề 2.9) Phủ nhỏ của một môđun phụ yếu đối hữu hạn

là một môđun phụ yếu đối hữu hạn.

Chứng minh Lấy N là một môđun phụ yếu đối hữu hạn, f : M N là một toàn cấu

nhỏ và L là một môđun con đối hữu hạn của M Thế thì N/f (L) là ảnh toàn cấu của

(L), do đó f (L) là một môđun con đối hữu hạn của N Vì N là một môđun phụ yếuđối hữu hạn, f (L) là một phần phụ yếu Bởi bổ đề 2.2.6, L cũng là một phần phụyếu trong

Nhận xét: Như đã biết, căn Rad(M) của R- môđun M là tổng của tất cả các

môđun con nhỏ trong M nhưng nói chung, Rad(M) không là nhỏ trong M Đối với vành R, lớp các R- môđun M có Rad(M) M đều có những tính chất đạc biệt và

được quan tâm khảo sát, chẳng hạn lớp các môđun hữu hạn sinh, trong đó có cácmôđun địa phương Từ

mệnh đề 2.2.7 trên đây, ta có ngay hệ quả là nếu Rad(M) M và môđun thương

M/Rad(M) là phụ yếu đối hữu hạn thì M là phụ yếu đối hữu hạn.

Bổ đề 2.2.8 ([2]; bổ đề 2.11) Giả sử N và U là những môđun con của môđun M,

trong đó N là một môđun phụ yếu đối hữu hạn còn U là đối hữu hạn Nếu N + U

có một phần phụ yếu trong M thì U cũng có một phần phụ yếu trong M.

Chứng minh Giả sử X là một phần phụ yếu của N + U trong M Ta có

N/[N n (X + U)] = (N + X + U)/(X + U) = M/(X + U)

= (M/U)/[(X + U)/U]

Môđun cuối là một môđun hữu hạn sinh, do đó N n (X + U) có một phần phụ yếu

Y trong N, nói cách khác Y + [N n (X + U)] = N, Y n (X + U) c N < M Bây giờ ta có

M = U + X + N = U + X + Y + [N n (X + U)] = U + X + Y

và

U n (X + Y) < [X n (Y + U)] + [Y + (X + U)]

< [X n (N + U)] + [Y n (X + U)] < M

Do đó X + Y là một phần phụ yếu của U trong M □

Mệnh đề 2.2.9 ([2]; Mệnh đề 2.12) Nếu môđun M là tổng của họ những môđun

(con) phụ yếu đối hữu hạn thì M cũng là phụ yếu đối hữu hạn.

i & I

hạn và N là môđun con đối hữu hạn của M Và M/N được sinh bởi tập {x1 + N, x2

+ N, , xk + N}, do đó M = Rx1 + Rx2 + + Rxk + N Vì mỗi xiđược chứa trongtổng 22 Mj với mỗi tập con hữu hạn F ị của I,

phụ yếu tầm thường là 0 và Mi rlà một môđun phụ yếu đối hữu hạn nên r-1

N + 22 Mi tcó một phần phụ yếu trong M, theo Bổ đề 2.2.8 Tương tự

t=1

r-2

N + 22 M i t có một phần phụ yếu trong M và tiếp tục quá trình trên, t=1

sau khi thực hiện r lần đến cuối cùng thì N có một phần phụ yếu trong

Ví dụ 2.2.10 ([2]; Ví dụ 2.14) Cho p là một số nguyên tố Xét Z- môđun M =

®i= 1(ai) là tổng trực tiếp của các nhóm xiclic (a i ) cấp p\ Vì mỗi (a i ) là Z- môđun địa phương và do đó là phụ yếu đối hữu hạn nên M là môđun phụ yếu đối hữu hạn bởi

N E(M), trong đó E(M) là một bao nội xạ của M Vì bao nội xạ E(N) của N là một hạng tử trực tiếp của E(M) nên N E(N) Từ Định lý 4 trong Leonard (1996) trong

"Small modules, Pro Amer Math Soc 17(1), 527-531", ta có kết luận rằng N là

L n T = N, ta có

p n+1 M = p n+1 T + pn(pL) < p n+1 T + pnN = p n+1 T

0 = pn+1an+2 = pn+1(pmn+2an+2) = mn+2pn+2an+2 = 0

Mâu thuẫn này chứng tỏ rằng M không là môđun phụ yếu.

Kết quả tiếp theo cho các tính chất đạc trưng của môđun phụ yếu đối hữu hạn - một sự tương tự thú vị với Định lí 2.1.12 về môđun phụ đối hữu hạn

Bổ đề 2.2.11 ([2]; Bổ đề 2.15) Cho U và K là những môđun con của môđun N sao

cho K là một phần phụ yếu của một môđun con cực đại M của N Nếu K + U có một phần phụ yếu trong N thì U cũng có một phần phụ yếu trong N.

Chứng minh Gọi X là một phần phụ yếu của K + U trong N Ta xét hai trường hợp

sau

Trường hợp 1: K n (X + U) c K n M Khi đó K n (X + U) N vì

K n M c N, kéo theo

U n (X + K) < X n (K + U) + K n (X + U) < N

Hiển nhiên N = (X + K) + U Vì vậy X + K là phần phụ yếu của U trong N.

Vậy trong cả hai trường hợp U có phần phụ yếu trong N □

Đối với một môđun M, gọi r là tập tất cả các môđun con K của M sao cho K làmột phần phụ yếu của một môđun con cực đại nào đó của M Kí hiệu tổng của các

môđun con trong r là cws(M), tức là cws(M) ^2 K Bây giờ ta có:

K ■ r

Định lý 2.2.12 ([2]; Định lí 2.16) Đối với một môđun N, các phát biểu sau là

tương đương:

(1)N là môđun phụ yếu đối hữu hạn;

(2)Mọi môđun con cực đại của N có một phần phụ yếu trong N;

(3)N/cws(N) không có môđun con cực đại.

hữu hạn

(2) (3): Giả sử rằng có một môđun con cực đại M/cws(N) của N/cws(N) Thế thì

M là một môđun con cực đại của N Bởi (2), có một phần phụ yếu K của Mtrong N Thế thì K E r, nên K < cws(N) < M Do đó N = M + K = M Mâu

thuẫn với N/cws(N) không có môđun con cực đại.

(3) (1) Lấy U là một môđun con đối hữu hạn của N Thế thì U + cws(N) cũng là đối hữu hạn Nếu N/[U + cws(N)] = 0, thì có một môđun con cực đại M/[U