Môđun phân số suy rộng và một số vấn đề liên quan

NGUY™N THI HÁA... Trong ch÷ìng n y, tr÷îc h¸t chóng tæi tr¼nh b y kh¡i ni»m tªp con tam gi¡cv x¥y düng mæun ph¥n sè suy rëng cõa mët mæun theo mët tªp con tamgi¡c... Måi mæun con thüc s

TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN

INH HÚU DUY

MÆUN PH…N SÈ SUY RËNG V€ MËT SÈ V‡N — LI–N QUAN

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

B¼nh ành - N«m 2022

TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN

INH HÚU DUY

MÆUN PH…N SÈ SUY RËNG V€ MËT SÈ V‡N — LI–N QUAN

Ng nh: „I SÈ V€ L THUY˜T SÈ

M¢ sè: 8460104

Ng÷íi h÷îng d¨n: TS NGUY™N THI HÁA

Möc löc

1.1 ë d i mæun 3

1.2 Sü ph¥n t½ch nguy¶n sì 4

1.3 Chi·u Krull 6

1.4 Ph¤m trò v  h m tû 10

1.4.1 Ph¤m trò v  h m tû 10

1.4.2 H m tû a-xo­n 12

1.5 Mæun èi çng i·u v  mæun èi çng i·u àa ph÷ìng 14

1.5.1 Mæun èi çng i·u 14

1.5.2 Mæun èi çng i·u àa ph÷ìng 17

1.6 Giîi h¤n thuªn 22

Ch÷ìng 2 Mæun ph¥n sè suy rëng 26 2.1 Mæun ph¥n sè suy rëng 26

2.2 Mët sè t½nh ch§t v  v½ dö 39

Ch÷ìng 3 Mæun ph¥n sè suy rëng v  èi çng i·u àa ph÷ìng, v  gi£ thuy¸t ìn thùc 48 3.1 Mæun ph¥n sè suy rëng v  èi çng i·u àa ph÷ìng 48

3.2 Ùng döng èi vîi gi£ thuy¸t ìn thùc 58

Danh möc c¡c k½ hi»u

(R,m) V nh Noether giao ho¡n àa ph÷ìng vîi i¶an cüc ¤i m

AssR (M ) Tªp c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa R−mæun M

Γa(•) H m tû a−xo­n t÷ìng ùng vîi i¶an a

gi¡c U cõa Rn

U−n(•) H m tû tø ph¤m trò Mod(R) ¸n ch½nh nâ t÷ìng ùng vîi tªp con

tam gi¡c U cõa Rn

Mð ¦u

Cho R l  mët v nh giao ho¡n câ ìn và v  S l  mæt tªp nh¥n âng cõa v nh

R, M l  mët R−mæun X¥y düng mët quan h» t÷ìng ÷ìng tr¶n M × S:

Tªp th÷ìng M × S/ ∼ ÷ñc k½ hi»u l 

na s

N«m 1982, R.Y.Sharp v  H.Zakeri [18] ÷a ra kh¡i ni»m tªp con tam gi¡c U

suy rëng U−nM, méi ph¦n tû cõa nâ câ d¤ng

Trong luªn v«n n y, chóng tæi tr¼nh b y v  chùng minh chi ti¸t mët sè k¸tqu£ trong [18], [19] Luªn v«n ngo i ph¦n Möc löc, Mð ¦u, K¸t luªn v  Danhmöc t i li»u tham kh£o câ 3 ch÷ìng

Trong ch÷ìng n y, tr÷îc h¸t chóng tæi tr¼nh b y kh¡i ni»m tªp con tam gi¡c

v  x¥y düng mæun ph¥n sè suy rëng cõa mët mæun theo mët tªp con tamgi¡c Ti¸p theo chóng tæi tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t cõa mæun ph¥n sè suyrëng v  mët sè v½ dö v· tªp con tam gi¡c

Ch÷ìng 3 Mæun ph¥n sè suy rëng v  èi çng i·u àa ph÷ìng,

v  gi£ thuy¸t ìn thùc

Trong ch÷ìng n y chóng tæi s³ tr¼nh b y méi mæun M tr¶n v nh giao ho¡nNoether àa ph÷ìng (R,m) vîi dimR = n ⩾1, mæun èi çng i·u Hmn(M ) câthº xem l  mët mæun ph¥n sè suy rëng Ti¸p theo â chóng tæi tr¼nh b y ùngdöng cho gi£ thuy¸t ìn thùc

Luªn v«n ÷ñc ho n th nh nhí sü h÷îng d¨n v  gióp ï tªn t¼nh cõa th¦yh÷îng d¨n TS Nguy¹n Th¡i Háa, Tr÷íng ¤i håc Quy Nhìn Tæi xin b y tä

sü k½nh trång v  láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n Th¦y ¢ gióp ï tæi trong suèt qu¡tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n Tæi công xin gûi líi c£m ìn ¸n quþ Banl¢nh ¤o Tr÷íng ¤i håc Quy Nhìn, Pháng  o t¤o Sau ¤i håc, Khoa To¡n

v  Thèng k¶ còng quþ th¦y cæ gi¡o gi£ng d¤y lîp Cao håc ¤i sè v  L½ thuy¸t

sè khâa 23 ¢ gi£ng d¤y v  t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho tæi trong qu¡ tr¼nh håctªp v  thüc hi»n · t i Tæi công xin b y tä láng bi¸t ìn ¸n ng÷íi th¥n, b¤nb± ¢ luæn gióp ï ëng vi¶n º tæi ho n th nh khâa håc v  luªn v«n n y.M°c dò luªn v«n ÷ñc thüc hi»n vîi sü né lüc cè g­ng h¸t sùc cõa b£n th¥n,nh÷ng do i·u ki»n thíi gian câ h¤n, tr¼nh ë ki¸n thùc v  kinh nghi»m nghi¶ncùu cán h¤n ch¸ n¶n luªn v«n khâ tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât Tæi r§t mongnhªn ÷ñc nhúng gâp þ cõa quþ th¦y cæ gi¡o º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn

nâ câ óng hai mæun con l  mæun khæng v  ch½nh nâ.

Bê · 1.1.2 Cho M l  mët R−mæun Khi â M l  R−mæun ìn khi v  ch¿khi M ∼ = R/m (nh÷ R-mæun) vîi m ∈ Max (R)

ành ngh¾a 1.1.3 Mët d¥y chuy·n ch°t câ ë d i n cõa R−mæun M l  mëtd¢y t«ng thüc sü c¡c mæun con cõa M câ d¤ng M0 ⊊M1 ⊊ .⊊Mn

ành ngh¾a 1.1.4 Mët d¥y chuy·n ch°t c¡c mæun con cõa mæunM câ d¤ng

(tùc l  d¢y khæng thº bê sung th¶m), ÷ñc gåi l  mët chuéi hñp th nh câ ë d i

n cõa mæunM Mæun khæng ÷ñc coi l  câ chuéi hñp th nh câ ë d i b¬ng0

ành lþ 1.1.5 [ành lþ Jordan-Holder] Cho M l  mët R−mæun Gi£ sû r¬ng

M câ mët chuéi hñp th nh câ ë d i n Khi â,

(i) Måi d¥y chuy·n ch°t cõa M ·u câ ë d i khæng lîn hìn n

(ii) Måi chuéi hñp th nh cõa M ·u câ ë d i óng b¬ng n

(iii) Måi d¥y chuy·n ch°t c¡c mæun con cõa M câ ë d i k < n ·u câ thº bê

(iv) Måi d¥y chuy·n ch°t cõa M câ ë d i óng b¬ngn ·u l  chuéi hñp th nh

ành ngh¾a 1.1.6 Khi R−mæunM câ mët chuéi hñp th nh câ ë d i n < ∞

th¼ ta nâi M câ ë d i b¬ng n v  k½ hi»u lR(M ) = n

V½ dö 1.1.7 1 Cho V l  khæng gian v²ctì tr¶n tr÷íng K. Khi â, V câ chi·u

R−mæun câ ë d i húu h¤n v  lK(V ) =dimK (V )

d¢y t«ng

c¡c mæun con cõa M ·u døng, tùc l  tçn t¤i k ∈ Z+ : Mk = Mk+i vîi måi

i ∈Z+ Mët v nh R ÷ñc gåi l  mët v nh Noether n¸u R l R−mæun Noether

2 Mët R−mæun M ÷ñc gåi l  mæun Artin n¸u måi d¢y gi£m

c¡c mæun con cõa M ·u døng, tùc l  tçn t¤i k ∈ Z+ : Mk = Mk+i vîi måi

i ∈Z+ Mët v nh R ÷ñc gåi l  mët v nh Artin n¸u R l  R−mæun Artin

ành lþ 1.1.9 Cho M l  mët R−mæun Khi â lR(M ) < ∞ khi v  ch¿ khi M

vøa l  mæun Noether vøa l  mæun Artin

Trong möc n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v· sü ph¥n t½ch nguy¶n

sì theo [3], [13], [14] K½ hi»u R l  mët v nh giao ho¡n câ ìn và

ành ngh¾a 1.2.1 Mët i¶an I cõa v nh R ÷ñc gåi l  mët i¶an nguy¶n sìn¸u I ⊊R v  vîi måi a, b ∈ R, ab ∈ I th¼ a ∈ I ho°c bk ∈ I vîi mët k ∈Z+.Ghi chó 1.2.2 1 Méi i¶an nguy¶n tè P cõa R l  mët i¶an nguy¶n sì

ành ngh¾a 1.2.3 Mæun con thüc süN cõaR−mæunM ÷ñc gåi l  nguy¶n

sì n¸u ∀α ∈ R, ∀x ∈ M, αx ∈ N ⇒ x ∈ N ho°c ∃k ∈Z+ sao cho αkM ⊆ N

Ghi chó 1.2.4 1 I¶anI cõaR l  i¶an nguy¶n sì khi v  ch¿ khi I l  mæuncon nguy¶n sì cõa R−mæun R

2 N l  mæun con nguy¶n sì cõa M khi v  ch¿ khi vîi måi α ∈ R, tü çng

l  mët i¶an cõa R °c bi»t, n¸u a l  mët i¶an cõa R th¼ RadR (a) = √

a.(ii) ChoN, P l  hai mæun con cõaM N¸uN ⊆ P th¼ RadM (N ) ⊆ RadM (P ).Hìn núa

cõa M

ành ngh¾a 1.2.7 I¶an nguy¶n tè P cõa v nh R ÷ñc gåi l  li¶n k¸t vîi

R−mæun M n¸u tçn t¤i x ∈ M sao cho Ann(x) = P Tªp t§t c£ c¡c i¶annguy¶n tè li¶n k¸t cõa M ÷ñc k½ hi»u l  AssR (M ) hay ìn gi£n hìn Ass(M )

2 Cho P ∈Spec(R) Khi â n¸u P ∈ Ass(M ) th¼ tçn t¤i mët mæun con N

cõa M sao cho N ∼ = R/P

3 Cho R l  v nh Noether v  M l  R−mæun

(i) Gi£ sû M ̸= 0 K½ hi»u F = Ann(x) | x ∈ M \ {0} Khi â måi ph¦n tûtèi ¤i cõa hå F l  mët i¶an nguy¶n tè tùc l  P ∈Ass(M )

(ii) Ass(M ) = ∅ ⇔ M = 0

(iii) ZDR (M ) = [

P ∈ Ass(M)

ành ngh¾a 1.2.10 Cho N l  mët mæun con cõa R−mæun M Mët ph¥nt½ch nguy¶n sì cõa N l  mët biºu di¹n N d÷îi d¤ng giao cõa c¡c mæun connguy¶n sì cõa M

trong â P1, , Pr l  c¡c mæun con nguy¶n sì cõa M

Ghi chó 1.2.11 1 Sü ph¥n t½ch nguy¶n sì N = P1∩ P2∩ ∩ Pr ÷ñc gåi l rót gån n¸u \

k̸=i

2 Måi sü ph¥n t½ch nguy¶n sì cõa N ·u câ thº ÷a v· d¤ng rót gån

ành lþ 1.2.12 Måi mæun con thüc sü cõa mët mæun Noether ·u câ süph¥n t½ch nguy¶n sì rót gån

M»nh · 1.2.13 Cho R l  v nh Noether v  M l  mët R−mæun húu h¤n sinh.Gi£ sû 0 = N1∩ N2∩ ∩ Nr l  ph¥n t½ch nguy¶n sì rót gån cõa mæun con 0

1.3 Chi·u Krull

Trong möc n y, chóng tæi tr¼nh b y kh¡i ni»m chi·u Krull v  mët sè k¸t qu£v· chi·u theo [1], [3], [13], [14] Tr÷îc h¸t chóng tæi nh­c l¤i kh¡i ni»m v nhph¥n bªc v  mæun ph¥n bªc K½ hi»u R l  mët v nh giao ho¡n câ ìn và

ành ngh¾a 1.3.1 V nh R ÷ñc gåi l  v nh ph¥n bªc n¸u tçn t¤i mët hå c¡cnhâm con cëng giao ho¡n (Rn)n⩾0 cõaR thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau:

n ⩾0

(ii) RnRm⊆ Rm+n vîi måi m, n⩾0

V½ dö 1.3.2 1 Gi£ sû R l  mët v nh giao ho¡n câ ìn và b§t ký ChoR0 = R

v  Rn = 0 vîi måi n ⩾ 1 Khi â R l  v nh ph¥n bªc v  gåi l  v nh ph¥n bªct¦m th÷íng

2 X²t v nh a thùc n bi¸n R = K [x1, , xn] vîi K l  mët tr÷íng Gåi Rd

l  tªp t§t c£ a thùc thu¦n nh§t bªc d, t½nh c£ a thùc khæng Khi â ta câ

d ⩾0

Rd v  RdR m ⊆ Rd+m vîi måi m, d ⩾0 Vªy R l  mët v nh ph¥n bªc

Nhúng ph¦n tû cõa Rn ho°c Mn trong mët v nh ph¥n bªc ho°c mët mæunph¥n bªc ÷ñc gåi l  th nh ph¦n thu¦n nh§t bªc n.

n ⩾0

Nn, trong â Nn = N ∩ Mn Do â mæun

ành ngh¾a 1.3.5 Mët v nh låc R l  mët v nh R còng vîi mët hå(Rn)n⩾0 c¡cnhâm con cõa R thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau:

(i) R0 = R

(ii) R n+1 ⊆ Rn vîi måi n ⩾0

(iii) RnRm⊆ Rn+m vîi måi m, n⩾0

V½ dö 1.3.6 1 Gi£ sû R l  mët v nh b§t ký Cho R0 = R v  Rn = 0 vîi måi

n⩾1 Khi â (Rn)n⩾0 l  mët v nh låc cõa v nhR l  gåi l  mët låc t¦m th÷íng

2 Cho I l  mët i¶an cõa R Khi â (In)n⩾0 l  mët låc cõa R, nâ ÷ñc gåi

l  mët låc I−adic

3 Cho (Rn)n⩾0 l  mët v nh låc cõa v nh R v  S l  mët v nh con cõa R Khi

â (Rn∩ Sn)n⩾0 l  mët låc cõa S, nâ ÷ñc gåi l  låc c£m sinh tr¶n S

ành ngh¾a 1.3.7 Cho R l  mët v nh låc vîi låc (Rn)n⩾0 Mët R−mæun M

låc l  mët R−mæun M còng vîi mët låc (Mn)n⩾0 c¡c R−mæun con cõa M

thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau:

(i) M0= M

(ii) M n+1 ⊆ M n vîi måi n ⩾0

(iii) RmMn ⊆ Mm+n vîi måi m, n⩾0

V½ dö 1.3.8 1 Cho M l  mët R−mæun v  R câ låc t¦m th÷íng Khi â M

công câ mët låc t¦m th÷íng ÷ñc ành ngh¾a bði M0 = M v  Mn = 0 vîi måi

i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi I ⊆ m v  R/I l  mæun Artin

Cho I l  mët i¶an ành ngh¾a cõa R v  M l  mët R−mæun húu h¤n sinh.Khi â M/IM l  mæun húu h¤n sinh tr¶n R/I X²t låc I−adic cõa R v  M.Khi â ta câ v nh ph¥n bªc li¶n k¸t v  mæun ph¥n bªc li¶n k¸t

Gi£ sû I = Rx1 + + Rxr, khi â v nh ph¥n bªc R∗ l  £nh çng c§u cõa

l  mët a thùc theo n vîi bªc khæng qu¡ r khi n ≫ 0 (n õ lîn)

a thùcχ (M, I, n)khi n ≫ 0÷ñc gåi l  a thùc Hilbert cõa M t÷ìng ùng vîiI

a thùc n y khæng phö thuëc v o i¶an ành ngh¾aI Bªc cõa a thùc n y ÷ñck½ hi»u d(M )

M»nh · 1.3.9 Cho (R,m) l  mët v nh Noether giao ho¡n àa ph÷ìng vîii¶an cüc ¤i m v  I l  mët i¶an ành ngh¾a cõa R v 

Cho R l  mët v nh giao ho¡n câ ìn và 1 ̸= 0 Mët d¢y húu h¤n gçm n + 1

i¶an nguy¶n tè P0 ⊇ P1 ⊇ ⊇ Pn ÷ñc gåi l  mët d¥y chuy·n nguy¶n tè ë

d i n N¸u P ∈Spec(R), ch°n tr¶n nhä nh§t cõa t§t c£ ë d i c¡c d¥y chuy·nnguy¶n tè vîi P = P0 ÷ñc gåi l  ë cao cõa P v  k½ hi»u l  ht(P ) V¼ vªy

Cho I l  mët i¶an thüc sü cõaR Chóng ta ành ngh¾a ë cao cõa I l  ch°nd÷îi lîn nh§t cõa c¡c ë cao cõa c¡c i¶an nguy¶n tè chùa I,

ành ngh¾a 1.3.11 Chi·u cõa v nh R ÷ñc ành ngh¾a l  ch°n tr¶n nhä nh§tcõa t§t c£ ë cao cõa t§t c£ c¡c i¶an nguy¶n tè cõa R,

dimR =supnht(P ) P ∈Spec(R)o,

nâ cán ÷ñc gåi l  chi·u Krull cõa R

V½ dö 1.3.12 1 Cho K l  1 tr÷íng Khi â dimK = 0

2 dimZ= 1

Ghi chó 1.3.13 1 Vîi méi i¶an I cõa R, dim R/I
+ht(I)⩽ dimR

2 N¸u (R,m) l  mët v nh Noether àa ph÷ìng th¼ dimR < ∞

Ghi chó 1.3.15 1 Cho (R,m) l  mët v nh Noether giao ho¡n àa ph÷ìng.Khi â d(R)⩾ dim(R)

2 Cho (R,m) l  mët v nh Noether giao ho¡n àa ph÷ìng v  M ̸= 0 l mët R−mæun húu h¤n sinh v  °t dim(M ) = r Khi â tçn t¤i r ph¦n tû

ành ngh¾a 1.3.16 Chi·u Chevalley δ (M ) cõa M l  sè tü nhi¶n nhä nh§t r

sao cho tçn t¤i x1, , xr ∈m º lR M/ (x1, , xr) M
< ∞

ành lþ 1.3.17 [ành lþ chi·u] Cho (R,m) l  mët v nh Noether giao ho¡n àaph÷ìng vîi i¶an cüc ¤i m v  M ̸= 0 l  mët R−mæun húu h¤n sinh Khi â

trong â δ (M ) l  sè tü nhi¶n nhä nh§t r sao cho tçn t¤i x1, , xr ∈ m º

Ghi chó 1.3.18 1 Gi£ sû d = dim(M ) v  h» ph¦n tû x 1 , , xd ∈ m sao

1.4 Ph¤m trò v  h m tû

Trong möc n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc v· ph¤m trò v  h m tûtheo [2], [4], [16]

1.4.1 Ph¤m trò v  h m tû

ành ngh¾a 1.4.1.1 Mët ph¤m trò K ÷ñc cho bði:

(K1) Mët lîp c¡c vªt Ob(K) m  méi ph¦n tû cõa Ob(K) ÷ñc gåi l  mët vªtcõa ph¤m trò K

(K2)Vîi hai vªt tòy þ A, B ∈Ob(K) luæn x¡c ành mët tªp hñp MorK (A, B)v 

÷ñc gåi l  tªp hñp c¡c c§u x¤ tø A ¸n B sao cho vîi hai c°p kh¡c nhau cõac¡c vªt (A, B) ̸= (C, D) th¼ MorK (A, B) ∩MorK (C, D) = ∅

(K3) Vîi ba vªt b§t ký A, B, C ∈Ob(K) câ mët ¡nh x¤

(f, g) 7−→ gf

gåi l  ph²p nh¥n sao cho c¡c ti¶n · sau ¥y thäa m¢n:

(i) Ph²p nh¥n câ t½nh k¸t hñp, ngh¾a l  vîi ba c§u x¤ b§t kýf ∈MorK (A, B),

(hg) f = h (gf )

(ii) Vîi méi A ∈ Ob(K) tçn t¤i mët c§u x¤ 1A ∈ MorK (A, A), gåi l  c§u x¤

çng nh§t, sao cho vîi méi B ∈Ob(K), vîi méi f ∈MorK (A, B), ta câ

Khi ph¤m trò K ¢ ÷ñc x¡c ành tr÷îc º cho ti»n ta vi¸t Mor(A, B) thay cho

A,B∈ Ob(K)

Ngo i ra ta công vi¸t A ∈ K thay cho A ∈Ob(K) , f ∈ K thay cho f ∈ Mor(K)

v  vi¸t f : A −→ B thay cho f ∈MorK (A, B)

(i) Ob(G) l  lîp t§t c£ c¡c nhâm

(ii) Mor(A, B) =Hom(A, B) l  tªp hñp t§t c£ c¡c çng c§u nhâm tø nhâm A

¸n nhâm B

(iii) Ph²p nh¥n l  ph²p hñp th nh hai çng c§u nhâm

2 Ph¤m trò c¡c R−mæun Mod(R) gçm câ

(i) Ob Mod(R)
l  lîp t§t c£ c¡c R−mæun

(ii) Mor(A, B) =HomR (A, B)l  tªp hñp t§t c£ c¡c çng c§u mæun tøR−mæun

A ¸n R−mæun B

(iii) Ph²p nh¥n l  ph²p hñp th nh hai çng c§u mæun

ành ngh¾a 1.4.1.3 Cho hai ph¤m trò C v  D Mët h m tû hi»p bi¸n F tø C

¸n D, k½ hi»u l  F : C −→ D, l  mët quy t­c °t t÷ìng ùng

(i) Méi vªt A cõa C vîi mët vªt F (A) cõaD

(ii) Méi c§u x¤ f : A −→ B vîi mët c§u x¤ F (f ) : F (A) −→ F (B), sao cho c¡c

i·u ki»n sau thäa m¢n

(a) Vîi måi vªt A cõa C câ F (1A) = 1F (A)

(b) Vîi måi c§u x¤ f : A −→ B v  g : B −→ C câ F (gf ) = F (g) F (f )

ành ngh¾a 1.4.1.4 Cho hai ph¤m trò C v  D Mët h m tû ph£n bi¸n F tø C

¸n D, k½ hi»u l  F : C −→ D, l  mët quy t­c °t t÷ìng ùng

(i) Méi vªt A cõa C vîi mët vªt F (A) cõaD

(ii) Méi c§u x¤ f : A −→ B vîi mët c§u x¤ F (f ) : F (B) −→ F (A), sao cho c¡c

i·u ki»n sau thäa m¢n

(a) Vîi måi vªt A cõa C câ F (1A) = 1F (A)

(b) Vîi måi c§u x¤ f : A −→ B v  g : B −→ C câ F (gf ) = F (f ) F (g)

1.4.2 H m tû a-xo­n

ChoRl  mët v nh Noether, a⊆ Rl  mët i¶an,M l  mëtR−mæun.N ⊆ M

l  mët mæun con K½ hi»u

Khi â (N :M a) l  mët mæun con cõa M v  N ⊆ (N :M a)

K½ hi»u Γa(M ), ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau:

m  méiR−mæunM g¡n vîi mëtR−mæunF (M )v  méi çng c§uh : M −→ N

cõa c¡cR−mæun g¡n cho mët çng c§u cõa c¡cR−mæunF (h) : F (M ) −→ F (N )

thäa m¢n c¡c t½nh ch§t sau:

(i) F (idM ) =idF (M ) vîi méi R−mæunM

(ii) F (h ◦ l) = F (h) ◦ F (l), trong â l : M −→ N v  h : N −→ P l  c¡c çng c§ucõa c¡c R−mæun.

(iii) F (h + l) = F (h) + F (l), trong â h, l : M −→ N l  c¡c çng c§u cõa c¡c

1.5 Mæun èi çng i·u v  mæun èi çng i·u

àa ph÷ìng

Trong möc n y, chóng tæi tr¼nh b y v· mæun èi çng i·u v  mæun èi

çng i·u àa ph÷ìng theo [2], [4], [17] K½ hi»u R l  v nh giao ho¡n câ ìn và,

Z l  tªp c¡c sè nguy¶n, N0 l  tªp c¡c sè nguy¶n khæng ¥m

1.5.1 Mæun èi çng i·u

çng c§u cõa c¡c R−mæun hi: Mi −→ N i sao cho ∀i ∈Z, hi+1◦ d i = ei◦ h i, tùc

l  biºu ç sau giao ho¡n

i∈Z x¡c ànhmët çng c§u cõa c¡c èi phùc cõa c¡c R−mæun

çng c§u cõa c¡c èi phùc l• ◦ h• = li◦ h i

i∈Z ÷ñc gåi l  hñp th nh cõa hai

çng c§u cõa c¡c èi phùc h• vîi l•

Ghi chó 1.5.1.4 1 Hå (idM i )i∈Z x¡c ành mët çng c§u cõa c¡c èi phùc

l  tªp hñp t§t c£ c¡c çng c§u cõa c¡c èi phùc cõa c¡c R−mæun tø èi phùc

(M•, d•)¸n èi phùc (N•, e•) Tªp n y l  mëtR−mæun vîi ph²p to¡n cëng v ph²p to¡n nh¥n ÷ñc ành ngh¾a bði

(i) h•+ l•= hi+ li

i∈Z, trong â h•= hi

i∈Z v  l• = li

i∈Z.(ii) ah• = ahi

i∈Z, trong â h•= hi

i∈Z

ành ngh¾a 1.5.1.5 Cè ành n ∈ Z Khi â mæun èi çng i·u thù n cõa

èi phùc (M•, d•) cõa c¡c R−mæun ÷ñc ành ngh¾a l 

M»nh · 1.5.1.6 Cho h• : (M•, d•) −→ (N•, e•) l  mët çng c§u cõa c¡c èiphùc cõa c¡c R−mæun Khi â, ta câ

(i) hn ker(dn)
⊆ker(en) vîi måi n ∈Z.

(ii) hnim dn−1
⊆im en−1
vîi måi n ∈ Z.

Tø ành ngh¾a 1.5.1.5 v  M»nh · 1.5.1.6 ta câ thº ành ngh¾a mët R−çngc§u mæun Hn(h•) nh÷ sau

÷ñc gåi l  h m tû èi çng i·u thù n.

ành ngh¾a 1.5.1.9 Cho h•, l• : (M•, d•) −→ (N•, e•) l  hai çng c§u cõa c¡c

èi phùc cõa c¡c R−mæun Mët çng lu¥n tø h• ¸n l• l  mët hå (ti)i∈Z c¡c

çng c§u cõa c¡c R−mæun ti: Mi−→ N i−1 sao cho ∀i ∈Z, ta câ

k½ hi»u h•∼ l• (åc l  h• çng lu¥n vîi l•)

Khi â n¸u h• ∼ l• th¼ Hn(h•) = Hn(l•), ∀n ∈Z.

ành ngh¾a 1.5.1.11 Mët çng c§u h• : (M•, d•) −→ (N•, e•) ÷ñc gåi l mët t÷ìng ÷ìng n¸u tçn t¤i mët çng c§u l• : (N•, e•) −→ (M•, d•) sao cho

3 Cho h•, l•∈HomR (M•, d•) , (N•, e•)
Khi â ta câ

(i) N¸u (ti)i∈Z l  mët çng lu¥n tø h• ¸n l•, th¼ F (ti)

i∈Z l  mët hå çnglu¥n tø F (h•) ¸n F (l•) i·u n y d¨n ¸n hai tr÷íng hñp °c bi»t sau:(ii) N¸u h• ∼ l• th¼ F (h•) ∼ F (l•)

(iii) N¸u h• ∼ l• th¼ Hn F (h•)
= Hn F (l•)
, vîi måi n ∈Z.

1.5.2 Mæun èi çng i·u àa ph÷ìng

R−mæun, tçn t¤i mët çng c§u R−mæun l : M −→ I cõa c¡c R−mæun sao

R−mæun h : a −→ I tçn t¤i mët e ∈ I sao cho h (a) = ae vîi måi a ∈ a.Khi â I l  nëi x¤ (ti¶u chu©n Baer)

2 Vîi méi R−mæun M tçn t¤i mët R−mæun nëi x¤ I còng vîi mët ìn

mët R−mæun nëi x¤ I

ành ngh¾a 1.5.2.3 ChoM l  mëtR−mæun Mët ph²p gi£i ph£i (E•, e•) ; b

cõa R−mæun M bao gçm mët èi phùc (E•, e•) v  mët çng c§u b : M −→ E0

sao cho

(i) Ei= 0, vîi måi i < 0

(ii) D¢y 0 → M −→ Eb 0 −→ Ee0 1 −→ Ee1 2 → · · · l  khîp

Khi â (E•, e•) ÷ñc gåi l  gi£i èi phùc cõa M

ành ngh¾a 1.5.2.4 Cho M l  mëtR−mæun Mët ph²p gi£i ph£i nëi x¤ cõa

M l  mët ph²p gi£i ph£i (I•, d•) ; a
cõa M sao cho t§t c£ c¡c R−mæun Ii l nëi x¤, tùc l  ta câ mët d¢y khîp

vîi c¡c R−mæun I0, I1, I2, l  nëi x¤

Theo bê · Eckman-Schopf v  b¬ng quy n¤p theo n, chóng ta câ thº x¥ydüng c¡c R−mæun nëi x¤ I0, I1, , In, v  c¡c çng c§u cõa c¡c R−mæun

l  khîp Do â ta câ m»nh · sau

cõa N Khi â mët ph²p gi£i ph£i cõa h giúa (D•, d•) ; a
v  (E•, e•) ; b



l  mët çng c§u cõa c¡c èi phùc h• : (D•, d•) ; a
−→ (E•, e•) ; b
sao cho

nëi x¤ cõa N Khi â, h câ mët ph²p gi£i

2 Cho h : M −→ N l  mët çng c§u cõa c¡c R−mæun, (E•, e•) ; b
l  mëtph²p gi£i ph£i cõaM v  (I•, d•) ; a
l  mët ph²p gi£i ph£i nëi x¤ cõa N Gi£ sû

l  c¡c ph²p gi£i cõa h Khi â h• ∼ l•

3 Gi£ sû F l  mët h m tû hi»p bi¸n tø ph¤m trò c¡c R−mæun ¸n ch½nh

nâ Khi â

(i) Gi£ sû h : M −→ N l  mët çng c§u cõa c¡c R−mæun, (E•, e•) ; b
l mët ph²p gi£i ph£i cõa M v  (I•, d•) ; a
l  mët ph²p gi£i ph£i nëi x¤cõa N Cho h•, l• : (E•, e•) −→ (I•, d•) l  hai ph²p gi£i cõa h Khi â, vîimåi n ∈N0, hai çng c§u

(ii) °t (I•, d•) ; a
= I; (J•, e•) ; b
= J l  hai ph²p gi£i ph£i nëi x¤ cõa

R−mæun v  choi• : (I•, d•) −→ (J•, e•)l  mët ph²p gi£i cõa idM : M −→ M.Khi â, vîi méi n ∈N0 ta câ ¯ng c§u

Ti¸p theo, chóng tæi s³ tr¼nh b y v· vi»c x¥y düng h m tû d¨n xu§t cõa mët

h m tû cho tr÷îc

R−mæun ¸n ch½nh nâ Vîi méi R−mæunM ta câ thº chån mët ph²p gi£i nëix¤ IM = IM• , d•M
; aM, tùc l  méi R−mæun M ta câ d¢y khîp sau:

0 M

1 M

v  gåi I∗ l  sü chån cõa c¡c ph²p gi£i nëi x¤ (tr¶n c¡c R−mæun).

Vîi méi R−mæun M tòy þ, ta ành ngh¾a

d1N //I2 N

N

/ imdn−1N = R n

ành ngh¾a 1.5.2.9 Cho a l  mët i¶an cõa v nh Noether R v  n ∈ N0 Ta

ành ngh¾a h m tû èi çng i·u àa ph÷ìng thù n Han(•) = Han l  h m tû d¨nxu§t ph£i thù n RnΓ (•) = RnΓa cõa h m tû a−xo­n Γa(•) Nh÷ vªy

ành ngh¾a 1.5.2.10 Cho R l  v nh Noether v  gi£ sû n ∈ N0 Mæun èi

çng i·u thù n cõa R−mæun M t÷ìng ùng vîi i¶an a ÷ñc ành ngh¾a l 

Ghi chó 1.5.2.11 1 Vîi méiR−mæunM tçn t¤i ph²p gi£i nëi x¤ (I•, d•) ; a

cõa M, v¼ vªy ta câ d¢y khîp

2 Cho h : M −→ N l  mët çng c§u c¡c R−mæun çng c§u èi çng i·u

àa ph÷ìng thùn ùng vîi i¶an a c£m sinh bði h ÷ñc ành ngh¾a nh÷ çng c§u

ành lþ 1.5.2.12 Gi£ sû (R,m) l  mët v nh Noether àa ph÷ìng vîi i¶an cüc

¤i m v  cho M l  mët R−mæun kh¡c khæng húu h¤n sinh, vîi dimM = d ⩾ 1.Khi â

(iii) Hmn(M ) l  R−mæun Artin vîi måi n ∈ N0

ành ngh¾a 1.5.2.13 Cho a⊆ R l  mët i¶an Mët R−mæun M ÷ñc gåi l 

a−xo­n n¸u M = Γa(M )

Ghi chó 1.5.2.14 1 Cho R l  mët v nh Noether v  a ⊆ R l  mët i¶an cõa

R Khi â n¸u M l  mët R−mæun b§t k¼ th¼ Γa(M )l  a−xo­n

2 Cho x ∈a v  M l  a−xo­n Khi â ph²p nh¥n

(i) Mæun èi çng i·u àa ph÷ìng Han(M ) l  a−xo­n, vîi måi n > 0

(ii) N¸u M l  mët R−mæun a−xo­n th¼ Han(M ) = 0 vîi måi n > 0

ành ngh¾a 1.6.3 Cho(I,⩽) l  mët tªp ành h÷îng v  {Mi}i∈I l  mët hå c¡c

R−mæun Vîi méi c°p i, j sao cho i ⩽ j, °t µij : M i −→ Mj l  mët R−çngc§u v  gi£ sû c¡c i·u ki»n sau thäa m¢n

(i) µii =idM i vîi måi i ∈ I

(ii) µik = µjk.µij vîi måi i⩽j ⩽k

Khi â hå c¡cR−mæun(M i )i∈I còng vîi hå c¡c R−çng c§u µ ij i

⩽j ÷ñc gåi

l  mët h» thuªn tr¶n tªp ành h÷îng I v  k½ hi»u M =Mi, µij

ành ngh¾a 1.6.4 ChoM =Mi, µij l  mët h» thuªn tr¶n tªp ành h÷îngI.Giîi h¤n thuªn cõa h» thuªnMl  mët c°p(M, µi), trong âM l  mëtR−mæun

v  µi : Mi −→ M vîi méi i ∈ I l  mët hå c¡c R−çng c§u sao cho n¸u i ⩽ j

ta câ µi = µj.µij v  thäa m¢n t½nh phê döng, vîi méi R−mæun N v  vîi méi

t¤i duy nh§t mët çng c§u λ : M −→ N sao cho λµ i = ν i vîi måi i ∈ I, tùc l biºu ç sau giao ho¡n

4 Ta câ ph¤m trò K gçm câ

• Ob(K) l  lîp t§t c£ c¡c h» thuªn tr¶n tªp ành h÷îng I

• Mor(K) l  lîp t§t c£ c¡c çng c§u giúa hai h» thuªn tr¶n I

• Ph²p nh¥n l  ph²p hñp th nh hai çng c§u cõa c¡c h» thuªn tr¶n I

ành lþ 1.6.8 Cho M =M i , µ ij v  N =N i , ν ij l  hai h» thuªn cõa nhúng

R−mæun tr¶n còng mët tªp ành h÷îng I v  cho Φ = {ϕi}i∈I l  mët hå çngc§u tø M ¸n N Gåi M, N l  nhúng giîi h¤n thuªn cõa c¡c h» thuªn t÷ìng ùng

â tçn t¤i duy nh§t mët çng c§u ϕ : M −→ N sao cho ϕµi = νiϕi vîi måi i ∈ I,

tùc l  biºu ç sau giao ho¡n

i

0 i = 0 l  çng c§u khæng

3 Cho ba h» thuªn M =Mi, µij , N =Ni, νij v  P =Pi, δij tr¶n còngmët tªp ành h÷îng I Gi£ sû Φ = {ϕi}i∈I : M −→ N v  Ψ = {ψi}i∈I : N −→ P

l  c¡c çng c§u Khi â lim −→

ành ngh¾a 1.6.11 D¢y (1) ÷ñc gåi l  khîp n¸u vîi méi i ∈ I, d¢y (2) l khîp.

ành lþ 1.6.12 Vîi c¡c k½ hi»u tr¶n Gi£ sû d¢y (1) l  khîp Khi â d¢y sau

d÷ìng K½ hi»u Dn(R) l  tªp c¡c ma trªn tam gi¡c d÷îi c§p n vîi c¡c ph¦n tûthuëc R Vîi H ∈ D n (R), chóng ta dòng k½ hi»u |H| º ch¿ ành thùc cõa H v dòng T º ch¿ ma trªn chuyºn và K½ hi»u N0 l  tªp c¡c sè nguy¶n khæng ¥m v 

Z+ l  tªp c¡c sè nguy¶n d÷ìng

ành ngh¾a 2.1.1 ([18, 2.1]) Cho n l  mët sè nguy¶n d÷ìng Tªp con U cõa

t÷ìng ÷ìng tçn t¤i nhúng ma trªn tam gi¡c d÷îi H, K ∈ Dn(R) sao cho

(iii) ∀a, b ∈ S, ta câ c = ab ∈ S thäa m¢n

c ∈ Ra ∩ Rb.

2 Cho R l  mët v nh giao ho¡n câ ìn và °t U =(1, 1) ⊆ R 2 Khi â U

l  mët tªp con tam gi¡c, thªt vªy

(iii) ∀a, b ∈ U, a = (1, 1) v  b = (1, 1) Khi â, chån c = (1, 1)

Bê · 2.1.3 ([18, 2.2]) Cho (u1, , un) , (v1, , vn) ∈ U v  gi£ sû tçn t¤i

Chùng minh °t H =hij Theo gi£ thi¸t ta câ

Z+ l têp cĂc số nguyản dữỡng

nh nghắa 2.1.1 ([18, 2.1]) Cho n l mởt số nguyản dữỡng Têp U... [17] K½ hi»u R l  v nh giao hoĂn cõ ỡn v,

Z l têp cĂc số nguyản, N0 l têp cĂc số nguyản khổng Ơm

1.5.1 Mổun ối ỗng iÃu

ỗng cĐu... m

1.4 PhÔm trị v  h m tû

Trong mưc n y, chóng tỉi tr¼nh by mởt số kián thực và phÔm trũ v hm tỷtheo [2], [4], [16]

1.4.1 PhÔm trũ v hm tỷ

nh