Chiều và độ rộng của môđun compăc tuyến tính rời rạc và đối địa phương hóa của môđun artin

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHCAO HUY BẰNG CHIỀU VÀ ĐỘ RỘNG CỦA MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC VÀ ĐỐI ĐỊA PHƯƠNG HÓA CỦA MÔĐUN ARTIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN-2013..

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

CAO HUY BẰNG

CHIỀU VÀ ĐỘ RỘNG CỦA MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC VÀ ĐỐI ĐỊA PHƯƠNG HÓA

CỦA MÔĐUN ARTIN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN-2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

CAO HUY BẰNG

CHIỀU VÀ ĐỘ RỘNG CỦA MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC VÀ ĐỐI ĐỊA PHƯƠNG HÓA

CỦA MÔĐUN ARTIN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.05

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN

MỤC LỤC

1.1 Địa phương hóa……… 6

1.2 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m-adic ……… 8

1.3 Phổ, giá, độ cao, chiều Krull ……… 9

1.4 Iđêan nguyên tố liên kết ……… 10

1.5 Iđêan nguyên tố gắn kết, môđun biểu diễn được ……… 11

1.6 Chiều Noether của môđun Artin ……… …… 12

1.7 Hàm tử xoắn ……… 14

Chương 2 Chiều và độ rộng của môđun compăc tuyến tính rời rạc và đối địa phương hóa của môđun Artin 16 2.1 Môđun compăc tuyến tính rời rạc …… 17

2.2 Đối địa phương hóa của môđun Artin … 23

2.3 Các ví dụ ……… 31

MỞ ĐẦU

Năm 1942, S Lefschetz đưa ra khái niệm không gian vectơ compă ctuyến tính nhằm nghiên cứu các không gian vectơ vô hạn chiều Năm 1953, D.Zelinsky đã mở rộng khái niệm này thành khái niệm môđun compăc tuyếntính Từ đó đến nay, lớp môđun compăc tuyến tính đã được nhiều nhà toánhọc trên thế giới quan tâm nghiên cứu và nó trở thành một trong những hướngnghiên cứu quan trọng không những của đại số, tôpô mà còn liên quan đếnnhiều lĩnh vực khác Chú ý rằng, lớp môđun compăc tuyến tính rất rộng, chứanhiều lớp môđun quan trọng trong Đại số giao hoán Thậm chí một lớp môđuncon của môđun compăc tuyến tính đó là mô đun compăc tuyến tính rời rạccũng chứa thực sự các môđun Artin; hơn thế nữa nó còn chứa các môđunNoether trên vành địa phương đầy đủ

Trong [9], Lê Thanh Nhàn đã nghiên cứu về chiều và độ rộng của hailớp môđun compăc tuyến tính đặc biệt: môđun compăc tuyến tính rời rạc vàđối địa phương hóa của môđun Artin Trong bài báo này, phần đầu tác giảnghiên cứu về chiều và độ rộng của môđun compă c tuyến tính rời rạc; phầntiếp theo nghiên cứu một số kết quả về chiều, độ rộng của đối địa phương hóacủa môđun Artin và từ đó đưa ra một số áp dụng nghiên cứu cấu trúc củamôđun Artin; phần cuối cùng tác giả bài báo đã đưa ra một số ví dụ để làmsáng tỏ kết quả và cũng để chỉ ra rằng những giả thiết trong những định lý này

là không thể bỏ đi được

Nội dung chính của luận văn là trình bày lại một cách chi tiết các kếtquả nói trên trong bài báo [9] của Lê Thanh Nhàn

Luận văn được hoàn thành vào tháng 07 năm 2013 tại trường Đại họcSài Gòn dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp này tôixin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, người đã hướng dẫn tận tình trong quátrình học tập và nghiên cứu Tôi xin cám ơn quý thầy giáo, cô giáo KhoaToán, Khoa Sau đại học-Trường Đại học Vinh, Trường Đại học Sài Gòn, cácđồng nghiệp đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện t huận lợi cho tôi trong suốt quátrình học tập.

Nghệ An, tháng 07 năm 2013

Tác giả

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong toàn bộ luận văn luôn kí hiệu R là vành Noether giao hoán, M

là một R-môđun và A là một R -môđun Artin Cho N là một môđun con của

M và I là một iđêan của R, ký hiệu N: M I = x M : xI N là một môđun

con của M Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm của Đại

số giao hoán nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính củaluận văn ở Chương 2 Ngoài ra, chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã códưới dạng những tính chất, mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ởphần sau

1.1 Địa phương hóa

1.1.1 Vành địa phương hóa Cho vành R và S là một tập con của R Tập hợp

S được gọi là tập nhân đóng của vành R nếu 1 S và a b, S thì abS

Giả sử S là tập nhân đóng của vành R Trên tích Đề-các R x S ta xét quan

Trên S -1 R trang bị hai phép toán là phép cộng và phép nhân, khi đó S -1 R

trở thành một vành và gọi là vành các thương của R theo tập nhân đóng S Mỗi iđêan của vành S -1 R có dạng S -1 I = {a/s | a  I, s S}, trong đó I là iđêan

của R Ta có S -1 I = S -1 R    I S Do đó S -1 I là iđêan thực sự của S -1 R

khi và chỉ khi I  S Chú ý rằng vành S -1 R còn được ký hiệu là R S.

Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R Khi đó S R p\ là một tập

nhân đóng của vành R Vành S -1 R trong trường hợp này là vành địa phương,

ký hiệu là Rp, với iđêan cực đại duy nhất pRp S 1pa s a/ p,s R p\ 

nên được gọi là địa phương hoá của vành R tại iđêan nguyên tố p

1.1.2 Môđun địa phương hóa Cho S là tập nhân đóng của vành R Khi đó ta

có vành các thương S -1 R Trên tích Đề các M x S ta xét quan hệ hai ngôi:

   , ,  , ,

m s  m s   t S t ms sm  Khi đó là quan hệ tương đương

trên M S Do đó M S được chia thành các lớp tương đương, ta ký hiệu tập

thương của M S theo quan hệ tương đương  là S -1 M và ký hiệu lớp tương

đương chứa (m,s) là m s/ Như vậy S -1 M = { m s/ | mM, sS}.

Trên S -1 M trang bị phép cộng và phép nhân với vô hướng:

có cấu trúc là mộ t S R1

-môđun và gọi là môđun các thương của

M theo tập nhân đóng S S M1

cũng có thể xem là một R-môđun với phép

nhân vô hướng như sau: r x s rx s /  / , với mọi r R , x s S M/   1 Chú ýrằng môđun S M1

1 2 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m-adic

Cho R,m là một vành địa phương Ta xét R như một vành tôpô với c ơ

sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan mt , với t = 0,1,2 Chú ý rằng cơ sở lân

cận của một phần tử tuỳ ý rR gồm các lớp ghép mt

r với t = 0, 1,2 Khi đó vành đầy đủ theo tôpô madic của R ký hiệu bởi R được định nghĩa

bằng cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy như sau: Một dãy Cauchy

trong R là một dãy  r n các phần tử của R sao cho với mọi t > 0, tồn tại số tự

là    r n  s n nếu dãy r n s n là dãy không Khi đó quan hệ  trên tập cácdãy Cauchy là quan hệ tương đương Ta ký hiệu R là tập các lớp tươngđương của các dãy Cauchy

Chú ý rằng nếu  r n và  s n là các dãy Cauchy thì các dãy r n s n,

r s n n cũng là các dãy Cauchy và lớp t ương đương của các dãy r n s n,

r s n n là không phụ thuộc vào việc chọn các đại diện của các lớp tươngđương của các dãy  r n và  s n , tức là nếu    ,

tất cả các phần tử trong dãy đều là r Vì thế ta có một đơn cấu tự nhiên giữa

trong đó  r là dãy mà tất cả các phần tử của nó đều là r.

Định nghĩa tương tự cho môđun M với cơ sở lân cận của phần tử 0 là

1.3 Phổ, giá, độ cao, chiều Krull

1.3.1 Phổ Tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R được ký hiệu là Spec(R)

và gọi là phổ của vành Với mỗi iđêan I của R, ký hiệu

( ) Spec( )

1.3.2 Giá Tập con Supp (R M) p Spec |R Mp0của Spec(R) được gọi là

giá của môđun M Với mỗi x  M, kí hiệu Ann ( )R x aR ax| 0

Ann (R M) aR aM| 0  aR ax|   0, x M

Ta có Ann ( )R x và Ann (R M) (hoặc viết gọn là Ann( ) x và Ann(M)) là

những iđêan của vành R, Ann ( R M được gọi là linh hóa tử của môđun M.)

Hơn nữa, nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì Supp ( R M)V(AnnR M)

1.3.3 Độ cao Cho R là vành giao hoán Một dãy các iđêan nguyên tố của R:

0  1 2   n

p p p p được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n Cho



p Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố với p0 p

được gọi là độ cao của p, kí hiệu là ht( )p Nghĩa là,

ht( )p = sup {độ cao xích nguyên tố với p0 p }

Cho I là một iđêan của R khi đó ta định nghĩa

ht( )I inf{ht( ) |p pSpec ,R pI}

1.3.4 Chiều Krull Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố

trong R được gọi là chiều Krull của vành R, kí hiệu là dimR Ta có

dimRsup ht( ) |p pSpecR

Cho M là một R-môđun Khi đó dim( / Ann R R M) được gọi là chiều

Krull của môđun M, kí hiệu là dim R M (hoặc dim M nếu không cần nhấn

mạnh đến vành R) Như vậy, dim R có thể vô hạn do ht( )p có thể vô hạn và

dimM dimR Chú ý rằng dimM dimM.

1.4 Iđêan nguyên tố liên kết

Cho M là một R-môđun Ta gọi iđêan nguyên tố p của R là iđêan

nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại phần tử x  M, x ≠ 0 sao cho

(0 :R x) Ann ( )R x

p Tập các iđêan nguyên tố liên kết c ủa M được kí hiệu

là AssR (M) (hoặc Ass(M)) Như vậy

Ass(M) = {p Spec(R) | tồn tại x  M, x0 sao chop = Ann(x)}.

Cho R là vành Noether và M là một R-môđun Khi đó, Ass M 0 khi

và chỉ khi M 0 Hơn nữa, nếu M là R-môđun Noether thì tập AssM là tập

hữu hạn Chú ý rằng AssM SuppM Nếu pSuppM và p tối tiểu trong

SuppM theo quan hệ bao hàm thì pAssM

1.5 Iđêan nguyên tố gắn kết, môđun biểu diễn được

1.5.1 Định nghĩa (i) Một R -môđun M được gọi là thứ cấp nếu M  0 vànếu với mọi x R, phép nhân bởi x trên M là toàn cấu hoặc lũy linh Trongtrường hợp này Rad Ann R M là một iđêan nguyên tố, chẳng hạn là p, và ta

Dễ thấy rằng mọi biểu diễn thứ cấp của M đều có thể đưa được vềdạng tối thiểu Khi đó tập hợp p 1 , ,  pn là độc lập với việc chọn biểu diễnthứ cấp tối thiểu của M và được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của

,

M kí hiệu bởi AttR M Các hạng tử N i i,  1, , , n được gọi là các thành

phần thứ cấp của M Chú ý rằng không phải môđun nào cũng biểu diễn đượcnhưng mọi môđun Artin đều biểu diễn được

1.5.2 Định lý Tập AttR A chỉ phụ thuộc vào A mà không phụ thuộc vào

biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A Hơn nữa ta có các khẳng định sau là tương

đương với p là iđêan nguyên tố.

(i) pAtt R A

(ii) A có môđun thương là pi -thứ cấp.

(iii) A có môđun thương Q sao cho Rad Q   p

(iv) A có môđun thương Q sao cho p là phần tử tối thiểu trong tập các iđêan nguyên tố chứa Ann R Q

(v) A có môđun thương Q sao cho AnnR Q  p

1.5.3 Mệnh đề (i) Cho M là một R -môđun biểu diễn được Khi đó M 0

khi và chỉ khi AttR M   Trong trường hợp này tập các iđêan nguyên tố tối

thiểu của R chứa Ann M chính là tập các phần tử tối thiểu của  AttR M

(ii) Cho 0MM M0 là dãy khớp các R -môđun biểu

diễn được Khi đó ta có

AttR M  AttR M  AttR MAttR M

1.5.4 Mệnh đề Ký hiệu D(*) là hàm tử đối ngẫu Matlis Các mệnh đề sau là

đúng.

(i) AttR ˆ :ˆ Att .

R

(ii) Nếu R là vành địa phương, đầy đủ, thì ta có

a) Nếu N là R -môđun Noether, thì AttRD N    AssR N ;

b) Nếu A là R -môđun Artin, thì AssRD A    AttR A

1.6 Chiều Noether của môđun Artin

1.6.1 Định nghĩa. Chiều Noether của môđun Artin A ký hiệu bởi,

N- dimR A, được định nghĩa bằng quy nạp như sau:

Khi A  0, đặt N- dimR A  1

Với A  0, cho một số nguyên d  0, ta đặt N- dimR A d nếuN- dimR A d là sai và với mỗi dãy tăng A0  A1  các môđun con của

A, tồn tại số nguyên n0 sao cho N- dimRA n1/A n  d, với mọi n  n0

Từ định nghĩa trên, ta thấy rằng mọi R-môđun khác không M là Noether

khi và chỉ khi N- dimR M  0 Ta đã biết rằng đối với mỗi môđun hữu hạnsinh M thì dimM  0 nếu và chỉ nếu M  0 và R M   Từ Địnhnghĩa 1.6.1 ta có một số tính chất sau về chiều Noether

1.6.2 Bổ đề (i) N- dimR A  0 nếu và chỉ nếu A  0 và R A  

Trong trường hợp này AttR   m Hơn nữa, nếu

0 A  A A0

là dãy khớp các R -môđun Artin thì

N- dimR A  max N-dimR A, N-dimR A

(ii) N- dimR A dim / AnnR R A  max dim / : R p pAttR A và tồn tại

môđun Artin A sao cho N- dimR A  dim / Ann R R A

(iii) N- dimˆ dim / Annˆ ˆ max dim / : ˆ ˆ ˆ Attˆ .

R A R R A  R p p R A

(iv) Cho R m là vành địa phương và A là R -môđun Artin Khi đó A có cấu, 

trúc tự nhiên của Rˆ-môđun Artin và ta có

ˆN- dimR A  N- dimR A

Chính vì vậy, ta có thể viết N- dim A thay cho N- dimR A hoặc N- dimRˆA

n M N ta lấy một giải xạ ảnh của M

đồng cấu nối TorR ,  TorR1 , 

n M N  n M N với mỗi n  0 sao cho ta

1.7.3 Hệ quả Nếu M, N hữu hạn sinh thì TorR , 

n M N là hữu hạn sinh với

mọi n

Kết quả dưới đây cho ta tính chất giao hoán giữa môđun Tor với hàm

tử địa phương hóa

1.7.4 Mệnh đề Nếu S là tập đóng nhân của R thì ta có các đẳng cấu

CHƯƠNG 2 CHIỀU VÀ ĐỘ RỘNG CỦA MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC VÀ ĐỐI ĐỊA PHƯƠNG HÓA

CỦA MÔĐUN ARTIN

Năm 1942, S Leschetz đưa ra khái niệm không gian vectơ compắctuyến tính nhằm nghiên cứu các không gian vectơ vô hạn chiều Nă m 1953, D.Zelinsky đã mở rộng khái niệm này thành khái niệm môđun compắc tuyếntính Từ đó đến nay, lớp môđun compắc tuyến tính đã được nhiều nhà toánhọc trên thế giới quan tâm nghiên cứu Chú ý rằng, lớp môđun compắc tuyếntính rất rộng, chứa nhiều lớp môđun quan trọng trong Đại số giao hoán Thậmchí một lớp môđun con của môđun compắc tuyến tính đó là môđun compắctuyến tính rời rạc cũng chứa thực sự các môđun Artin; hơn thế nữa nó cònchứa các môđun Noether trên vành địa phương đầy đủ Khái niệm môđun đốiđịa phương hoá được giới thiệu bởi L Melkersson và P Schenzel [ 8] Trong[9], Lê Thanh Nhàn đã nghiên cứu về chiều và độ rộng của hai lớp môđuncompăc tuyến tính đặc biệt: môđun compăc tuyến tính rời rạc và đối địaphương hóa của môđun Artin Trong bài báo này, phần đầu tác giả nghiên cứu

về chiều và độ rộng của môđun compăc tuyến tính rời rạc; phần tiếp theonghiên cứu một số kết quả về chiều, độ rộng của đối địa phương hóa củamôđun Artin; phần cuối cùng tác giả bài báo đã đưa ra một số ví dụ để l àmsáng tỏ kết quả và cũng để chỉ ra rằng những giả thiết trong những định lý này

là không thể bỏ đi được Trong chương này, chúng tôi trình bày lại các kết quảcủa [9]

2 1 Môđun compắc tuyến tính rời rạc

Sau đây, chúng tôi trình bày khái niệm môđun compắc tuyến tính theo

I G Macdonald [3] Một Rmôđun M được gọi là môđun tôpô nếu M là mộtkhông gian tôpô và các phép toán trên môđun M là liên tục Rmôđun tôpô

M được gọi là Hausdorff nếu giao của tất cả các lân cận của 0 bằng 0

2.1.1 Định nghĩa Cho R là vành tôpô giao hoán và M là R-môđun tôpô Ta

hiểu một cơ sở lân cận của M là một cơ sở lân cận của phần tử 0 M

(i) M được gọi là môđun tôpô tuyến tính nếu M có một cơ sở lân cận Mgồm các môđun con mở thỏa mãn điều kiện: Cho trước xM và N M, tồntại lân cận U của phần tử 0 của R sao cho UxN.

(ii) R-môđun tôpô tuyến tính Hausdorff M được gọi là compắc tuyến

tính nếu M có tính chất sau đây: Nếu F là một họ các lớp kề của các môđuncon đóng trong M có tính chất giao hữu hạn (tức là giao của mỗi họ con gồmhữu hạn phần tử của Fđều khác rỗng) thì giao của tất cả các lớp kề trong F làkhác rỗng

Với tôpô rời rạc, khái niệm này có thể được định nghĩa như sau

2.1.2 Định nghĩa M được gọi là compắc tuyến tính rời rạc (hay compắc

tuyến tính theo tôpô rời rạc) nếu nó có tính chất sau đây: mỗi hệ các đồng dư

x x M , trong đó M k là môđun con của M, đều có nghiệm nếu mọi hệ

con gồm hữu hạn các đồng dư của nó có nghiệm

Định nghĩa trên cho phép chúng ta có thể quên đi cấu trúc tôpô củanhững môđun này Chú ý rằng lớp các môđun co mpắc tuyến tính rời rạc chứathực sự tất cả các môđun Artin

Kết quả sau của H Zoschinger [11] cho thấy cấu trúc của môđuncompắc tuyến tính rời rạc

2.1.3 Bổ đề Giả sử M là compắc tuyến tính rời rạc Khi đó:

(i) Tồn tại môđun con Noether B của M sao cho M/B là Artin.

(ii) Nếu f : M  M là toàn cấu thì Ker f là Artin.

Năm 1995, trong hai bài báo khác nhau, S Yassemi đã định nghĩa tập hợp

các iđêan nguyên tố đối liên kết (Coass M) và độ lớn (mag M) của môđun M.

2.1.4 Định nghĩa (i) Một ảnh đồng cấu K của M được gọi là đối xyclic nếu

tồn tại phần tử xM và iđêan cực đại m của R sao cho

( ; ( / ))

R

K Hom Rx E R m , trong đó E R( / m ) là bao nội xạ của R/m Một iđêannguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố đối liên kết của M nếu tồn tại

ảnh đồng cấu đối xyclic K của M sao choAnnR K  p Tập các iđêan nguyên tố

đối liên kết của M được ký hiệu hởi Coass R M (hoặc Coass M).

(ii) Độ lớn (magnitude) của M, kí hiệu bởi magM, được định nghĩa như

là cận trên của tất cả các số dimR/ p, trong đó p chạy khắp tập CoassM.

Chú ý rằng nếu M biểu diễn được thì Coass M chính là Att(M) và tập các iđêan nguyên tố tối tiểu của Ann(M) chính là tập các phần tử tối tiểu của Att(M) Vì thế đối với môđun Artin A ta có mag R A = dim R A Do đó, nhìn

chung magR A khác với N-dim R A ngay cả khi R là vành địa phương Để thuận

tiện, nếu M = 0 ta đặt magM   1.

Sau đây, chúng ta tổng kết lại một số tính chất về chiều và độ lớn củamôđun

(i) Cho 0 M' M M ''  0 là một dãy khớp các R-môđun Khi đó

magM max{magM ', magM ''};

NdimM max{NdimM ', NdimM ''}

(ii) Nếu M là Noether thì NdimM  magM 0