KHÁI NIỆM MẠCH ĐIỆN PHI TUYẾN, MẠCH ĐIỆN PHI TUYẾN CÓ NGUỒN MỘT CHIỀU
ĐỊNH NGHĨA VÀ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ MẠCH ĐIỆN PHI TUYẾN
1.1.1 Phần tử phi tuyến và mạch phi tuyến
Giáo trình Lý thuyết mạch điện (tập 1) tập trung vào phân tích mạch điện tuyến tính, trong khi chương này giới thiệu mạch điện phi tuyến, chứa ít nhất một phần tử phi tuyến Phần tử phi tuyến được đặc trưng bởi một quan hệ hàm phi tuyến giữa điện áp hoặc dòng điện với một biến thích hợp khác, ví dụ như điện trở phi tuyến với quan hệ uR(i) phi tuyến.
Điện trở phi tuyến, ký hiệu trên mạch như hình 1.1, có đặc tính volt-ampere (V-A) khác biệt tùy theo loại Ví dụ, điện trở nhiệt với hệ số nhiệt dương (như đèn sợi đốt kim loại) có đặc tính như hình 1.2a, trong khi các chỉnh lưu bán dẫn Si hoặc Ge có đặc tính được thể hiện ở hình 1.2b.
Ngoài được biểu diễn ở dạng đồ thị như hình 1.2, đặc tính của điện trở phi tuyến còn được biểu diễn ở dạng giải tích
(ví dụ uR(i) = 5i + 0,05i 3 ) hoặc dạng bảng số (ví dụ bảng 1.1)
Bảng 1.1 Ví dụ về đặc tính u R (i) cho dạng bảng số i(A) 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 u R (V) 0 5 15 25 30 35 37 i(t) R(i) u R (t)
Hình 1.1 Ký hiệu điện trở phi tuyến
Hình 1.2 Đặc tính volt-ampere của điện trở phi tuyến
Điện trở phi tuyến trong mạch điện được đặc trưng bởi điện trở tĩnh và điện trở động, trong đó điện trở tĩnh, ứng với điện áp U không đổi, xác định dòng điện I không đổi chảy qua điện trở (điểm A), là thông số quan trọng ở chế độ làm việc tĩnh.
Điện trở vi phân thường được sử dụng trong mạch phi tuyến với nguồn một chiều hoặc cho điện trở quán tính có nguồn xoay chiều, trong khi điện trở động thường được dùng trong mạch điện phi tuyến có nguồn xoay chiều khi dòng và áp biến thiên liên tục.
Điện trở động và điện trở tĩnh có giá trị khác nhau do phụ thuộc vào dòng điện chạy qua Đối với các điện trở phi tuyến, sự khác biệt này càng trở nên rõ rệt.
RdB và điện trở tĩnh RtB ở trạng thái ứng với điểm B: dB tB
Điện trở phi tuyến được phân biệt thành điện trở quán tính và không quán tính dựa trên sự biến thiên tức thời của dòng và áp Điện trở không quán tính có giá trị R(i) phụ thuộc vào quan hệ tức thời uR(i), trong khi điện trở quán tính thay đổi giá trị sau một khoảng thời gian nhất định Điện trở nhiệt là một ví dụ về phần tử quán tính, với giá trị điện trở thay đổi theo nhiệt độ do dòng điện gây ra Đặc tính hiệu dụng UR(I) được sử dụng để mô tả quán tính của điện trở nhiệt khi dòng điện chu kỳ có tần số đủ lớn chảy qua.
0 0 α tổng quát, điện trở quán tính có giá trị phụ thuộc vào quan hệ hiệu dụng UR(I) phi tuyến, còn quan hệ tức thời uR(i) là tuyến tính
Điện trở phi tuyến không điều khiển chỉ phụ thuộc vào điện áp hoặc dòng điện trên nó Ngược lại, điện trở có điều khiển phụ thuộc vào điện áp/dòng điện và các yếu tố điều khiển khác như quang hoặc âm Ví dụ, tế bào quang điện có điện trở điều khiển bằng quang, và tranzitor có điện trở REC điều khiển bởi dòng điện cực gốc, tạo thành một họ đặc tính với tham số là các lượng điều khiển.
Điện cảm phi tuyến là một cuộn dây có lõi bằng vật liệu sắt từ, trong đó tính chất phi tuyến của điện cảm xuất phát từ quan hệ phi tuyến B(H) giữa cảm ứng từ và cường độ từ trường của vật liệu sắt từ làm lõi cuộn dây Điện cảm phi tuyến được đặc trưng bởi quan hệ (i) giữa từ thông móc vòng và dòng điện i, còn gọi là đặc tính weber-ampere.
nên đặc tính (i) tương tự như đặc tính B(H) của vật liệu làm lõi cuộn dây Ngoài dạng đồ thị (hình 1.5), đặc tính
(i) cũng có thể được biểu diễn ở dạng giải tích hay dạng bảng số
Hình 1.4 Ký hiệu điện cảm phi tuyến ψ i
Hình 1.5 Đặc tính weber - ampere của điện cảm phi tuyến
Quan hệ giữa điện áp và dòng điện trên điện cảm phi tuyến:
L d (i) di di u (t) L(i) dt i dt dt
Tương tự như đối với điện trở, khi tính mạch có điện cảm với áp, dòng biến thiên dùng khái niệm điện cảm động L (i) d i
Phần tử điện cảm có quán tính đặc trưng bởi quan hệ phi tuyến hiệu dụng (I) hoặc U(I)L Điện dung phi tuyến là điện dung của tụ điện có điện môi phi tuyến, được đặc trưng bởi quan hệ q(u) giữa điện tích q và điện áp uC, còn gọi là đặc tính coulomb - volt.
Đặc tính coulomb-volt của phần tử điện dung, tương tự như điện trở và điện cảm, có thể được biểu diễn dưới dạng đồ thị, giải tích hoặc bảng số, giúp phân tích và ứng dụng linh hoạt trong các mạch điện.
Quan hệ giữa dòng điện và điện áp trên điện dung phi tuyến:
C dq(u ) q du du i(t) C(u) dt u dt dt
Trong tính toán, điện dung tĩnh được dùng đối với mạch có dòng, áp không đổi t
U, còn điện dung động dùng trong trường hợp mạch có dòng, áp biến thiên d
Trong thực tế, hầu hết các phần tử đều có tính phi tuyến, nhưng có thể coi là tuyến tính nếu tính phi tuyến thể hiện ít Ngược lại, khi tính phi tuyến thể hiện nhiều, phần tử đó phải được xem là phi tuyến Ví dụ, cuộn dây lõi sắt có thể coi là tuyến tính ở đầu đoạn đường đặc tính ψ(i), nhưng phải coi là phi tuyến khi làm việc ở đoạn bão hòa Một số phần tử bắt buộc phải coi là phi tuyến.
Hình 1.6 Ký hiệu điện dung phi tuyến q u C
Hình 1.7 Đặc tính coulomb - volt của điện dung phi tuyến
0 các van bán dẫn, cuộn dây có lõi sắt trong các thiết bị ổn áp, sắt từ, các máy điện làm việc ở chế độ bão hòa từ…
1.1.2 Tuyến tính hóa và quán tính hóa phần tử phi tuyến a) Tuyến tính hóa phần tử phi tuyến
Tính phi tuyến trong các hệ thống thường xuất phát từ đặc tính của các phần tử và được biểu diễn toán học thông qua các số hạng phi tuyến trong phương trình mạch Ví dụ, phương trình mô tả trạng thái của cuộn dây lõi sắt thể hiện rõ tính phi tuyến này.
Phần tử phi tuyến nhiều có đặc tính trạng thái khác xa so với đoạn thẳng, trong khi phần tử phi tuyến ít có đặc tính gần với đoạn thẳng Trong phương trình mạch, số hạng ít phi tuyến nhỏ hơn nhiều so với các số hạng tuyến tính, ngược lại với số hạng phi tuyến nhiều.
Tuyến tính hóa là phương pháp gần đúng quan trọng khi xét các hệ hoặc phần tử phi tuyến ít, bằng cách coi gần đúng các đoạn đặc tính làm việc là đoạn thẳng Trong phương trình mạch, tuyến tính hóa được thực hiện bằng cách coi gần đúng số hạng phi tuyến thành tuyến tính hoặc triệt tiêu nó, dẫn đến phương trình tuyến tính suy biến.
Trong phân tích hệ phi tuyến ở chế độ xác lập điều hòa, phương pháp quán tính hóa được sử dụng để tuyến tính hóa, coi phần tử phi tuyến có quán tính và đặc tính phi tuyến đối với các giá trị hiệu dụng như U(I) hoặc Ψ(I), đồng thời tuyến tính đối với các giá trị tức thời.
Trong nhiều bài toán thực tế, có thể dùng cách quán tính hóa để xét mạch có cuộn dây lõi sắt, máy điện…
1.1.3 Tính chất của mạch phi tuyến
MẠCH ĐIỆN PHI TUYẾN DỪNG
Mạch điện phi tuyến dừng là mạch chịu tác động của nguồn một chiều, trong đó dòng điện và điện áp không đổi theo thời gian Mạch chỉ chứa điện trở, với điện cảm suy biến thành ngắn mạch và điện dung thành hở mạch Hệ phương trình mô tả mạch là hệ đại số phi tuyến dựa trên định luật Kirchhoff Nghiên cứu phương pháp giải mạch phi tuyến một chiều là cơ sở để tính toán các chế độ khác.
Trong phương pháp đồ thị, đặc tính V-A của các phần tử được sử dụng để trực tiếp tìm nghiệm của bài toán mạch điện Phương pháp này bao gồm việc tương đương các mạch cơ bản Ứng dụng của phương pháp này là để giải mạch điện một chiều, bắt đầu bằng việc tương đương các phần tử mắc nối tiếp.
Để tìm đặc tính U(I) của phần tử tương đương Rtd(I) trong mạch điện gồm hai phần tử phi tuyến mắc nối tiếp, ta cần xác định mối quan hệ giữa U và I dựa trên đặc tính U1(I) và U2(I) đã biết của hai phần tử này.
Để tương đương các phần tử phi tuyến mắc nối tiếp, ta cộng các đặc tính của chúng theo trục điện áp, tuân theo định luật Kirchhoff 2: \$U(I) = U_1(I) + U_2(I)\$ Với mỗi giá trị dòng điện \$I_1\$, ta tìm các giá trị điện áp tương ứng \$U_{11}\$ và \$U_{21}\$ trên các phần tử, sau đó cộng chúng lại để được điện áp \$U_1\$ trên cửa Tập hợp các cặp giá trị \$(I_1, U_1)\$ sẽ xác định đặc tính \$U(I)\$ của mạch tương đương.
Để tương đương hai phần tử phi tuyến R1 và R2 mắc song song, ta xác định đặc tính U(I) của phần tử tương đương Rtd(I) bằng cách cộng đặc tính U1(I1) và U2(I2) theo trục dòng điện.
Hình 1.12 Tương đương hai điện trở mắc song song
Hình 1.13 Cộng đặc tính các phần tử mắc song song theo trục dòng điện
Hình 1.10 Tương đương hai điện trở mắc nối tiếp
Hình 1.11 Cộng đặc tính các phần tử mắc nối tiếp theo trục điện áp
Điện áp trên các phần tử mắc song song bằng nhau và bằng điện áp nguồn U, trong khi dòng điện vào mạch là tổng dòng điện qua các nhánh theo định luật Kirchhoff 1 Để xác định đặc tính U(I) của mạch tương đương Rtd(I), ta tìm các điểm (I, U) tương ứng bằng cách xác định dòng điện qua từng điện trở phi tuyến (R1, R2) ứng với mỗi giá trị điện áp U, sau đó cộng các dòng điện này lại Nối các điểm này lại, ta được đặc tính U(I) của mạch hỗn hợp phi tuyến.
Để tìm đặc tính U(I) của mạng phức tạp, sử dụng định luật Kirchhoff và nguyên tắc tương đương: cộng đặc tính theo trục điện áp cho phần tử nối tiếp, và theo trục dòng điện cho phần tử song song Phương pháp đồ thị xác định nghiệm của phương trình f1(x) = f2(x) bằng giao điểm của hai đường cong trên mặt phẳng biểu diễn hàm số.
Để xác định dòng điện và điện áp trong mạch điện hình 1.14 với E = 9V và R1 = 1,5Ω, cần phân tích đặc tính phi tuyến của điện trở Rx được mô tả trong hình 1.15.
Giải: Theo định luật Kirchhoff 2 ta có:
Đặc tính \$U(I)\$ của mạch điện là tổng của \$U_1(I) = R_1I\$ và \$U_x(I)\$, trong đó \$U_1(I)\$ là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ Giao điểm M của đặc tính \$U(I)\$ với đường thẳng \$E = 9V\$ xác định dòng điện trong mạch, ví dụ \$I = 2,13A\$ Từ dòng điện này, ta xác định được điện áp rơi trên các điện trở \$R_1\$ và \$R_x\$, ví dụ \$U_1 = 3,2V\$ và \$U_x = 5,8V\$.
Hình 1.14 Mạch điện ví dụ 1.1
Hình 1.15 Đặc tính U x của điện trở phi tuyến R x và giải bài toán bằng phương pháp cộng đồ thị
Bài toán cũng có thể được giải theo cách trừ đồ thị, từ phương trình
Kirchhoff 2 viết cho mạch ta có: x 1
U (I) E R I Đường đặc tính ER I1 dễ dàng xác định được bằng cách trừ đồ thị (hình
1.16), giao điểm N của Ux(I) với đường đặc tính ER I1 cũng cho ta dòng điện chảy trong mạch
Ví dụ 1.2: Cho mạch điện hình
1.17, biết điện áp nguồn U = 10V, điện trở R3 = 3Ω, đặc tính V-A của các điện trở R1, R2 cho trên hình 1.18, hãy xác định dòng điện và điện áp trên các nhánh
Giải: Đầu tiên tương đương các phần tử R2 và R3 ghép song song thành điện trở
Để xác định dòng điện và điện áp trong mạch điện, ta bắt đầu bằng cách cộng các đặc tính của điện trở R23 theo trục dòng điện, tạo thành đặc tính UBC(I1) Tiếp theo, ta ghép nối tiếp điện trở R1 và R23 bằng cách cộng các đặc tính theo trục điện áp, thu được đặc tính U(I1) của toàn mạch Từ điện áp nguồn U = 10V, giao điểm H với đặc tính U(I1) xác định dòng điện I1 = 2,8A, từ đó tính được U1 = 8V, UBC = 2V, I2 = 2,1A, và I3 = 0,7A.
Hình 1.16 Giải ví dụ 1.1 bằng phương pháp trừ đồ thị
Hình 1.17 Mạch điện ví dụ 1.2
Hình 1.19 Mạch điện tương đương
Hình 1.18 Giải ví dụ 1.2 bằng phương pháp đồ thị
Phương pháp đồ thị là một phương pháp trực quan và đơn giản, thường được áp dụng cho các mạch điện đơn giản với ít phần tử phi tuyến, tuy nhiên, độ chính xác của phương pháp này không cao Khi mạch điện trở nên phức tạp hơn và chứa nhiều phần tử phi tuyến, việc sử dụng phương pháp đồ thị trở nên khó khăn và phức tạp.
Phương pháp dò là một phương pháp số được sử dụng để xác định dòng điện trong các nhánh của mạch điện khi đã biết thông số và cấu trúc mạch Nội dung chính của phương pháp này là giải bài toán tìm dòng điện dựa trên các thông số và cấu trúc mạch đã cho.
Bước 1: Giả thiết dòng điện trong một nhánh tuỳ ý Ik
Để tính toán mạch điện, ta dựa vào đặc tính của các phần tử và định luật cơ bản để xác định dòng điện, điện áp, và sức điện động nguồn (Ett) ở một nhánh cụ thể, sau đó so sánh với giá trị sức điện động đã cho (Egt); do giá trị dòng điện (Ik) được chọn tùy ý, nên Ett thường khác Egt.
Bước 3: Làm lại các bước 1, 2 đến khi giá trị Ett tính toán xấp xỉ giá trị Egt (với sự sai lệch cho phép)
Ví dụ 1.3: Mạch điện hình 1.20 có:
E = 12V, R1 = 3Ω, đặc tính điện trở phi tuyến Rx cho bởi biểu thức giải tích: Ux
= 5I + 0,7I 3 , hãy xác định dòng điện trong mạch bằng phương pháp dò
Để giải mạch điện, ta giả thiết một giá trị dòng I, tính điện áp U1 qua R1 (\$U1 = R1I\$) và xác định điện áp Ux dựa trên đặc tính của Rx, từ đó suy ra Ett (\$Ett = U1 + Ux\$), so sánh với nguồn Egt = 9V để có kết quả chính xác nhất.
Bảng 1.2 Kết quả tính toán ví dụ 1.3
Có thể nhận thấy dòng điện I có giá trị nằm trong khoảng 1, 2A 1, 4A , sử dụng công thức nội suy tính được:
Hình 1.20 Mạch điện ví dụ 1.3
Sử dụng giá trị dòng vừa nội suy, kiểm tra lại, kết quả thể hiện ở hàng 4 trong bảng 1.2
Ví dụ 1.4: Giải lại ví dụ 1.2 bằng phương pháp dò
Điện áp U2 được xác định dựa trên đặc tính U2(I2) của dòng I2 trong nhánh R2, đồng thời cũng là điện áp UBC Dòng điện chảy trong nhánh R3 được tính theo định luật Ohm: \$I_3 = \frac{U_{BC}}{R_3}\$.
MẠCH TỪ VÀ CÁC BÀI TOÁN MẠCH TỪ
Các thiết bị điện có lõi thép ở tần số thấp thường được mô tả bằng hai sơ đồ mạch: mạch điện với các trạng thái u, i, e và các thông số R, L, C, và mạch từ mô tả quá trình phân bố từ trường trong lõi thép Dòng điện trong cuộn dây tạo ra từ trường và dòng từ thông Φ chảy trong lõi thép, như trong máy biến áp hoặc dụng cụ đo điện.
Dưới tác dụng của cuộn dây có dòng điện, từ thông tập trung khép kín mạch theo lõi thép do lõi thép dẫn từ mạnh hơn không khí Độ lớn từ thông phụ thuộc vào kích thích dòng điện và số vòng dây Số lượng biến từ thông và biến trạng thái kích thích là hữu hạn và chỉ phụ thuộc vào thời gian Các biến trạng thái từ trường tuân theo định luật Kirchhoff, cho phép xây dựng sơ đồ mạch từ tương tự như mạch điện.
Hình 1.27 Một số ví dụ về mạch từ
Mạch từ là sơ đồ mô tả sự phân bố từ trường trong lõi thép, tuân theo các luật Kirchhoff và được đo bằng dòng từ thông và từ áp uM Mạch từ tương tự mạch điện phi tuyến về cấu trúc hình học và phép tính, do đó phương pháp tính toán cơ bản giống nhau Các thông số vật liệu và cấu trúc đóng vai trò quan trọng trong việc xác định đặc tính của mạch từ.
Lõi thép trong thiết bị điện sử dụng thép kỹ thuật điện, được ghép từ nhiều lá thép mỏng, mỗi loại có đường từ hóa B(H) riêng biệt Đặc tính từ hóa phi tuyến của vật liệu sắt từ được biểu thị qua hệ số từ thẩm μ, phụ thuộc vào cường độ từ trường H Ở chế độ làm việc tĩnh, hệ số từ thẩm tĩnh được xác định tại điểm làm việc M trên đường cong từ hóa.
Với chế độ làm việc dao động, hệ số từ thẩm động: d
Ngoài ra, trong thực tế còn dùng khái niệm hệ số từ thẩm tương đối (so với chân không): r
Trong đú: à0 = 4π.10 ˗7 H/m là độ từ thẩm của chõn khụng và kk là độ từ thẩm (tuyệt đối) của không khí, trong tính toán thường lấy:kk 0
Độ từ thẩm \$\mu\$ là thông số quan trọng để đánh giá chất lượng thép, vì với cường độ từ trường không đổi, thép có \$\mu\$ lớn sẽ có cường độ từ cảm B lớn.
Về cấu trúc, một mạch từ có thể ghép từ các đoạn mạch từ với tiết diện ngang Sk
(m 2 ), chiều dài trung bình lk (m) (đường nét đứt trong hình 1.29), trên đó quấn các cuộn dây với số vòng dây Wk khác nhau b) Thông số trạng thái
Trong mạch từ, từ thông \$\Phi\$ được tạo ra bởi dòng điện kích thích \$I_k\$ trong các cuộn dây \$W_k\$, và độ lớn của từ thông này phụ thuộc vào \$I_k\$.
Hình 1.28 Ví dụ về đặc tính B(H)
Wk đặc trưng cho trạng thái các đoạn mạch từ, với số đoạn lõi thép hữu hạn và độ dẫn từ lớn, cho phép bỏ qua dòng từ thông rò \$r\$ Số biến từ thông \$k\$ chảy như nhau dọc mỗi đoạn lõi thép, và ở tần số không quá cao, dòng điện chảy như nhau dọc mỗi cuộn dây, khiến các biến \$Uk\$, \$Ik\$ cũng hữu hạn, chỉ cần xét phân bố theo thời gian.
Giữa từ thông k và cường độ từ cảm Bk của một đoạn lõi thép có quan hệ với nhau: k B Sk k
(1.11) nên cũng có thể dùng cường độ từ cảm
Cường độ từ cảm Bk, tương ứng với cường độ từ trường Hk, đóng vai trò là biến trạng thái của mạch từ Biểu thức (1.11) cho thấy Bk chính là mật độ từ thông trong mạch từ, thể hiện phương trình mạch từ quan trọng.
Phương trình mạch từ mô tả mối quan hệ giữa các thông số trạng thái của mạch từ, tuy nhiên, do độ từ thẩm \$\mu\$ của vật liệu thay đổi theo cường độ từ trường, hệ phương trình này thường phi tuyến \$\rightarrow\$ đây là một yếu tố quan trọng cần xem xét khi phân tích mạch từ Các định luật về mạch từ là cơ sở để xây dựng các phương trình này, giúp chúng ta hiểu và tính toán các đặc tính của mạch từ một cách chính xác.
1.3.2 Các định luật mạch từ a) Định luật toàn dòng điện (định luật Ampere)
Định lý Ampere phát biểu rằng, đối với một đường cong kín L bất kỳ, lưu số của vector cường độ từ trường H bằng tổng đại số các dòng điện Ik xuyên qua đường cong kín đó Điều này có nghĩa là, \$\oint_L \vec{H} \cdot d\vec{l} = \sum_k I_k\$, một công cụ quan trọng để tính toán từ trường trong các trường hợp có tính đối xứng cao.
Trong biểu thức (1.12), dòng điện có chiều phù hợp với chiều từ thông chọn theo quy tắc vặn nút chai thì lấy dương, ngược lại thì lấy âm Ví dụ, trong hình 1.30, dòng I2 lấy dương, còn dòng I1, I3 lấy âm Với mạch từ có khe hở không khí và hai cuộn dây hình 1.31, ta có W1 lần dòng điện I1 thuận chiều vòng và W2 lần dòng điện I2 ngược chiều vòng.
Hình 1.29 Mạch từ ghép bởi các đoạn mạch từ
Ta gọi kích thích F k W I k k là sức từ động của vòng, bằng tổng đại số các sức từ động của nhánh thuộc vòng xét b) Định luật Ohm
Trong mạch từ, định luật Ohm áp dụng cho một nhánh từ, là đoạn mạch có dòng từ thông duy nhất \$\Phi\$ chạy qua Với nhánh từ có chiều dài \$l_k\$, tiết diện \$S_k\$, cường độ từ cảm \$B_k\$ và cường độ từ trường \$H_k\$, từ áp của nhánh từ được tính là \$U_{Mk} = H_k l_k\$.
Với chú ý cảm ứng từ chính là mật độ từ thông, được xác định theo từ thông chính
k và tiết diện mạch từ Sk theo (1.11) nên có thể viết lại biểu thức (1.13): k
Từ trở, ký hiệu là , tương tự như điện trở R trong vật dẫn điện, nhưng thay độ từ thẩm bằng điện dẫn suất Công thức này mô tả mối quan hệ giữa từ trở và các đặc tính từ của vật liệu.
Biểu thức (1.14) chính là biểu thức định luật Ohm viết cho đoạn mạch từ
Hình 1.30 Minh họa định luật toàn dòng điện
Định luật Kirchhoff 1 áp dụng cho nút từ, nơi giao nhau của ba nhánh từ trở lên, phát biểu rằng tổng đại số các dòng từ thông tại nút đó bằng 0, thể hiện sự cân bằng từ thông tại mỗi nút.
Khai triển cho nút từ trên hình 1.32 ta có:
1 – 2 – 3 = 0 với quy ước dòng từ thông đi vào nút lấy dấu dương (+) và ngược lại, đi ra khỏi nút lấy dấu âm ( ) d) Định luật Kirchhoff 2
Kirchhoff 2 được viết cho một vòng từ, là vòng kín khép mạch bởi các nhánh và nút từ, được phát biểu: “Theo một vòng từ bất kỳ, tổng đại số các từ áp rơi trên các đoạn mạch từ sẽ bằng tổng đại số các sức từ động có trong vòng đó”
Trong đó F k W I k k là sức từ động trong nhánh thứ k, lấy dấu dương (+) nếu dòng điện
MẠCH ĐIỆN PHI TUYẾN CÓ NGUỒN ĐIỀU HÒA
ĐƯỜNG CONG DÒNG ĐIỆN, ĐIỆN ÁP TRONG MẠCH ĐIỆN PHI TUYẾN CÓ NGUỒN ĐIỀU HÒA
Trạng thái mạch điện được mô tả bởi dòng điện i(t) và điện áp u(t) Bài toán đặt ra là xác định quy luật của trạng thái còn lại (áp hoặc dòng) khi đã biết một trạng thái (dòng hoặc áp) và đặc tính của phần tử Phương pháp đồ thị giúp xác định dạng đường cong dòng điện, điện áp trong mạch điện phi tuyến khi chịu kích thích điều hòa.
2.1.1 Đường cong dòng điện khi có nguồn áp hình sin
Xét mạch điện phi tuyến đơn giản là một cuộn dây lõi thép, bỏ qua điện trở dây quấn, ta có sơ đồ thay thế như hình
2.1 với điện cảm phi tuyến L(i) có đặc tính (i)
Giả thiết điện áp kích thích có dạng: m u(t)U cos t , từ thông móc vòng
trong cuộn dây cũng là dao động điều hòa cùng tần số với điện áp và chậm pha
90 o so với điện áp nguồn:
Từ đây kết hợp sử dụng đặc tính (i) có thể vẽ được đường cong đáp ứng dòng điện trong mạch a) Bỏ qua tổn hao sắt từ
Để dựng đường cong dòng điện i(t), ta xác định các điểm thuộc đường cong dựa vào đồ thị từ thông (t) và đặc tính từ hóa i(), bỏ qua tổn hao sắt từ Tại thời điểm t = t1, xác định 1 từ đồ thị (t), sau đó sử dụng đường cong i() để tìm ra giá trị dòng điện tương ứng i1, từ đó xây dựng nên đường cong i(t) hoàn chỉnh.
Hình 2.1 Sơ đồ thay thế đơn giản cuộn dây lõi thép
(i) ta được giá trị tương ứng i 1 i(t ) 1 Trên mặt phẳng với trục t, xác định được điểm
Đường cong i(t) được tạo thành từ các điểm (t1, i1) xác định trên đồ thị Các điểm khác được xác định tương tự và nối lại để hoàn thiện đường cong i(t), quá trình này được minh họa bằng nét đứt có mũi tên.
Hình 2.2 cho thấy đáp ứng dòng điện i(t) không sin, dạng nhọn đầu và đối xứng Đặc biệt, i(t) có điểm không và cực đại trùng với thời điểm tψ, điều này thay đổi khi tính đến tổn hao sắt từ.
Đường cong từ trễ \$(i\psi)\$ thể hiện sự trễ giữa dòng điện và từ thông Khi kích thích hình sin \$u(t)\$, dòng điện \$i(t)\$ bị méo, có dạng nhọn đầu và đối xứng, đồng thời không trùng pha với \$u(t)\$ và \$\psi(t)\$ Việc xác định đường cong \$i(t)\$ cần chú ý đến cả nhánh tăng và giảm của từ thông.
Hình 2.2 Đường cong i(t) ở mạch cuộn dây lõi thép khi bỏ qua tổn hao sắt từ t
Hình 2.3 Đường cong i(t) ở mạch cuộn dây lõi thép khi tính đến tổn hao sắt từ i t
2.1.2 Đường cong điện áp khi có nguồn dòng hình sin
Từ đường cong i(t), (i), bằng đồ thị ta dựng được đường cong (t) (có dạng đỉnh tù) Từ quan hệ d u(t) dt
, lấy đạo hàm (t) bằng đồ thị ta được u(t) Khi không kể đến tổn hao sắt từ (không có trễ), đáp ứng u(t) cũng nhọn đầu, đối xứng, nhanh pha
90 o so với i(t), dòng điện i(t) và từ thông (t) có “điểm không” và “cực đại” trùng nhau (hình 2.4)
Tương tự, khi xét đến từ trễ, đường cong u(t) không còn đối xứng, dòng điện và từ thông không trùng “điểm không” và “cực đại”
Dòng điện và điện áp trong mạch cuộn dây lõi thép khi kích thích hình sin sẽ cho đáp ứng không sin, dạng nhọn đầu và cùng chu kỳ với kích thích, đặc biệt khi lõi thép làm việc càng bão hòa thì đáp ứng càng nhọn và chứa nhiều sóng điều hòa bậc cao Nếu bỏ qua tổn hao từ trễ, đường cong dòng điện i(t) và từ thông ψ(t) có điểm không và cực đại trùng nhau, đối xứng qua trục đứng, do đó sóng điều hòa cơ bản của chúng trùng pha Điều hòa cơ bản của điện áp vuông pha với điều hòa cơ bản của từ thông (và dòng điện), dẫn đến tổn hao năng lượng trong cuộn dây bằng không, vì kích thích hình sin không chứa thành phần điều hòa bậc cao.
Khi kể đến tổn hao sắt từ thì điều hòa cơ bản của đáp ứng và kích thích không vuông pha với nhau nữa, do đó:
Hình 2.4 Đường cong u(t) khi có nguồn dòng hình sin u,ψ,i i ψ t
Công suất tác dụng \$\Delta P\$ được tính bằng tổng công suất tác dụng của các thành phần hài, với công thức \$\Delta P = \sum_{k} \Delta P_k = \sum_{k} U_k I_k \cos{\varphi_k}\$, trong đó chỉ các thành phần hài lẻ (k ≠ 1) đóng góp vào công suất tác dụng khi \$\cos{\varphi_k} \neq 0\$ Các đáp ứng đều có tính đối xứng qua trục ngang, do đó phổ của chúng chỉ chứa các điều hòa lẻ, ví dụ như dòng điện i(t) có dạng \$$i(t) = I_{1m} \sin(\omega t + \psi_{i1}) + I_{3m} \sin(3\omega t + \psi_{i3})\$$
Khi đường cong i(t) ít nhọn đầu, các sóng điều hòa bậc cao trong i(t) nhỏ, một cách gần đúng có thể coi dòng điện i(t) có dạng gần hình sin: i(t)I sin1m t i1 (2.5)
PHƯƠNG PHÁP CÂN BẰNG ĐIỀU HÒA
Trong mạch phi tuyến, đáp ứng với kích thích điều hòa là hàm chu kỳ không sin, chứa nhiều sóng điều hòa với tần số khác nhau theo phân tích Fourier Để đơn giản hóa, thường chỉ xét một vài sóng điều hòa chính Phương pháp tiếp cận là sử dụng phương trình Kirchhoff, kết hợp biến đổi lượng giác để cân bằng hệ số và pha của các sóng điều hòa cùng tần số, ví dụ như điều hòa cơ bản.
Hay: Msin t N Asin t B (2.7) khi đó thực hiện cân bằng hệ số:
Để giải bài toán mạch phi tuyến với điện trở tuyến tính R1 = 5Ω nối tiếp với điện trở phi tuyến Rx có đặc tính ux(i) = 5i + 0,5i³, khi nguồn điện áp e(t) = 10sin(t) V, cần tính thành phần sóng điều hòa cơ bản của dòng điện.
Giải: Phương trình định luật Kirchhoff 2 viết cho mạch:
Do mạch thuần trở nên dòng điện điều hòa bậc một sẽ trùng pha với sức điện động nguồn, nghĩa là:
Hình 2.5 Mạch điện ví dụ 2.1
Thay i1(t) và e(t) vào phương trình trên:
Với: sin 3 t 0, 25 3sin t sin 3t thay vào trên ta được:
10 sin t 10I 0, 375I sin t 0,125I sin 3t Thực hiện cân bằng hệ số đối với sóng sin(t) ta có:
Giải phương trình bậc 3 ta được nghiệm: I 1m 0,966 (loại bỏ các nghiệm phức) Như vậy sóng cơ bản của dòng điện trong mạch: i (t) 1 0,966sin t A
Để xác định sóng cơ bản của dòng điện trong mạch phi tuyến, ta đặt một điện áp hình sin \$u(t) = 300\cos(314t)\$ V vào mạch gồm điện cảm tuyến tính \$L_1 = 0.5\$ H nối tiếp với điện cảm phi tuyến \$L_2(i)\$ có đặc tính \$\psi(i) = 0.5i - 0.01i^3\$, với \$-4A \leq i \leq 4A\$.
Phương trình Kirchhoff 2 viết cho mạch:
1 2 1 di di di di u(t) L L (i) L dt dt dt i dt
1 1 di di di u(t) L a 3bi (L a 3bi ) dt dt dt
Giả thiết bỏ qua điện trở dây, sóng cơ bản của dòng điện chậm sau điện áp góc 90° và có dạng i(t) = I_m sin(ωt), trong đó ω = 314 rad/s.
Tính toán và rút gọn lại ta được:
Hình 2.6 Mạch điện ví dụ 2.2
Thay ω = 314 rad/s và cân bằng hệ số cho thành phần điều hòa cơ bản ta được:
Giải phương trình cho nghiệm: I1m (1) = 0,962A Các nghiệm I1m (2) = 11,036A và
I1m (3) = −12A bị loại vì nằm ngoài khoảng giá trị −4A i 4A
Vậy sóng cơ bản của dòng điện: i1(t) = 0,962sin(314t) A
Để xác định sóng bậc một của dòng điện trong mạch điện hình 2.7, ta xét mạch có điện trở tuyến tính R = 10Ω nối tiếp với cuộn cảm phi tuyến Lx có đặc tính (i) = 2i + 0,5i^3, với nguồn điện e(t) = 10sin(5t) V.
Giải: Phương trình định luật
Kirchhoff 2 viết cho mạch: d di e(t) Ri(t) Ri(t) dt i dt
Thay số vào ta có:
Do mạch có điện trở và điện cảm, thành phần điều hòa cơ bản của dòng điện sẽ lệch pha so với nguồn, nghĩa là:
Thay i1(t) vào phương trình trên được:
Thực hiện tính toán hàm lượng giác và rút gọn, với chú ý:
cos3 t 0, 25 3cos t cos 3 t ta được:
10sin t 10I sin t 10 1,875I I cos t 1,875I cos 3 t 3 Đối với sóng bậc một:
Cân bằng biên độ của sóng đối với hai vế:
10 10I1m 2 10I1m1,875I1m 3 2 Để giải phương trình, đặt XI 1m 2 0 ta có:
Hình 2.7 Mạch điện ví dụ 2.3
3,516X 37,5X 200X 100 0 Giải phương trình ta được nghiệm: X0, 459 (loại bỏ các nghiệm phức), suy ra:
I1m0, 678 Thay giá trị vừa tìm được vào phương trình cân bằng sóng bậc một được: 10sin t 6, 780sin t 7,364cos t
Thực hiện cân bằng pha cả hai vế:
Tổng hợp kết quả được sóng cơ bản của dòng điện, với chú ý tần số ω = 5 rad/s i (t) 1 0, 678sin(5t47,36 ) A.
PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU HÒA TƯƠNG ĐƯƠNG
Phương pháp điều hòa tương đương, còn gọi là phương pháp hình sin tương đương, được sử dụng để phân tích các phần tử phi tuyến khi chịu tác dụng của kích thích điều hòa hoặc gần điều hòa Trong nhiều thiết bị điện như cuộn dây, biến áp, máy phát, các đáp ứng thường gần dạng điều hòa do đặc điểm chế tạo và vận hành Phương pháp này coi đáp ứng là tương đương với một hàm điều hòa có tần số cơ bản, phù hợp cho các hệ thống phi tuyến có lọc.
Điều hòa tương đương là điều hòa bậc nhất của quá trình xét, giúp đơn giản hóa phân tích hệ thống Khi hệ ở chế độ xác lập, kích thích và đáp ứng có cùng tần số, cho phép sử dụng phương pháp số phức tương tự như mạch tuyến tính Các khái niệm như tổng trở phức Z và tổng dẫn phức Y trở nên hữu ích trong phân tích mạch điện.
Trong mạch điện phi tuyến, mối quan hệ giữa điện áp (U) và dòng điện (I) được biểu diễn qua phương trình U=ZI và I=YU, tương tự như các phương pháp xét biến nhánh, nút và vòng Về góc pha, điện áp và dòng điện phức có quan hệ tương tự trường hợp tuyến tính: điện trở phi tuyến thì điện áp và dòng điện đồng pha; điện cảm phi tuyến thì điện áp có pha lớn hơn dòng điện 90 độ; và điện dung phi tuyến thì điện áp có pha nhỏ hơn dòng điện 90 độ.
Do tính phi tuyến của phần tử, hệ số giữa các biến phức hiệu dụng như Z(I), Y(I) phụ thuộc vào cả dòng điện và tần số, theo quy luật riêng của phần tử Phương pháp này tuyến tính hóa quan hệ giữa các biến tức thời, xem quan hệ giữa các giá trị hiệu dụng là phi tuyến, coi các phần tử có quán tính.
Trong phân tích bài toán, phương pháp phần tử được quán tính hóa thường kết hợp với các phương pháp dò hoặc lặp để tìm nghiệm, như đã trình bày ở chương 1.
Để xác định biểu thức dòng điện i(t) trong cuộn dây lõi thép khi đặt nguồn áp điều hòa U = 200V, f = 50Hz vào cuộn dây có điện trở R = 20 và điện cảm phi tuyến (I), cần phân tích đặc tính hiệu dụng của cuộn dây.
Bảng 2.1 Đặc tính Ψ(I) của điện cảm phi tuyến Ψ (Wb) 0,1 0,2 0,3 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65
Để giải mạch điện phi tuyến có cuộn cảm, ta quán tính hóa phần tử này và coi dòng điện i(t) là hình sin dưới tác động của nguồn áp điều hòa; sử dụng phương pháp điều hòa tương đương, dòng điện được biểu diễn phức dưới dạng \$I = I_0 \angle 0\$, từ đó suy ra biểu diễn phức của điện áp \$U = \angle \varphi_U\$.
Phương trình cân bằng áp:
URI j L(I)I trong đó giá trị L(I)
Để giải quyết bài toán mạch điện, ta cần xác định dòng điện I chưa biết thông qua phương trình cân bằng áp, đặc biệt khi bỏ qua từ trễ, từ thông và dòng điện sẽ trùng pha nhau, giúp đơn giản hóa việc tính toán và phân tích mạch.
URI j (I) Thay số vào ta được:
Sử dụng phương pháp dò, một giá trị I ban đầu được giả thiết để xác định từ thông tương ứng, lặp lại quá trình này cho đến khi phương trình thỏa mãn, kết quả được ghi lại để chấp nhận.
Vậy biểu thức dòng điện trong mạch: i(t)3 2 sin 314t A u(t) i(t) L(I)
Hình 2.8 Mạch điện ví dụ 2.4
Hình 2.9 Sơ đồ phức của mạch điện hình 2.8
Khi đó điện áp nguồn: u(t) 197, 72sin 314t 72,33 V.
Bảng 2.2 Kết quả quá trình dò của ví dụ 2.4
Để tính công suất phát (tác dụng) của nguồn trong mạch điện xoay chiều hình sin với E = 220V và tần số ω, ta cần xem xét các thành phần R = 50Ω, ωL = 100Ω, và đặc tính hiệu dụng UC(I) của điện dung phi tuyến.
Bảng 2.3 Đặc tính U C (I) của điện dung phi tuyến
Để giải mạch điện có phần tử điện dung quán tính hóa, ta áp dụng phương pháp điều hòa tương đương, giả thiết dòng điện gần hình sin và sử dụng số phức để biểu diễn mối quan hệ giữa các biến theo định luật Kirchhoff, với dòng điện trong các nhánh được mô tả như hình 2.11.
Để xác định dòng điện trong mạch RLC, ta kết hợp phương pháp dò với dòng điện giả thiết ban đầu I Từ đặc tính của điện dung C, suy ra điện áp \$U_C\$, với độ lớn và góc pha bé hơn góc pha của dòng điện 90 độ Điện áp \$U_C\$ này chính là điện áp đặt lên điện cảm L, từ đó tính được dòng điện \$I_L\$ theo định luật Ohm.
Hình 2.10 Mạch điện ví dụ 2.5
Hình 2.11 Sơ đồ phức mạch điện hình 2.10
Để xác định dòng điện I\_R và điện áp trên điện trở R, định luật Kirchhoff 1 được áp dụng, từ đó tính toán sức điện động nguồn Quá trình này lặp lại cho đến khi sức điện động nguồn đạt giá trị giả thiết, với kết quả được thể hiện trong bảng 2.4.
Bảng 2.4 Kết quả quá trình dò của ví dụ 2.5
Sử dụng nội suy tuyến tính xác định dòng điện trong nhánh điện dung:
Điện áp trên điện dung:
Khi đó dòng điện trong các nhánh tương ứng:
Công suất phát (tác dụng) của nguồn:
Ví dụ 2.6: Cho mạch điện hình 2.12 ở chế độ xác lập, biết:
, đặc tính cuộn cảm phi tuyến có quán tính cho theo bảng 2.5
Bảng 2.5 Đặc tính U(I) của điện cảm phi tuyến
Hình 2.12 Mạch điện ví dụ 2.6
Tìm số chỉ của Ampe kế và công suất tác dụng của nguồn?
Dùng quan niệm điều hoà tương đương kết hợp với phương pháp dò để giải với:
Tương đương nhánh R và ZC (hình 2.13b):
Dòng điện \$I_L\$ tạo ra điện áp \$U_L\$ với góc pha lớn hơn 90 độ so với dòng điện, tức \$U_L = jU_L\$ Từ đó, tính được điện áp tương đương \$E_{tt} = U_L + Z_{td}I_L\$ Quá trình dò tìm này được thể hiện chi tiết trong bảng 2.6.
Bảng 2.6 Kết quả quá trình dò của ví dụ 2.6
Nội suy tìm kết quả:
Hình 2.13 Sơ đồ phức và sơ đồ tương đương mạch điện hình 2.12 a) b)
Với sức điện động nguồn E cho trước là 200∠-20° V, khi xoay các vector dòng điện I và điện áp UL theo chiều kim đồng hồ một góc 2,2°, độ lớn của các vector và góc lệch pha giữa chúng được giữ không đổi.
Số chỉ của Ampe kế: IA = 1,9 A Công suất phát (tác dụng) của nguồn được tính:
PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA ĐOẠN ĐẶC TÍNH LÀM VIỆC
Trong các mạch điện phi tuyến hoạt động ở chế độ đặc biệt, thành phần biến thiên nhỏ dao động quanh một điểm làm việc xác định Để đơn giản hóa việc tính toán, đoạn đặc tính phi tuyến có thể được thay thế bằng một đoạn thẳng tiếp tuyến tại điểm làm việc, cho phép phân tích thành phần biến thiên của dòng và áp một cách hiệu quả.
M Nghĩa là ta đã tuyến tính hóa đoạn đặc tính làm việc của phần tử phi tuyến Giá trị tuyến tính hóa của phần tử phi tuyến chính bằng giá trị động của phần tử phi tuyến tại điểm làm việc tĩnh (là hệ số góc của đường tiếp tuyến đoạn đặc tính):
Quá trình tính mạch bằng phương pháp tuyến tính hóa đoạn đặc tính làm việc gồm các bước sau:
Bước 1: Cho thành phần một chiều
(không đổi) tác động, tính thành phần một chiều của dòng và áp trong mạch
Từ đó xác định điểm làm việc tĩnh M của phần tử phi tuyến
Bước 2: Xác định các phần tử động
(tuyến tính) tương đương của các phần tử phi tuyến
Bước 3: Cho thành phần xoay chiều tác động, giải mạch điện tương đương (tuyến tính) theo các phương pháp đã biết
Chú ý rằng, khi đặc tính phần tử phi tuyến được biểu diễn theo bảng, nó thường được mô tả như một đường gấp khúc tạo bởi các đoạn thẳng liên tiếp Tiếp tuyến của đặc tính này trong mỗi đoạn thể hiện mối quan hệ phi tuyến của phần tử.
Hình 2.14 Phạm vi làm việc của phần tử phi tuyến
Đoạn đặc tính chính là đoạn đặc tính đang xét Hệ số góc của đoạn đặc tính được tính từ các điểm đặc tính ở hai đầu, ví dụ như điện trở phi tuyến.
Để giải quyết trường hợp đặc tính phi tuyến cho dưới dạng đồ thị, việc ước lượng và vẽ đường tiếp tuyến là cần thiết, tuy nhiên, phương pháp này có thể dẫn đến sai số lớn do ước lượng hệ số góc của tiếp tuyến.
Ví dụ 2.7: Cho mạch phi tuyến ở chế độ xác lập (hình 2.15), biết điện áp nguồn đặt vào mạch: u(t) = 110 +
10sin(t) V, tần số = 628 rad/s, điện cảm tuyến tính L = 0,1H, điện trở phi tuyến R(i) cho bởi đặc tính V - A trên hình 2.16 Hãy xác định dòng điện trong mạch
Giải: Điện áp u(t) = 110 + 10sin(t) V gồm hai thành phần: U0 = 110V không đổi và u1(t) = 10sin(t)V dao động nhỏ
Với (U1m