Chương 2. MẠCH ĐIỆN PHI TUYẾN CÓ NGUỒN ĐIỀU HÒA
3.1. QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ VÀ CÁC ĐỊNH LUẬT ĐÓNG MỞ
3.1.3. Bài toán quá độ và điều kiện đầu
Bài toán tổng quát về quá trình quá độ trong mạch điện tuyến tính có thông số tập trung là tìm nghiệm phương trình/hệ phương trình vi phân (hệ phương trình Kirchhoff), thỏa mãn các điều kiện đầu.
Điều kiện đầu hay sơ kiện của bài toán quá độ trong mạch điện là giá trị các dòng điện, điện áp và các đạo hàm (tới cấp cần thiết) của chúng tại thời điểm đóng mở. Về mặt toán học, sơ kiện giúp tính toán các hằng số tích phân của hệ phương trình vi phân mô tả quá trình quá độ của mạch. Về ý nghĩa vật lý, sơ kiện chính là trạng thái của mạch ngay sau động tác đóng mở, trạng thái này ảnh hưởng tới quá trình quá độ của mạch.
Để xác định sơ kiện, ta có thể chỉ dựa vào các định luật đóng mở (sơ kiện độc lập
L C
i (0), u (0)), hoặc kết hợp với hệ phương trình quá độ cùng với hệ phương trình dẫn ra bằng cách đạo hàm hệ phương trình quá độ, áp dụng tại thời điểm t = 0, trong đó đã biết các sơ kiện độc lập (sơ kiện phụ thuộc iL '(0), iL ''(0), iL '(0),…). Trình tự tính toán sơ kiện như sau:
Bước 1: Xác định giá trị các lượng cần thiết ở t = 0− thuộc chế độ xác lập cũ.
Bước 2: Dựa vào các định luật đóng mở tìm các sơ kiện độc lập, đó là
L C
i (0), u (0) hay (0), q(0).
Bước 3: Viết phương trình/hệ phương trình quá độ cho mạch, áp dụng ở thời điểm t = 0, tìm được một số sơ kiện khác (dòng điện cũng như đạo hàm của chúng ở t = 0).
Bước 4: Đạo hàm phương trình/hệ phương trình quá độ thêm một cấp, sau đó áp dụng ở thời điểm t = 0, sử dụng các sơ kiện đã tìm được trong bước 2 và 3 sẽ tính được các sơ kiện tương ứng thuộc cấp đạo hàm cao hơn.
Lặp lại bước 4 sẽ tìm được tất cả các sơ kiện cần có.
Ví dụ 3.6: Tính dòng điện trong nhánh điện cảm và đạo hàm cấp một của nó tại thời điểm đóng mở trong sơ đồ mạch hình 3.8. Biết thông số của các phần tử cho trên sơ đồ mạch, các nguồn đều là một chiều và chế độ trước khi đóng khóa đã xác lập.
10Ω
10V 10mH
iL(t)
10V 10Ω
R2
iL(t) 10mH
10Ω R1
a)
Hình 3.8. Mạch điện ví dụ 3.6
b)
Giải: Đối với sơ đồ hình 3.8a, áp dụng định luật đóng mở cho nhánh điện cảm dễ dàng có được:
L L
i (0)i (0 ) 0
Để tìm đạo hàm cấp một của dòng điện iL'(0), ta viết phương trình quá độ cho mạch, với chú ý giá trị của điện cảm 10mH = 10-2H
2 L
L
10i (t) 10 di 10 dt
Áp dụng ở thời điểm t = 0 ta có:
10i (0) 10 i '(0)L 2 L 10
Suy ra: L 10 10i (0)2L 10 10.02
i '(0) 1000 A / s
10 10
Với sơ đồ hình 3.6b, từ kết quả ví dụ 3.2, dòng điện nhánh điện cảm tại thời điểm đóng mở được xác định:
L L
1 2
E 10
i (0) i (0 ) 0, 5A
R R 10 10
Sau khi đóng khóa, điện trở R2 bị ngắn mạch, phương trình quá độ viết cho mạch khi đó:
1 L diL
R i (t) L E
dt
Thay số và áp dụng ở thời điểm t = 0 ta được:
10i (0) 10 i '(0)L 2 L 10
Suy ra: L 10 10i (0)2L 10 10.0,52
i '(0) 500 A / s
10 10
Ví dụ 3.7: Tính điện áp trên điện dung và đạo hàm cấp một của nó tại thời điểm đóng mở trong sơ đồ mạch hình 3.9. Biết thông số của các phần tử cho trên sơ đồ mạch, các nguồn đều là một chiều và chế độ trước khi đóng mở đã xác lập.
10Ω
1μF
10V uC(t)
a)
R1
10V 1μFR2
1 2
Hình 3.9. Mạch điện ví dụ 3.7
uC(t) 10Ω
10Ω
b)
Giải: Ở sơ đồ hình 3.9a, điện áp trên điện dung tại thời điểm đóng mở dễ dàng suy ra từ định luật đóng mở:
C C
u (0)u (0 ) 0
Để tìm đạo hàm cấp một của điện áp trên điện dung uC'(0), ta viết phương trình quá độ cho mạch, với chú ý dòng điện trong nhánh duC
i(t) C
dt
duC C
RC u (t) E
dt
Thay số và áp dụng ở thời điểm t = 0, chú ý đổi điện dung C sang hệ đơn vị chuẩn, ta có:
10.10 u '(0)6 C u (0)C 10 Suy ra:
C 10 u (0)C5 10 05 6
u '(0) 10 V / s
10 10
Với sơ đồ hình 3.9b, khi khóa K chuyển từ vị trí 1 sang vị trí 2, điện áp trên điện dung phải biến thiên liên tục tại thời điểm đóng mở nên:
u (0)C u (0 ) 10VC
Khi khóa K chuyển sang vị trí 2, tụ C sẽ phóng điện qua điện trở R2 (trong vòng ngắn mạch), phương trình quá độ viết cho vòng ngắn mạch, với chú ý dòng điện ngắn
mạch duC
i(t) C
dt
2 duC C
R C u (t) 0
dt
Thay số và áp dụng ở thời điểm t = 0 ta có:
10.10 u '(0)6 C u (0)C 0 Từ đó có được:
C 6
C 5 5
u (0) 10
u '(0) 10 V / s
10 10
Ví dụ 3.8: Xét mạch nối tiếp hai cuộn dây hình 3.10, ở thời điểm t = 0 khóa K mở ra, tìm sơ kiện i(0), biết: E = 12V (nguồn hằng), L1 = 20mH, R1= 2, R2 = R3 = 4, L2 = 10mH. Mạch điện trước khi mở khóa K hoàn toàn xác lập.
R1 L2
Hình 3.10. Mạch điện ví dụ 3.8 E
R2 L1
R3
i1 i2
Giải: Với giả thiết dòng điện chạy qua các điện cảm với chiều như hình vẽ, áp dụng định luật đóng mở suy rộng cho trường hợp này, ta có:
1 1 2 2 1 1 2 2
L i (0) L i (0) L i (0 ) L i (0 )
Với chú ý sau khi mở khóa K, dòng điện trong các điện cảm: i (0)1 i (0)2 i(0) nên có thể viết gọn lại:
L1L i(0)2 L i (0 ) L i (0 )1 1 2 2
Ở chế độ xác lập cũ với nguồn hằng E, các điện cảm suy biến, dòng điện ở mọi thời điểm là như nhau, ta có:
1
2 3 1
2 3
E 12
i (0 ) 3A
R R 4.4
2
R R R 4 4
2 3 1
2 3
R 4
i (0 ) i (0 ) .3 1, 5 A
R R 4 4
Từ đó suy ra:
3 3
1 1 2 2
3 3
1 2
L i (0 ) L i (0 ) 20.10 .3 10.10 .1,5
i(0) 2,5 A
L L 20.10 10.10
Ví dụ 3.9: Xét mạch điện hình 3.11, ở thời điểm t = 0 khóa K đóng đưa tụ C2 vào mạch, hãy tìm sơ kiện uC(0), biết: E = 500V (nguồn hằng), R = 1k, C1 = C2 = 10F. Mạch điện trước khi đóng khóa hoàn toàn xác lập, tụ C2 chưa được nạp trước khi đóng mạch.
Giải: Với giả thiết điện áp trên các điện dung là uC1(t) và uC2(t), áp dụng định luật đóng mở suy rộng, với chú ý điện áp trên điện dung C1 và C2 bằng nhau tại thời điểm đóng mở uC1 (0) = uC2 (0) = uC (0), tụ C2 chưa nạp trước khi đóng mạch uC2(0−) = 0 ta có:
C1C u (0)2 C C u (0 )1 C1
Ở chế độ xác lập cũ, điện áp nạp trên tụ điện C1: uC1(0−) = E = 500V nên:
6 1 C1
C 6
1 2
C u (0 ) 10.10 .500
u (0) 250 V
C C 2.10.10
Ví dụ 3.10: Xét mạch điện hình 3.12, ở thời điểm t = 0 khóa K đóng đưa tụ C2 vào mạch, hãy tìm dòng điện trong các nhánh và đạo hàm cấp một của chúng ở thời điểm t = 0, biết: E = 1V (nguồn hằng), R1 = R2 = 1, L = 1H, C = 1F. Mạch điện trước khi đóng khóa hoàn toàn xác lập, tụ C2 chưa được nạp trước khi đóng mạch.
Hình 3.11. Mạch điện ví dụ 3.9 R
C1
E uC2
C2
uC1
Giải: Áp dụng định luật đóng mở, ta có:
2 2
1 2
E 1
i (0) i (0 ) 0, 5 A
R R 1 1
u (0)C u (0 )C 0
Với chiều dương dòng điện các nhánh và các vòng đã chọn như hình 3.12, hệ phương trình quá độ viết cho mạch:
1 2 3
2
1 1 2 2
1 1 C
i (t) i (t) i (t) 0 R i (t) R i (t) Ldi E
dt R i (t) u (t) E
Thay số và áp dụng ở thời điểm t = 0 ta có:
1 2 3
1 2 2
1 C
i (0) i (0) i (0) 0 i (0) i (0) i '(0) 1 i (0) u (0) 1
Với các sơ kiện i2(0) và uC(0) đã biết suy ra:
i (0) = 1A; 1 i '(0) = 0,5A/s; i (0) = 0,5A2 3
Để tính các sơ kiện còn lại, ta đạo hàm hệ phương trình quá độ, rồi thay số và áp dụng ở thời điểm t = 0:
1 2 3
1 2 2
1 C
i '(0) i '(0) i '(0) 0 i '(0) i '(0) i ''(0) 0 i '(0) u '(0) 0
Với chú ý C 1 3 u (t) i (t)dt
C nên: u '(t)C i (t)3C suy ra: u '(0)C i (0)3C 0,5 V / s
Từ hệ phương trình trên ta có kết quả:
i '(0) = 1 0, 5A/s; i "(0) = 1A/s ; i '(0) = 02 2 3
E C
i1(t)
Hình 3.12. Mạch điện ví dụ 3.10 R1
L i2(t)
i3(t)
R2