Chương 2. MẠCH ĐIỆN PHI TUYẾN CÓ NGUỒN ĐIỀU HÒA
3.1. QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ VÀ CÁC ĐỊNH LUẬT ĐÓNG MỞ
3.1.2. Các định luật đóng mở
Như trên đã nói, dòng điện và điện áp quá độ là nghiệm của hệ phương trình vi phân mô tả quá trình quá độ của mạch. Để thỏa mãn tính khả vi, dòng điện và điện áp quá độ phải biến thiên liên tục từ những giá trị đầu i(0), u(0), đó là giá trị của dòng điện và điện áp tại thời điểm đóng mở, quyết định bởi trạng thái cũ và hệ phương trình. Nói cách khác, bài toán quá độ gắn liền với động tác đóng mở thể hiện ở quy luật chuyển tiếp từ trạng thái cũ ngay trước khi đóng mở, ký hiệu t 0 (một lân cận đủ nhỏ ngay trước thời điểm đóng mở), sang trạng thái ngay sau khi đóng mở, tại t = 0+ (một lân cận đủ nhỏ ngay sau khi đóng mở), hay có thể ký hiệu t = 0. Các định luật đóng mở chính là nội dung của quy luật chuyển tiếp đó với giả thiết coi động tác đóng mở được hoàn thành tức thời tại t = 0.
a) Định luật đóng mở cho nhánh điện cảm
Phát biểu: “Dòng điện trong điện cảm biến thiên liên tục (tức không gián đoạn) tại thời điểm đóng mở”.
e(t) i
k(t)
il(t) mạch điện
Rk
K
Hình 3.2. Thao tác đóng khóa K tạo nên quá trình quá độ trong mạch điện Hình 3.1. Thao tác đóng (a)
và mở (b) khóa K K
K a)
b)
Thật vậy, từ phương trình điện áp trên điện cảm L diL
u (t) L ,
dt nếu chấp nhận điện áp trên điện cảm là hữu hạn thì tốc độ biến thiên của dòng điện trong điện cảm
diL
dt phải hữu hạn, do đó dòng điện trong điện cảm i (t) ở mọi thời điểm nói chung, L thời điểm đóng mở nói riêng phải liên tục.
Ta có:
i (0 )L i (0 )L
(3.2)
Từ biểu thức (3.2), ta có thể phát biểu lại định luật đóng mở cho nhánh điện cảm:
“Dòng điện trên điện cảm trước và sau thời điểm đóng mở phải như nhau”.
Ví dụ 3.1: Nếu đóng mạch một cuộn dây (vốn hở mạch với iL (0−) = 0) vào nguồn áp (hình 3.3) thì dòng điện ở thời điểm ngay sau khi đóng mạch cũng bằng 0.
L L
i (0 ) i (0 ) 0
Ví dụ 3.2: Xác định dòng điện trong điện cảm ngay sau thời điểm ngắn mạch (đóng khóa) điện trở R2 trong sơ đồ mạch hình 3.2, giả thiết chế độ trước khi đóng khóa, mạch hoàn toàn ở chế độ xác lập, nguồn E là sức điện động một chiều.
Giải: Ở chế độ xác lập cũ (trước khi đóng khóa) với nguồn sức điện động một chiều E ta có dòng điện qua điện cảm:
L
1 2
i (0 ) E
R R
Theo định luật đóng mở cho nhánh điện cảm, ta có:
L L
1 2
i (0 ) i (0 ) E
R R
b) Định luật đóng mở cho nhánh điện dung
Phát biểu: “Điện áp trên điện dung biến thiên liên tục tại thời điểm đóng mở”.
Tương tự như đối với nhánh điện cảm, xuất phát từ phương trình trạng thái
C C
i (t) Cdu ,
dt nếu dòng điện i (t) trên điện dung là hữu hạn thì tốc độ biến thiên của C
R
e(t) L
iL(t)
Hình 3.3. Mạch điện ví dụ 3.1 Hình 3.4. Mạch điện ví dụ 3.2 E
R1
R2
iL(t) L
điện áp duC
dt cũng phải hữu hạn, do đó điện áp trên điện dung u (t) liên tục ở mọi thời C điểm, và riêng ở thời điểm đóng mở:
u (0 )C u (0 )C (3.3)
Nghĩa là “Điện áp trên điện dung trước và sau thời điểm đóng mở phải như nhau”.
Ví dụ 3.3: Đóng một tụ điện vốn chưa được nạp điện u (0 )C 0 vào một nguồn áp (hình 3.5), thì điện áp trên điện dung ở thời điểm đầu cũng bằng 0.
u (0 )C u (0 )C 0
Ví dụ 3.4: Chuyển khóa từ vị trí 1 sang vị trí 2 trong mạch điện hình 3.6, trong đó E là nguồn sức điện động một chiều và mạch ở chế độ xác lập hoàn toàn trước khi chuyển khóa, điện áp trên điện dung ở thời điểm đầu (ngay sau khi chuyển khóa) vẫn giữ giá trị ở chế độ xác lập cũ:
C C
u (0 ) u (0 ) E
c) Định luật đóng mở suy rộng
Trong một số trường hợp, do kết cấu của mạch và tác động đóng mở, dòng điện trong điện cảm hoặc điện áp trên điện dung có sự nhảy vọt (hình 3.7). Khi đó ta có định luật đóng mở suy rộng:
- Đối với vòng chứa nhiều điện cảm: “Tổng từ thông móc vòng trong một vòng kín phải liên tục tại thời điểm đóng mở”
k(0 ) k(0 )
(3.4)
Hay:
k k
k k
L i (0 ) L i (0 )
(3.5)
- Đối với nút có nhiều điện dung: “Tổng điện tích tại một nút phải liên tục tại thời điểm đóng mở”
q (0 )k q (0 )k (3.6)
R
e(t) uC(t) C
Hình 3.5. Mạch điện ví dụ 3.3
R1
E R2
C 1 2
Hình 3.6. Mạch điện ví dụ 3.4 uC(t)
Hay:
Ck Ck
k k
C u (0 ) C u (0 )
(3.7)
Ví dụ 3.5: Áp dụng định luật đóng mở suy rộng cho mạch điện hình 3.7a, ta có:
L1L i(0 )2 L i (0 )1 1
Trong đó chú ý rằng dòng điện trong các điện cảm L1 và L2 như nhau tại thời điểm đóng mở: i (0 )1 i (0 )2 i(0 ).
- Đối với mạch điện hình 3.7b, với chú ý điện áp trên điện dung C1 và C2 bằng nhau tại thời điểm đóng mở u (0 )1 u (0 )2 u(0 ), ta có:
C1C u(0 )2 C u (0 ) C u (0 )1 1 2 2
* Chú ý: Trong quá trình quá độ ở mạch điện, khi dòng điện trong điện cảm i và L điện áp trên điện dung u liên tục, năng lượng từ trường C wMvà năng lượng điện trường
w trong các kho gắn liền với E i và L u cũng liên tục (C M 1 2L
w Li
2 và E 1 2C
w Cu
2 ). Ta gọi bài toán đảm bảo sự liên tục của năng lượng là bài toán chỉnh. Trường hợp i và L u C gián đoạn, năng lượng cũng bắt buộc phải biến thiên gián đoạn tại thời điểm đóng mở, gọi là bài toán không chỉnh. Nếu động tác đóng mở (không chỉnh) trực tiếp gây một số bước nhảy i (0), u (0)L C ở t = 0, những dòng cảm iLvà áp tụ uc còn lại sẽ phải phân phối lại ở 0 , 0 thỏa mãn hệ phương trình mạch (Nguyễn Bình Thành & cs., 1972).
Ví dụ, nếu dòng điện ở nhánh k có bước nhảy i (0),Lk trong nhánh đó sẽ có một áp là phân bố Dirac ở t = 0.
Lk
L k k Lk k
t 0
u (0) L di L i (0) (t) (0) (t) dt
(3.8)
Hình 3.5. Mạch điện có sự nhảy vọt của dòng điện trên điện cảm (a) và điện áp trên điện dung (b) R1 L1 R2
i1(t) E
L2
i2(t)
a)
R
C1
e(t) u2
b)
C2
u1
trong đó k(0) Lk i (0)Lk là bước nhảy từ thông trong cuộn dây tại t = 0. Điện áp này phải cân bằng với những áp phân bố Dirac khác trong những vòng chứa nhánh k.