Chương 5. QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ TRONGMẠCH ĐIỆN PHI TUYẾN
5.2. PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA SỐ HẠNG PHI TUYẾN NHỎ
Như ta đã biết, quá trình quá độ ở mạch điện phi tuyến được mô tả bởi các phương trình vi phân phi tuyến viết theo luật Kirchhoff. Trong các số hạng của phương trình, chọn số hạng ít phi tuyến nhất (số hạng phi tuyến nhỏ) để tuyến tính hóa, khi đó phương trình vi phân phi tuyến sẽ trở thành phương trình vi phân tuyến tính đối với một
Hình 5.1. Quá trình quá độ trong cuộn dây phi tuyến u(t)
R L(i)
i(t)
ẩn, có thể giải dễ dàng nhờ các phương pháp đã biết thỏa mãn các sơ kiện. Sau đó theo quan hệ hàm đặc trưng giữa cặp biến sẽ tìm ra được lời giải đối với biến theo yêu cầu.
Để hiểu rõ hơn nội dung phương pháp ta xét quá trình quá độ ở một cuộn dây phi tuyến.
Phương trình cân bằng điện áp (5.1) được viết lại:
d
Ri(t) u(t)
dt
(5.3)
Trong đó từ thông móc vòng (t) và dòng điện i(t) có quan hệ phi tuyến (i) hoặc i( ) nên ta có:
Ri(t) d u(t) dt
(i) hay i i( )
(5.4) Giả sử mạch ít tiêu tán, nghĩa là số hạng Ri(t) bé hơn số hạng d
dt
, ví dụ tiêu tán ở cuộn dây ampemet, ta sẽ tuyến tính hóa số hạng Ri(t) bằng cách thay quan hệ phi tuyến i( ) bằng một quan hệ tuyến tính thông qua một hệ số L không đổi:
i
L
(5.5)
Từ đó có một phương trình vi phân tuyến tính đối với ẩn ψ(t):
d
R u(t)
L dt
(5.6)
Trường hợp ngược lại, nếu tiêu tán trong cuộn dây là lớn, ví dụ như ở cuộn dây trong voltmet, số hạng d
dt
là lượng phi tuyến nhỏ, ta sẽ tuyến tính hóa bằng cách coi quan hệ (i) là tuyến tính qua hệ số L:
Li (5.7)
Phương trình (5.4) khi đó trở thành tuyến tính đối với dòng điện i(t):
di
Ri(t) L u(t)
di (5.8)
Trong thực tế quan hệ (i) hay i( ) là phi tuyến, nghĩa là hệ số L(i) không phải là hằng số, vấn đề đặt ra ở đây là chọn hằng số L trong các quan hệ (5.5) hay (5.7) như thế nào. Giả thiết dòng điện i và từ thông ψ biến thiên trong một phạm vi từ 0 đến
m m
I , thì L(i) cũng biến thiên trong một phạm vi tương ứng. Vì vậy nên chọn L là giá trị trung bình trong khoảng biến thiên ấy. Trong thực tế tính toán thường chọn [4, 5]:
m m
L I
(5.9)
Ví dụ 5.1: Hãy tính dòng điện quá độ khi đóng cuộn dây lõi sắt (hình 5.1) vào một điện áp một chiều U = 24V, biết điện trở cuộn dây R = 50, điện cảm phi tuyến L(i) được cho bởi đặc tính (i) ở hình 5.2.
Giải: Điện trở của cuộn dây R = 50
là khá nhỏ nên trường hợp này ta tuyến tính hóa số hạng Ri để được phương trình tuyến tính (5.6) đối với ẩn từ thông:
d
R u(t)
L dt
Điện cảm tuyến tính hóa được xác định theo công thức (5.9), với dòng điện Im
chính là dòng điện ở chế độ xác lập:
m
U 24
I 0, 48 A
R 50
Từ đặc tính (i) (hình 5.2) xác định được từ thông tương ứng: m 0,56 Wb
0,56
L 1,167 H
0, 48
Thay vào phương trình trên được:
d
50 24
1,167 dt
Hay:
42,845 d 24
dt
Với sơ kiện: (0)0 giải phương trình trên bằng phương pháp tích phân kinh điển hoặc toán tử Laplace được kết quả:
42,845t
(t) 0, 56 1 e Wb
Để xác định dòng điện quá độ i(t), từ kết quả ψ(t) ở trên, cho t những giá trị khác nhau tính được giá trị của , tra đặc tính (i) để xác định dòng điện i tương ứng, kết quả được thể hiện trong bảng 5.1, đường cong i(t) và (t) được vẽ trên hình 5.3.
0,6
0 0,8
0,1 ψ(Wb)
i(A) Hình 5.2. Đặc tính Wb - A của điện cảm
phi tuyến 0,2 0,3 0,4 0,4
0,2
0,5
1 2 3 4 5
(ψ∞,i∞)
300
0 500
Ψ(mWb)
t(ms) Hình 5.3. Đáp ứng quá độ Ψ(t) và i(t) 200
100
10 20 30 40 50 60 400
i(mA)
i(t) ψ(t)
Bảng 5.1. Kết quả xác định dòng điện quá độ ví dụ 5.1
t(s) 0,005 0,010 0,020 0,030 0,04 0,050 0,060 0,10 ψ(Wb) 0,109 0,200 0,323 0,405 0,46 0,485 0,517 0,55 i(A) 0,055 0,105 0,165 0,235 0,30 0,355 0,390 0,46
Ví dụ 5.2: Tính dòng điện quá độ khi đóng cuộn dây trên vào một điện áp xoay chiều hình sin: u(t) 110 2 sin 314t 155,56sin 314t V .
Giải: Phương pháp giải trong trường hợp này cũng giống với ví dụ 5.1, tuyến tính hóa đối với ẩn từ thông. Để xác định hệ số điện cảm, ta sử dụng phương pháp dò để tìm các giá trị xác lập của Im và m.
Giả thiết Im = 0,4A, tra đặc tính được Ψm = 0,52Wb, điện áp cực đại trên điện cảm, điện trở và trên toàn cuộn dây sẽ bằng:
ULm = ωΨm = 314.0,52 = 163,28V URm = RIm = 50.0,4 = 20V
Umtt ULm2URm2 163, 282202 164, 50VUmgt 155, 56V Với Im = 0,35A, tra đặc tính được Ψm = 0,49Wb, giá trị điện áp cực đại tương ứng trên điện cảm, điện trở và trên toàn cuộn dây khi đó:
ULm = ωΨm = 314.0,49 = 153,86V URm = RIm = 50.0,35 = 17,5V
Umtt ULm2URm2 153,86217, 52 154,85VUmgt 155, 56V Vậy hệ số điện cảm:
m
m
0, 49
L 1, 4H
I 0, 35
Phương trình tuyến tính hóa trong trường hợp này:
R d 50 d 155,56sin 314t
L dt 1, 4 dt
Hay: 35, 714 d 155, 56sin 314t
dt
Dùng phương pháp tích phân kinh điển để giải ta có:
(t) xlm(t) td(t)
Trong đó thành phần ψxlm được xác định bằng cách phức hóa phương trình quá độ ở trên:
35, 714j314xlm155,56 0
Suy ra: xlm 155,56 0
0, 492 83,51 Wb 35, 714 j314
Hay: xlm(t)0, 492sin 314t 83,51 Wb
Thành phần tự do có dạng hàm mũ tắt dần:
ψtd(t) = Ae-35,714t
Với sơ kiện ψ(0) = 0, xác định được hằng số tích phân:
A xlm(0) 0, 492.sin83,51 0, 489 Từ đó tổng hợp được từ thông quá độ:
(t)0, 492sin 314t 83,51 0, 489e35,714tWb
Ứng với giá trị của từ thông ở mỗi thời điểm, tra đường cong ψ(i) sẽ được giá trị dòng điện tương ứng ở thời điểm đó, tương tự như kết quả ở bảng 5.1, từ đó vẽ được đường cong dòng điện quá độ i(t).
Ví dụ 5.3: Tính dòng điện quá độ khi đóng mạch cuộn dây lõi thép vào một điện áp một chiều U = 50V, biết điện trở cuộn dây R = 1200, điện cảm phi tuyến cho bởi đặc tính (i) ở hình 5.2.
Giải: Có thể thấy điện trở có giá trị khá lớn nên thành phần dψ/dt được tuyến tính hóa, phương trình tuyến tính hóa nhận được:
di
Ri(t) L U
dt
Trong đó, hệ số điện cảm L được xác định theo công thức (5.9), với dòng điện Im chính là dòng ở chế độ xác lập:
m U 50
I 0, 042 A
R 1200
Từ đặc tính (i) xác định được từ thông tương ứng: m 0,10 Wb
0,10
L 2,381H
0, 042
Thay vào phương trình trên được:
di
1200i(t) 2, 381 50
dt
Từ đó xác định được dòng điện quá độ, với chú ý sơ kiện i(0) = 0:
504t
i(t)0, 042 1 e A.