Chương 2. MẠCH ĐIỆN PHI TUYẾN CÓ NGUỒN ĐIỀU HÒA
3.3. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN DUHAMEL
Bằng cách xếp chồng thành phần xác lập với thành phần tự do, phương pháp tích phân kinh điển có hiệu lực khi bài toán quá độ có kích thích hình sin hoặc một chiều.
Với kích thích có dạng bất kỳ thường dùng phương pháp tích phân Duhamel. Phương pháp này dựa trên việc xếp chồng đáp ứng đối với kích thích khai triển thành chuỗi các bước nhảy nguyên tố.
Xét một mạch điện tuyến tính có sơ kiện bằng 0 (i (0)L 0, u (0)C 0), chịu tác động của nguồn u(t) bất kỳ, cho dưới dạng hàm giải tích, tìm đáp ứng quá độ i(t) trên một bộ phận mạch.
Để giải mạch điện, trước hết phân tích nguồn kích thích u(t) thành tổng vô hạn những bước nhảy nguyên tố
u(hình 3.31), các nguyên tố đó cách nhau một khoảng thời gian bằng nhau (nghĩa là xấp xỉ đường cong u(t) đã cho thành một đường bậc thang).
Vậy quá trình đóng mạch với điện áp bất kỳ có thể coi là thực hiện trước hết với điện áp một chiều u(0) tại t = 0 và sau đó đóng liên tiếp các điện áp nguyên tố u, điện áp này có thể lấy (+) hoặc (−) tùy theo việc xét nhánh tăng dần hay giảm dần của đường cong điện áp đã cho. Mỗi thành phần điện áp đóng vào cho một thành phần quá độ tương ứng. Xếp chồng các thành phần đáp ứng quá độ này sẽ được kết quả cho bài toán quá độ với nguồn kích thích u(t) ban đầu.
+ Đáp ứng quá độ với kích thích một chiều u(0) tại t = 0 là thành phần dòng điện quá độ i0(t):
i (t)0 u(0).h (t)i (3.106)
Trong đó: h (t) là hàm quá độ dòng điện, bằng giá trị của dòng điện quá độ dưới kích i thích của điện áp một chiều U = 1V, có thể xác định bằng phương pháp tích phân kinh điển đã nêu trong mục 3.2. Ví dụ, với mạch R-L nối tiếp:
Rt L
i U 1 V
h (t) i(t) 1 1 e
R
(3.107) hay với mạch R-C nối tiếp ta có hàm quá độ điện áp:
1 t RC
u C U 1 V
h (t) u (t) 1 e
(3.108)
đó chính là điện áp quá độ trên tụ điện khi đóng vào nguồn áp một chiều U = 1V.
u
0 Δτ t
Hình 3.31. Phân tích nguồn áp bất kỳ thành tổng các bước nhảy nguyên tố
2Δτ 4Δτ u(0) Δu1
Δu2
Δτ Δτ
+ Tại thời điểm t khi đóng vào mạch một bước nhảy nguyên tố u có thành phần dòng điện quá độ:
i u .h (t i ) (3.109)
Trong biểu thức (3.109), hàm quá độ h (t)i được thay bằng h (ti ) vì điện áp u
được đóng vào mạch sau thời gian kể từ t = 0.
Điện áp nguyên tố u có thể được xác định gần đúng:
u tan . u '( ). (3.110) với α là hệ số góc của đường tiếp tuyến với đường cong u(t) tại t .
Thay biểu thức (3.110) vào (3.109), ta có đáp ứng quá độ tại thời điểm t i u '( ). .h (ti ) (3.111)
+ Các bước nhảy điện áp nguyên tố được đóng vào mạch một cách liên tục từ thời điểm t = 0 đến thời điểm t xác định, dòng điện quá độ trong mạch sẽ là xếp chồng tất cả các thành phần quá độ gây bởi các bước nhảy ấy
i(t)u(0).h (t)i u '( ). .h (ti ) (3.112)
Hình 3.31 cho thấy, nếu chia các khoảng thời gian càng nhỏ, đường bậc thang sẽ càng gần với đường cong u(t) đã cho. Nếu cho ∆τ→ 0 (kí hiệu là dτ) thì đường bậc thang sẽ tiến đến đường cong liên tục u(t). Tổng trong (3.112) chuyển thành tích phân:
t
i i
0
i(t)u(0).h (t)u '( )h (t )d (3.113)
Công thức (3.113) được gọi là công thức Duhamel. Như vậy, có thể khái quát các bước để tính dòng điện quá độ trong mạch bằng phương pháp tích phân Duhamel như sau:
Bước 1: Biểu diễn u(t) dưới dạng giải tích (nếu cần) Bước 2: Xác định hàm quá độ h (t)i hoặc h (t) u
Bước 3: Thay các đại lượng đã có:u(0), u '( ), h (t), h (t i i ) vào (3.113).
* Chú ý:
i) Nếu trong khoảng thời gian tính quá trình quá độ 0 t , ngoài bước nhảy vọt đầu tiên còn có các nhảy vọt khác, giả sử bước nhảy u(t )1 u2u1 tại t1
(hình 3.32), dòng điện quá độ phải tính đến các bước nhảy đó
u
0 t1 t
Hình 3.32. Bước nhảy vọt điện áp tại t1
Δu(t1) u1
u2
t1
i i 1 i 1
0
i(t)u(0).h (t)u '( )h (t )d u(t )h (tt ) (3.114)
ii) Công thức (3.113) là dạng thứ nhất của công thức tích phân Duhamel, ta có thể thay đổi biến số lấy tích phân để có các dạng khác của công thức tích phân Duhamel:
t
i i
0
i(t)u(0).h (t)u '(t )h ( )d (3.115) Hoặc:
t
i i
0
i(t)u(t).h (0)u( )h '(t )d (3.116) Hoặc:
t
i i
0
i(t)u(t).h (0)u(t )h '( )d (3.117)
Ví dụ 3.12: Tìm dòng điện quá độ trong mạch hình 3.33a khi đóng vào xung điện áp hình 3.33b.
Giải: Biểu thức giải tích của nguồn kích thích u(t) cho ở hình 3.33b:
U khi 0 t T
u(t) 0 khi t T
Hàm quá độ dòng điện trong trường hợp này:
Rt L
i U 1 V
h (t) i(t) 1 1 e
R
Khi0 t Tta có: u(t)U không đổi nên đạo hàm của nó triệt tiêu:
u '(t) 0 u '( ) 0. Dòng điện quá độ xác định theo công thức sẽ chỉ còn thành phần đầu tiên:
t R
Lt
i i
0
i(t) u(0).h (t) u '( )h (t )d U.1 1 e R
KhitTđiện áp kích thích có bước nhảyutại thời điểm t = T, dòng điện quá độ cần tính đến bước nhảy này:
a) u(t)
R L
i(t)
Hình 3.33. Mạch điện ví dụ 3.12 u
0 T t U
b)
T
i i i
0
R R
t t T
L L
R R R R
t T t t T
L L L L
i(t) u(0).h (t) u '( )h (t )d u(T)h (t T)
U 1
1 e 0 U . 1 e
R R
U U
e e e e 1
R R
Ví dụ 3.13: Tìm dòng điện quá độ trong nhánh điện cảm (hình 3.34a) trong khoảng thời gian 0 t 2,5 ms và t2, 5 ms, cho biết: R1 2 , R2 5 , L4mH và điện áp nguồn đặt vào cho ở hình 3.34b.
Giải:
1) Xác định biểu thức giải tích điện áp nguồn đóng vào mạch:
4 3
100 100 t 100 8.10 t V khi 0 t 2,5 ms
u(t) 1, 25.10
0 khi t 2,5 ms
2) Xác định hàm quá độ hi(t)
h (t)i i (t)L U 1V iLxlm(t) i Ltd(t)
Trong đó, dòng điện xác lập mới trong nhánh điện cảm:
Lxlm
1
i (t) U 0, 5 A
R
Từ sơ đồ thuần nhất đại số hóa (hình 3.35), viết phương trình đặc trưng đối với nhánh điện cảm:
1 2 3
1 2
R R 2.5
Z(p) pL 4.10 p 0
R R 2 5
Suy ra: p 357
Dòng điện tự do có dạng: iLtd(t)Ae357 t
iL
a) u(t)
R1
R2 L
u
2,5ms 0 t
-100V 100V
b) Hình 3.34. Mạch điện ví dụ 3.13
Hình 3.35. Sơ đồ thuần nhất đại số hóa của mạch điện hình 3.34a
R1
R2 pL
Từ sơ kiện của bài toán: i (0)L i (0 )L 0 ta xác định hằng số tích phân:
i (0)L iLxlm(0) iLtd(0)
0 0,5 A
Nên: A 0, 5
Vậy hàm quá độ dòng điện:
h (t)i i (t)L U 1V 0, 5 1 e 357 tA
3) Tính dòng điện quá độ theo yêu cầu của bài toán:
+ Khi 0 t 2, 5ms theo công thức Duhamel (3.113)
t
L i i
0
t
357 t 4 357( t )
0
4 357 t
i (t) u(0).h (t) u '( )h (t )d
100.0, 5 1 e 8.10 0, 5 1 e d
162 4.10 t 162e A
+ Khi t2, 5ms điện áp nguồn có bước nhảy u tại thời điểm t1 = 2,5ms
t1
L i i 1 i 1
0
i (t)u(0).h (t)u '( )h (t )d u(t )h (tt )
3
3
2,5.10
357 t 4 357(t )
L
0
357(t 2,5.10 ) 357 t
i (t) 100.0,5 1 e 8.10 0,5 1 e d
0 ( 100) .0,5 1 e
11e A
Đường cong dòng điện quá độ được biểu diễn trên hình 3.36.
CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP Câu hỏi:
Câu 1. Khái niệm quá trình quá độ trong mạch điện. Các định luật đóng mở tính sơ kiện.
Hình 3.36. Dòng điện quá độ ví dụ 3.13 i
2,5 t(ms)
0 1,25
Câu 2. Vì sao có thể phân tích quá trình quá độ trong mạch tuyến tính thành quá trình tự do xếp chồng với quá trình xác lập?
Câu 3. Trình bày phương pháp thành lập phương trình đặc trưng và phân tích quan hệ của số mũ đặc trưng với dáng điệu của quá trình tự do khi xét quá trình quá độ trong mạch điện tuyến tính.
Câu 4. Nêu dạng tổng quát nghiệm tự do và cho ví dụ xác định hằng số tích phân của nghiệm.
Câu 5. Nêu các bước tổng quát và cho ví dụ tính quá trình quá độ mạch điện tuyến tính bằng phương pháp tích phân kinh điển.
Câu 6. Hàm quá độ dòng điện (điện áp) là gì? Nêu cách xác định?
Câu 7. Trình bày phương pháp tích phân Duhamel trong tính toán quá trình quá độ của mạch. Phương pháp này thường được áp dụng khi nào?
Bài tập:
Bài 1. Tính dòng điện trong điện cảm iL(0) và đạo hàm cấp một iL’(0) tại thời điểm đóng mở trong các sơ đồ mạch hình 3.37.
Đáp số: a) iL(0) = 2A; iL’(0) = –1000 A/s. b) iL(0) = 2A; iL’(0) = –800 A/s.
Bài 2. Tính điện áp trên điện dung uC(0) và đạo hàm cấp một uC’(0) tại thời điểm đóng mở trong các sơ đồ hình 3.38.
Đáp số: a) uC(0) = 10V; uC’(0) = –106 V/s. b) uC(0) = 5V; uC’(0) = 2,5.105 V/s.
10V 10
10mH
10
a)
10V 1
10mH 4
b) Hình 3.37
10
1F
a) 10V
10
20
10
10V 1F
10
b) Hình 3.38
Bài 3. Mạch điện hình 3.39 có: E = 120V (hằng số), R1 = 10, R2 = 20, R3 = 30, L = 20mH, C = 200F. Hãy xác định dòng điện trong các nhánh ik(0) và đạo hàm cấp một của chúng ik’(0) tại thời điểm đóng mở, biết rằng trước khi đóng khoá, mạch đã ở trạng thái hoàn toàn xác lập.
Đáp số: i1(0) = 2A; i2(0) = 5A; i3(0) = –3A;
i1’(0) = 0 A/s; i2’(0) = –750 A/s; i3’(0) = 750 A/s.
Bài 4. Tìm các sơ kiện i(0), uL1(0) trong sơ đồ mạch hình 3.40, biết: E = 20V (nguồn hằng), L1 = 20mH, R = 10, L2 = 30mH, mạch ở trạng thái hoàn toàn xác lập trước khi mở khóa.
Đáp số: i(0) = 1,2A; uL1(0) = 24.10-3 δ(t) V.
Bài 5. Tìm các sơ kiện uC(0), i2(0) ở sơ đồ hình 3.41, biết: E = 500V (hằng số), R1
= 1k, C1 = C2 = 10F.
Đáp số: uC(0) = 250V; i2(0) = 2,5.10-3δ(t) A.
Bài 6. Tìm dòng điện quá độ trong sơ đồ mạch điện hình 3.40, biết trước khi mở khóa, mạch đã ở trạng thái hoàn toàn xác lập.
Đáp số: i(t) = 2 – 0,8e-200t A.
Bài 7. Mạch điện hình 3.42 có: R1 2 , R2 5 , L4mH, hãy tìm dòng điện quá độ trong nhánh điện cảm khi đóng vào nguồn điện áp một chiều U = 10V.
Đáp số: i(t) = 5 – 5e-357,143t A.
L2
R
E L1
Hình 3.40
C1
Hình 3.41 E
R1 i2(t) R2 ≈ 0
C2 L
Hình 3.39 R1
R2
C
R3
E
Bài 8. Tính dòng điện quá độ trong nhánh điện cảm của mạch điện hình 3.41, biết:
R1 = R2 = 100Ω, L = 1H, C = 100μF, nguồn áp một chiều U = 100V, trước khi mở khóa, mạch đã ở trạng thái hoàn toàn xác lập.
Đáp số: i (t) 1 0, 707eL 100tcos 100t 45 A.
Bài 9. Sơ đồ một lưới điện công nghiệp (tần số f = 50Hz) cho ở hình 3.42, biết nguồn điện áp hình sin có U = 220V, đường dây R1 = 10, tải R2 = 30, L2 = 0,1H. Tại t = 0, đóng tụ C3 = 200F, hãy tìm dòng quá độ trên đường dây i1(t).
Đáp số: Ảnh phức dòng xác lập mới: I1xlm 8, 608 49, 27 A Ảnh phức dòng xác lập cũ: I1xlc 4, 326 38,13 A
Số mũ đặc trưng: p1,2 400j200.
Bài 10. Tính dòng quá độ trong mạch điện hình 3.45a bằng phương pháp tích phân Duhamel khi đóng vào mạch một nguồn áp u(t) trong các trường hợp:
a) Khi u(t) = U0e-at
b) Khi u(t) là nguồn xung hình tam giác cho ở hình 3.45b.
Đáp số: a)
Rt
0 at L
i(t) U e e
R aL
.
C3 i1(t)
Hình 3.44 u(t)
R1
L2
R2
Hình 3.42 iL
U
R1
R2 L
Hình 3.43 U C
R1 L
R2
a) u(t)
R L u
0 T t
U0
b) Hình 3.45
b) Khi t < T:
Rt
0 0 L
2
U U L
i(t) t e 1 ;
RT R T
Khi tT : U0 RLt T U L20 RLt RLt T
i(t) e e e .
R R T