Bài giảng lý thuyết mạch (phần 2)

Mô tả học phần Học phần lý thuyết gồm có 3 chương, cụ thể như sau: Trong chương 1 trình bày quá trình quá độ trong mạch điện tuyến tính, cach xác định các điều kiện đầu, luật đóng mở, p

c Phần tử phi tuyến và mạch điện phi tuyến

d Đường dây dài đều tuyến tính

B Chương trình chi tiết học phần Lý thuyết mạch 2

1 Thông tin về Giảng viên

- Email, điện thoại cơ quan:

2 Thông tin chung về học phần

2.1 Tên học phần: Lý thuyết mạch 2

2.2 Mã số:

2.3 Khối lượng: 2TC (02 Lý thuyết)

2.4 Thời gian đối với các hoạt động dạy học:

nghiệm

Thực tập tại xưởng

hoặc cơ sở

Tự học, tự nghiên cứu

- Học phần song hành: Lý thuyết điềukhiển tự động, Điện tử công suất

2.7 Đối tượng tham dự: Sinh viên ngành Kỹ thuật điện, điện tử

2.8 Địa chỉ khoa/bộ môn phụ trách học phần: Bộ môn Điều khiển & Tự động hóa-Khoa Điện –

Điện tử Nhà B2

3 Mô tả học phần

Học phần lý thuyết gồm có 3 chương, cụ thể như sau:

Trong chương 1 trình bày quá trình quá độ trong mạch điện tuyến tính, cach xác định các điều kiện đầu, luật đóng mở, phân tích bài toán quá độ bằng hai phưng pháp tích phân kinh điển và toán tử Laplace

Chương 2 trình bày khái niệm về mạch điện phi tuyến và các phương pháp phân tích mạch điện phi tuyến ở chế độ xác lập hằng và chế độ xác lập chu kỳ

Chương 3 trình bày khái niệm về machj điện có thông số rải và lý thuyết đường dây dài Phâ tích cách tính toán tham số của đường dây dài

4 Mục tiêu của học phần

Học xong học phần này sinh viên có khả năng:

- Kiến thức:

4.1 Nhận biết, mô tả được mạch điện phi tuyến, quá độ, đường dây dài

4.2 Phân tích được các đặc tuyến, thông số của mạch điện quá độ, phi tuyến

4.3 Nhận biết được các bài toán sự cố mạch điện

- Kỹ năng:

4.4 Tính toán được các thông số trong mạch điện phi tuyến, quá độ, đường dây dài

4.5 Phân tích được các mạch điện sự cố như ngắn mạch, hở mạch, chạm đất

4.6 Làm việc độc lập và tổ chức làm việc nhóm

- Thái độ:

4.7 Nhận thức và thực hiện đúng các yêu cầu về học tập

4.8 Tích cực liên hệ giữa kiến thức đã học với thực tế để xử lý các tình huống trong thực tế

5 Nội dung chi tiết học phần

1.2 Các quy tắc tính sơ kiện

1.3 Giải bài toán quá độ bằng phương pháp tích phân kinh điển:

1.3.1 Sơ đồ đại số hóa và phương trình đặc trưng

1.3.2 Tìm các hằng số tích phân

1.4 Quá trình quá độ của mạch CL đơn giản

1.4.1 Quá trình quá độ trong mạch -C

1.4.2 Quá trình quá độ trong mạch R-L

1.4.3 Quá trình quá độ trong mạch -L-C

1.5 Giải bài toán quá độ bằng phương pháp toán tử Laplace

1.5.1 Phép biến đổi Laplace

1.5.2 Toán tử hoá sơ đồ

1.5.3 Giải tích mạch dùng toán tử Laplace

1.6 Bài tập

Chương 2 M CH Đ N PH T N

15 tiết trên lớp Lý thuyết: Bài tập: 6), 21 giờ TNC 2.1 Các phần tử phi tuyến, cách biểu diễn một phần tử phi tuyến:

2.1.1 Điện trở phi tuyến

2.1.2 Điện cảm phi tuyến

2.1.3 Điện dung phi tuyến

2.2 Phương pháp giải mạch điện phi tuyến ở chế độ xác lập hằng

2.2.1 Phương pháp đồ thị

2.3.2 Phương pháp tuyến tính hoá tức thời

2.3.3 Phương pháp cân bằng điều hoà

2.3.4.Tuyến tính hoá quanh điểm làm việc

2.4 Các hiện tượng cơ bản trong mạch phi tuyến

2.5 Bài tập

Chương 3 Đ NG tiết trên lớp Lý thuyết: 6 Bài tập: 3), 13,5 giờ TNC 3.1 Khái niệm về mạch thông số rải

3.2 Các thông số của đơn vị đường dây dài

3.3 Phương trình đường dây và nghiệm:

3.3.1 Thành lập phương trình đường dây

3.3.2 Nghiệm xác lập điều hoà

3.3.3 Đường dây hoà hợp tải

3.3.4 Tổng trở vào của đường dây

3.4 Đường dây dài không tổn hao

3.4.1 Các thông số truyền sóng

3.4.2 Phân bố dòng, áp trên đường dây

3.4.3 Tổng trở vào của đường dây không tổn hao

6 Học liệu (giáo trình, bài giảng, tài liệu tham khảo)

6.1 Học liệu bắt buộc

[1] Nguyễn Trung Thành, Đỗ Quang Huy – Bài giảng Lý thuyết mạch 2 - Khoa Điện-Điện

tử-Trường ĐHSPKTHY - 2015

6.2 Học liệu tham khảo

[2] Đặng Văn Đào, Kỹ thuật điện, NXB Khoa học kỹ thuật 2002

[3] Đỗ Huy Giác, Bài tập lý thuyết mạch, KHKT, 2004

[4] Phương Xuân Nhàn, Hồ Anh Túy - Lý thuyết mạch T3 -NXB Khoa học kỹ thuật 1 3

[5] Đỗ Huy Giác - Lý thuyết mạch T1 - NXB Khoa học kỹ thuật 2005

[6] Phương Xuân Nhàn, Hồ Anh Túy - Lý thuyết mạch T1,2 -NXB Khoa học kỹ thuật 2006

Thực tập tại xưởng hoặc

cơ sở

Tự học,

tự nghiên cứu

Lý thuyết Bài tập Thảo luận

Số tiết/giờ Yêu cầu sinh viên chuẩn bị Mục tiêu

Tự nghiên cứu TNC)

4,5 Làm bài tập

2 Chương 1 Q T NH Q Đ

T NG M CH Đ N T N

T NH

1.1 Khái niệm về quá trình quá độ

trong mạch điện tuyến tính

1.2 Các quy tắc tính sơ kiện

Lý thuyết 3 Đọc, NC tài liệu

bài giảng 1.1,1.2

4.1

4.2

Bài tập (BT)

0 Làm bài tập

3 1.3 Giải bài toán quá độ bằng

phương pháp tích phân kinh

điển:

1.3.1 Sơ đồ đại số hóa và phương

trình đặc trưng

Lý thuyết 2 Đọc, NC trước tài

liệu bài giảng 1.3

4.2; 4.6; 4.7; 4.8;

4 1.3.2 Tìm các hằng số tích phân Lý thuyết 2 Đọc, NC trước tài

liệu bài giảng 1.3

4.2; 4.4; 4.6; 4.7; 4.8;

Lý thuyết 2 Đọc, NC trước tài

liệu bài giảng 1.4

4.2; 4.6; 4.7;

4.8;

6 1.5 Giải bài toán quá độ bằng

phương pháp toán tử Laplace

1.5.1 Phép biến đổi Laplace

1.5.2 Toán tử hoá sơ đồ

liệu bài giảng 1.5

4.2; 4.6; 4.7; 4.8;

1.5,1.6

4.2; 4.6; 4.7;

biểu diễn một phần tử phi tuyến:

2.1.1 Điện trở phi tuyến

2.1.2 Điện cảm phi tuyến

2.1.3 Điện dung phi tuyến

4.8;

10 2.3 Phương pháp giải mạch điện

phi tuyến ở chế độ xác lập chu kỳ

4.8;

13 Chương 3 Đ NG

3.1 Khái niệm mạch thông số rải

3.2 Các thông số của đơn vị

đường dây dài

3.3 Phương trình đường dây và

4.8;

14 3.3.3 Đường dây hoà hợp tải

3.3.4 Tổng trở vào của đường dây LT

2 Đọc, NC trước tài

liệu bài giảng

3.3.3, 3.3.4

4.2; 4.4; 4.6; 4.7;

4.8;

8 Chính sách đối với học phần và các yêu cầu khác của giáo viên

- Có ý thức tự học, chuẩn bị tốt các câu hỏi, nhiệm vụ học tập được giao

- Có mặt đầy đủ trên lớp, cho phép vắng không quá 20% tổng số tiết lên lớp theo quy chế đào tạo hiện hành

- Mỗi sinh viên hoàn thành một quyển bài tập chương viết tay và nộp bài đầy đủ, đúng thời hạn, quy cách theo yêu cầu của GV

- Hoàn thành các bài thi giữa học phần, kết thúc học phần theo quy chế

- Các bài tập, câu hỏi trong tuần phải được chuẩn bị trước khi thảo luận hoặc kiểm tra

- đánh giá

- Hoàn thành tất cả các bài tập trong chương trình học phần Sinh viên phải thực hiện bài tập một cách nghiêm túc, không được gian lận dưới mọi hình thức

9 Phương pháp và hình thức kiểm tra đánh giá kết uả học tập

9.1 Mục đích, nội dung, tiêu chí và hình thức đánh giá các điểm thành phần

+ Thể hiện được tinh thần hợp tác trong các hoạt động học tập theo nhóm

- Hình thức đánh giá: Chấm vở bài tập chương Mỗi chương chấm theo 2 mức: “Đạt” hoặc “Không đạt” Nếu sinh viên không làm đầy đủ số bài hoặc làm không đạt yêu cầu thì chấm điểm “Không đạt”, nếu làm đủ số bài và đạt yêu cầu thì chấm “Đạt” Điểm bài tập chương được tính như sau:

- Thời gian: Nộp cho giảng viên chậm nhất trước khi thi kết thúc một tuần, để đánh giá

xét điều kiện thi KTHP

9.1.2 Thi giữa học phần

- Mục đích: Kiểm tra đánh giá kiến thức, kỹ năng phân tích mạch điện thuộc chương 1

- Nội dung: Kiểm tra các kiến thức tính toán mạch điện quá độ gồm sơ kiện, cách thành lập phương trình đặc trưng và tìm hằng số tích phân

- Hình thức: Thi tự luận, thời gian 45 phút

9.1.3 Thi kết thúc học phần

- Mục đích: Kiểm tra đánh giá kiến thức, kỹ năng nhận tính toán phân tích mạch quá

độ, phi tuyến, đường dây dài

- Nội dung: Kiểm tra các kiến thức phân tích mạch điện quá đọ, phi tuyến, đường dây dài

- Hình thức: Thi tự luận, thời gian 0 phút

9.2 Lịch thi, kiểm tra

- Kiểm tra giữa học phần: Hết tín chỉ thứ nhất

- Thi kết thúc học phần:Theo lịch thi của phòng Đào tạo

Trọng số các điểm thành phần như sau:

Các hình thức

đánh giá

Đánh giá quá trình

Thi kết thúc học phần Bài tập chương/

CHƯƠNG 1 QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ TRONG MẠCH ĐIỆN TUYẾN TÍNH

1.1 Khái niệm về uá trình uá độ trong mạch điện tuyến tính

Phụ thuộc vào quá trình năng lượng trong mạch, người ta phân ra các quá trình làm việc của mạch điện gồm có quá trình xác lập và quá trình quá độ

- Quá trình xác lập: Là quá trình trong đó dưới tác động của các nguồn, dòng

điện và điện áp trên các nhánh của mạch đạt trạng thái ổn định Ở chế độ xác lập dòng điện, điện áp trên các nhánh biến thiên theo một quy luật giống với quy luật biến thiên của nguồn điện ao động trong chế độ này được gọi là dao động xác lập hay dao động cưỡng bức

- Quá trình quá độ: Là quá trình chuyển tiếp từ chế độ xác lập này sang chế độ

xác lập khác do thay đổi thông số và cấu trúc của mạch Thời gian quá độ trên thực tế thường rất ngắn Ở chế độ quá độ, dòng điện và điện áp biến thiên theo các quy luật khác với quy luật biến thiên ở chế độ xác lập ao động trong chế độ này gồm có hai thành phần là dao động tự do và dao động xác lập

),, ,,(

2 1

2 1 1 1

t x x x f dt dx

t x x x f dt dx

n n

t u dt i C t u t

i dt u L t

t t C C

t t L

Vì vậy quá trình mạch ứng với một bài toán có điều kiện đầu sơ kiện) Ở mỗi thời điểm t0, khi thay đổi kết cấu và thông số của mạch, ta lại có một hệ phương trình mới, ứng với một quá trình mới bắt đầu từ t0

Ta sẽ gọi những thay đổi về kết cấu và thông số của mạch là những động tác

“đóng”, “mở” Trên sơ đồ mạch sự “đóng”, “mở” mạch được ký hiệu trên hình 1.1, và

ta luôn giả thiết rằng sự “đóng”, “mở” mạch xảy ra một cách tức thời và tại thời điểm t=0

Ví dụ: Ở hình 1.2a công tắc K đóng mạch để cho nguồn e tác động Ở hình 1.2b các công tắc K1, K2 đóng vào, mở ra để đưa thêm vào hoặc bớt đi trong sơ đồ mạch những toán tử Z3, Z4

Hình 1.1

Vậy mỗi động tác đóng, mở kết thúc một quá trình cũ ứng với một hệ phương trình cũ nào đó và khởi đầu một quá trình quá độ hiện hành ứng với một hệ phương trình mới Vì vậy khi có thể, ta thường chọn thời điểm đóng mở làm gốc tính thời gian cho bài toán hiện hành t0 = 0

Coi t = -0 là thời điểm kết thúc quá trình cũ và t = +0 là thời điểm bắt đầu quá trình mới quá trình đóng mở xảy ra trong thời gian vô cùng ngắn)

1.1.2 Sự tồn tại quá trình quá độ

Trạng thái xác lập nếu có) thường không thành lập ngay sau khi đóng, mở mạch được mà phải tiến đến một quá trình quá độ Thời gian tồn tại chế độ quá độ của mạch điện được gọi là thời gian quá độ của mạch, còn quá trình chuyển từ chế độ xác lập này sang chế độ xác lập khác của mạch gọi là quá trình quá độ của mạch điện Về mặt lý thuyết thời gian quá độ của mạch điện lớn vô cùng Trong thực tế, người ta quy định cho thời gian quá độ là khoảng thời gian qua đó biên độ của dao động tự do suy giảm chỉ còn 1/10 giá trị cực đại có thể có lúc đầu Với các mạch điện thực tế, thời gian quá độ thường vào khoảng từ vài ns đến vài s Tuy nhiên, trong chế độ quá độ, dòng điện, điện áp có thể có giá trị lớn hơn nhiều lần giá trị xác lập của nó Cũng cần nhấn mạnh rằng việc phân chia dao động trong mạch thành các thành phần dao động cưỡng bức và dao động tự do chỉ mang tính chất toán học, thực tế không thể tách riêng thành phần dao động cưỡng bức và thành phần dao động tự do của mạch

Đặc điểm quan trọng nhất của dao động tự do là nó được xác định chủ yếu bởi các thông số của mạch Nguồn tác động ở đây chỉ có tác dụng kích thích mạch, tạo điều kiện cho dao động tự do hình thành nên chỉ ảnh hưởng đến các giá trị ban đầu của nó biên độ cực đại, pha đầu, …)

Về mặt vật lý, nguồn gốc của dao động tự do trong mạch là do sự trao đổi giữa hai dạng năng lượng điện và từ tích luỹ trong các thông số điện dung và điện cảm của mạch Năng lượng tích luỹ ban đầu là do nguồn tác động cung cấp và trong quá trình trao đổi, nó bị thông số điện trở làm tiêu hao nên dao động suy giảm dần Vì thế nên tốc độ suy giảm của dao động tự do phụ thuộc chủ yếu vào thông số điện trở của mạch Ứng với mỗi chế độ xác lập, trong mạch có một trạng thái năng lượng xác định,

và quá trình phân bố lại năng lượng không thể xảy ra một cách tức thời

1.1.3 Nội dung và tính chất bài toán quá trình quá độ

a./ Về nội dung việc xét quá trình quá độ, có thể phân thành bài toán phân tích và tổng hợp

Bài toán phân tích mạch thường gồm việc lập hệ phương trình mô tả quá trình

xét của mạch hay sơ đồ mạch sau đó hoặc tìm lời giải quá trình quá độ x t) cụ thể, hoặc phân tích những tính chất, đặc điểm của nó

Thực chất nội dung bài toán giải quá trình quá độ là tìm hay xây dựng những phương pháp giải phương trình vi tích phân

Nội dung bài toán xét tính chất nghiệm là tìm cách làm rõ nghiệm quá độ của phương trình sẽ dao động hay không, nghiệm đó sẽ tăng giảm dần vô hạn hay sẽ tiến đến xác lập, trong đó tiến đến xác lập nhanh hay chậm, tức quán tính bé hay lớn

Những tính chất ấy chủ yếu quyết định bởi bộ các phép vi tích phân và những

hệ số của hệ phương trình Vì vậy một con đường để xét tính chất nghiệm là thông qua việc phân tích những phép vi tích phân và hệ số phương trình

Ngược lại, bài toán tổng hợp hay hiệu chỉnh mạch yêu cầu xác định hay hiệu

chỉnh sơ đồ cùng các thông số của nó, sao cho tạo ra được những tính chất cần có của quá trình, hoặc tạo ra một quan hệ cần có giữa đáp ứng và kích thích

Vậy thực chất việc phân tích và tổng hợp mạch là sự vận dụng lý thuyết phương trình vi tích phân để xét các mặt về quá trình quá độ của hệ thống Nhờ đó có thể nghiên cứu điều khiển, hiệu chỉnh, chế tạo các hệ thống để quá trình có những tính chất cần thiết

b./ Về tính chất các bài toán, ta phân loại chúng thành bài toán tuyến tính và bài toán phi tuyến

Những hệ tuyến tính đặc trưng bởi sự tồn tại những quan hệ tuyến tính giữa các biến trạng thái quá trình mô tả bởi những hệ vi tích phân tuyến tính o đó hệ có tinh chất là có thể xếp chồng đáp ứng của những kích thích riêng rẽ

Nếu có những cách khai triển kích thích thành những thành phần và mỗi thành phần gây một đáp ứng quá độ xk t) thì quá trình quá độ sẽ là sự xếp chồng: x t) =

xk(t)

Khi các quan hệ tuyến tính có hệ số hằng, có thể tìm những cách làm dóng đôi những phép toán tử lên biến với những phép tính đại số lên biến hoặc lên những hàm ảnh của chúng Kết quả ta làm dóng đôi bài toán vi tích phân của quá trình quá độ với một bài toán đại số tuyến tính của các biến hoặc các ảnh Ta gọi chung đó là những cách đại số hoá bài toán quá trình quá độ

1.2 Các uy tắc tính sơ kiện

Giá trị của điện áp trên điện dung và dòng điện qua điện cảm tại thời điểm đóng, mở mạch gọi là điều kiện ban đầu của mạch Nếu tại thời điểm đóng, mở mạch

t = 0), điện áp trên các điện dung và dòng điện qua các điện cảm của mạch bằng không, ta nói mạch có điều kiện ban đầu bằng không, còn nếu giá trị của điện áp trên các điện dung và dòng điện qua các điện cảm khác không, ta nói mạch có điều kiện ban đầu khác không điều kiện ban đầu của mạch được xác định theo các định luật đóng mở

Khi điện áp trên các điện dung uC) và dòng điện qua các điện cảm iL) của mạch liên tục tại thời điểm đóng mở thì năng lượng điện trường WE) và năng lượng từ trường WM) gắn với uC và iL cũng liên tục Ta gọi bài toán đảm bảo sự liên tục của

năng lượng là bài toán chỉnh Để xác định các điều kiện đầu trong bài toán chỉnh ta

thường dựa vào các định luật đóng mở sau:

Luật đóng mở 1: “Dòng điện trong điện cảm biến thiên liên tục tại thời điểm đóng mở”

Ví dụ 1.2: Cho mạch điện như hình vẽ 1.3b Trong đó E là nguồn sức điện động

một chiều, dòng điện qua điện cảm ở thời đầu ngay sau khi đóng khoá K ngắn mạch) vẫn giữ nguyên giá trị xác lập trước khi đóng khoá K:

iL(+0) = iL(-0) = E/(R1 + R2)

Ví dụ 1.3: Cho mạch điện như hình vẽ 1.4a Đóng một tụ điện vốn chưa được

nạp điện uC(-0) = 0 vào một nguồn điện áp thì điện áp trên tụ điện ở thời điểm đầu cũng bằng không: uC(+0) = uC(-0) = 0

E

K

Hình 1.4a

R Hình

2.2

a

uC Hìn

h 2

2a

E

Hình 1.4b

R2 Hì

nh 2.2

a

R1 Hì

nh 2

2a

K Hìn

h 2

uC Hìn

h 2

a

i

L Hìn

h 2.2

a

E

Hình 1.3b

R2 Hì

nh 2.2

a L Hình2.2

a

i

L Hìn

h 2.2

a

R1 Hì

nh 2

2a

KHìn

h 2.2

a

Ví dụ 1.4: Nếu ngắn mạch tụ điện trong mạch hình 1.4b trong đó E là nguồn

sức điện động không đổi và chế độ trước khi đóng khoá K là xác lập thì điện áp trên tụ

ở thời điểm đầu vẫn giữ giá trị xác lập cũ: uC(+0) = uC(-0) = E

Nhưng có những trường hợp do kết cấu của mạch và tác động đóng mở, dòng điện qua điện cảm và điện áp trên điện dung bắt buộc phải biến thiên gián đoạn và do

đó năng lượng cũng bắt buộc phải biến thiên gián đoạn tại thời điểm đóng mở Ta gọi bài toán không đảm bảo sự liên tục của năng lượng là bài toán không chỉnh

Ví dụ xét mạch ở hình 1.5a và 1.5b

Trong mạch hình 1.5a tại t = -0 khi khoá chưa mở ta có i1L(-0) ≠ 0 và i2L(-0) =

0 Khi khoá mở ra tại t = 0, ta có mạch gồm bốn phần tử mắc nối tiếp nên tại t = +0 bắt buộc phải có: i1L(+0) = i2L(+0) Trong khi đó i1L(-0) ≠ i2L(-0) Như vậy bắt buộc các dòng qua điện cảm L1 và L2 phải gián đoạn tại t = 0

Trong mạch hình 1.5b tại t = -0 khi khoá chưa đóng ta có uC1(-0) ≠ 0 và uC2(-0)

= 0 Khi khoá đóng vào tại t = 0 tạo thành một vòng chỉ gồm các điện dung C1 và C2 Theo định luật Kirchhof 2 cho vòng tại t = +0 bắt buộc phải có: uC1(+0) = uC2(+0) Trong khi đó: uC1(-0) ≠ uC2(-0)

Như vậy các điện áp trên tụ điện C1 và C2 bắt buộc phải gián đoạn tại t = 0

Để xác định các điều kiện đầu trong bài toán không chỉnh ta phải dùng các luật đóng mở sau đây:

Luật đóng mở 3: “ Tổng từ thông móc vòng trong một vòng kín phải liên tục tại thời điểm đóng mở”

nh 2

2a

R1 Hì

nh 2

2a

R2 Hì

nh 2

2a

L1 Hì

nh 2

2a

i2 Hì

nh 2

2a

i1 Hì

nh 2

2a K Hì

nh 2

2.2

a

uC Hìn

h 2

2a

C1 Hì

nh 2.2

a

C2 Hì

nh 2.2

a

Mục đích cuối cùng việc tính điều kiện đầu là cần tìm được giá trị các biến và các đạo hàm đến cấp cần thiết ở t = +0 Trình tự tính như sau:

1.Xác định giá trị các đại lượng cần thiết ở t = -0 thuộc quá trình cũ

2.Xác định phép đóng mở là chỉnh hay không ựa vào các luật đóng mở tìm các điều kiện đầu ở t = +0: iL(+0), uC(+0)

3.Lắp các điều kiện đầu đó vào hệ phương trình hiện hành, cho t = +0, tìm được một số điều kiện đầu khác cũng như các đạo hàm ở t = +0: i’L(+0), u’C(+0)

4.Nếu tiếp tục đạo hàm hệ phương trình trạng thái hiện hành thêm một cấp, sau đó thay vào giá trị ở t = +0 của các điều kiện đầu tìm được trong hai bước trên, sẽ tính được các điều kiện đầu tương ứng thuộc cấp đạo hàm cao hơn, v.v… Cứ như vậy sẽ được tất cả các điều kiện đầu cần có

Ví dụ 1.6: Trong mạch hình 2.5a, biết E = 2V, 1 = 1, R2 = 2, L1=2mH,

L2=1mH Tính các điều kiện đầu i1(+0), i2(+0)?

Giải: Trước thời điểm mở khoá: i1(-0) = E/R1 = 2V/1 = 2A

Tại thời điểm ngay sau khi mở khoá: i1(+0) = i2(+0)

Đây là bài toán không chỉnh nên theo định luật đóng mở 3:

L1i1(+0) + L2i2(+0) = L1i1(-0)

Vậy: i1(+0) = i2(+0) = L1i1(-0)/(L1+L2) = 2mH.2A/3mH = 4/3 (A)

Ví dụ 1.7: Trong mạch hình 1.5b, biết E = 2V, = 2, C1 = C2 = 1F Tính các điều kiện đầu uC1(+0), uC2(+0)?

Giải: Trước thời điểm đóng khoá: uC1(-0) = E = 2V

Tại thời điểm ngay sau khi đóng khoá: uC1(+0) = uC2(+0)

Đây là bài toán không chỉnh nên theo định luật đóng mở 4:

C1uC1(+0) + C2uC2(+0) = C1uC1(-0)

Vậy: uC1(+0) = uC2(+0) = C1uC1(-0)/(C1+C2) = 1F.2V/2F = 1V

Ví dụ 1.8: Trong mạch hình 1.3a hãy tính giá trị đầu của điện áp trên điện cảm

uL(+0) và giá trị đầu của đạo hàm cấp 1 của dòng điện i’(+0)

Giải: Ta đã biết i +0) = 0 Theo định luật Kirhof 2 ta có phương trình mạch:

uR(+0) + uL(+0) = E

mà uR(+0) = R.i(+0) = 0 nên uL(+0) = E

Do uL = L.i’ nên i’(+0) = uL(+0)/L = E/L

Ví dụ 1.9: Trong mạch hình 1.4a, hãy tính giá trị đầu của dòng điện i +0) và giá trị đầu

của đạo hàm cấp 1 của điện áp trên điện dung u’C(+0)

Giải: Ta đã biết uC +0) = 0 Theo định luật Kirhof 2 ta có phương trình mạch:

uR(+0) + uC(+0) = E Vậy: uR(+0) = E

Mà uR(+0) = R.i(+0) nên i(+0) = E/R

Do: i = C.u’C nên u’C(+0) = i(+0)/C = E/RC

Ví dụ 1.10: Cho mạch điện hình 1.6 Biết: E = 1V không

đổi), 1 = R2 = 1, L = 1mH, C = 1F Tính các giá trị đầu

của các dòng i1(+0), i2(+0), i3 +0) và giá trị đầu các đạo hàm

của chúng i’1(+0), i’2(+0), i’3 +0) Chế độ trước khi đóng

khoá K là xác lập và tụ điện C ban đầu chưa được nạp điện

Giải:

- Đầu tiên ta xác định các điều kiện đầu i2(+0 và uC(+0):

Trong chế độ xác lập trước khi đóng khoá K:

i1(-0) = i2(-0) = E/(R1+R2) = 0,5A

Theo luật đóng mở 1: i2(+0) = i2(-0) = 0,5A

Vì tụ điện ban đầu chưa được nạp điện nên theo luật đóng mở 2: uC(+0) = uC(-0) = 0

- Hệ phương trình mạch viết theo các định luật Kirhof:

nh 2

2a

R2 Hì

nh 2

2a

i1 Hìn

h 2

nh 2

2a

C Hìn

h 2.2

a

i2 Hìn

h 2

2a

i3 Hìn

h 2.2

a

II Hì

nh 2

2a

I Hình

2.2

a

i1(+0) – 0,5 – i3(+0) = 0

i1(+0) + 0,5 + 10-3i’2(+0) = 1

i1(+0) + 0 = 1

Ta được: i1(+0) = 1, i3(+0) = 0,5A, i’2(+0) = -500A/s

- Đạo hàm hệ phương trình 2.1) và cho t = +0 ta được:

và luật Kirchhof 2 tính dòng điện

trong điện cảm cùng đạo hàm

cấp 1 tại thời điểm đóng mở

iL(+0), i’L +0) trong các mạch

điện hình 1.7 Biết các nguồn

điện là một chiều và chế độ trước khi đóng mở đã xác lập

Đáp số: a) i L (+0) = 0,5A, i ’ L (+0) = 500A/s; b) i L (+0)= 2A , i ’ L (+0)= -1000A/s

1.2 Vận dụng các luật

đóng mở và các định luật

Kirhof 1, 2 tính điện áp

trên tụ điện cùng đạo hàm

cấp 1 của nó tại thời điểm

đóng mở uC(+0) và u’C(+0)

trong các mạch điện hình

1.8 Biết các nguồn điện là

một chiều và chế độ trước khi đóng mở đã xác lập

Đáp số: a) u C (+0) = 10V, u ’ C (+0) = -10 6 V/s; b) u C (+0) = 5v, u ’ C (+0) = 2,5.10 5 V/s

1.3 Tìm điều kiện đầu của các dòng điện và đạo hàm cấp 1 của chúng trong mạch điện

hình 1 Biết 1 = R3 = 50, R2 = 10, L = 1H, nguồn điện 1 chiều E = 120V và chế

độ trước khi đóng mở đã xác lập

10V

(a)

10Hình 2.2a

10mH Hình 2.2a

10Hình 2.2a

10V

(b)

10mH Hình 2.2a

10Hình 2.2a

10Hình 2.2a Hình 1.7

10V

(b)

10Hình 2.2a

1FHìn

h 2.2a

20Hình 2.2a 10V

(a)

10Hình 2.2a

1FHìn

h 2.2a

10Hình

Hình 2.2a Hình 1.8

Đáp số: i 1 (+0) = 2,2A; i 2 (+0) = 2A; i 3 (+0) = 0,2A;

i ’ 1 (+0) = -5A/s; i ’ 2 (+0) = -10A/s; i ’ 3 (+0) = 5A/s

1.4 Cũng hỏi như bài tập 1.3 đối với mạch điện hình 1.10

Biết 1 = R3 = 50, R2 = 10, L = 1H, C = 100F, nguồn

điện 1 chiều E = 120V và chế độ trước khi đóng mở đã xác

lập

Đáp số: i 1 (+0) = 2,2A; i 2 (+0) = 2A; i 3 (+0) = 0,2A;

i ’ 1 (+0) = -25A/s; i ’ 2 (+0) = -10A/s; i ’ 3 (+0) = -15A/s

1.5 Xét mạch nối tiếp hai cuộn dây như hình 2.11

nh 2

2a

R2 Hì

nh 2

2a

i1 Hìn

h 2

nh 2

2a

i2 Hìn

h 2

2a

i3 Hìn

h 2.2

a

R3 Hì

nh 2.2a

L Hì

nh 2

2a

R2 Hì

nh 2

2a

i1 Hìn

h 2

nh 2

2a

i2 Hìn

h 2

2a

i3 Hìn

h 2.2

a

R3 Hì

nh 2.2a

CHình2.2

a

E

Hình 1.11

R1 Hì

nh 2

2a

L1 Hì

nh 2

2a

KHì

nh 2

2a

L2 Hì

nh 2

2a

R2 Hì

nh 2.2a R3

H

nh 2

2a

i Hì

nh 2

2a

E

Hình 1.12

R1 Hì

nh 2

2a

L1 Hì

nh 2

2a

R3 Hì

nh 2.2a R2

H

nh 2

2a

i Hì

nh 2

2a

L2 Hì

nh 2

2a

* Hìn

h 2.2

a

* Hìn

h 2.2

a

1.3 Giải bài toán uá độ bằng phương pháp tích phân kinh điển:

Nội dung phương pháp

Phương pháp này áp dụng cho các mạch có thể dễ dàng tìm nghiệm xác lập

xxl(t) hay x(t)

Nội dung cơ bản của phương pháp này là tìm lời giải tổng quát về quá trình quá

độ x t) dưới dạng xếp chồng quá trình xác lập xxl(t) là nghiệm riêng của phương trình

có kích thích, với nghiệm tổng quát hệ phương trình thuần nhất, mà sẽ gọi là quá trình

tự do không kích thích) xtd(t): x(t) = xxl(t) + xtd(t) (1.11)

Nghiệm xxl t) có thể tìm được với một số dạng kích thích f t) Ở đây chỉ tập trung vào việc tìm nghiệm tự do tổng quát thoã mãn hệ phương trình thuần nhất tương ứng: (xtd, x’td,…,t) = 0

Có thể đặt nghiệm phương trình thuần nhất dưới dạng: xtd(t) = A.ept (1.12)

Vì đạo hàm, tích phân theo t của hàm mũ vẫn là hàm mũ:

p

t x e p

A dt x

t x p e A p x dt d

td pt td

td pt

td

)(

)(

k

e A t

x ( ) 

Nghiệm tổng quát sẽ có dạng: p t

k xl

k

e A t

x t

x( )  ( )  (1.14) Với mỗi hệ (xtd, x’td,…,t) = 0 có riêng một phương trình  p) = 0 với một bộ

số mũ p1, p2,…,pn riêng, chúng hoàn toàn xác định dạng nghiệm tự do xtd cho nên ta gọi phương trình  p) = 0 là phương trình đặc trưng và p1, p2,…,pn là những số mũ đặc trưng

Điểm mấu chốt của phương pháp tích phân kinh điển là việc lập và giải phương trình đặc trưng (p) = 0

1.3.1 Sơ đồ đại số hóa và phương trình đặc trưng

Thay vào hệ phương trình thuần nhất các phép đạo hàm và tích phân bằng phép nhân đại số các biến thứ tự với p và 1/p sau đó cho định thức các hệ số triệt tiêu

Trong lý thuyết mạch ta thường dùng các sơ đồ mạch Để tiện cho việc lập phương trình đặc trưng, trên các nhánh sơ đồ thay cho các toán tử đạo hàm và tích phân ta ghi trực tiếp các toán tử p hay 1/p và cho triệt tiêu các nguồn kích thích Ta được một sơ đồ đại số hoá và không nguồn, rất tiện viết hệ phương trình thuần nhất đại

số hoá và từ đó được phương trình đặc trưng

dt

dy k x dt

dx

td

td  

Ví dụ 1.12: Cho nhánh r, L, C nối tiếp

Ta có phương trình đại số hoá: utd = (r+pL+1/pC).itd = Z(p).itd (1.15)

Ứng với phương trình vi phân:    i dt

C dt

di L ri

Ta thấy các toán tử k p), Z p) có dạng giống hệt các hàm truyền đạt phức k j), Z(j) dùng trong phương pháp số phức để xét quá trình điều hoà Có thể vận dụng một

số phương pháp xét sơ đồ mạch trước đây đã học vào việc giải quá trình tự do

Có thể lập hệ phương trình đặc trưng bằng cách tính toán tử trở vào Zkk p) của mạch Khi đó nếu nhân dòng tự do của một nhánh bất kỳ với toán tử trở tương ứng, do không nguồn nên: Zkk(p).iktd = 0 Vì iktd không triệt tiêu nên Zkk(p) = 0

Ta có một quy tắc sau:

Lấy một nhánh bất kỳ, viết biểu thức tổng trở vào Zkk p) và cho nó triệt tiêu ta được phương trình đặc trưng của mạch

1.3.2 Tìm các hằng số tích phân

1/ Nội dung và trình tự gồm các bước:

a./ Tìm quá trình xác lập mới xxl t) cùng các đạo hàm của nó

b./ Lập và giải phương trình đặc trưng Qua bước này ta tìm được các số mũ đặc trưng, từ đó tìm được dạng nghiệm tự do tổng quát xtd t) và nghiệm tổng quát x t)

u Hình 1.14

c./ Tìm các điều kiện đầu ở t = +0 theo quá trình cũ t = -0 và hệ phương trình hiện hành

d./ Nếu muốn tìm lời giải cụ thể về quá trình ở một bộ phận nào đó cần xác định được n hằng số tích phân A1, …,An theo n điều kiện đầu: x +0), x’ +0),…,x(n-1)

(+0) bằng cách giải hệ n phương trình điều kiện đầu:

xl n

td n

xl n

k xl

td xl

A p x

x x

x

A x

x x

x

) 1 ( )

1 ( )

1 ( )

1 ( )

1

(

) 0 ( )

0 ( )

0 ( )

0 (

) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( )

0

(

(1.17)

2/ Số mũ đặc trưng và dáng điệu nghiệm tự do

Ta có xtd = A.eptdo đó giá trị của p quyết định dáng điệu của quá trình tự do và của quá trình quá độ nói chung Phần thực của chúng âm hay dương, lớn hay bé sẽ quyết định dáng điệu quá trình tự do giảm hay tăng dần ở t, với tốc độ nhanh hay chậm, do đó sẽ quyết định quá trình sẽ tiến đến hay không tiến đến nghiệm xác lập và tiến đến nhanh hay chậm Phần ảo của số mũ đặc trưng quyết định quá trình tự do là dao động hay khồn dao động

Các phần thực và phần ảo ấy lại quyết định bởi các hệ số phương trình đặc trưng và do đó bởi các hệ số phương trình vi tích phân thuần nhất Vì vậy khi thay đổi hay điều chỉnh các hệ số phương trình thuần nhất ta sẽ khống chế được dáng điệu quá trình tự do tạo nên những tính năng cần thiết của quá trình tự do và của quá trình quá

độ

Những dạng nghiệm tự do ứng với những dạng số mũ

đặc trưng điển hình:

a./ Trường hợp p k thực: Mỗi số mũ pk thực ứng với

một thành phần nghiệm tự do dạng hàm mũ đơn điệu p t

k

k

e

A Trong đó nếu pk < 0, thành phần đó sẽ giảm đơn điệu dần

tiến đến 0 và p k càng lớn nghiệm tự do càng giảm nhanh

Nếu pk > 0, thành phần nghiệm tăng đơn điệu dần đến vô

hạn, trong đó pk càng lớn xtd tăng càng nhanh Trong trường

hợp này nếu Ak ≠ 0, quá trình quá độ sẽ không tiến đến quá

trình xác lập được.Hình 1.14 minh hoạ các đường cong tương ứng với các trường hợp của pk

b./ Trường hợp p k là số phức: p k = a k + j k

Mỗi số mũ phức sẽ ứng với một thành phần dao động có biên độ tăng dần khi

ak>0 hay giảm dần nếu ak<0

t j t a k td

k

k e e A

Nếu có một nghiệm phức pk thì cũng có một nghiệm phức liên hiệp *

k

p khiến tổng của cặp nghiệm tự do tương ứng sẽ có dạng dao động với biên độ biến thiên:

 .  2 cos( ) cos( ) Re

2

*

k k t

a k

k t

a k t

p k t

p k t

c./ Trường hợp nghiệm p k bội:

Nếu nghiệm pk bội r, thành phần nghiệm tự do có dạng:

p t

r

i

i r ki td

k

e i r

t A

Ví dụ 1.13 : Lập phương trình đặc trưng của mạch điện cho ở hình 1.16

có thể viết hệ phương trình theo phương pháp dòng điện nhánh hoặc dòng điện vòng)

Giải: Hệ phương trình mạch đại số hoá:

0 )

(

0

3 1

1

2 2

1 1

3 2 1

td td

td td

td td td

i pC i

r

i pL r i r

i i i

0 r

r

1 - 1 - 1 ) ( 1

r2 e(t)

r1

L C

i1 i2

Từ phương trình bậc 2 trên có ba trường hợp nghiệm có thể xảy ra: 2 nghiệm thực, 2 nghiệm phức và một nghiệm bội 2

Ví dụ 1.14: Giải bài toán ở ví dụ 1.13 bằng cách lập hàm tổng trở vào Zkk(p) các nhánh

Giải:

Đối với nhánh 1: Z11(p).i1td = 0

0 )

(

0

1 ) (

)

1 (

0 1

1 ) (

)

(

2 1 2

1 1

2

2 2

1

2

2

1 11

pC pL r pC pL r r pC

pL r

pC pL r r p

Z

Hoặc đối với nhánh 2: Z22(p).i2td = 0

0 )

(

0

1 )

1 )(

( 0 1

1 )

(

2 1 2

1 1

2

1 1

2

1

1

2 22

pC

r pC r pL r pC

r pC

r pL r p

Z

Hoặc đối với nhánh 3: Z33(p)i3td = 0

0 )

(

0 ) (

) (

0 ) (

1 ) (

2 1 2

1 1

2

2 1 2

1 2

1

2 1 33

pL r pCr pL

r r pL

r r

pL r r pC p

+ 2p + 2 = 0 Phương trình bậc 2 trên có hai nghiệm phức: p1,2 = -1  j

Các dòng tự do tổng quát có dạng:

i1td = A1.e-tcos(t + 1)

; 5 , 0

sin cos

5 , 0 )

0

(

cos 5

, 0 5 , 0 )

0

(

0

; 5 , 0

sin cos

5 , 0 )

0

(

cos 5

, 0 1 )

0

(

2 2

2 2 2 2 '

2

2 2 2

1 1

1 1 1 1 '

1

1 1 1

i

A i

A

A A

i

A i

4

;21

sincos

0)

0

(

cos5

,0)

0

(

3 3

3 3 3 3 '

3

3 31 3

i

A i

1.4 Quá trình uá độ của mạch RCL đơn giản

1.4.1 Quá trình quá độ trong mạch -C

a./ Phóng điện của tụ điện

Hình 1.17

Quá trình tự do chính là quá trình phóng điện của tụ C vốn nạp năng lượng ứng với điều kiện đầu uC(-0) = U0 qua điện trở r Năng lượng đó tiêu tán dần mạch sẽ tiến đến trạng thái xác lập = 0)

đi e lần:

rC t rC t

td

td

e A

e A t

x

t x

) (

) (

) (





UCtd(+0) = uC(-0) = U0  A = U0  rC

t Ctd U e u



 0

t Ctd

r

U u

C i

Sự thay đổi của dòng và áp tự do được biễu diễn trên hình 1.18

Thực tế sau đóng mở một khoảng thời gian 3 có thể coi gần đúng quá trình đã xác lập vì e-3 = 0,05)

b./ Đóng mạch r – C vào nguồn áp không đổi

td

x x

t rC





 '

Ta thấy uC t) biến thiên liên tục từ 0 đến , còn dòng i t) có bước nhảy từ 0 đến /r tại t=0 sau đó giảm dần đến 0 hình 1.21)

Thực tế sau một quãng 3 quá trình coi như đã xác lập vì:

uC(3) = U(1-e-3)  0,95U và i(3) = 0,05.i(+0)

c./ Đóng mạch r – C vào nguồn áp điều hoà

Hình 1.22

uC

i(t) r

C u(t)

Hình 1.22

u,i

t 0

U

uC

iU/r

Đóng mạch r – C vào nguồn áp u = msin(t+) Ta có điện áp xác lập trên tụ:

) sin(

)

sin(

) (

 0 = UCm.sin( - ) + A  A = -UCm.sin( - )

p trên tụ trong quá trình quá độ:

rC t Cm

m

rC

I t

I u

1.4.2 Quá trình quá độ trong mạch -L Hình 1.23

Sơ đồ toán tử quá trình tự do hình 1.24

Phương trình đặc trưng: Z p) = r + pL = 0  p = -r/L

Thành phần tự do có dạng: 

t t

L r

td A e A e x



 )( 0 Với iL(-0) = I0 Khi đóng mạch r – L vào nguồn áp không đổi và điều kiện đầu i -0) = 0, ta có:

U -

A r

U 0) i(

L r td

t L r

e U e

r

U i

e r

U t

Khi đóng mạch vào nguồn áp điều hoà msin(t+) ta có:

t L r m

e A r

L arctg t

L r

U t



) ( )

(

2 2

)

L arctg L

1.4.3 Quá trình quá độ trong mạch -L-C

1./ Quá trình tự do trong mạch cấp hai r – L – C (Hình 1.25)

Ngắn mạch nhánh r – L – C không nguồn, khi trong cuộn cảm hoặc tụ điện tích luỹ sẵn một năng lượng nào đó ở t = -0 Ứng với các điều kiện đầu uC(-0) = U0 hay iL(-0)= I0.Nếu r ≠ 0 các năng lượng đó sẽ tiêu tán dần và mạch sẽ tiến đến trạng thái xác lập bằng 0 Nếu r = 0 năng lượng đó không tiêu tán mất được, mà chỉ trao đổi nạp phóng giữa hai dạng năng lượng điện và từ hình thành các dao động tự do dòng, áp

Xét trường hợp i -0) = 0 và uC(-0) = U0 khi ngắn mạch ta có:

Phương trình đặc trưng: 2   1  0

LC

p L

r p

Hai số mũ đặc trưng:

LC L

r L

r

2

( 2

2 2

p Ctd

td

t p t

p Ctd

e p CA e

p CA Cu

i

e A e A u

2 1

2 1

2 2 1

1 '

C:

U0 = A1 + A2 và 0 = A1p1 + A2p2

0 1 2

1 2

0 1 2

2

p p

p U

p p

p A

) (

) (

) (

2 1 2

1

2 1

2 1 0

2 1

0 2 1

1 2

1 2 0

t p t p t

p t p td

t p t

p Ctd

e e p p L

U e

e p p

U p Cp

i

e p e p p p

U u

0 2

2 ( 1 2

j L

r LC

j L

r p

) sin(

.

) cos(

.

0 0

0 '

CA t

Ae C u

C

i

t e

A u

t t

Ctd td

t Ctd

(1.27) Với điều kiện đầu: uCtd(+0) = U0; itd(+0) = 0 ta có:

U0 = A.sin và 0 = -sin + 0cos

c./ Trường hợp tới hạn: Khi điện trở có giá trị tới hạn

p

2 2 1

òng, áp tự do sẽ có dạng tổng quát:

t Ctd

td

t Ctd

e t A A A C u C

i

e t A A u

.

) (

2 1 2 '

2 1

U te

CU i

e t U

u

t t

td

t Ctd

1 Do

) 1 (

2 0

2 0

Phương trình mạch:u C rCu C' LCu C'' U

Năng lượng tiêu tán bởi r, quá trình tự do suy giảm dần ở chế độ xác lập

uC=const nên: u C' 0; uC'' 0u Cxl U; ixl 0

Tuỳ thuộc vào quan hệ giữa r và

C

L

2 qúa trình quá độ sẽ có các dạng khác nhau:

Không dao động khi

1 2

0 0 0

CAe i

t Ae

U u

t

t C

3 Đóng mạch r – L – C vào nguồn áp điều hoà

Trong trường hợp này dòng và áp xác lập sẽ biến thiên điều hoà với tần số bằng tần số của nguồn là 0 Tuỳ theo tương quan giữa r và

C

L

2 các thành phần tự do có thể không dao động hoặc dao động

p Cxl

C

t p t

p Cxl

C

e p CA e

p CA Cu

Cu

i

e A e A u

u

2 1

2 1

2 2 1

1 '

'

2 1

0 0 0

CAe Cu

i

t Ae

u

u

t Cxl

t Cxl

C:

r

U

 1 2 2

'

2 1

) (

) (

A t A A Ce

Cu

i

e t A A u

u

t Cxl

t Cxl

1.7 Cho mạch điện có sơ đồ như hình 1.27

a./ Viết hệ phương trình vi phân đối với các dòng quá độ

và dòng tự do

b./ Lập phương trình đặc trưng, tìm số mũ đặc trưng và

phương trình tổng quát của quá trình tự do trong mạch Biết r1=2; L=1H; C=1F;

r2=2

Đáp số:Phương trình tổng quát của quá trình tự do: )

8

7 cos(

t td

1.8 Cho mạch điện có sơ đồ như hình 1.8

Biết: r1=r2=100; L = 1H; C=100F; U = 2000V Tính

các dòng trong mạch theo phương pháp tích phân kinh điển

Đáp số:

) 45 100 cos(

2 10

10

);

90 100 cos(

20 );

45 100 cos(

2

10

10

0 100

2

0 100

1 0 100

i

t e

i t

e i

t

t t

1.9 Cho mạch điện có sơ đồ như hình 1.29

1.10 Cho mạch điện có sơ đồ như hình 1.30

Biết: r= r1 =r2=1 L = 1H Hãy xác định hệ số tắt của thành phần dao động tự

do trong hai trường hợp:

a./ Nguồn tác động là nguồn điện áp e t)

b./ Nguồn tác động là nguồn dòng điện i t)

1.11 Cho mạch điện có sơ đồ như hình 1.31

Biết: r1 =r2=10 L = 10mH E=100V Tại t =0 đóng khoá

k, sau 1ms khoá k mở ra Xác định dòng điện qua các phần tử, vẽ

đồ thị các đường cong ir1(t), ir2 t) và điện áp trên cuộn cảm uL(t)

Hình 1.28

i2 i1 L1 r1

E

r3

L2 r2 i3 Hình 1.29

Từ t = 0  1ms: i R1(t)  10A; i R2(t) i L(t)  5 e103t A; u L(t)   50 e103t V

Sau 1ms:

V e

t u A e

t i t i t

i L( )  R1( )  R2( )  5  3 , 15 2.103(t1m s) ; L( )  63 2.103(t1m s)

1.12 Cho mạch điện có sơ đồ như hình 1.32

Biết: r1 =r2=10; L = 0,1H; e(t)=Emsin(100t+) Tại thời

điểm điện áp của nguồn đạt giá trị cực đại dương khoá k đóng lại

Hãy xác định dòng điện sau khi đóng khoá k, nếu tại thời điểm

ngay trước khi đóng khoá k, ampe kế chỉ 2 5A

Đáp số: i1 = i2 = 2,5.e-100tcos(100t + 900); i = 5 e-100tcos(100t + 900)

1.14 Cho mạch điện có sơ đồ như hình 1.34

Biết: 1=10; R2=20; L = 2mH; C = 1F; E = 10V

Giả imạch điện bằng phương pháp tích phân kinh điển tìm dòng

i1(t), iC(t), i2(t)?

1.15 Cho mạch điện có sơ đồ như hình 1.34

Biết: 1=10; R2=30; L = 1mH; C = 10F E = 10V Giải mạch điện bằng phương pháp tích phân kinh điển tìm dòng i1(t), iC(t), i2(t)?

1.16 Cho mạch điện có sơ đồ như hình 1.34

Biết: 1=10; R2=10; L = 0.2mH; C = 1F E = 10V Giải mạch điện bằng phương pháp tích phân kinh điển tìm dòng i1(t), iC(t), i2(t)?

1.5 Giải bài toán uá độ bằng phương pháp toán tử Laplace

Phương pháp tích phân kinh điển nghiên cứu trong chương 2 không tiện dùng cho các mạch phức tạp vì việc giải trực tiếp phương trình vi phân sẽ khó khăn, khi bậc của phương trình vi phân cao.Trong chương này sẽ trình bày việc ứng dụng các phương pháp toán tử để phân tích mạch điện

1.5.1 Phép biến đổi Laplace

1./ Phép biến đổi Laplace và một số tính chất cơ bản của nó

L

R2 R1

- C

i

M

r2 e(t)

Lý thuyết về phép biến đổi Laplace, chúng ta có thể tìm hiểu kỹ trong giáo trình

toán học cao cấp Ở đây chỉ nhắc lại một số khái niệm và các tính chất cơ bản của phép

biến đổi Laplace tiện cho việc sử dụng chúng để phân tích mạch điện

Xét hàm biến số thực f t), có các tính chất sau:

f(t) = 0 khi t < 0

f t) liên tục khi t  0 Xét tích phân: f t ept dt





0 )

Trong đó p là một số phức: p = a +j với a = const

Nếu tích phân 3-1) tồn tại hội tụ), thì ta nói tích phân 3-1) đã biến hàm số

thực f t) thành hàm biến số phức F p): F p f t ept dt

0 ) ( ) ( (1.32)

Tích phân (3-2) được gọi là biến đổi thuận Laplace Hàm f t) được gọi là hàm

gốc, còn hàm F p) được gọi là hàm ảnh, ký hiệu:

f(t)  F(p)

Và đọc như sau:

F p) là ảnh của hàm f t), hay f t) là hàm gốc của hàm ảnh F p)

Nếu tích phân 3-1) không tồn tại, ta nói hàm f t) không có biến đổi Laplace

j a

dp p F j t

2

1)

Tích phân (3-3) gọi là phép biến đổi ngược Laplace, nó cho phép tìm lại hàm

gốc khi biết ảnh của nó Chú ý rằng mọi nguồn điện thực tác dụng vào mạch điện cũng

như các phản ứng trong các mạch điện đều tồn tại biến đổi Laplace

ựa vào tính chất của phép tính tích phân, ta có thể suy ra các tính chất cơ bản

sau đây của phép biến đổi Laplace

) ( ) (

) (

) ( )

(

) (

) ( ) ( )

( )

(

2 1

0 0

2 0

1

0

2 1

0

p F p

F p F

dt e t f dt

e t f dt e t f

dt e t f t

f t f dt e t f p

F

n

pt n pt

pt

pt n

1 ) ( )

b./ Tính tỷ lệ:

Nếu L[f t)] = F p) thì L[af t)] = aF p), trong đó a là hằng số

Thật vậy, gọi L[af t)] = Fa p), khi đó:

( ).

( )

) 0 ( )

0 ( )

( )

( ) (

p f

p p F p dt

t f t d

p

p F dt t f

( 1

0 0

( )

(

4 Định lý dịch ảnh

) ( ) ( ) (

1t eat f t F pa

(1.41)

5 Định lý đồng dạng

) (

1 )]

( ) ( 1

a

P F a at f

6 Định lý về đạo hàm ảnh

dp

p dF t

f t

t f

t

)()

Giải:

2

1 ) (

2

1 cos

p j p e

e

Ví dụ 1.14: Tương tự ví dụ 1.13 đối với hàm sint

2 2 sin

) ( ) (

Trong đó:

) ( )

2 ( sin

) ( sin

1 2

2 2 1

p F e

T t

p p F t

Tp e p

p F t x

4 / Cách tìm gốc theo ảnh Laplace bằng công thức Heaviside

Một phương trình toán tử dưới dạng đại số có thể chuyển sang dạng một phân thức hữu tỷ như sau:

n n

n n s b s

b s b b

s a s

a s a a s F

s F s

) ( )

2 1 0

2 2 1 0

2

Trong đó: a0 an; b0 bn là các hằng số

Một phân thức hữu tỷ luôn luôn có thể biến đổi để thoã mãn điều kiện:

- Tử thức và mẫu thức không có nghiệm chung

- Bậc của tử thức nhỏ hơn bậc của mẫu thức

Từ đó có thể phân tích phân thức hữu tỷ F s) thành tổng các phân thức tối giản,

từ đó dựa vào bảng mối quan hệ giữa hàm ảnh và hàm gốc để tìm hàm gốc của F s)

Để phân tích phân thức hữu tỷ F s) thành tổng các phân thức tối giản ta phải xét một số trường hợp cụ thể:

a./ Khi F 2 (s) chỉ có các nghiệm đơn

F2 s) có thể được viết dưới dạng: F2(s) = bm(s – s1)(s – s2)… s - sm)

Lúc đó dạng triển khai của F s) như sau:

m

s s

A s

s

A s

s

A s s

A s

F

1 2

Để xác định các hệ số Ak, nhân cả hai vế của 1.46) với s - sk) sau đó cho s 

sk sao cho các số hạng ở vế phải trừ Ak đều bị triệt tiêu

) ( lim ) )(

( lim

2

1

k s

s k s

s

s F

s F s

s s F A

k k

Vì F2(sk) = 0 nên giới hạn bên phải có dạng vô định

) ( lim ) (

) (

'

x g

x f x

g

x f

a x a

x   với f a) = g a) =0), tính được:

) (

) ( )

(

) )(

( ) (

2

1 '

2

' 1 1

k

k k

s s

k

s F

s F s

F

s s s F s F A

k s s s F

s F s

) ( )

(

1 ' 2

ựa vào bảng mối quan hệ giữa hàm ảnh và hàm gốc :

a s

s s

e k



 1Như vậy hàm gốc f t) tương ứng với hàm ảnh F s) là: s t

m

k k e s F

s F t





1 ' 2

1 ) (

) ( )

(

) (

) (

) (

1

0 1

1 )

1 ( 1

0

21 2

1 1

2

1

s F s F s

s

A s

s A

s s

s s A s

s A A s s

A s

s

A s s

A s

i r l li k

j

r l

r l r

l l

l l k k

s F t





1 ' 2

1 1

)(

)()

(Cần phải tính Al0 Al(r-1):

- Tính Al0: Nhân cả hai vế của F s) với s - sl)r rồi cho s  sl

l

r l r

l s

s

s F

s F s

s s F A



) (

) ( ] ) )(

( [ lim

r l r

r r

ds

d r

1

1 1

) 1 (

Sau khi đã tìm được các hệ số Ali (i = 0 r-1), xác định hàm gốc của mỗi số hạng tương ứng với hệ số đó

Số hạng có hệ số Ali là: r i

l

li s s

A



 ) (

Theo bảng mối quan hệ giữa hàm ảnh và hàm gốc: 11

n s n

t

;

) ( )

i r t s

s s i

1 (

Như vậy, hàm gốc tương ứng với hàm ảnh F2(s) là: s t

r i

i r

e i r

t A t

) (

Ta có hàm gốc tương ứng với hàm ảnh F s): f t) = f1(t) + f2(t)

t s r

i

i r li t

s k

e i r

t A e

s F

s F t

1

)!

1 (

) (

) ( )

k a jb

Lúc đó:

) (

) ( )

(

) (

'*

2

* 1

* ' 2

* 1

k k k

k

s F

s F s F

s F

Sao cho ứng với chúng có hàm gốc:

] ) (

) ( Re[

2 )

(

) ( )

(

) ( )

2

1 '*

2

* 1 '

2

k

k t

s k

k t

s k

k k

k k

s F

s F e

s F

s F e s F

s F t

Ví dụ 1.17: Cho mạch điện gồm nối tiếp với L nối với nguồn sức điện động

e(t) Biết e t) = E0.e-t trong đó E0 và  là hằng số Kể từ thời điểm t = 0 nguồn điện áp này tác động, giả sử các điều kiện ban đầu đều bằng 0 Hãy xác định dòng điện i t) trong mạch cho hai trường hợp:

Chuyển phương trình sang dạng toán tử: s) + L.[s s) – i(0)]=E(s)

Theo giả thiết: i 0) = 0, ta có: s) + s.L s)=E s)

)

) )(

(

/ )

)(

( )

R s

L E L

s R s

E s

I

Đặt

)(

)()(

2

1

s I

s I s

L

E s

L

R s s I s

L

R s s

I2( ) ( )( ); 2'( ) 2