Chương 6. MẠCH THÔNG SỐ RẢI
6.2. ĐƯỜNG DÂY DÀI ĐỀU LÀM VIỆC Ở CHẾ ĐỘ XÁC LẬP ĐIỀU HÒA
Xét một đường dây dài đều làm việc với nguồn điều hòa. Ở chế độ xác lập, điện áp và dòng điện ở mọi điểm trên đường dây biến thiên theo quy luật điều hòa với trị hiệu dụng và góc pha đầu phụ thuộc tọa độ x của đường dây:
u(x, t)U(x) 2 sin t u(x)
i(x, t)I(x) 2 sin t i(x)
Có thể biểu diễn chúng ở dạng phức với module và argument phụ thuộc vào tọa độ x:
u(x, t)U(x)U(x)u(x) (6.6) i(x, t)I(x)I(x)i(x) (6.7) Khi đó, đạo hàm theo thời gian của chúng cũng được biểu diễn dạng phức:
u(x, t) j U(x); i(x, t) j I(x)
t t
(6.8)
và đạo hàm theo x trở thành:
dU(x) dI(x)
u(x, t) ; i(x, t)
x dx x dx
(6.9)
Thay các biểu thức (6.6) ÷ (6.9) vào (6.5), ta được phương trình trạng thái dạng phức mô tả cho đường dây dài đều:
0 0 0 0 0
0. 0 0 0 0
dU R I(x) j L I(x) R j L I(x) Z I(x) dx
dI G U(x) j C U(x) G j C U(x) Y U(x) dx
(6.10)
Có thể nhận thấy (6.10) là hệ phương trình vi phân đối với các thông số phức U(x), I(x) , trong đó Z0 = R0 + jL0 là tổng trở dọc tính trên đơn vị dài của đường dây và Y0 = G0 + jC0 là tổng dẫn ngang trên đơn vị dài đường dây (chú ý tổng dẫn ngang Y0 không phải là đại lượng nghịch đảo của tổng dẫn dọc Z0).
6.2.2. Nghiệm phức dòng điện, điện áp
Để giải hệ (6.10) ta đạo hàm hệ thêm một lần nữa theo x được:
2 2 0 2
2 0
d U dI
dx Z dx
d I dU
dx Y dx
(6.11)
Kết hợp với hệ (6.10) ta có:
2
2 0 0 2
2
2 0 0 2
d U Z Y U U
dx
d I Z Y I I dx
(6.12)
Đây là những phương trình vi phân đối với riêng điện áp hoặc dòng điện, trong đó: Z Y0 0 là một hệ số (phức) có thể xác định được từ các thông số của đường dây, gọi là hệ số truyền sóng. Nghiệm của hệ phương trình (6.12) có dạng:
x .x
1 2
x x
1 2
U(x) A e A e
I(x) B e B e
(6.13)
trong đó: A , A , B , B1 2 1 2 là các hằng số tích phân phức được xác định theo biên kiện (thông số dòng và áp ở hai đầu đường dây). Giữa A , A1 2 và B , B1 2 có mối liên hệ với nhau. Thật vậy, từ (6.11) và (6.12) ta có:
2
0 0 0
2
d I dU
Z Y I Y
dx dx (6.14) Suy ra:
1 x 2 x
0 0
x x
x x 1 2. x x
1 2 1 2
0 0
0 0 C C
1 dU 1 d
I(x) A e A e
Z dx Z dx
A e
A e 1 1
A e A e A e A e
Z Z
Z Z Z Z
(6.15)
với ZC = Z0/γđược gọi là tổng trở sóng của đường dây (đơn vị là ), thông số này sẽ được phân tích kỹ ở phần sau.
So sánh (6.13) và (6.15), ta có:
1 1 2 2
C C
1 1
B A ; B A
Z Z
(6.16) Từ dạng nghiệm (6.13), kết hợp với mối quan hệ (6.16) ta thấy phức điện áp, dòng điện còn có thể viết ở dạng khác:
C C
U(x) U (x) U (x)
1 1
I(x) U (x) U (x) I (x) I (x)
Z Z
(6.17)
Nghĩa là, điện áp và dòng điện phức trên đường dây có hai thành phần:
U (x), I (x) là thành phần điện áp, dòng điện thuận và U (x), I (x) là thành phần điện áp, dòng điện ngược.
6.2.3. Dạng tức thời của dòng điện, điện áp
Theo (6.13), ta có điện áp phức trên đường dây:
x x
1 2
U(x)A e A e
(6.18)
Giả thiết, các hệ số phức có một module và argument nào đó:
1
2
j
1 1
j
2 2
0 0
A A e
A A e
Z Y j
(6.19)
Thay vào (6.18) ta được:
1 2 1 2
j x j x j x j x x j( x ) x j( x )
1 2 1 2
U(x)A e e e A e e e A e e A e e
tương ứng với điện áp hình sin:
x x
1 1 2 2
u(x, t) 2A e sin( t x) 2A e sin( t x) (6.20) Tương tự với dòng điện, nếu giả thiết: ZC = zCejta có:
1 2
j( x ) j( x )
x x
1 2
C C
A A
I(x) e e e e
z z
Suy ra:
x x
1 2
1 2
C C
A A
i(x, t) 2 e sin( t x ) 2 e sin( t x )
z z
(6.21) Trong toán học, hàm sin( t 1 x) mô tả một sóng truyền thuận theo chiều x và sin( t 1 x) mô tả một sóng truyền ngược chiều x. Xét sóng sin( t 1 x), để cho gọn ta giả thiết: 1 0, khi đó: sin t x sin x t. Ở thời điểm t = 0, phân bố không gian của hàm có dạng: sin x , thể hiện trên hình 6.3a bằng đường nét liền, sau một khoảng thời gian t, phân bố không gian của hàm là: sin x t biểu
thị bằng đường nét đứt trên hình 6.3a. Đường cong này lặp lại dạng đường cong trước nhưng đã dịch theo chiều của x một đoạn xứng với một góc t , ta có:
x hay: x t
(6.22) Vậy suy ra hàm sin t x với hai đối số ngược dấu nhau mô tả một sóng hình sin dịch chuyển theo chiều x với vận tốc dịch chuyển:
v x t
(6.23)
Tương tự như vậy, hàm sin sin( t x) với hai đối số không gian và thời gian cùng dấu là một sóng hình sin dịch chuyển ngược chiều x (hình 6.3b) với tốc độ tính theo (6.23). Vậy số hạng thứ nhất trong biểu thức (6.20) biểu thị một sóng hình sin chạy theo chiều x với vận tốc v tính theo (6.23) nhưng với biên độ tắt dần 2A e1 xgọi là sóng điện áp thuận (hay sóng thuận), còn số hạng thứ hai biểu thị sóng hình sin chạy
ngược chiều x với biên độ tăng dần theo x, nghĩa là tắt dần theo chiều truyền sóng gọi là sóng điện áp ngược (hay sóng ngược). Các sóng điện áp thuận và sóng điện áp ngược được thể hiện trên hình 6.4.
Ta có thể viết gọn biểu thức (6.20) và (6.21) dưới dạng:
i(x, t)u(x, t) i (x, t) i (x, t)u (x, t) u (x, t)
(6.24)
trong đó: u+(x,t), i+(x,t) là sóng điện áp, dòng điện thuận và u-(x,t), i-(x,t) là sóng điện áp, dòng điện ngược. Biểu thức (6.24) cho thấy ở mỗi thời điểm t, dòng điện và điện áp phân bố dọc đường dây với giá trị và chiều biến thiên theo x, gọi là sóng chạy.