Quy tắc Petersen giải bài toán quá độ đường dây dài

Chương 6. MẠCH THÔNG SỐ RẢI

6.9. QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ TRÊN ĐƯỜNG DÂY DÀI ĐỀU, KHÔNG TIÊU TÁN 162 1. Phương trình quá độ

6.9.4. Quy tắc Petersen giải bài toán quá độ đường dây dài

Xét đường dây dài đều không tiêu tán có tổng trở sóng zC, nối đến phụ tải Z2 ở cuối đường dây (hình 6.13). Khi có sóng chạy từ phía đầu tới cuối đường dây, gọi là sóng tới (utới) gặp tải, một phần năng lượng sẽ khúc xạ vào tải và tiêu tán trên đó, một phần năng lượng sẽ bị phản xạ trở lại đường dây (gọi là sóng phản xạ). Như vậy, tại cuối đường dây sẽ có điện áp u2 và dòng điện i2. Bài toán đặt ra là cần tính toán các sóng phản xạ, khúc xạ khi có sóng chạy tới cuối đường dây. Sơ đồ và quy tắc Petersen cho phép giải bài toán đó.

Áp dụng biểu thức (6.86) và (6.87) cho điểm cuối đường dây, với quan niệm sóng thuận chính là sóng tới u2t (chính là utới trên hình 6.13) và sóng ngược chính là sóng phản xạ u2f ta có:

2 2 t 2f

2 t 2f

2 2 t 2f

C C

u u u

u u

i i i

z z

 



    

 (6.92)

Nhân chéo biểu thức dưới và cộng vế với vế hai phương trình ở hệ (6.92) được:

C 2 2 2 t

z i u 2u (6.93)

L2

r2

2u2t u2

zC i2

Hình 6.14. Sơ đồ Petersen Phụ tải

Z2

Hình 6.13. Quá trình quá độ cuối đường dây

utới

2

2’

i2

u2 Phụ tải Z2

zC

Sơ đồ mạch tương đương theo (6.93) được thể hiện trên hình 6.14 gọi là sơ đồ Petersen. Có thể thấy điện áp và dòng điện ở cuối đường dây (u2 và i2) được tính giống như khi đóng trực tiếp vào cuối đường dây một nguồn áp bằng hai lần điện áp sóng tới 2u2t và có điện trở trong bằng tổng trở sóng zC của đường dây. Nghĩa là bài toán quá độ tại cuối đường dây dài có tổng trở sóng zC đã được thay bằng bài toán quá độ mạch thông số tập trung. Quy tắc thay thế đó được gọi là quy tắc Petersen.

Để tính quá trình quá độ của mạch điện trong sơ đồ Petersen có thể dùng các phương pháp đã biết (tích phân kinh điển, toán tử).

Ví dụ 6.9: Một đường dây dài có tổng trở sóng zC = 400Ω nối với tải có R2 = 600Ω, L2 = 5mHởcuối dây. Hãy tính điện áp cuối đường dây và điện áp phản xạ khi có một điện áp xung chữ nhật, biên độ U = 100kV chạy tới cuối dây?

Giải: Sơ đồ Petersen được vẽ trên hình 6.15. Để tính điện áp cuối đường dây u2, trước tiên tính dòng điện i2 bằng phương pháp tích phân kinh điển (cũng có thể dùng phương pháp toán tử).

Coi 2u2t = 2U là sóng một chiều chạy vào tải (R2, L2) ta có:

t 2 2 xlm 2 td

C 2

i i i 2U Ae

z r



   

 trong đó hằng số thời gian:

3

6

C 2

L 5.10

z r 400 600 5.10

 

   

 

Thay số ta được:

i20, 2 Ae 2.10 t5 kA

Với sơ kiện: i2(0) = i2(0−) = 0 ta xác định được hằng số tích phân:

A 0, 2

Vậy dòng điện quá độ chạy qua tải:

i2 0, 2 1 e  2.10 t5 kA

Điện áp cuối đường dây:

 5 

5

2.10 t

2 C 2

2.10 t

u 2U z i 2.100 400.0, 2 1 e

120 80e kV





    

 

Mặt khác: u2 u2t u2f, suy ra điện áp phản xạ lại đường dây:

u2f u2u2t 120 80e 2.10 t5 10020 80e 2.10 t5 kV.

R2

2u2t u2

zC i2

L2

Hình 6.15. Sơ đồ Petersen ví dụ 6.9

Trường hợp cuối đường dây thứ nhất có tổng trở sóng zC1 nối tiếp với một đường dây khác có tổng trở sóng zC2 (hình 6.16a), khi sóng đánh tới cuối đường dây thứ nhất, một phần năng lượng khúc xạ sẽ tạo thành sóng khúc xạ bắt đầu chạy từ đầu đường dây thứ hai. Để tính toán sóng này, ta lập sơ đồ Petersen cho điểm cuối đường dây thứ nhất.

Trong sơ đồ này, đường dây thứ hai được coi như một tải tập trung mắc ở cuối đường dây thứ nhất, có giá trị bằng tổng trở sóng của chính nó (hình 6.16b). Dòng và áp khúc xạ ở đầu đường dây thứ hai liên hệ với nhau bởi biểu thức định luật Ohm: u2kx = zC2i2kx

và chúng chính là dòng và áp ở cuối đường dây thứ nhất:

u2kx u ;2 i2kx i2

Trường hợp giữa hai đường dây có thêm phần tử tập trung (phần tử bảo vệ L, C trong hình 6.17a,c), trong sơ đồ Petersen phải thêm chúng vào (hình 6.17b,d). Lúc này, điện áp khúc xạ sang đường dây thứ hai bằng điện áp trên điện trở zC2 trong sơ đồ, dòng điện khúc xạ sang đường dây thứ hai bằng dòng điện chảy qua zC2.

a) Sóng tới

Đường dây 2 zC2

Đường dây 1 zC1

Hình 6.16. Trường hợp hai đường dây nối tiếp nhau (a) và sơ đồ Petersen cho điểm cuối đường dây thứ nhất (b)

zC2

2u2t u2

zC1 i2

b)

L/2

Hình 6.17. Sơ đồ Petersen trong trường hợp giữa các đường dây có phần tử bảo vệ L, C

c) Sóng tới

Đường dây 2 zC2

Đường dây 1 zC1

J C

zC2

2u2t

zC1

b) J L K

a) Sóng tới

Đường dây 2 zC2

Đường dây 1 zC1

J K

L/2

zC2

2u2t

zC1

d) J

C

Nếu tại điểm nối có nhiều đường dây, mỗi đường dây sẽ được thay bằng tổng trở sóng của mình trong sơ đồ Petersen (hình 6.18).

Ví dụ 6.10: Một đường dây có tổng trở sóng zC2 = 400Ω được nối với đường dây có tổng trở sóng zC1 = 600Ω. Giữa hai đường dây có nối thêm một điện cảm nối tiếp L = 5mH. Tính dòng và áp khúc xạ vào đường dây thứ hai nếu như có xung sét

u(t)500e200tkVchạy tới cuối đường dây thứ nhất.

Giải: Coi đường thứ hai như một tải tập trung zC2 = 400Ω nối ở cuối đường dây thứ nhất. Sơ đồ Petersen vẽ cho điểm cuối đường dây thứ nhất có dạng như trên hình 6.16b, sơ đồ toán tử tương ứng trong hình 6.19 với sơ kiện: i(0) = i(0−) = 0.

Ảnh toán tử của sóng điện áp tới:

2t

U (p) 500 kV

p 200

 

Dòng điện toán tử khúc xạ vào đường dây thứ hai:

kh 2t 3

C1 C2

2U (p) 2.500

I (p)

z pL z (p 200)(600 400 5.10 p)

 

    

Rút gọn ta được:

5

kh 5

I (p) 2.10

(p 200)(p 2.10 )

  

Điện áp khúc xạ toán tử:

5 7

kh C2 kh 5 5

2.10 8.10

U (p) z I (p) 400

(p 200)(p 2.10 ) (p 200)(p 2.10 )

  

   

Biến đổi ngược được:

u (t)kx 400, 4 e 200te2.10 t5 kV

zC3

2u2t

zC1

b) J

zC2

a)

Sóng tới Đường dây 2 zC2

Đường dây 1 zC1

J

Đường dây 3 zC3

Hình 6.18. Sơ đồ Petersen khi điểm nối có nhiều đường dây

zC2

2U2t(p) zC1

Hình 6.19. Sơ đồ Petersen ở ví dụ 6.10

pL Ikx(p)

Ukx(p)

Ví dụ 6.11: Một máy phát có tổng trở sóng zC2 = 800Ω được nối với đường dây có tổng trở sóng zC1 = 400Ω. Để bảo vệ máy phát, người ta nối song song một tụ điện C = 1μF ở đầu máy phát. Tính dòng và áp khúc xạ vào máy phát nếu như có xung chữ nhật

U500 kVchạy từ đường dây tới.

Giải: Sơ đồ Petersen có dạng như hình 6.16d, sơ đồ toán tử tương ứng cho ở hình 6.20 với sơ kiện

C C

u (0)u (0 ) 0; Ảnh toán tử của điện áp sóng tới U (p)2t 500 / p. Điện áp khúc xạ vào máy phát:

2t C1 kx

6

C1 C2

1 500 1

2U (p) 2. .

z p 400

U (p)

1 1 1 1 1

z z 1/ pC 400 800 p.10



 

   

Rút gọn ta có kết quả:

 

6

kx 3

2,5.10 U (p)

p p 3, 75.10

 

Tra bảng đối chiếu ảnh gốc được: u (t)kx 666, 667 1 e  3,75.10 t3 kV Dòng điện khúc xạ:

kx kx  3,75.10 t3   3,75.10 t3 

C2

u 666, 667

i (t) 1 e 0,833 1 e kA.

z 800

 

    