Chương 2. MẠCH ĐIỆN PHI TUYẾN CÓ NGUỒN ĐIỀU HÒA
3.2. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN KINH ĐIỂN TÍNH QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ MẠCH ĐIỆN TUYẾN TÍNH
3.2.3. Quá trình quá độ trong mạch R-C
Vì cùng được mô tả bởi phương trình cấp một nên quá trình quá độ mạch R-C có dạng tương tự như mạch R-L. Xét một nhánh nối tiếp R-C đóng vào một nguồn áp u(t) tại t = 0 (hình 3.19), phương trình trạng thái quá độ của mạch:
Ri(t) u (t) C u(t)
(3.37)
Trong đó uC (t) là điện áp trên điện dung, có thể viết lại phương trình (3.37) với ẩn là điện áp uC (t):
duC C
RC u (t) u(t)
dt (3.38)
Phương trình đặc trưng có được sau khi đại số hóa phương trình trạng thái tự do:
1 pRC 0 (3.39)
Suy ra: 1
p RC (3.40)
Từ đó có thành phần điện áp tự do:
1 t
RCt
uCtd(t)Ae Ae (3.41)
với hằng số thời gian của mạch: RC.
Hình 3.18. Dòng điện quá độ trên điện cảm khi đóng vào nguồn áp hình sin
i
t 0
ixlm
itd
i
Hình 3.19. Quá độ nhánh R-C u(t)
R C
uC(t) i(t)
Điện áp quá độ trên điện dung bằng tổng thành phần xác lập và thành phần tự do:
t
C Cxlm
u (t)u (t) Ae (3.42)
trong đó thành phần điện áp xác lập cũng phụ thuộc vào nguồn áp đóng vào mạch. Xét 3 trường hợp:
- Đóng mạch R-C vào nguồn áp một chiều U;
- Ngắn mạch R-C;
- Đóng mạch R-C vào nguồn áp hình sin u(t) = Um sin(ωt + ψu).
a) Đóng mạch R-C vào nguồn áp một chiều U
Khi đóng mạch vào nguồn một chiều U, điện áp xác lập trên điện dung bằng U vậy theo (3.42) có:
t
u (t)C U Ae (3.43)
Hằng số tích phân A xác định theo điều kiện đầu: u (0)C u (0 )C 0 (giả thiết tụ điện chưa được nạp trước khi đóng mạch), nghĩa là tại t = 0 ta có:
0 U A Hay: A U
Vậy điện áp quá độ trên điện dung:
t
u (t)C U 1 e
(3.44)
Và dòng điện nạp qua đó:
t
duC U
i(t) C e
dt R
(3.45)
Hình 3.20 vẽ các đường cong điện áp quá độ uC(t) và dòng điện quá độ i(t) trên điện dung. Khác với điện áp uC(t) dòng điện i(t) có bước nhảy tại t = 0, sau đó giảm dần tới 0, vậy chỉ có thành phần tự do. Quy luật biến thiên của điện áp trên điện dung và dòng điện trong mạch R-C tương tự như quy luật biến thiên của dòng điện và điện áp uL(t) trong mạch vòng R-L, do đó hằng số thời gian trong hai trường hợp có tính tương tự.
i uC
UR U
Hình 3.20. Đường cong dòng, áp quá độ trên điện dung i,uC
t 0
uCxlm
b) Ngắn mạch R-C
Khi ngắn mạch R-C sau khi tụ đã được nạp đến điện áp U0 (hình 3.21), thực chất là quá trình phóng điện của tụ qua điện trở R. Năng lượng tích lũy trên tụ được tiêu tán dần và bằng 0 đến trạng thái xác lập mới. Vậy trong mạch chỉ có quá trình tự do và điện áp quá độ trên điện dung khi đó:
t
C Ctd
u (t)u (t)Ae (3.46) Với điều kiện đầu: uC(0) = uC(0−) = U0 tatìm được hằng số tích phân A = uC(0) = U0. Vậy ta có:
t
C 0
u (t)U e (3.47)
Dòng điện quá độ là dòng điện phóng của tụ:
t
C 0
du U
i(t) C = e .
dt R
(3.48)
Hình 3.22 vẽ đường cong điện áp u (t) và dòng điện i(t), trong đó điện áp biến C thiên liên tục còn dòng điện có bước nhảy U0/R tại t = 0. Năng lượng tiêu tán trên điện trở R trong quá trình quá độ bằng năng lượng tích lũy trong điện trường trước khi ngắn mạch:
1
2 2
2 t
2 0 RC 0
0 0
U CU
Ri (t)dt e dt
R 2
(3.49)
c) Đóng mạch R-C vào nguồn điện áp hình sin
Khi đóng mạch R-C vào một nguồn áp hình sin: u(t)U sin( tm u), điện áp xác lập (mới) trên điện dung:
Cxlm Im u Cm u
u (t) sin t U sin t
C 2 2
(3.50)
Hình 3.22. Đường cong dòng, áp ngắn mạch trên điện dung
i,uC
0 t
U0 R U0
i uC
Hình 3.21. Ngắn mạch R–C + R
C U0
-
i(t)
Trong đó:
m
m 2 2
U 1
I ; arctan
R 1/ C RC
Theo (3.42) có điện áp quá độ trên điện dung:
t
C Cm u
u (t) U sin t Ae
2
(3.51)
Nếu tụ không được tích điện trước khi đóng mạch thì hằng số tích phân A được xác định theo điều kiện đầu: u (0)C u (0 )C 0
0 UCmsin u A
2
Do đó:
A UCmsin u
2
Vậy điện áp quá độ trên điện dung bằng:
t
C Cm u Cm u
u (t) U sin t U sin e
2 2
(3.52) Dòng điện quá độ:
C m u u m t
du I
i(t) C =I sin t +sin e
dt RC
(3.53)
Hình 3.23 biểu diễn điện áp quá độ trên điện dung u (t) cùng các thành phần C điện áp xác lập, uCxlm(t)và điện áp tự do uCtd(t) của nó. Tùy theo thời điểm đóng mở, nếu đúng vào lúc uCxlm(0)0 thì uCtd(0)0, tức quá trình xác lập được thành lập ngay, không tồn tại quá trình quá độ.
Nếu đóng mở vào lúc
Cxlm Cm
u (0)U , sẽ có uCtd(0) UCm và nếu quá trình tự do tắt chậm thì sau nửa chu kỳ điện áp trên tụ u gần gấp C đôi biên độ điện áp xác lập UCm. Vì ở thời điểm đóng mở u (0)C 0, tụ điện như bị ngắn mạch, điện áp của nguồn hoàn toàn đặt trên điện trở nên:
U sinm
i(0) u(0)
R R
Hình 3.21. Điện áp quá độ trên điện dung khi đóng vào nguồn áp hình sin
uC
t 0
uCxlm
uCtd
uC
có thể đạt giá trị rất lớn nếu R nhỏ, tạo thành những xung quá dòng điện, như trong trường hợp đóng mạch vào một lưới dây cáp không tải.