lý thuyết kkm trong không gian vectơ tôpô

Mục lụcChương 1 Cơ sở lý thuyết KKM trong không gian vectơ tôpô 3 1.1 Nguyên lý ánh xạ KKM và điểm bất động... Mặt khác, cũng từ nguyên lý ánh xạ KKM có thể nhận được định lý điểm bất độ

Mục lục

Chương 1 Cơ sở lý thuyết KKM trong không gian vectơ tôpô 3

1.1 Nguyên lý ánh xạ KKM và điểm bất động 31.2 Bất đẳng thức Ky Fan và ứng dụng 15

2.1 Cân bằng Nash 332.2 Bài toán cân bằng 382.3 Các kết quả gần đây 49

3.1 Bài toán biến phân cổ điển 603.2 Kết quả cơ bản về bất đẳng thức biến phân 613.3 Các kết quả gần đây 66

Lời nói đầu

Lý thuyết KKM ra đời năm 1961 với bài báo của Ky Fan: ”A generalization

of Tychonoff’s fixed point theorem”, trong đó có một kết quả quan trọng màngày nay được gọi là nguyên lý ánh xạ KKM Kết quả này là sự mở rộng bổ đềKnaster - Kuratowski - Mazurkiewicz (1929) từ không gian tuyến tính hữu hạnchiều ra không gian vectơ tôpô tách bất kỳ Nguyên lý ánh xạ KKM khởi nguồncho một loạt kết quả quan trọng khác, có nhiều ứng dụng trong giải tích phituyến, đặc biệt là một bất đẳng thức minimax mà ngày nay gọi là bất đẳng thức

Ky Fan Từ bất đẳng thức này có thể dễ dàng suy ra một số kết quả nổi tiếngnhư nguyên lý điểm bất động Schauder, định lý tồn tại nghiệm của bất đẳng thứcbiến phân Mặt khác, cũng từ nguyên lý ánh xạ KKM có thể nhận được định

lý điểm bất động Browder Fan, từ đây lại nhận được định lý minimax Sion Neumann, định lý tồn tại điểm cân bằng Nash Những kết quả này được tậphợp lại dưới một cái tên chung: Lý thuyết KKM Lý thuyết này đã phát triển racác không gian siêu lồi và nửa dàn tôpô

-Năm 1950 chứng kiến sự ra đời của một lý thuyết quan trọng trong Toán kinh

tế với bài báo của John Nash: ”Equilibrium points in n-person games” về trò

chơi không hợp tác Lý thuyết này có một tầm quan trọng đặc biệt trong kinh

tế nên tác giả của nó đã được nhận giải thưởng Nobel vào năm 1994 Định lýcơ bản của Nash về tồn tại điểm cân bằng cho một hệ kinh tế đến nay đã đượcnhiều nhà toán học cải tiến và nâng cao, từ không gian hữu hạn chiều ra khônggian vô hạn chiều, từ ánh xạ đơn trị ra ánh xạ đa trị, Dạng tổng quát nhấtcủa bài toán cân bằng rất gần với bất đẳng thức Ky Fan, vì vậy lý thuyết KKM

đóng một vai trò quan trọng khi nghiên cứu bài toán cân bằng, mà một trườnghợp riêng là các bất đẳng thức biến phân

Cả hai lý thuyết nêu trên đều rất quan trọng về lý thuyết và ứng dụng, vẫn

đang trong quá trình phát triển và hoàn thiện Có thể nói lý thuyết KKM là mộtcơ sở lý thuyết cho bài toán cân bằng Đã có nhiều bài báo về các vấn đề nàynhưng theo chúng tôi được biết, chưa có một tài liệu nào giới thiệu một cách hệthống mối liên hệ giữa các lý thuyết nói trên Vì vậy chúng tôi chọn đề tài: ”Lýthuyết KKM và bài toán cân bằng” với hy vọng cung cấp cho độc giả nhữngthông tin bổ ích Vì thời gian hạn chế nên chúng tôi chỉ giới thiệu các kết quảcơ bản theo các hướng nêu trên, đặc biệt là những kết quả gần đây

Trong bản luận văn này, chúng tôi trình ba chương gồm những nội dung chínhsau đây:

• Chương 1 giới thiệu cơ lý thuyết KKM trong không gian vectơ tôpô

• Chương 2 giới thiệu bài toán cân bằng

• Chương 3 giới thiệu bất đẳng thức biến phân

Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS TSKH ĐỗHồng Tân đã hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luận văn này Sự chỉ bảo

ân cần của thầy Đỗ Hồng Tân trong suốt quá trình tác giả viết luận văn đã giúpcho tác giả có ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận văn củamình Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thạc sĩ Nguyễn Thế Vinh đãcung cấp cho tác giả các tài liệu quan trọng và những lời khuyên quý báu Tácgiả cũng xin chân thành cám ơn những đóng góp bổ ích của các thành viên củaXêmina ”Hình học của các không gian Banach và lý thuyết điểm bất động” do

Bộ môn Giải tích, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tổ chức Tác giả xin bày tỏlòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm

Hà Nội, cùng toàn thể bạn bè và người thân đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ, độngviên tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này

Hà Nội, ngày 02 tháng 09 năm 2007

Học viên: Trần Việt Anh1

1 E-mail: tranvietanh.ceqea@gmail.com

1.1 Nguyên lý ánh xạ KKM và điểm bất động

Năm 1929, ba nhà toán học Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz đã chứngminh được một kết quả quan trọng mang tên ”Bổ đề KKM”([35, trang 68]1)

Định lý 1.1.1 Cho Δn := conv({e0, e1, , e n }) là n-đơn hình tiêu chuẩn trong Rn , trong đó e i , i = 0, 1, , n, là vectơ đơn vị thứ (i + 1) của R n+1 và

các tập hợp đóng F0, F1, , F n trong Δn thỏa mãn điều kiện: với mọi tập con khác rỗng J ⊂ {0, 1, , n}, ta có conv({e j : j ∈ J}) ⊂ {F j : j ∈ J}.

lý thuyết điểm bất động Mặc dù Bổ đề KKM rất quan trọng, vì nó cho ta mộtchứng minh đơn giản Nguyên lý điểm bất động Brouwer (xem Định lý 1.1.3),nhưng lại hạn chế do chỉ áp dụng được cho các không gian vectơ hữu hạn chiều

Để khắc phục điều này, năm 1961, nhà toán học nổi tiếng Ky Fan đã mở rộng

Bổ đề KKM cho trường hợp không gian vectơ tôpô Hausdorff Định lý của KyFan ngày nay được gọi là Nguyên lý ánh xạ KKM Sau đây chúng tôi sẽ phátbiểu và chứng minh Nguyên lý ánh xạ KKM bằng cách sử dụng Bổ đề KKM

Điều thú vị và ngạc nhiên là Nguyên lý ánh xạ KKM vẫn còn đúng khi khônggian nền không cần tính ”tách” Theo như tác giả được biết thì ý tưởng chứng

1Trong [35], các tác giả phát biểu cho đơn hình S bất kỳ trongRn, ở đây ta chỉ sử dụng đơn hình tiêu chuẩn

Δn trong Rn.

minh định lý sau đây gần gũi với ý tưởng của Horvath và Llinares Ciscar (1996)khi họ chứng minh nguyên lý ánh xạ KKM cho nửa dàn tôpô [17], tuy nhiênbản thân tác giả không hề biết phép chứng minh này.

Với i = 0, 1, , n, ta xét ánh xạ f i : R ư→ X cho bởi f i (λ) = λa i với mọi

λ ∈ R Vì X là không gian vectơ tôpô nên f i là ánh xạ liên tục

hữu hạn trong C Tính chất này thường được phát biểu là họ ” {F (x) : x ∈ C}

có tính chất giao hữu hạn” Trong [35], các tác giả đã đưa ra điều kiện để

phủ mở của tập compact K Do đó, tồn tại x1, x2, , x k ∈ C sao cho K ⊂

F (x i ) = ∅ Điều này trái với tính chất

giao hữu hạn của họ {F (x) : x ∈ C} Vậy 

x∈C

F (x) = ∅.Một trong những định lý nổi tiếng nhất của Toán học trong thế kỷ trước làNguyên lý điểm bất động Brouwer Đó là định lý trung tâm của lý thuyết điểmbất động và cũng là một trong những nguyên lý cơ bản của giải tích phi tuyến

Định lý này được Brouwer chứng minh năm 1912 dựa vào một công cụ rất sâusắc của tôpô là lý thuyết bậc của ánh xạ liên tục nên khá phức tạp Vì thế, nhiềunhà toán học đã tìm cách chứng minh Nguyên lý điểm bất động Brouwer bằngnhững công cụ đơn giản hơn Bây giờ ta sẽ chứng minh Nguyên lý điểm bất

Vì T : Δn ư→ Δ n là ánh xạ liên tục nên các tập F i là đóng trong Δn

Thật vậy, với i = 0, 1, , n, ta xét ánh xạ p i : Δn ư→ R cho bởi, với

p i : Δn −→ R là ánh xạ liên tục nên p i ◦ T : Δ n −→ R cũng là ánh xạ liên

tục Chú ý rằng, vì (p i ◦ T )(x) = (T (x)) i nên các tập F i có thể đ−ợc viết lạinh− sau

F i = {x ∈ Δ n : p i (x)  (p i ◦ T )(x)}.

Vì p i : Δn −→ R và p i ◦ T : Δ n −→ R là các ánh xạ liên tục với mọi

i = 0, 1, , n nên các tập F i là đóng trong Δn với mọi i = 0, 1, , n Giả sử I ⊂ {0, 1, , n} là một tập hợp khác rỗng, ta chứng minh

conv({e i : i ∈ I}) ⊂ {F i : i ∈ I}.

Lấy x ∈ conv({e i : i ∈ I}) tuỳ ý, khi đó x =

Vậy x ∈ {F i : i ∈ I} Vì x ∈ conv({e i : i ∈ I}) là tuỳ ý nên conv({e i :

với (f(x)) i > x i Nguyên lý điểm bất động Brouwer cho biết nếu ánh xạ f liêntục thì bao giờ cũng có một điểm x ∗ = f(x ∗), nghĩa là một tình thế cân bằng

mà không doanh nghiệp nào muốn thay đổi để đ−ợc lợi hơn Chính vì thế màNguyên lý điểm bất động Brouwer (cùng với các mở rộng của nó) là công cụxây dựng các lý thuyết cân bằng trong kinh tế và nhiều lĩnh vực khác

Trong chứng minh Bổ đề KKM, tính đóng của các tập F0, F1, , F n là bắtbuộc Một điều bất ngờ lý thú là tính đóng ở đây có thể thay bằng tính mở vàviệc chứng minh lại dựa chính vào Bổ đề KKM

Định lý 1.1.4 Cho F0, F1, , F n là các tập hợp mở trong Δn thỏa mãn điều kiện: với mọi tập con khác rỗng J ⊂ {0, 1, , n}, ta có

Ta chứng tỏ rằng tập G i là xác định Đặt I = {i}, vì B I = ∅ nên tồn tại

y ∈ B I Ngoài ra vì B I ⊂ F i nên y ∈ F i Theo định nghĩa của H y thì H y ⊂ F i

và do đó U y ⊂ F i Vì y ∈ B I và B I ⊂ B nên y ∈ B Vậy tồn tại y ∈ B để

U y ⊂ F i , tức là tập G i xác định Mà B là tập hữu hạn nên G i là tập hợp đóngtrong Δn

Nếu z ∈ G i thì tồn tại y ∈ B để y ∈ U y ⊂ F i và z ∈ U y ⊂ H y Từ định nghĩa

của H y , ta suy ra z ∈ F i Vậy G i ⊂ F i

Bây giờ ta chứng minh conv({e i : i ∈ I}) ⊂ {G i : i ∈ I} với mọi tập con khác rỗng I của {0, 1, , n}.

Lấy z ∈ conv({e i : i ∈ I}) ⊂ {U y : y ∈ B I } thì tồn tại y ∈ B I ⊂ {F i :

i ∈ I} để z ∈ U y Do đó tồn tại j ∈ I để y ∈ F j Theo định nghĩa của H y

thì H y ⊂ F j , do đó U y ⊂ F j

Mặt khác, từ định nghĩa của G j thì U y ⊂ G j và do đó z ∈ U y ⊂ U y ⊂ G j

hay z ∈ G j Vậy ta có z ∈ {G i : i ∈ I} Vì z ∈ conv({e i : i ∈ I}) là

tùy ý nên conv({e i : i ∈ I}) ⊂ {G i : i ∈ I} Chú ý rằng, vì các tập G i

Định lý 1.1.4 đ−ợc gọi là Bổ đề KKM cho các tập hợp mở Vận dụng Định

lý 1.1.4, ta phát biểu và chứng minh định lý Shih

Định lý 1.1.5 (Định lý Shih) Cho C là một tập hợp lồi khác rỗng trong

không gian vectơ tôpô X và A là một tập con hữu hạn của C Giả sử

F : A −→ 2 C là một ánh xạ KKM và F (x) là tập mở trong C với mọi x ∈ A.

Ta thấy rằng ΦA (x) ∈ C với mọi x ∈ Δ n Thật vậy, với x =

Khi đó, theo nh− chứng minh Nguyên lý ánh xạ KKM ta cóΦA : Δn −→ X

là ánh xạ liên tục và với mọi tập con J khác rỗng của {0, 1, , n} thì

C ∩ T (x) với T (x) là tập mở trong X với mọi x ∈ A Vì F (x) ⊂ T (x)

với mọi x ∈ A nên từ conv({a j : j ∈ J}) ⊂ {F (a j ) : j ∈ J} ta

Vậy định lý Shih được chứng minh.

Bằng cách sử dụng định lý Shih, ta có thể chứng minh định lý điểm bất độngFan-Glicksberg (xem [35, trang 91]) Trong mục tiếp theo, ta sẽ chứng minh

định lý điểm bất động Fan-Glicksberg bằng cách sử dụng bất đẳng thức Ky Fan

và định lý Hahn-Banach

Ta nhắc lại một số khái niệm và Bổ đề sau:

Định nghĩa 1.1.6 Cho X và Y là hai không gian tôpô và T : X ư→ 2 Y , khi

đó

• T được gọi là nửa liên tục trên tại điểm x0 ∈ X nếu với mọi tập hợp G

mở chứa T (x0), tồn tại lân cận U của x0 trong X sao cho T (x) ⊂ G với mọi

x ∈ U Nếu ánh xạ T nửa liên tục trên tại mọi x ∈ X thì T được gọi là nửa liên tục trên.

• T được gọi là nửa liên tục dưới tại điểm x0 ∈ X nếu với mọi tập hợp G

mở thỏa mãn G ∩ T (x0) = ∅, tồn tại lân cận U của x0 trong X sao cho

G ∩ T (x) = ∅ với mọi x ∈ U Nếu ánh xạ T nửa liên tục dưới tại mọi x ∈ X thì T được gọi là nửa liên tục dưới.

• T được gọi là đóng nếu đồ thị Gr(T ) := {(x, y) ∈ X ì Y : y ∈ T (x)} của

(ii) Nếu Y là compact và T là đóng thì T là nửa liên tục trên.

(iii) Nếu T là ánh xạ nửa liên tục trên với giá trị compact thì T là đóng.

G0 = {G i : i ∈ A x1 ∪ A x2∪ ã ã ã ∪ A x n } là một phủ con hữu hạn của G Vì mọi

phủ mở G của T (X) đều có một phủ con hữu hạn G0 nên T (X) là compact (ii) Lấy x0 ∈ X tuỳ ý, ta chứng minh T là nửa liên tục trên tại x0 và do đó

T là nửa liên tục trên Vì Y là compact và T (X) là đóng trong Y nên T (X)

là compact

Giả sử G là tập mở chứa T (x0), ta cần phải chứng minh tồn tại lân cận U của

x0 trong X sao cho T (x) ⊂ G với mọi x ∈ U.

Với mọi y / ∈ G, vì G chứa T (x0) nên y /∈ T (x0), do đó (x0, y ) /∈ Gr(T ) Vì T

là đóng, nghĩa làGr(T ) là tập đóng trong X ìY nên tồn tại lân cận mở V y của

y trong Y và lân cận U x0(y) của x0 trong X sao cho (U x0(y) ì V y ) ∩ Gr(T ) =

∅ Vì {V y ∪ G : y /∈ G} là phủ mở của tập compact T (X) nên tồn tại

(V y i ∪ G) Giả sử z /∈ G, khi đó tồn tại số nguyên dương k không vượt

quá n sao cho z ∈ V y k Vì x ∈ U =

n



i=1

U x0(y i ) nên x ∈ U x0(y k) Kết hợp

với z ∈ V y k và z ∈ T (x), ta suy ra (x, z) ∈ (U x0(y k ) ì V y k ) ∩ Gr(T ) Vậy (U x0(y k )ìV y k )∩Gr(T ) = ∅, tuy nhiên điều này trái với (U x0(y)ìV y )∩Gr(T ) =

∅ ở trên Vậy z ∈ G, vì z ∈ T (x) là tuỳ ý nên T (x) ⊂ G Như vậy, ta đã

chứng minh được T (x) ⊂ G với mọi x ∈ U Chú ý rằng vì U là lân cận của

x0 trong X nên T là nửa liên tục trên tại x0 và do đó T là nửa liên tục trên (iii) Ta chứng minh T là đóng, nghĩa là phải chứng minh đồ thị Gr(T ) :=

{(x, y) ∈ X ìY : y ∈ T (x)} của T là tập đóng trong X ìY hay tương đương

với (X ì Y )\ Gr(T ) là tập mở trong X ì Y Giả sử (a, b) ∈ (X ì Y )\ Gr(T ),

suy ra (a, b) /∈ Gr(T ) hay b /∈ T (a) Suy ra với mọi y ∈ T (a) thì y = b Vì

Y là không gian tôpô Hausdorff nên tồn tại lân cận mở V y của y trong Y và lân cận U b (y) của b trong Y sao cho V y ∩ U b (y) = ∅ Vì {V y : y ∈ T (a)}

là phủ mở của tập compact T (a) nên tồn tại y1, y2, , y n ∈ T (a) sao cho

U b (y i ), ta suy ra y ∈ U b (y i ) Kết hợp với y ∈ V y i, ta suy ra

V y i ∩ U b (y i ) = ∅ Điều này trái với V y ∩ U b (y) = ∅ với mọi y ∈ T (a) Vậy (U ì V ) ∩ Gr(T ) = ∅ và do đó U ì V ⊂ (X ì Y )\ Gr(T ) Như vậy với mọi (a, b) ∈ (X ì Y )\ Gr(T ), tồn tại lân cận U của a trong X và lân cận V của

b trong Y sao cho U ì V ⊂ (X ì Y )\ Gr(T ) Do đó (X ì Y )\ Gr(T ) là tập

mở trong X ì Y hay Gr(T ) là tập đóng trong X ì Y Vậy T là đóng.

Định lý 1.1.9 (Nguyên lý ánh xạ KKM tổng quát) Cho C là một tập hợp

khác rỗng trong không gian vectơ tôpô X, F : C ư→ 2 X là một ánh xạ KKM Giả sử F (x) là tập đóng trong X (tương ứng mở) với mọi x ∈ C Khi đó với

mọi tập hợp hữu hạn khác rỗng A trong C, ta có



x∈A

F (x) = ∅.

Hơn nữa, nếu tồn tại hữu hạn các điểm a1, a2, , a n thuộc C và tập compact

K trong không gian vectơ tôpô X để

là ánh xạ liên tục và với mọi tập con J khác rỗng của {0, 1, , n} thì

Δn (tương ứng mở) Khi đó, theo Bổ đề KKM tổng quát (Định lý 1.1.8)

F (x i ) = ∅ Điều này trái

với tính chất giao hữu hạn của họ {F (x) : x ∈ C} Vậy 

x∈C

F (x) = ∅.

1.2 Bất đẳng thức Ky Fan và ứng dụng

Một hệ quả quan trọng của nguyên lý ánh xạ KKM, được sử dụng rộng rãitrong Giải tích phi tuyến là một bất đẳng thức do Ky Fan chứng minh năm 1961.Nhưng trước hết ta cần một số khái niệm sau:

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X là một không gian tôpô và f : X ư→ R là một

hàm số Ta nói rằng f là nửa liên tục dưới nếu tập {x ∈ X : f(x) > λ} là mở trong X với mọi λ ∈ R và f là nửa liên tục trên nếu tập {x ∈ X : f(x) < λ}

là mở trong X với mọi λ ∈ R.

Từ định nghĩa trên ta thấy f nửa liên tục trên nếu và chỉ nếu ưf nửa liêntục dưới

Định nghĩa 1.2.2 Giả sử C là một tập hợp trong không gian vectơ X và

f : C ư→ R là một hàm số Ta nói rằng f là tựa lõm nếu tập {x ∈ C :

f (x)  λ} là lồi với mọi λ ∈ R và f là tựa lồi nếu tập {x ∈ C : f(x)  λ}

là lồi với mọi λ ∈ R.

Dễ dàng thấy rằng nếu f là tựa lõm (tương ứng tựa lồi) thì tập hợp {x ∈ X :

f (x) > λ} (tương ứng tập hợp {x ∈ X : f(x) < λ}) là lồi với mọi λ ∈ R.Bây giờ ta phát biểu và chứng minh bất đẳng thức Ky Fan

Định lý 1.2.3 (Bất đẳng thức Ky Fan) Cho C là tập lồi compact khác rỗng

trong không gian vectơ tôpô Hausdorff X và hàm số f : C ì C ư→ R thỏa

mãn đồng thời các điều kiện sau:

(i) với mỗi y ∈ C cố định thì hàm f(ã, y) là tựa lõm, nghĩa là tập {x ∈ C :

f (x, y)  λ} là lồi với mọi số thực λ;

(ii) với mỗi x ∈ C cố định thì hàm f(x, ã) là nửa liên tục dưới, nghĩa là tập {y ∈ C : f(x, y) > λ} là mở trong C với mọi số thực λ;

(iii) f (x, x)  0 với mọi x ∈ C.

Khi đó tồn tại y ∗ ∈ C sao cho f(x, y ∗ )  0 với mọi x ∈ C.

Chứng minh Xét ánh xạ F : C ư→ 2 X cho bởi

F (x) = {y ∈ C : f(x, y)  0} với mọi x ∈ C.

Vì với x ∈ C cố định thì hàm f(x, ã) là nửa liên tục dưới nên tập {y ∈ C :

f (x, y) > 0} là mở trong C Do đó F (x) = {y ∈ C : f(x, y)  0} là đóng trong C Vì C là tập compact trong không gian vectơ tôpô Hausdorff X nên

C là đóng trong X Cùng với F (x) là đóng trong C với mọi x ∈ C, ta suy

ra F (x) là đóng trong X với mọi x ∈ C.

Ta chứng minh F là ánh xạ KKM Lấy x1, x2, , x n ∈ C tuỳ ý, ta chứng

F (x i ), khi đó f(x i , y ) > 0 với mọi i = 1, 2, , n Vì f(ã, y)

là tựa lõm nên tập {x ∈ C : f(x, y) > 0} là lồi Từ x1, x2, , x n ∈ C và

và f (x, y ∗ )  0 với mọi x ∈ C Định lý được chứng minh.

Xem kỹ lại chứng minh bất đẳng thức Ky Fan thì điều kiện ”với mỗi y ∈ C

cố định thì hàm f (ã, y) là tựa lõm” chỉ được sử dụng để chứng minh tập hợp

{x ∈ C : f(x, y) > 0} là lồi Do đó điều kiện thứ nhất trong bất đẳng thức KyFan có thể được thay thế bằng điều kiện ”với mỗi y ∈ C cố định thì tập hợp

{x ∈ C : f(x, y) > 0} là lồi” Do đó bất đẳng thức Ky Fan có thể được phátbiểu lại cho ”tốt hơn” như sau:

Định lý 1.2.4 Cho C là tập lồi compact khác rỗng trong không gian vectơ

tôpô Hausdorff X và hàm số f : C ì C ư→ R thỏa mãn đồng thời các điều

kiện sau:

(i) với mỗi y ∈ C cố định thì tập hợp {x ∈ C : f(x, y) > 0} là lồi;

(ii) với mỗi x ∈ C cố định thì hàm f(x, ã) là nửa liên tục dưới;

(iii) f (x, x)  0 với mọi x ∈ C.

Khi đó tồn tại y ∗ ∈ C sao cho f(x, y ∗ )  0 với mọi x ∈ C.

Trong bất đẳng thức Ky Fan, điều kiện C là tập compact là cần thiết chochứng minh Sau đây ta sẽ thay điều kiện C là tập compact bằng điều kiện C làtập đóng, điều thú vị là không gian nền X chỉ cần giả thiết là không gian vectơtôpô

Định lý 1.2.5 Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian vectơ tôpô

X và hàm số f : C ì C ư→ R thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

(i) với mỗi y ∈ C cố định thì tập hợp {x ∈ C : f(x, y) > 0} là lồi;

(ii) với mỗi x ∈ C cố định thì hàm f(x, ã) là nửa liên tục dưới;

(iii) f (x, x)  0 với mọi x ∈ C;

(iv) tồn tại tập con compact khác rỗng B trong C và w0 ∈ C sao cho

f (w0, x ) > 0 với mọi x ∈ C\B.

Khi đó tồn tại y ∗ ∈ C sao cho f(x, y ∗ )  0 với mọi x ∈ C.

Chứng minh Xét ánh xạ F : C ư→ 2 X cho bởi

F (x) = {y ∈ C : f(x, y)  0} với mọi x ∈ C.

Vì với x ∈ C cố định thì hàm f(x, ã) là nửa liên tục dưới nên tập {y ∈ C :

f (x, y) > 0} là mở trong C Do đó F (x) = {y ∈ C : f(x, y)  0} là đóng trong C Vì C là tập đóng trong X nên ta suy ra F (x) là đóng trong X với mọi x ∈ C.

Ta chứng minh F là ánh xạ KKM Lấy x1, x2, , x n ∈ C tuỳ ý, ta chứng

lồi nên y =

n



i=1

ξ i x i ∈ {x ∈ C : f(x, y) > 0}, nghĩa là f(y, y) > 0 Điều này

trái với f (x, x)  0 với mọi x ∈ C Vậy F : C ư→ 2 X

là ánh xạ KKM

Theo Nguyên lý ánh xạ KKM, với mọi tập hợp hữu hạn khác rỗng A trong

C, ta có 

x∈A

F (x) = ∅ Chú ý rằng, từ điều kiện (iv) ta có F (w0) ⊂ B Thật

vậy, với x ∈ F (w0) thì x ∈ C và f(w0, x )  0 Khi đó x ∈ B vì nếu không thì x ∈ C\B và do đó f(w0, x ) > 0 theo điều kiện (iv), trái với f(w0, x)  0

Bằng cách đổi vai trò của hai biến x và y trong Định lý 1.2.5 đồng thời thay

f bởi ưf, ta thu được định lý sau:

Định lý 1.2.6 Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian vectơ tôpô

X và hàm số f : C ì C ư→ R thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

(i) với mỗi x ∈ C cố định thì tập hợp {y ∈ C : f(x, y) < 0} là lồi;

(ii) với mỗi y ∈ C cố định thì hàm f(ã, y) là nửa liên tục trên;

(iii) f (x, x)  0 với mọi x ∈ C;

(iv) tồn tại tập con compact khác rỗng B trong C và y0 ∈ C sao cho

f (x, y0) < 0 với mọi x ∈ C\B.

Khi đó tồn tại x ∗ ∈ C sao cho f(x ∗ , y )  0 với mọi y ∈ C.

Trong Định lý 1.2.6, điều kiện thứ nhất có thể được thay bởi điều kiện: ”vớimỗi x ∈ C cố định thì hàm f (x, ã) là tựa lồi”, do đó ta có:

Định lý 1.2.7 Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian vectơ tôpô

X và hàm số f : C ì C ư→ R thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

(i) với mỗi x ∈ C cố định thì hàm f(x, ã) là tựa lồi;

(ii) với mỗi y ∈ C cố định thì hàm f(ã, y) là nửa liên tục trên;

(iii) f (x, x)  0 với mọi x ∈ C;

(iv) tồn tại tập con compact khác rỗng K trong C và y0 ∈ C sao cho

f (x, y0) < 0 với mọi x ∈ C\K.

Khi đó tồn tại x ∗ ∈ C sao cho f(x ∗ , y )  0 với mọi y ∈ C.

Định lý 1.2.7 sẽ được sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bất

đẳng thức biến phân sẽ được đề cập ở trong Chương 3

Bằng cách đổi vai trò của hai biến x và y, đôi khi bất đẳng thức Ky Fan ở

Định lý 1.2.3 được phát biểu dưới dạng sau:

Định lý 1.2.8 Cho C là tập lồi compact khác rỗng trong không gian vectơ

tôpô Hausdorff X và hàm số f : C ì C ư→ R thỏa mãn đồng thời các điều

kiện sau:

(i) với mỗi y ∈ C cố định thì hàm f(ã, y) là nửa liên tục dưới;

(ii) với mỗi x ∈ C cố định thì hàm f(x, ã) là tựa lõm;

(iii) f (x, x)  0 với mọi x ∈ C.

Khi đó tồn tại x ∗ ∈ C sao cho f(x ∗ , y )  0 với mọi y ∈ C.

Một trong những hiệu lực của bất đẳng thức Ky Fan là từ đây suy ra một loạt

định lý điểm bất động quan trọng, chi tiết bạn đọc có thể xem trong [35] Trongphần cuối chương này, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Ky Fan để chứng minh định

lý điểm bất động Fan-Glicksberg, từ đó suy ra một loạt các định lý điểm bất

động khác

Định lý điểm bất động sau đây là một hệ quả của Nguyên lý ánh xạ KKM,thường gọi là định lý Browder - Fan

Định lý 1.2.9 Cho C là tập lồi compact khác rỗng trong không gian vectơ

tôpô Hausdorff X và ánh xạ T : C ư→ 2 C thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

(i) T (x) là tập lồi khác rỗng với mọi x ∈ C;

(ii) T ư1 (y) := {x ∈ C : y ∈ T (x)} là tập mở trong C với mọi y ∈ C.

Khi đó tồn tại x0 ∈ C sao cho x0 ∈ T (x0).

Chứng minh Xét ánh xạ F : C ư→ 2 X cho bởi

F (x) = C\T ư1 (x) với mọi x ∈ C.

Vì T ư1 (x) là tập mở trong C với mọi x ∈ C nên F (x) là tập đóng trong C với mọi x ∈ C Vì C là tập compact trong không gian vectơ tôpô Hausdorff

X nên C là đóng trong X Cùng với F (x) là đóng trong C với mọi x ∈ C,

ta suy ra F (x) là đóng trong X với mọi x ∈ C.

Nếu F là ánh xạ KKM, khi đó theo Nguyên lý ánh xạ KKM 

x∈A

F (x) = ∅ với mọi tập hợp hữu hạn khác rỗng A ⊂ C Vì C là tập compact trong X

với mọi x ∈ C Suy ra x /∈ T (y) với mọi x ∈ C Điều này là vô lý vì T (y)

là tập con khác rỗng của C theo điều kiện (i).

Vậy F không phải là ánh xạ KKM, khi đó tồn tại x1, x2, , x n ∈ C sao

Từ (2.6) ta suy ra tồn tại x0 ∈ conv({x1, x2, , x n }) sao cho x0 ∈ F (x / i)

với mọi i = 1, 2, , n Vì C là lồi và x1, x2, , x n ∈ C nên ta suy ra

conv({x1, x2, , x n }) ⊂ C, do đó x0 ∈ C Kết hợp với x0 ∈ F (x / i) với

mọi i = 1, 2, , n, ta suy ra x0 ∈ T ư1 (x i ) với mọi i = 1, 2, , n hay

x i ∈ T (x0) với mọi i = 1, 2, , n Vì T (x0) là tập lồi nên ta suy ra

conv({x1, x2, , x n }) ⊂ T (x0) Kết hợp với x0 ∈ conv({x1, x2, , x n }),

ta suy ra x0 ∈ T (x0) Vậy tồn tại x0 ∈ C sao cho x0 ∈ T (x0)

Bây giờ ta sẽ mở rộng định lý Browder - Fan cho hai ánh xạ, ta có kết quảsau đây:

Định lý 1.2.10 Cho C là tập con lồi compact khác rỗng trong không gian

vectơ tôpô Hausdorff X Giả sử S, T : C ư→ 2 C là hai ánh xạ đa trị thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

(i) conv(S(x)) ⊂ T (x) với mọi x ∈ C;

(ii) S (x) = ∅ với mọi x ∈ C;

(iii) tập hợp S ư1 (y) := {x ∈ C : y ∈ S(x)} là mở trong C với mọi y ∈ C.

Khi đó tồn tại x0 ∈ C sao cho x0 ∈ T (x0).

Chứng minh Trước hết ta chứng minh

Thật vậy, lấy x ∈ C bất kỳ Vì S(x) = ∅ nên tồn tại y0 ∈ C để y0 ∈ S(x),

nghĩa là x ∈ S ư1 (y0) Do đó x ∈ {S ư1 (y) : y ∈ C} Vì x ∈ C là bất

kỳ nên ta suy ra C ⊂ {S ư1 (y) : y ∈ C} Bao hàm thức ngược lại là hiển

nhiên Vậy (2.7) được chứng minh

Vì C là compact và S ư1 (y) là mở trong C với mọi y ∈ C nên từ (2.7), ta suy

ra tồn tại hữu hạn các điểm y1, y2, , y n ∈ C sao cho C =

F (y) = C\S ư1 (y) với mọi y ∈ C.

Vì S ư1 (y) là tập mở trong C với mọi y ∈ C nên F (y) là tập đóng trong C với mọi y ∈ C Ngoài ra vì C là tập compact trong không gian vectơ tôpô

Hausdorff X nên C là đóng trong X Cùng với F (y) là đóng trong C với mọi

y ∈ C, ta suy ra F (y) là đóng trong X với mọi y ∈ C Từ C =

ánh xạ KKM, do đó tồn tại x1, x2, , x k ∈ C sao cho

Từ (2.8) ta suy ra tồn tại x0 ∈ conv({x1, x2, , x k }) sao cho x0 ∈ F (x / i)

với mọi i = 1, 2, , k Vì C là lồi và x1, x2, , x k ∈ C nên ta suy ra

conv({x1, x2, , x k }) ⊂ C, do đó x0 ∈ C Kết hợp với x0 ∈ F (x / i) với mọi

i = 1, 2, , k, ta suy ra x0 ∈ S −1 (x i ) với mọi i = 1, 2, , k hay x i ∈ S(x0)

với mọi i = 1, 2, , k Suy ra x i ∈ conv S(x0) với mọi i = 1, 2, , k Vì conv S(x0) là tập lồi nên ta suy ra conv({x1, x2, , x k }) ⊂ conv S(x0) Chú

ý rằng, vì x0 ∈ conv({x1, x2, , x k }) nên ta suy ra x0 ∈ conv S(x0) Kếthợp với conv S(x0) ⊂ T (x0), ta suy ra x0 ∈ T (x0) Vậy tồn tại x0 ∈ C sao

”Cho A1, A2, , A n là các tập hợp lồi compact khác rỗng trong không gianvectơ tôpô X, khi đó conv(A1 ∪ A2 ∪ ã ã ã ∪ A n) là tập compact”

Chứng minh kết quả này không khó, bạn đọc có thể xem ở trong [40, trang72]

Một kết quả trực tiếp đ−ợc suy ra từ kết quả trên là ”Cho các điểm a1, a2, , a n

trong không gian vectơ tôpô X, khi đó conv({a1, a2, , a n }) là tập compact”.Thật vậy, vì các tập hợp A i = {a i } với i = 1, 2, , n là các tập hợp lồi com-pact khác rỗng trong không gian vectơ tôpô X nên conv({a1, a2, , a n }) =

conv(A1 ∪ A2∪ ã ã ã ∪ A n) là tập compact

Bây giờ ta phát biểu và chứng minh Định lý Browder - Fan tổng quát Phépchứng minh này đ−ợc tác giả độc lập chứng minh

Định lý 1.2.11 (Định lý Browder - Fan tổng quát) Cho C là tập con lồi

khác rỗng của không gian vectơ tôpô Hausdorff X Cho S, T : C −→ 2 C là hai ánh xạ đa trị thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

(i) conv(S(u)) ⊂ T (u) với mọi u ∈ C;

(ii) S (u) = ∅ với mọi u ∈ C;

(iii) tập hợp S −1 (v) := {u ∈ C : v ∈ S(u)} là mở trong C với mọi v ∈ C;

(iv) tồn tại tập compact khác rỗng K ⊂ C và tập lồi compact khác rỗng

D ⊂ C sao cho với mọi u ∈ C\K, tồn tại ˜v ∈ D sao cho u ∈ S −1 (˜v).

Khi đó tồn tại u ∈ C sao cho u ∈ T (u).

5

Do tác giả tự đặt

ở đây ký hiệu

Đặt L M = conv(conv(M) ∪ D) Khi đó, vì M là tập hữu hạn khác rỗng nên conv(M) là tập lồi compact trong X Vì D là tập con lồi compact của C nên

D cũng là tập lồi compact trong X Do đó L M là tập lồi, compact trong X

và chứa M Vì M, D ⊂ C và C là lồi nên L M = conv(conv(M) ∪ D) ⊂ C.

Ta chứng minh

L M ∩{C\S −1 (v) : v ∈ L M } ⊂ K.

Lấy u ∈ L M ∩{C\S −1 (v) : v ∈ L M } bất kỳ, khi đó u ∈ C Giả sử u /∈ K,

khi đó u ∈ C\K Theo điều kiện (iv), tồn tại ˜v ∈ D sao cho u ∈ S −1 (˜v).

Vì ˜v ∈ D và D ⊂ L M nên ˜v ∈ L M Điều này là vô lý vì ta biết rằng

u ∈ {C\S −1 (v) : v ∈ L M } và ˜v ∈ L M nên u / ∈ S −1 (˜v) Nh− vậy u ∈ K, vì u ∈ L M ∩{C\S −1 (v) : v ∈ L M } là bất kỳ nên

Vì L M là tập compact trong X và L M ⊂ C nên L M là tập compact trong C Chú ý rằng, vì S −1 (v) là tập mở trong C với mọi v ∈ C nên từ (2.12), ta suy

ra tồn tại A = {v0, v1, , v n M sao cho

Đặc biệt, khi J = {0, 1, , n}, ta đ−ợc Φ A(Δn ) ⊂ conv(A) Mặt khác, vì

ánh xạ ΦA : Δn −→ X là liên tục nên ánh xạ Φ A : Δn −→ conv(A) cũng

liên tục

Vì X là không gian tôpô Hausdorff và L M ⊂ X là tập compact khác rỗng

nên L M là không gian compact Hausdorff với tôpô cảm sinh bởi tôpô của X trên L M Vì S −1 (v i ) là mở trong C và L M ⊂ C nên S −1 (v i ) ∩ L M là mở

trong L M

Theo bổ đề về phân hoạch đơn vị, tồn tại một dãy hàm liên tục 

ϕ in i=0

trên L M thỏa mãn các tính chất sau:

a) ϕ i (x)  0 với mọi x ∈ L M và mọi i = 0, 1, , n;

ϕ i (x)e i với mọi x ∈ L M

6Với i = 0, 1, , n, ta xét ánh xạ f i : R −→ R n+1 cho bởi f

i (λ) = λe i Khi đó f i là ánh xạ liên tục với

mọi i = 0, 1, , n Vì ϕ i : L M −→ R là liên tục với mọi i = 0, 1, , n nên p =n

i=0

f i ◦ ϕ i : L M −→ R n+1

Đặt A x = {v i : ϕ i (x) = 0} và B x = {i ∈ {0, 1, , n} : v i ∈ A x } với mọi

x ∈ L M Khi đó A x ⊂ A và p(x) = 

i∈B x

ϕ i (x)e i

Nếu v i ∈ A x thì ϕ i (x) = 0, suy ra x ∈ S −1 (v i ) ∩ L M hay v i ∈ S(x), do đó

A x ⊂ S(x) Kết hợp với A x ⊂ A, ta suy ra A x ⊂ A ∩ S(x) Mặt khác, theo

i ∈ B x }) Kết hợp với Φ A (conv({e i : i ∈ B x })) ⊂ conv({v i : i ∈ B x }), ta suy

ra ΦA (p(x)) ∈ conv({v i : i ∈ B x }) Vì conv({v i : i ∈ B x }) = conv(A x ) ⊂ conv(A∩S(x)) và Φ A (p(x)) ∈ conv({v i : i ∈ B x }) nên Φ A (p(x)) ∈ conv(A∩

S (x)) Vì Φ A : Δn −→ conv(A) và p : L M −→ Δ n là hai ánh xạ liên tục

nên f := ΦA ◦ p : L M −→ conv(A) là ánh xạ liên tục và f(x) = Φ A (p(x)) ∈ conv(A ∩ S(x)) với mọi x ∈ L M Từ điều kiện (i) ta có conv(A ∩ S(x)) ⊂ conv S(x) ⊂ T (x) Kết hợp với f(x) ∈ conv(A ∩ S(x)) với mọi x ∈ L M, ta

suy ra f (x) ∈ T (x) với mọi x ∈ L M

Nh− vậy tồn tại A M và ánh xạ liên tục f : L M −→ conv(A)

sao cho f (x) ∈ T (x) với mọi x ∈ L M Hơn nữa tồn tại hai ánh xạ liên

M và L M là lồi nên conv(A) ⊂ L M, do đó tồn tại

p ◦ Φ A : Δn −→ Δ n và ánh xạ này liên tục Theo Nguyên lý điểm bất động

Brouwer, tồn tại x ∈ Δ n sao cho (p ◦ Φ A )(x) = x Đặt u = Φ A (x) thì u ∈ L M

và u = ΦA (x) = Φ A ((p ◦ Φ A )(x)) = (Φ A ◦ p)(Φ A (x)) = f(u) ∈ T (u) Vậy tồn tại u ∈ L M ⊂ C sao cho u ∈ T (u) Định lý đ−ợc chứng minh.

Tiếp theo, ta sẽ thiết lập định lý điểm trùng cho các ánh xạ đa trị bằng cách

sử dụng định lý Browder - Fan

Định lý 1.2.12 Cho X, Y là hai tập lồi compact khác rỗng trong không gian

vectơ tôpô Hausdorff E và F Giả sử T, S : X −→ 2 Y là hai ánh xạ đa trị thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

(i) T (x) là tập lồi khác rỗng với mọi x ∈ X và T −1 (y) là tập mở trong X

Khi đó tồn tại x0 ∈ X sao cho T (x0) ∩ S(x0) = ∅.

Chứng minh Xét ánh xạ F : X ì Y ư→ 2 XìY cho bởi

F (x, y) = S ư1 (y) ì T (x) với mọi (x, y) ∈ X ì Y.

Vì X, Y là hai tập lồi compact khác rỗng trong không gian vectơ tôpô E

và F nên theo định lý Tikhonov X ì Y là tập lồi compact khác rỗng trong

không gian vectơ tôpô E ì F Mặt khác, vì T (x) là tập lồi khác rỗng với

mọi x ∈ C và S ư1 (y) là tập lồi khác rỗng với mọi y ∈ C nên F (x, y) là tập

lồi khác rỗng với mọi (x, y) ∈ X ì Y Ngoài ra, với mọi (x, y) ∈ X ì Y thì

F ư1 (x, y) = T ư1 (y) ì S(x) là tập mở trong X ì Y vì T ư1 (y) là tập mở trong

(i) Giả sử inf

x∈C f (x) = ư∞ Khi đó với mọi số nguyên dương n, tồn tại

x n ∈ C sao cho f(x n )  ưn Với n là số nguyên dương, đặt A n := {x ∈ C :

f (x)  ưn} Khi đó vì x n ∈ A n nên A n = ∅ với mọi n, ngoài ra dễ thấy rằng

A n+1 ⊂ A n với mọi n Vì f là nửa liên tục dưới nên tập {x ∈ C : f(x) > ưn}

là mở trong C, và do đó A n là đóng trong C với mọi n Với mọi x ∈ C,

chọn n0 ∈ N ∗ sao cho f (x) > ưn0 thì x ∈ C\A n0 Do đó C =

∞



n=1

(C\A n)

Vì A n là đóng trong C với mọi n nên C \A n là mở trong C với mọi n, chú

ý rằng vì C là tập compact trong X nên tồn tại tập con hữu hạn khác rỗng I

của N∗ sao cho C = 

đó A k = ∅, điều này trái với việc A n = ∅ với mọi n Vậy inf

x∈C f (x) > ư∞ Bây giờ ta chứng minh tồn tại điểm x0 ∈ C để cho inf

x∈C f (x) = f(x0)

Ta chứng minh điều này bằng phản chứng Giả sử inf

x∈C f (x) = f(x) với mọi x ∈ C Ta suy ra a < f(x) với mọi x ∈ C, trong đó a = inf

x∈C f (x) Với ε > 0, đặt A ε := {x ∈ C : f(x)  a + ε} Vì a = inf

x∈C f (x) nên tồn tại x ∈ C để a + ε > f(x), do đó A ε = ∅ với mọi ε > 0 Dễ thấy

rằng nếu ε < δ thì A ε ⊂ A δ Vì f : C ư→ R là nửa liên tục dưới nên

C \A ε = {x ∈ C : f(x) > a + ε} là tập mở trong C Với mọi x ∈ C thì

Định lý 1.2.14 Cho X, Y là hai tập lồi compact khác rỗng trong không gian

vectơ tôpô Hausdorff E và hàm số f : X ì Y ư→ R thỏa mãn các điều kiện

sau:

(i) với mỗi x ∈ X cố định thì hàm f(x, ã) là tựa lồi và nửa liên tục dưới; (ii) với mỗi y ∈ Y cố định thì hàm f(ã, y) là tựa lõm và nửa liên tục trên Khi đó ta có

y∈Y f (x, y) > ư∞ Vậy ta thu được một hàm F : X ư→ R Vì {x ∈ X : F (x) < λ} =

{x ∈ X : min

y∈Y f (x, y) < λ} = 

y∈Y

{x ∈ X : f(x, y) < λ} Vì hàm f(ã, y)

là nửa liên tục trên với y ∈ Y nên tập hợp {x ∈ X : f(x, y) < λ} là mở

trong X với mọi y ∈ Y Do đó tập hợp {x ∈ X : F (x) < λ} là mở

trong X với mọi λ ∈ R nên F : X ư→ R là nửa liên tục trên Theo Bổ

x∈X min

y∈Y f (x, y) < λ, ta suy ra T λ (x) = ∅ với mọi

x ∈ X Ngoài ra T λ (x) là tập lồi vì hàm f(x, ã) là tựa lồi Mặt khác

T λ ư1 (y) := {x ∈ X : y ∈ T λ (x)} = {x ∈ X : f(x, y) < λ} là tập mở trong X với mọi y ∈ Y vì với mỗi y ∈ Y cố định thì hàm f(ã, y) là nửa liên tục trên.

Xét ánh xạ S λ : X ư→ 2 Y cho bởi S λ (x) := {y ∈ Y : f(x, y) > λ} với mọi

x ∈ X Khi đó tập S λ (x) là tập mở trong Y vì hàm f(x, ã) là nửa liên tục dưới Mặt khác S λ ư1 (y) := {x ∈ X : y ∈ S λ (x)} = {x ∈ X : f(x, y) > λ} là tập lồi với mọi y ∈ Y vì với mỗi y ∈ Y cố định thì hàm f(ã, y) là tựa lõm.

hệ quả của định lý Hahn-Banach

Định lý 1.2.15 (Hệ quả định lý Hahn-Banach) Cho A và B là hai tập hợp

lồi khác rỗng rời nhau trong không gian lồi địa phương X, A là tập compact trong X còn B là đóng trong X, khi đó tồn tại f ∈ X ∗ và γ

1, γ2 ∈ R sao cho

Re f(a) < γ1 < γ2 < Re f(b)

với mọi a ∈ A và mọi b ∈ B.

Chứng minh định lý, bạn đọc có thể xem ở trong [40, trang 59]

Định lý 1.2.16 (Định lý điểm bất động Fan-Glicksberg) Cho C là một tập

hợp lồi, compact và khác rỗng trong không gian lồi địa phương Hausdorff X,

T : C ư→ 2 C là một ánh xạ nửa liên tục trên với giá trị lồi đóng khác rỗng, nghĩa là T (x) là tập lồi, đóng trong C và khác rỗng với mọi x thuộc C Khi

đó T có điểm bất động trong C.

Chứng minh.

Ta chứng minh bằng phản chứng, giả sử rằng T không có điểm bất động trong

C Khi đó với mọi x ∈ C thì x /∈ T (x) Chú ý rằng, tập hợp B := {x} là

lồi, đóng và khác rỗng trong không gian lồi địa phương Hausdorff X còn tập hợp A := T (x) là lồi khác rỗng trong X Vì T (x) là tập đóng trong C và

C là compact trong không gian lồi địa phương Hausdorff X nên A = T (x)

là compact trong X Ngoài ra, vì x / ∈ T (x) nên A ∩ B = ∅ Theo Định lý

1.2.15, tồn tại f ∈ X ∗ và γ ∈ R sao cho

Re f(a) < γ < Re f(b) với mọi a ∈ A và mọi b ∈ B.

Điều này có nghĩa là

Re f(a) < γ < Re f(x) với mọi a ∈ T (x).

Dĩ nhiên, hàm f và số thực γ phụ thuộc vào x ∈ C Vì vậy, ta thay nó bằng

f x và γ x Từ đó, ta thu được

Re f x (a) < γ x < Re f x (x) với mọi a ∈ T (x). (2.14)

Với mỗi x ∈ C, đặt

V x := {y ∈ C : tồn tại α y ∈ R : Re f x (z) < α y < Re f x (y) với mọi z ∈ T (y)}.

Ta sẽ kiểm tra V x là tập mở trong C Thật vậy, lấy y0 ∈ V x bất kỳ, khi đó

y0 ∈ C và tồn tại số α y0 ∈ R sao cho

Re f x (z) < α y0 < Re f x (y0) với mọi z ∈ T (y0).

Đặt H x := {y ∈ X : Re f x (y) < α y0}, khi đó H x là tập mở trong X.7 Ngoài

ra, vì Re f x (z) < α y0 với mọi z ∈ T (y0) nên T (y0) ⊂ H x Chú ý rằng

T (y0) ⊂ C, do đó T (y0) ⊂ H x ∩ C Vì H x là tập mở trong X nên H x ∩ C là

mở trong C Kết hợp với T (y0) ⊂ H x ∩ C và T : C ư→ 2 C

là nửa liên tục

trên, ta suy ra tồn tại lân cận U y0 của y0 trong C sao cho T (y) ⊂ H x ∩ C với

7Thật vậy, lấy y1∈ H x, khi đóRe f x (y1) < α y0 hay α y0ư Re f x (y1) > 0 Vì f x ∈ X ∗ nên f

x liên tục tại

y1, do vậy tồn tại lân cận U y1 của y1 trong X sao cho |f x (y) ư f x (y1)| < α y0ư Re f x (y1) với mọi y ∈ U y1.

Do đó Re(f x (y) ư f x (y1))  |f x (y) ư f x (y1)| < α y0ư Re f x (y1) với mọi y ∈ U y1, hayRe f x (y) < α y0 với

mọi y ∈ U y1 Điều này có nghĩa là U y1⊂ H x Vậy H x là tập mở trong X.

mọi y ∈ U y0 Tương tự, ta thấy tập hợp J x := {y ∈ X : Re f x (y) > α y0} là

mở trong X Vì α y0 < Re f x (y0) nên y0 ∈ J x Do đó, tồn tại lân cận V y0 của

y0 trong X sao cho V y0 ⊂ J x Điều này chứng tỏ rằng

Re f x (y) > α y0 với mọi y ∈ V y0. (2.15)

Đặt Z y0 = U y0∩ (V y0 ∩ C) thì vì U y0 là lân cận của y0 trong C còn V y0 là lân

cận của y0 trong X (và do đó V y0 ∩ C là lân cận của y0 trong C) nên Z y0 là

lân cận của y0 trong C Ta chỉ ra rằng Z y0 ⊂ V x , và do đó V x là tập mở trong

C.

Thật vậy, với y ∈ Z y0, ta chứng minh y ∈ C và thỏa mãn

Re f x (z) < α y0 < Re f x (y) với mọi z ∈ T (y). (2.16)

Từ cách đặt của Z y0, ta dễ dàng thấy được y ∈ C Bây giờ ta lấy z ∈ T (y) bất

kỳ, vì y ∈ Z y0 nên y ∈ U y0 Do đó T (y) ⊂ H x ∩ C, và vì vậy z ∈ H x ∩ C (do

z ∈ T (y)) Suy ra Re f x (z) < α y0, nghĩa là bất đẳng thức đầu tiên ở (2.16)

được chứng minh Bất đẳng thức thứ hai ở (2.16) là dễ dàng nếu ta nhớ lại

rằng y ∈ Z y0 ⊂ V y0 và (2.15)

Vậy V x là tập mở trong C với mọi x ∈ C Từ (2.14) và định nghĩa của V x,

ta suy ra x ∈ V x với mọi x ∈ C Do đó C ⊂ 

Vì X là không gian tôpô Hausdorff và C ⊂ X là tập compact khác rỗng nên

C là một không gian compact Hausdorff với tôpô cảm sinh bởi tôpô của X

trên C.

Theo bổ đề về phân hoạch đơn vị, tồn tại một dãy hàm liên tục 

ϕ in i=1

trên C thỏa mãn các tính chất sau:

a) ϕ i (x)  0 với mọi x ∈ C và mọi i = 1, 2, , n;

với mọi x, y ∈ C.

• Với mỗi y ∈ C cố định, hàm f(ã, y) là liên tục vì các hàm ϕ i , f x i (và do

đó Re f x i ) là liên tục với mọi i = 1, 2, , n.

• Với mỗi x ∈ C cố định, hàm f(x, ã) là tựa lõm vì các hàm f x i ∈ X ∗ nên làhàm tuyến tính.8

• f(x, x) = 0 với mọi x ∈ C.

Theo bất đẳng thức Ky Fan (Định lý 1.2.8), tồn tại x ∗ ∈ C sao cho f(x ∗ , y)  0

với mọi y ∈ C Ta sẽ thấy mâu thuẫn bằng cách chỉ ra tồn tại (ít nhất) một

8Thật vậy, lấy λ ∈ R tùy ý, ta cần chứng tỏ rằng tập hợp Γ := {y ∈ C : f(x, y)  λ} là tập lồi Lấy

y1, y2 ∈ Γ và α ∈ [0, 1] Khi đó, y1, y2 ∈ C và vì C là lồi nên αy1+ (1 − α)y2 ∈ C Do đó để chứng minh

αy1+ (1 − α)y2 ∈ Γ, ta chỉ cần chứng minh f(x, αy1+ (1 − α)y2)  λ Ta có f(x, αy1+ (1 − α)y2) =

Như vậy, giả thiết phản chứng là sai, nghĩa là T có điểm bất động trong C.

Ta kết thúc chứng minh định lý điểm bất động Fan-Glicksberg

Trong định lý điểm bất động Fan-Glicksberg, nếu không gian lồi địa phươngHausdorff X được chọn là Rn thì ta thu được định lý Kakutani

Định lý 1.2.17 (Kakutani) Cho C là một tập hợp lồi, compact và khác rỗng

trong Rn , T : C ư→ 2 C là một ánh xạ nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng, khác rồng Khi đó T có điểm bất động trong C.

Trong định lý điểm bất động Fan-Glicksberg, nếu ánh xạ T được chọn là đơntrị thì ta thu được định lý Tikhonov, mà một hệ quả của nó là định lý điểm bất

động Schauder

Định lý 1.2.18 (Tikhonov) Cho C là một tập hợp lồi, compact và khác rỗng

trong không gian lồi địa phương Hausdorff X, T : C ư→ C là một ánh xạ

liên tục Khi đó T có điểm bất động trong C.

Năm 2001 Robert Cauty đã chứng minh giả thiết ”lồi địa phương” là khôngcần thiết [8], đó cũng là câu trả lời cho giả thuyết Schauder được nêu ra năm1935

Chương 2

Bài toán cân bằng

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu về cân bằng Nash và bài toán cânbằng Ngoài ra chúng tôi tìm cách mở rộng bất đẳng thức Ky Fan và bất đẳngthức Minty, góp phần bổ sung cho lý thuyết KKM trong không gian vectơ tôpô

2.1 Cân bằng Nash

Ta xét một trò chơi không hợp tác giữa n người chơi A1, A2, , A n Gọi

K1, K2, , K n là các tập chiến lược của n người chơi, các hàm f i : K =

Với x ∈ K, x có thể được viết x = (x j , ˆx j), trong đó x j ∈ K j và ˆx j ∈ ˆ K j, khi

đó ta thường viết x j = projK j (x) và ˆx j = projKˆj (x) Hàm projKˆj : K ư→ ˆ K j

được gọi là ánh xạ chiếu trên Kˆj Nếu xét với tôpô tích thì ta dễ dàng thấy được

các ánh xạ chiếu là liên tục

Kết quả gốc về sự tồn tại điểm cân bằng Nash do Nash chứng minh trongkhông gian hữu hạn chiều và sử dụng định lý Kakutani (định lý 1.2.17) Sau

đây chúng tôi sẽ chứng minh định lý Nash về sự tồn tại điểm cân bằng trongkhông gian bất kỳ bằng cách sử dụng định lý Browder - Fan (Định lý 1.2.9).Trước hết, ta cần có kết quả bổ trợ sau đây:

Định lý 2.1.2 Giả sử K1, K2, , K n là các tập lồi compact khác rỗng trong các không gian vectơ tôpô Hausdorff thực E1, E2, , E n , đặt K =

n



i=1

K i Giả sử rằng S1, S2, , S n là n tập con của K với các tính chất sau đây: (i) Với mỗi j = 1, 2, , n và mỗi điểm x j ∈ K j , tập hợp

S j (x j ) := {ˆu j : ˆu j ∈ ˆ K j , (x j , ˆu j ) ∈ S j }

Chứng minh Vì K1, K2, , K n là các tập lồi compact khác rỗng trong các

không gian vectơ tôpô Hausdorff thực E1, E2, , E n nên K =

n



i=1

K i làtập lồi compact khác rỗng trong các không gian vectơ tôpô Hausdorff thực

Vì các tập hợp S j (ˆx j ) là lồi khác rỗng của K j nên T (x) tập lồi khác rỗng của

K với mọi x ∈ K Ngoài ra với y ∈ K, thì T −1 (y) := {x ∈ K : y ∈ T (x)},

do đó từ định nghĩa của T (x) và của các tập hợp S j (y j ) với j = 1, 2, , n,

mở trong K với j = 1, 2, , n, và do đó T −1 (y) là tập mở trong K với mọi

y ∈ K Theo định lý Browder - Fan (Định lý 1.2.9), tồn tại u ∈ K sao cho

u ∈ T (u), do đó u = (u j , ˆu j ) ∈ S j với mọi j = 1, 2, , n, nghĩa là u ∈ S j

với mọi j = 1, 2, , n Vậy

trong đó ˆu j = projKˆj (u).

Chứng minh Với mỗi ˆx j ∈ ˆ K j, đặt

E j nên g j là hàm thực liên tục xác định trên ˆK j.1

Với mỗi số nguyên dương k, đặt

H k := {u : u ∈ K, f j (u)  g j (ˆu j ) ư 1

k với mọi j = 1, 2, , n},

trong đó ˆu j = projKˆj (u) Khi đó H k được viết lại như sau

H k := {u : u ∈ K, f j (u)  (g j ◦ proj Kˆj )(u) ư 1

k với mọi j = 1, 2, , n} Vì g j là hàm liên tục xác định trên ˆK j còn ánh xạ chiếu projKˆj : K ư→ ˆ K j là

liên tục nên g j ◦proj Kˆj : K ư→ R là liên tục Kết hợp với f j : K ư→ R là liên

tục, ta suy ra{u : u ∈ K, f j (u)  (g j ◦proj Kˆj )(u)ư1

Thật vậy, ta đã sử dụng kết quả sau đây: Cho C là tập compact khác rỗng trong không gian tôpô X, D

là tập khác rỗng trong X và hàm số liên tục f : C ì D ư→ R Khi đó hàm g : D ư→ R xác định bởi

g(y) = max

x∈C f(x, y) là liên tục trên D Thật vậy, vì f : C ì D ư→ R là liên tục nên f(ã, y) : C ư→ R là liên

tục và do đó là nửa liên tục trên Theo Bổ đề 1.2.13, tồn tại max

x∈C f(x, y) ∈ R Như vậy hàm g là xác định.

Ta chứng minh g là liên tục, muốn vậy ta chứng minh g nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên Lấy λ ∈ R bất

kỳ, ta sẽ chứng minh tập hợp{y ∈ D : g(y) > λ} là mở trong D Lấy y0 ∈ {y ∈ D : g(y) > λ} tuỳ ý, khi

đó y0∈ D và g(y0) > λ Chọn số ε > 0 thoả mãn g(y0) ư λ > ε > 0 Vì g(y0) = max

x∈C f(x, y0) nên tồn tại

x0∈ C sao cho f(x0, y0) + ε > g(y0) Do đó f(x0, y0) > g(y0) ư ε > λ Vì f : C ì D ư→ R là liên tục nên

tồn tại lân cận mở U x0 của x0 trong C và lân cận mở V y0 của y0trong D sao cho f (x, y) > λ với mọi x ∈ U x0

và y ∈ V y0 Do đó g(y) = max

x∈C f(x, y)  f(x0, y) > λ với mọi y ∈ V y0 Vậy V y0 ⊂ {y ∈ D : g(y) > λ} Chú

ý rằng, vì V y0 là lân cận mở của y0 trong D nên ta suy ra tập hợp {y ∈ D : g(y) > λ} là mở trong D Vậy

g là nửa liên tục dưới Bây giờ ta chứng minh g là nửa liên tục trên Lấy λ ∈ R bất kỳ, ta sẽ chứng minh tập

hợp{y ∈ D : g(y) < λ} là mở trong D Lấy y0∈ {y ∈ D : g(y) < λ} tuỳ ý, khi đó y0∈ D và g(y0) < λ hay max

x∈C f(x, y0) < λ Suy ra f(x, y0) < λ với mọi x ∈ C Vì f : C ì D ư→ R là liên tục nên tồn tại lân cận mở

U x của x trong C và lân cận mở V y0(x) của y0trong D sao cho f (x  , y  ) < λ với mọi x  ∈ U x và y  ∈ V y0(x) Vì C = 

V y0(x k ), khi đó y ∈ D, ta chứng minh g(y) < λ Với

x ∈ C thì tồn tại số nguyên dương i không vượt quá n sao cho x ∈ U x i Vì y ∈ n

k=1

V y0(x k ) nên y ∈ V y0(x i).

Do đó f (x, y) < λ Vì f(x, y) < λ với mọi x ∈ C nên ta suy ra max

x∈C f(x, y) < λ hay g(y) < λ Vậy g là nửa

liên tục trên, kết hợp với g là nửa liên tục dưới, ta suy ra g là liên tục Nếu xét trong bối cảnh C = K j là tập

compact trong E j , D= ˆK j ⊂ ˆ E j , f = f j và g = g j, ta có kết quả trên.

Với mỗi số nguyên dương k cố định, đặt

S j := {u : u ∈ K, f j (u j , ˆu j ) > g j (ˆu j ) ư 1

k } với j = 1, 2, , n.

• Với mỗi j = 1, 2, , n và mỗi điểm ˆx j ∈ ˆ K j, tập hợp

S j (ˆx j ) := {u j : u j ∈ K j , (u j , ˆx j ) ∈ S j }

là tập con lồi khác rỗng của K j

Thật vậy, S j (ˆx j) có thể được viết lại như sau

S j (ˆx j ) := {u j : u j ∈ K j , f j (u j , ˆx j ) > g j (ˆx j ) ư 1

k }.

Từ giả thiết f j (z j , ˆx j ) là hàm tựa lồi của z j trên K j , ta suy ra S j (ˆx j) là tập

lồi trong K j Từ định nghĩa của hàm g j , ta suy ra tập S j (ˆx j) là khác rỗng

• Với mỗi j = 1, 2, , n và mỗi điểm x j ∈ K j, tập hợp

S j (x j ) := {ˆu j : ˆu j ∈ ˆ K j , (x j , ˆu j ) ∈ S j }

là tập mở trong ˆK j

Thật vậy, S j (x j) có thể được viết lại như sau

S j (x j ) := {ˆu j : ˆu j ∈ ˆ K j , f j (x j , ˆu j ) > g j (ˆu j ) ư 1

k (do H k là tập đóng trong K với mọi số nguyên dương k) Do đó tồn tại hữu hạn các số nguyên dương k1, k2, , k m sao cho

Lấy u thuộc giao này, khi đó f j (u)  g j (ˆu j ) ư 1

k với mọi số nguyên dương k

và mọi j = 1, 2, , n Cho k → +∞, ta được f j (u)  g j (ˆu j ) với mọi j =

với mọi j = 1, 2, , n Định lý đã được chứng minh.

Trong mục tiếp theo, ta xét bài toán cân bằng và chúng ta cũng đưa ra giảithích cân bằng Nash cũng là một trường hợp riêng của bài toán cân bằng

Chú ý rằng trong nhiều trường hợp ta xét bất đẳng thức ngược lại bằng cáchthay f bởi ưf

Trước hết, ta thấy rằng nhiều vấn đề toán học có thể được xem như bài toáncân bằng, ta xét các ví dụ sau:

2

Equilibrium Problem

• Cho X là một tập hợp khác rỗng và hàm số ϕ : X −→ R Ta tìm điềukiện để tồn tại x ∈ X sao cho

ϕ (x)  ϕ(x) với mọi x ∈ X.

Nếu xét f : X ì X −→ R cho bởi

f (x, y) = ϕ(x) − ϕ(y) với mọi x, y ∈ X.

Do đó nếu tồn tại x ∈ X để f (x, y)  0 đúng với mọi y ∈ X thì ta sẽ có

ϕ (x)  ϕ(x) với mọi x ∈ X

• Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng và hàm số ψ : A ì B −→ R Điểm

(x0, y0) ∈ A ì B đ−ợc gọi là điểm yên ngựa nếu

ψ (x0, y )  ψ(x0, y0)  ψ(x, y0) với mọi (x, y) ∈ A ì B.

Ví dụ hàm số f : R ì R −→ R cho bởi f (x, y) = x2 − y2 có điểm yên ngựa

là (0, 0)

Nếu đặt X = A ì B và xét f : X ì X −→ R cho bởi

f ((x1, y1), (x2, y2)) = ψ(x1, y2)−ψ(x2, y1) với mọi (x1, y1), (x2, y2) ∈ AìB.

Nếu có (x0, y0) ∈ X để f ((x0, y0), (x, y))  0 với mọi (x, y) ∈ X thì

ψ (x0, y ) − ψ(x, y0)  0 với mọi (x, y) ∈ A ì B, hay ψ (x0, y )  ψ(x, y0)

với mọi (x, y) ∈ A ì B Đặc biệt

Nếu tồn tại x ∈ X đểf (x, y)  0với mọiy ∈ X thì ta sẽ có

Điều này chứng tỏ T (x) − x = 0 hay T (x) = x

• ChoX là tập con khác rỗng trong không gian định chuẩnE còn T : X −→

X là một ánh xạ, ta tìm điều kiện để tồn tại x ∈ X sao cho T (x) = x

Xét f : X ì X −→ R cho bởi

f (x, y) = T (x) − x − T (x) − y với mọi x, y ∈ X.