Một số tính chất của tập lồi trong không gian vectơ tôpô

Các tính chất hình học của tập lồi và ảnh của tập lồi, cân, tuyệt đối lồi qua một số ánh xạ nh: ánh xạ tuyếntính, phép chiếu, ánh xạ tịnh tiến, ánh xạ f: x  x..., đã đợc một số giáotrì

phần mở đầu

Tập lồi là khái niệm quan trọng trong Toán học, nó có nhiều ứngdụng trong Giải tích, Hình học Khái niệm này đã đợc nhiều nhà Toánhọc quan tâm nghiên cứu Các kết quả nghiên cứu tổng quan vềkhái niệm đó đã đợc hai nhà Toán học A.P ROBERTSON và W.J.ROBERTSON trình bày trong [5] Các tính chất hình học của tập lồi và

ảnh của tập lồi, cân, tuyệt đối lồi qua một số ánh xạ nh: ánh xạ tuyếntính, phép chiếu, ánh xạ tịnh tiến, ánh xạ f: x  x , đã đợc một số giáotrình cơ sở và tài liệu tham khảo đề cập đến chẳng hạn [5], tuy vậychúng mới đợc trình bày một cách sơ lợc Có nhiều vấn đề đang là bàitoán “ mở”: Cấu trúc của tập lồi trong không gian vectơ tôpô nh thếnào? Khi nào thì giao của một họ tuỳ ý các tập lồi trong không gianvectơ tôpô sẽ khác rỗng Riêng vấn đề giao của một họ hữu hạn các tậplồi trong không gian vectơ tôpô khác rỗng đã đợc trình bày trong [2] khikhông gian vectơ tôpô đó có số chiều bằng 2 Tuy nhiên trong khônggian vectơ tôpô có số chiều bất kỳ thì điều kiện để giao của một họ hữuhạn các tập lồi sẽ khác rỗng đang là vấn đề mở Chúng tôi đặt ra nhiệm

vụ giải quyết các vấn đề trên một cách chi tiết Luận văn này chúng tôitrình bày một số tính chất hình học của tập lồi, ảnh của tập lồi qua một

số ánh xạ đã nêu ở trên Trong luận văn này chúng tôi cũng mô tả cấutrúc bao lồi của một số tập hợp và một số tính chất của nó Sau đó chúngtôi giải quyết bài toán khi nào thì giao của một họ hữu hạn các tập lồitrong không gian vectơ tôpô hữu hạn chiều bất kỳ sẽ khác rỗng

Luận văn bao gồm 2 chơng:

Chơng I: Tập lồi trong không gian vectơ tôpô

Chơng này trình bày các kiến thức cơ bản phân loại các khái niệm và các tính chất của chúng sẽ đuực sử dụng cho chơng 2

Nội dung chính của chơng là: Trong Đ1, chúng tôi trình bày một

số khái niệm liên quan đến các vấn mà luận văn đề cập đến nh khônggian vectơ, không gian tôpô, không gian véctơ tô pô, khái niệm bao lồi,

ánh xạ, ánh xạ liên tục, ánh xạ tuyến tính, nửa chuẩn, tập lồi, cân, tuyệt

đối lồi Sau đó chúng tôi trình bày một số tính chất của tập lồi, cân, lồi

tuyệt đối, bao lồi nh: bao đóng của tập lồi là lồi, bao lồi của tập mở là

mở, bao lồi của một tập đóng là đóng

Trong Đ2, luận văn trình bày các tính chất hình học của tập lồi,cân, tuyệt đối lồi qua một số ánh xạ, mối liên hệ giữa tập lồi và nửachuẩn nh đã nêu ở trên tiết rõ ràng

Kết quả đạt đợc trong chơng I là: Các mệnh đề, tính chất trong

này đợc chứng minh chi tiết Trong đó mệnh đề 1.6.4 là tự phát hiện và

chứng minh

Chơng II: Tập lồi trong không gian véc tơ hữu hạn chiều

Trong Đ1, chúng tôi đa ra khái niệm của tập lồi trong Rn, cấu trúc

của tập lồi trong R1 và tìm bao lồi của hệ điểm trong R1 ở Đ2, trình bày

về bao lồi của hệ điểm trong R2; R3 và làm rõ cấu trúc của chúng Trong

Đ3, chúng tôi nêu một số kết quả đạt đợc của các tác giả về giao khác

rỗng của họ hữu hạn các tập lồi trong R 1 ,R 2 [2], chúng tôi đã tổng quát

hoá vấn đề này trong không gian vectơ tôpô n chiều ( n < ), cụ thể là

Rn Đa ra đợc điều kiện để một họ hữu hạn các tập lồi trong không gianvéctơ tôpô hữu hạn chiều có giao khác rỗng và đa ra đợc ví dụ ứng dụng(ví dụ 3.1.2) Sau đó chứng minh chi tiết các tính chất, mệnh đề, bổ đềnêu ra trong chơng

Kết quả chính của chơng II là: Chứng minh đợc mệnh đề (1.2.3);

bổ đề (2.3.1) và định lý (2.3.2)

Chúng tôi hy vọng với hớng đi và một số kết quả của luận văn sẽ

đợc sự tiếp tục nghiên cứu về tập lồi Luận văn đợc hoàn thành dới sự ớng dẫn của Thầy giáo TS Phạm Ngọc Bội

h-Nhân dịp hoàn thành luận văn này, tôi xin chân thành cảm ơn vàbày tỏ lòng thành kính tới thầy giáo TS Phạm Ngọc Bội, đã tận tình chỉbảo, hớng dẫn chu đáo, đầy trách nhiệm và lòng nhân ái đã đa ra nhiềuhớng giải quyết giúp tôi nhanh chóng hoàn thành luận văn Tôi xin cảm

ơn thầy giáo PGS TS Nguyễn Hữu Quang, Thầy giáo TS Nguyễn DuyBình, Thầy giáo PGS TS Nguyễn Huỳnh Phán, Thầy giáo TS NguyễnViệt Hải, Thầy giáo TS Nguyễn Văn Sơn và các thầy giáo trong khoa

Toán trờng ĐH Vinh đã tận tình giảng dạy cho tôi trong quá trình họctập.

Tôi xin cảm ơn các thầy giáo,cô giáo, CBCNV của khoa Đào tạosau Đại học, Khoa Toán trờng ĐH Vinh, ban Giám đốc Sở GD - ĐTNghệ An, ban Giám hiệu, Tổ Toán trờng THPT Lê Viết Thuật TP –Vinh, tỉnh Nghệ An, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi tham gia họctập lớp cao học khoá IX này

Nhân dịp này, tôi xin cảm ơn tất cả bạn bè đã tạo mọi điều kiện cảvật chất lẫn tinh thần, để tôi hoàn thành khoá học Tôi vô cùng cảm ơn

đại gia đình chúng tôi đã chịu nhiều vất vả để tôi yên tâm học tập vànghiên cứu khoa học

Cuối cùng, tôi gửi lời cảm ơn tới các thế hệ học trò của tôi, đãchăm ngoan học giỏi là nguồn cổ vũ, động viên lớn lao để thầy giáo củamình có thêm nghị lực trong quá trình học tập.

Vinh,ngày tháng năm 200

Tác giả

Chơng I

tập Lồi trong không gian vectơ tôpô

Trong chơng này chúng tôi trình bày hai nội dung chính nh sau:

- Nội dung thứ nhất: Chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản

về không gian vectơ, không gian vectơ tôpô, tập lồi, tập cân, tuyệt đốilồi, bao đóng của tập lồi, không gian vectơ tôpô lồi địa phơng, nửa chuẩn

và một số tính chất của nó Đồng thời chúng tôi nêu và chứng minh tínhchất của bao lồi của một tập

- Nội dung thứ hai: Nêu và chứng minh các tính chất ảnh của tập

lồi qua một số ánh xạ( ánh xạ tuyến tính, phép chiếu, ánh xạ tịnh tiến,

ánh xạ f: x  x; nửa chuẩn)

Đ1 các khái niệm cơ bản

1.1 Không gian vectơ

Một tập hợp E trên đó xác định 2 cấu trúc (phép toán), phép cộng

ký hiệu là (+) và phép nhân với một lợng vô hớng ký hiệu là (.) sao cho:

x, y E thì x + y  E và   K thì x  E( tức là E đóng với 2 phéptoán( +) và (.)) với các tính chất sau:

1.1.1 Định nghĩa Tập hợp E cùng với 2 cấu trúc thoả mãn 8 tính

chất trên gọi là không gian vectơ trên trờng số K.

1.1.2 Định nghĩa Một tập hợp con A của E đợc gọi là không

gian vectơ con của E nếu A đóng với 2 phép toán của E( Tức là x, y  A

- Điểm x đợc gọi là điểm trong của tập con A của E nếu có một

lân cận U của x chứa trong A Tập hợp tất cả các điểm trong của A là tập

mở đợc chứa trong A và gọi là phần trong của A.

- Tập hợp con Z của E đợc gọi là đóng nếu E \ Z là mở Hợp của

3 – Vì U  Ux nên tồn tại tập mở V1 sao cho x V1  U.

1.2.3 Định nghĩa Cho E và F là hai không gian tôpô Hàm f là

ánh xạ từ E vào F đợc gọi là liên tục tại điểm x  E, nếu với mọi lân cận

V của f(x) trong F đều tồn tại một lân cận U của x trong E, sao cho y 

U thì f(y)  V ( tức là f(U)  V).

Nếu f liên tục tại mọi điểm x thuộc E thì ta nói f liên tục trên E.

tr-ờng số K ánh xạ f từ E vào F đợc gọi là tuyến tính nếu:

1- f(x + y) = f(x) + f(y)

2 - f(x) = f(x)

Với mọi x, y  E và   K

Nếu f là ánh xạ tuyến tính từ E vào E thì f đợc gọi toán tử tuyến

tính hay phép biến đổi tuyến tính.

một ánh xạ tuyến tính từ E vào trờng vô hớng K đợc gọi là một dạng

tuyến tính( hay phiếm hàm tuyến tính) trên E.

ánh xạ tuyến tính từ E vào F, f liên tục trên E khi và chỉ khi f liên tục tại

điểm gốc.

Chứng minh: Vì f liên tục tại 0, nên nếu V là lân cận của tuỳ ý

trong F thì tồn tại lân cận U trong E sao cho f(U)  V Khi đó mỗi

điểm a  E ( vì f là tuyến tính), ta có f( a + U) = f(a) + f(U)  f(a) + V

Vậy f liên tục tại a.

1.3 Tổng trực tiếp và phép chiếu

tổng trực tiếp của các không gian con E1, E2 nếu mỗi phần tử x E biểudiễn đợc duy nhất dới dạng:

x = x1 + x2 (1) trong đó x1  E1 và x2  E2

Ký hiệu là E = E 1 E2 ( 2)

Khi đó ta gọi E2 là phần bù trực tiếp của E1 và ngợc lại

Ta thấy khai triển (2) sinh ra hai toán tử đợc xác định :

P1: E  E P2 : E  E

x  P1(x) = x1 x  P2(x) = x2

( trong đó x1, x2 là thành phần của x trong khai triển (1)).

Pk(x + y) = (xk + yk) (*)

Mặt khác : Pk(x) = xk và Pk(y) = yk Vậy :

Pk(x) + Pk(y) = xk + yk = Pk(x) + Pk(y) (**)

Từ (*) và (**) ta có : Pk(x + y) = Pk(x) + P(y) Vậy Pk tuyến tính

2 2- Ta có : P1(x) + P2(x) = x1 + x2 = I(x)

3 3- Theo định nghĩa ta có: Pk (x) = Pk(Pk(x)) = Pk(xk) = xk = Pk(x)

4 – ta có : PiPj(x) =Pi(Pj(x)) = Pi(xj) = 0( vì i  j )

phép chiếu

1.3.4 Định lý Cho không gian vectơ E, toán tử tuyến tính P: E  E

là phép chiếu khi và chỉ khi P2 = P

Chứng minh: Điều kiện cần đúng vì P là phép chiếu thì :

Giả sử x  E, x đợc phân tích duy nhất dới dạng: x = x1 + x2 ( trong

đó x1  E1, x2  E2 ) Khi đó: P(x) =P(x1 + x2) = P(x1) + P(x2) Vì P làphép chiếu nên P(x1) = 0 hoặc P(x2) = 0, không mất tính tổng quát giả sửP(x2) = 0 Vậy P(x) = P(x1) = x1.(*)

Mặt khác: P2(x) = P(P(x)) = P( P(x1) + P(x2)) = P(P(x1)) = P(x1) =x1(**) Từ (*) và (**) ta có P2 = P

Bây giờ ta chứng minh điều kiện đủ Vì P: E  E là toán tử tuyếntính nên ta đặt V = P(E) , V' = KerP thì V và V' là những không gian con

của E ( xem [3]) Ta chứng minh E = V  V' và P là phép chiếu Thậtvậy: Trớc hết ta chứng minh V V' = {0}, giả sử v  V V', khi đó vì v

 V nên tồn tại vo  E để v = P(vo), suy ra P(v) = P2(vo) Mặt khác v V' nên P(v) = 0 Theo giả thiết thì P2(vo) = P(vo), mà P2(vo) = P(v) = 0 vàP(vo) = v, vậy v = 0 Do đó V V' = {0}

Bây giờ chứng minh x E đều biễu diễn duy nhất dới dạng x = x1+ x2, trong đó x1 V và x2 V'

Với mọi x E, ta có : x = P(x) + (x p(x)), đặt x1 = P(x) và x2 = (x P(x)), ta có x1 V và x2 V' ( vì P(x2) = P(x-P(x)) = P(x) - P(P(x)= P(x) -

-P2(x) = 0) Giả sử x còn biễn khác dới dạng x = x'1 + x'2.trong đó x'1 V

Vậy P(x) = P(x1) = x1 Định lý đợc chứng minh

1.4 Không gian vectơ tô pô

1.4.1 Định nghĩa Giả sử E là không gian vectơ trên trờng số K.

Một tô pô  trên E đợc gọi là tơng thích với cấu trúc đại số của E trên

các phép toán đại số trong E là liên tục, tức là: x + y là hàm liên tục củacặp biến x, y và x là hàm liên tục của cặp biến , x

1.4.2 Định nghĩa Một không gian vectơ tôpô trên K là không

gian vectơ trên K cùng với một tôpô tơng thích

1.4.3 Mệnh đề Với mỗi a  E, thì phép tịnh tiến f : f(x) = x + a

là phép đồng phôi của E lên chính nó.

Chứng minh: Đặt y = f(x) = x+ a, thì f—1(y) = x = y- a Do đó f là

một song ánh của E lên chính nó Hơn nữa f và f-1 là liên tục

Vậy f là phép đồng phôi.

Từ mệnh đề 1.4.3 ta nhận thấy rằng toàn bộ cấu trúc tôpô của E

hoàn toàn đợc xác định bởi một cở sở lân cận của điểm gốc, nh vậy từnay về sau ta chỉ làm việc chủ yếu với lân cận của điểm gốc Nếu không

sợ nhầm lẫn và không chỉ rõ lân cận của điểm nào thì ta gọi lân cận của

điểm gốc vắn tắt là lân cận.

1.4.4 Hệ quả Nếu f là phép tịnh tiến: f(x) = x +a và U là cơ sở

lân cận của điểm gốc, thì U +a là cơ sở lân cận của a.

f(x) = x là một phép đồng phôi của E lên chính nó Đặc biệt nếu U là

một lân cận thì với mọi   0, U là một lân cận.

Chứng minh : Vì f(x) = x = y, cho nên f-1(y) = x = -1y Vậy f là

song ánh liên tục, do đó f là đồng phôi

1.4.6 Hệ quả Nếu ;  không đồng thời bằng 0 và V 1 ; V 2 là lân cận thì V 1 + V 2 là một lân cận.

Chứng minh Nếu  = 0 thì V1 + V2 = 0 + V2= V2 Vì V2 làlân cận và   0 theo mệnh đề 1.4.5 thì V2 là lân cận

Nếu ;  đều khác 0, ta xét V1 + V2, theo mệnh đề 1.4.5 thì

V1; V2 là những lân cận Suy ra tồn tại 2 tập mở W1 và W2 sao cho W1

 V1; W2  V2 Đặt W = W1W2 Khi đó W  V1 + V2

Vậy V1 + V2 là lân cận

1.5 Tập lồi trong không gian vectơ

gọi là lồi nếu với mọi x, y  A ta đều có x + y  A khi ,   0 và

 + = 1

- Tập hợp con A đợc gọi là cân nếu với mọi x  A, ta đều có x 

A khi     1

- Tập hợp con A của không gian vectơ E đợc gọi là tuyệt đối lồi

nếu E đồng thời là lồi và cân

- Một tập hợp con A của không gian vectơ E gọi là hút, nếu với

mọi x  E đều tồn tại  > 0 sao cho x  A với mọi  thoả mãn điềukiện     

đối) khi và chỉ khi HV lồi ( cân, lồi tuyệt đối) với mọi V là không gian con thực sự của E và HV  .

Chứng minh: Vì H  E  , nên với mọi x, y  HV;  ,   0

và  +  = 1, ta xét x + y

Vì x, y  HV nên x, y  H và x, y  V

Vì H lồi nên x + y H (1), vì V là không gian con thực sự của

E nên x + y V (2)

Từ (1) và (2) ta có x + y  HV Vậy HV lồi

- Ngợc lại ta có HV lồi với mọi V là không gian con của E vàHV  , ta chứng minh H lồi Thật vậy:

Với x, y bất kỳ thuộc H;   0,   0 và  +  = 1, ta xét x +

y

x, y bất kỳ thuộc H, do đó x, y  E cho nên x, y  V( V là không giancon của E) Vì HV là tập lồi cho nên x + y  HV

Suy ra x + y  H Hay H là tập lồi

Còn trờng hợp cân, tuyệt đối lồi chứng minh hoàn toàn tơng tự

đối lồi khi và chỉ khi với mọi x, y  A, ta đều có x + y  A khi   

+     1.

Chứng minh: Giả sử tập hợp con A của không gian vectơ E thoả

mãn điều kiện của mệnh đề thì khi cho  = 0, ta có     1, khi đó: x + y = x  A Vậy A là tập cân

Mặt khác vì    +    1 ta có thể chọn ;   0 và  +  =

1, khi đó với mọi x, y A thì x + y  A, vậy A là tập lồi Do đó Atuyệt đối lồi

Ngợc lại: Giả sử A là tuyệt đối lồi và giả sử x, y A và    + 

  1, ta cần chứng minh x + y A Thật vậy:

Nếu  = 0 hoặc  = 0 thì ta có x + y  A

1 - Nếu A là tập lồi thì x + A là lồi với mọi x E và mọi   K.

2 - Nếu A và B là những tập tuyệt đối lồi thì A +B và A, với mọi

  K, cũng là những tập tuyệt đối lồi.

Chứng minh:

1- Giả sử A là tập lồi, x’, y’ bấy kỳ thuộc x + A Với   0;  

0 và  +  = 1 Ta xét: x’ + y’

Vì x’ và y’ thuộc x + A, nên tồn tại x1; y1  A sao cho:

x’ = x + x1 và y’ = x + y1 Khi đó:

x’ + y’= (x + x1 ) + ( x + y1) = x + x + x1 + y1

= ( + )x + (x1 + y1) Vì  +  = 1, nên ( + )x = x Vì A lồi nên (x1 + y1)  A, do đó x + (x1 + y1 )  x + A

Hay (  +  )x + ( x1 + y1 )  x + A

Vậy x’ + y’  x + A Do đó x + A lồi

2- Giả sử A, B là những tập tuyệt đối lồi Với bất kỳ x, y  A + B

và    +     1, xét x + y:

Vì x, y  A + B cho nên x = x1 + x2 và y = y1 + y2, trong đó x1,y1 A, còn x2, y2  B Ta có:

x + y = (x1 + x2) + (y1 + y2) = (x1 + y1) +(x2 + y2)

Vì A, B tuyệt đối lồi nên (x1 + y1)  A và (x2 + y2)  B

Do đó (x1 + y1) +(x2 + y2)  A + B, vậy A + B tuyệt đối lồi

Với x, y bất kỳ thuộc A và với  +   1 Ta xét x + y:Vì x, y  A, nên tồn tại x1, y1  A sao cho :

x = x1 và y = y1, trong đó x1, y1  A Khi đó :

x + y = x1 + y1 = (x1 + y1)

Vì A tuyệt đối lồi nên x1 + y1  A, do đó (x1 + y1)  A

Hay A là tập tuyệt đối lồi

1.5.5 Tính chất Cho A tập hợp tuyệt đối lồi và khác rỗng thì:

i i

A A

1 1

) (

1

2- Nếu  = 0 thì  = 0, do đó A = A = {0}

Nếu   0 và x  A thì ta có  1



 Vì A là tập cân nên x  A





;thành thử x  A, vậy A  A

 Khi đó (*) đa về A + k+1A theo nh chứng minh cho

trờng hợp n = 2 thì A + k+1A = (+ k+1)A = ( 

A k

i ) (

1.5.6 Mệnh đề Nếu các tập lồi (cân) có giao khác rỗng thì giao

của các tập lồi (cân) cũng là tập lồi( cân).

Chứng minh: Giả sử ta có họ các tập lồi Ai ( i I) trong không





I i

i

A , ta chứng minh tập A = 

I i

i

A

 làtập lồi Với x, y thuộc A thì x, y  Ai với mọi i Khi đó với:   0;   0

và  +  = 1 thì: x + y  Ai với mọi i

Từ đó suy ra x + y  A Vậy A là tập lồi

Nếu Ai cân thì khi   1, ta có x  Ai

Suy ra: 

I i i

A x





Chú ý: Mệnh đề không còn đúng cho trờng hợp, hợp của các tập lồi

có với mỗi U U:

1- Tồn tại V  U sao cho V+V U;

Sau đây, ta xét các không gian có cơ sở gồm những lân cận lồi của

điểm gốc Một không gian nh vậy đợc gọi là không gian vectơ tôpô lồi

địa phơng

1.5.8 Định nghĩa Không gian vectơ tôpô E gọi là không gian

vectơ tôpô lồi địa phơng nếu E có cơ sở lân cận lồi của điểm gốc (gọi tắt là không gian lồi địa phơng)

cơ sở U những lân cận của điểm gốc, với các tính chất sau:

1 – Nếu U  U, V  U thì tồn tại W  U với W  U V;

2 - Nếu U  U và mọi   0 thì U  U;

3 - Mỗi U  Ulà tuyệt đối lồi

Chứng minh: Vì E là không gian lồi địa phơng nên theo định

nghĩa tồn tại một cơ sở lân cận lồi Nếu U là lân cận lồi thì  1U làmột lân cận cân đợc chứa trong U, nó lồi bởi vì nó là giao của các tậphợp lồi Nh vậy tồn tại một cơ sở V gồm những lân cận tuyệt đối lồi Khi

đó cơ sở phải tìm là tập hợp U gồm tất cả các tập hợp V với   0 và

1.6 Bao lồi của một tập

1.6.1 Định nghĩa Tập lồi H đợc gọi là phủ tập lồi F nếu F  H

( hiểu theo nghĩa tập hợp)

1.6.2 Mệnh đề Mọi tập F trong E luôn tồn tại một tập lồi G phủ

F sao cho nếu H là tập lồi phủ F thì H phủ G.

Chứng minh: Giả sử ta có các tập lồi Fi, i  I phủ F Ta thấy I 

, vì E là tập lồi phủ F.



I i

Hi



Mặt khác   Vì F  Fi  i Vậy theo mệnh đề( 1.5.6) thì G = lồi và phủ F.

Giả sử H phủ F => i  I sao cho H = Fi, vậy G  H.Vậy H phủ

i i n i

i : 0 ; ; 1 ;

1 1

i i n i

i : 0 ; ; 1 ;

1 1





minh B lồi Với x, y bất kỳ thuộc B ; ,   0 và  +  = 1, ta xét x +

y Vì x, y thuộc B, cho nên x = i

n i

j

1

 = 1.Thật vậy

Hi



Ta chứng minh B  Convex(A) Thật vậy, với x bất kỳ thuộc B ta chứng minh x  Convex(A) (*)

Ta chứng minh quy nạp theo n.

- Với n = 2 ta thấy Convex(A) chứa A, cho nên x1, x2  Convex(A),

mà Convex(A) là tập lồi, cho nên 1 x 1 +2x 2  Convex(A), vậy (*) đúng.

- Giả sử (*) đúng với n = k nào đó, ta chứng minh (*) đúng với

k

j k

j j

(   + k+1xk+1= ( 1  k1)z  k1x k1  Convex(A) Hay x  Convex(A) => B  Convex(A) (2)

i i n i

i : 0 ; ; 1 ;

1 1





1.6.5 Định lý Bao lồi của tập mở( đóng) là tập mở( đóng).

Chứng minh: Giả sử A là tập mở, ta chứng minh bao lồi của A là

i n

i i

i : 0 ; ; 1 ;

1 1







Ta chứng minh Convex(A) mở Với x bất kỳ thuộc Convex(A).

Khi đó không mất tính tổng quát, x có dạng x = i

n i

i x



 1

 với xi A Tachứng minh tồn tại lân cận Ux của x sao cho Ux  Convex(A) (*) Ta

chứng minh quy nạp theo biểu diễn của x, tức là theo n

Với n = 2 giả sử x = x1 + x2, ;   0 và  +  = 1 : Vì x1, x2

A và A mở nên tồn tại lân V1;V2 sao cho x1 +V1; x2 + V2 là lân cận củax1; x2 và xi + Vi  A( i =1; 2)

Do đó x1 + V1  A và x2 + V2  A Vì A  Convex(A) cho nênx1 + V1  Convex(A) và x2 + V2  Convex(A) Mà Convex(A) lồi chonên ( x1 + V1 ) + ( x2 + V2)  Convex(A)

Mà ( x1 + V1 ) + ( x2 + V2) = x1 + V1 + x2 + V2

= x1 + x2 + V1 + V2 = (x1 + x2 ) + (V1 + V2) Theomệnh đề 1.4.6 thì: V1 + V2 là lân cận Đặt U = V1 + V2, khi đó:(x1 + x2 ) + (V1 + V2) = (x + U)  Convex(A) Vậy Convex(A) mở

- Giả sử khẳng định (*) đúng với n = k, ta chứng minh khẳng

định(*) đúng với n = k +1 Thật vậy:

Nếu k+1 = 1 thì khẳng định (*) đúng vì khi đó x = xk+1 A mà A

mở nên tồn tại lân cận V của x sao cho V  A, mà A  Convex(A)

Cho nên V  Convex(A) Vậy Convex(A) mở Do đó ta có thể giả

thiết k+1  1

Ta xét x = i

k i

(   +

k+1xk+1

Đặt y = i

k i

i x



 1

 , theo giả thiết quy nạp thì y là điểm trong của

Convex(A) Ta có xk+1  A mà A  Convex(A) và A mở nên xk+1 là điểm

trong của Convex(A) Khi đó x = (1 - k+1)V1 + k+1xk+1 Đây là trờng hợp n = 2, cho nên khẳng định (*) đúng Vậy Convex(A) mở

Bây giờ ta chứng minh cho trờng hợp A đóng thì Convex(A) đóng.

Thật vậy:

Với x bất kỳ thuộc Convex(A), không mất tính tổng quát, x có

dạng x = i

n i

Convex(A) lồi nên Convex(A) + Convex(A) = Convex(A) Suy ra :

a + b  Convex(A)((x1 + x2)+ V + V)  Convex(A) (x1 + x2

Nếu k+1 = 1 thì định lý đúng vì khi đó x = xk+1 A mà A đóng

nên tồn tại lân cận V của x sao cho V  A  , mà A  Convex(A) Cho nên V  Convex(A)   Vậy Convex(A) đóng Do đó ta có thể giả

thiết k+1  1

Ta xét x = i

k i

(   +

k+1xk+1

Đặt y = i

k i

i x



 1

  Convex(A) Vì xk+1  A  Convex(A) Khi đó:

x = (1 - k+1)y + k+1xk+1 Theo trờng hợp n = 2 thì khẳng định (**)

đúng Hay Convex(A) đóng.

Định lý đợc chứng minh

hợp lồi là lồi, bao đóng của tập hợp cân là cân, bao đóng của tập hợp tuyệt đối lồi là tuyệt đối lồi.

Chứng minh: Giả sử A là tập hợp lồi và a, b  A;   0,   0

Tập cân và tuyệt đối lồi chứng minh hoàn toàn tơng tự 

1.7 Tập hợp bị chặn – Bao lồi của tập bị chặn

1.7.1 Định nghĩa - Trong không gian vectơ, ta nói rằng tập hợp A

hút tập hợp B nếu tồn tại  > 0 sao cho B  A với mọi  và   .

Khi đó ta cũng nói B bị hút bởi A

- Trong không gian lồi địa phơng E, tập hợp A gọi là bị chặn nếu

nó bị hút bởi một lân cận của điểm gốc

- Từ định nghĩa ta suy ra ngay hệ quả sau:

1.7.2 Hệ quả Nếu U là một cơ sở lân cận tuyệt đối lồi, thì tập A

bị chặn khi và chỉ khi với mỗi U  U, tồn tại một số dơng  sao cho A

 U

Chứng minh: Giả sử A bị chặn cho nên A bị hút bởi lân cận của

điểm gốc, suy ra mỗi U tồn tại số dơng  sao cho A  U với mọi  và

   ở đây ta chọn  = 

Ngợc lại, vì tồn tại số dơng  sao cho A  U Theo tính chất1.5.5, U là tuyệt đối lồi thì U  U nếu   , mà A  U do đó

U  U nếu    Vậy A bị chặn

1.7.3 Mệnh đề Trong không gian lồi địa phơng bao lồi và bao

tuyệt đối lồi của một tập bị chặn là bị chặn.

Chứng minh: Lấy một cơ sở gồm những lân cận U là tuyệt đối lồi

và đóng Vì A bị chặn cho nên theo hệ quả 1.7.2 thì tồn tại số dơng  saocho A  U Gọi B là bao lồi ( bao tuyệt đối lồi) của A nên B  U( vì

U là tuyệt đối lồi)

1.8 Nửa chuẩn.

1.8.1 Định nghĩa: Cho E là không gian véctơ, hàm thực p không

âm xác định trên E đợc gọi là nửa chuẩn nếu nó thoả mãn các điều kiện