Điều kiện tối ưu cấp một và cấp hai cho bài toán tối ưu trong không gian vectơ tôpô

Điều kiện tối ưu cấp một và cấp hai cho bài toán tối ưu trong không gian vectơ tôpô

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

- -ĐỖ THANH PHÚC

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP MỘT VÀ CẤP HAI CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : Toán giải tích

Mã số : 60 46 01

Thái Nguyên, năm 2011

MỞ ĐẦU

Lý thuyết các điều kiện tối ưu cấp 1 và cấp 2 là một bộ

phận quan trọng của lý thuyết các bài toán cực trị Người

ta xây dựng các điều kiện tối ưu cấp 2 dưới ngôn ngữ nón

các phương giảm cấp 2 cho hàm mục tiêu, nón các phương

chấp nhận được cho ràng buộc nón và nón các phương tiếp

xúc cấp 2 cho ràng buộc đẳng thức (theo một phương d nào

đó) Với d = 0, các nón cấp 2 ấy sẽ trở thành các nón cấp

1 tương ứng và như vậy từ các điều kiện tối ưu cấp 2 ta sẽ

nhận được các điều kiện tối ưu cấp 1 như một trường hợp

riêng Vì thế nhiều nghiên cứu tập trung vào lý thuyết hợp

nhất các điều kiện tối ưu cấp 1 và cấp 2 cho các bài toán tối

ưu

Công trình nổi tiếng của A Dubovitskii và A.A Milyutin

[5] ra đời, đã cho ta một lý thuyết các điều kiện tối ưu

cấp 1 dưới ngôn ngữ giải tích hàm Phát biểu ý tưởng của

Dubovitskii - Milyutin [5], trong [4] A Ben-Tal và J Zowe

đã xây dựng các điều kiện tối ưu cấp 2 dưới ngôn ngữ nón

các phương giảm cấp 2 nón các phương chấp nhận được cấp

2 và nón các phương tiếp xúc cấp 2 (theo một phương d)

mà trường hợp riêng của kết quả này (với d = 0) ta sẽ nhận

lại được các điều kiện cần tối ưu cấp 1 của Dubovitskii

-Milyutin

Luận văn trình bày lý thuyết các điều kiện tối ưu cấp

2 của Ben Tal - Zowe [4] cho bài toán tối ưu đa mục tiêu

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

với ràng buộc nón và ràng buộc bất đẳng thức dưới ngôn

ngữ nón các phương giảm cấp 2 của hàm mục tiêu, nón các

phương chấp nhận được cấp 2 cho ràng buộc nón và nón các

phương tiếp xúc cấp 2 cho ràng buộc đẳng thức Khi các nón

cấp 2 lấy theo phương 0 ta sẽ nhận được các điều kiện tối

ưu cấp 1

Luận văn này bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận

và danh mục các tài liệu tham khảo

Chương 1 trình bày điều kiện tối ưu cấp 2 tổng quát cho

cực tiểu địa phương của bài toán tối ưu đa mục tiêu trong

không gian vectơ tôpô thực dưới ngôn ngữ nón các phương

giảm cấp 2 của hàm mục tiêu, nón các phương chấp nhận

được cấp 2 của ràng buộc nón và nón các phương tiếp xúc

cấp 2 của ràng buộc đẳng thức Các kết quả được trình bày

trong chương này là của Ben Tal - Zowe [4]

Chương 2 trình bày cách tiếp cận áp dụng điều kiện cần

cấp 2 tổng quát trong chương 1 bao gồm các kết quả tính

toán nón các phương giảm cấp 1 và cấp 2, nón các phương

chấp nhận được cấp 1 và cấp 2 và nón các phương tiếp xúc

cấp 1 và cấp 2, cùng với các điều kiện cần cấp 1 và cấp 2 cho

bài toán tổng quát (P) và bài toán với hữu hạn ràng buộc

bất đẳng thức (MP) Các kết quả trình bày trong chương

này là của Ben Tal - Zowe [4]

Chương 3 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho

bài toán tổng quát (P) trong trường hợp không gian X là

hữu hạn chiều của Ben Tal - Zowe [4] và X vô hạn chiều của

Maurer - Zowe

Chương 1

Điều kiện cần tổng quát

cho cực tiểu yếu địa

phương

1.1 Các khái niệm và định nghĩa

Ta xét bài toán tối ưu có dạng

M in f (x),(P ) g(x) ∈ K,

h(x) = 0,

x ∈ X

Ánh xạ f : X → U, g : X → V, h : X → W là các ánh

xạ liên tục, Ở đây X, U, V và W là các không gian vectơ

tôpô thực, K là nón lồi trong V với phần trong không rỗng

(intK 6= ∅), U được sắp bởi nón nhọn C với intK 6= ∅

Theo quy ước thông thường ta viết: u1 ≥ u2(hoặc u2 ≤

u1) nếu u1−u2 ∈ C, và u1 > u2(u2 < u1) nếu u1−u2 ∈ intC

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Khi đó, ≥ có tính chất bất biến với phép tịnh tiến và phép

nhân vô hướng dương

Ta quan tâm tới bài toán tìm cực tiểu yếu địa phương,

tức là ta tìm điểm x0 thuộc tập chấp nhận được F := {x ∈

X : −g(x) ∈ Kvà h(x)=0} mà tồn tại một lân cận N (x0)

của điểm x0 sao cho

f (x) 6∈ f (x0) − intC, với ∀x ∈ N (x0) ∩ F (1.1)

Ta xét x0 là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P )

Nếu U là đường thẳng thực R và C là nửa đường thẳng không

âm R+ = {λ ∈ R : λ không âm}, khi đó (P ) là bài toán cực

tiểu địa phương thông thường Thật vậy, (1.1) tương đương

với (≥ là kí hiệu thứ tự thông thường trong R)

f (x) ≥ f (x0) với x0 ∈ N (x0) ∩ F (1.2)Trường hợp quan trọng nhất của bài toán (P ) là bài toán

quy hoạch toán học hữu hạn chiều: U = R, C = R+và K =

Rn+(n ∈ N) Nếu gi, i = 1, 2, , n, là các thành phần của

g, thì bài toán (P ) trở thành:

min f (x),(M P ) gi(x) ≤ 0, với i = 1, 2, · · · , n,

h(x) = 0,

x ∈ X

Như là một ví dụ cho bài toán (P ), khi f không phải

là hàm thực, ta xét trường hợp U = Rn và lấy C là nón

sắp thứ tự từ điển trong Rn, nghĩa là C là tập tất cả các

vectơ trong Rn mà thành phần khác không đầu tiên dương,

cùng với 0Rn Ta kí hiệu cl C là bao đóng tôpô của C Khi

đó, Rn = (cl C) ∪ (−int C) và (cl C) ∩ (−int C) = ∅ Khi đó,

(1.1) tương đương với

f (x) ∈ f (x0) + cl C, với x ∈ N (x0) ∩ F

Định nghĩa 1.1.1 Một phương d ∈ X được gọi là phương

tựa giảm tại x của hàm mục tiêu f : X → U tại x nếu với

∀u > 0, u ∈ U , tồn tại số thực T > 0 sao cho

f (x + td) ≤ f (x) + tu, 0 < t ≤ T

Định nghĩa 1.1.2 Một phương d được gọi là phương tựa

chấp nhận được tại x của hàm g : X → V nếu với ∀v ∈ intK,

tồn tại số thực T > 0 sao cho

g(x + td) ∈ −K + tv, với 0 < t ≤ T

Nón các phương tựa giảm và phương tựa chấp nhận được

tại x được kí hiệu lần lượt là Df(x) và Dg(x)

Định nghĩa 1.1.3 Ta gọi z ∈ X là phương giảm cấp hai

của f tại x tương ứng với d ∈ X nếu tồn tại u > 0, và lân

cận N (z) của z và số thực T > 0 sao cho

f (x+td+t2z) ≤ f (x)−t¯ 2u, với mọi ¯z ∈ N (z) và 0 < t ≤ T

(1.3)Định nghĩa 1.1.4 Phần tử z ∈ X được gọi là phương chấp

nhận được cấp hai của g tại x tương ứng với d ∈ X nếu tồn

tại v ∈ intK, và lân cận N (z) của z và số thực T > 0 sao

cho

g(x + td − t2z) ∈ −K − t¯ 2v, với mọi ¯z ∈ N (z), và 0 < t ≤ T

(1.4)Tập tất cả z thoả mãn (1.3) và (1.4) được kí hiệu lần lượt

Định nghĩa 1.1.5 Vectơ z được gọi là phương tiếp xúc cấp

hai hàm h : X → W tại x tương ứng với d ∈ X nếu tồn tại

một số thực T > 0 và đường cong r(t) ∼ o(t2) sao cho

h(x + td + t2z + r(t)) = 0, với 0 < t ≤ T1.Tập các vectơ z như vậy được kí hiệu là Vh(x, d) Ta đặt

Th(x) := Vh(x, 0) (1.6)Lấy d ∈ X, khi đó ta gọi f là d-chính quy tại x nếu

Qf(x, d) là tập không rỗng và lồi Tương tự, ta nói g là

d-chính quy tại x nếu Qg(x, d) là tập không rỗng và lồi h là

d-chính quy tại x nếu Vh(x, d) là tập không rỗng và lồi Nếu

f là d-chính quy tại x với ∀d ∈ Df(x), thì f được gọi là chính

quy tại x (do (1.6) ta chỉ cần, với d ∈ D¯(x)) Tương tự, g

được gọi là chính quy tại x nếu g là d-chính quy tại x với

∀d ∈ Dg(x), h được gọi là chính quy tại x nếu h là d-chính

quy tại x với ∀d ∈ Th(x)

Với tập con S của X, hàm tựa δ∗(.|S) xác đinh trên không

gian vectơ topô đối ngẫu X∗ của X với giá trị trên đường

thẳng thực mở rộng R ∪ {∞} được định nghĩa như sau:

δ∗(x∗|S) = sup

x∈S

x∗x với x∗ ∈ X∗ (1.7)(Nếu S = ∅, thì ta quy ước δ∗(·|S) = −∞ ) Miền hữu hiệu

1.2 Điều kiện cần tổng quát cho cực

tiểu yếu địa phương

Định lý 1.2.1 Giả sử x0 là nghiệm tối ưu địa phương của

bài toán (P ) Khi đó, với mọi

d ∈ Df(x0) ∩ Dg(x0) ∩ Th(x0), (1.9)trong đó f, g và h là d-chính quy, tồn tại các hàm tuyến tính

liên tục trên X:

lf ∈ Λ(Qf(x0, d)), lg ∈ Λ(Qg(x0, d)), lh ∈ Λ(Vh(x0, d))

(1.10)không đồng thời bằng không thoả mãn phương trình Euler -

Bổ đề 1.2.3 Giả sử S1, · · · , Sn+1 là các tập con lồi, không

rỗng của X, trong đó S1, · · · , Sn là các tập mở Khi đó

∩n+1 i=1Si = ∅ (1.14)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

nếu và chỉ nếu tồn tại x∗i ∈ Λ(Si), ß = 1, · · · , n + 1, không

đồng thời bằng không, sao cho

x∗1+ x∗2+ · · · + x∗n+1 = 0, (1.15)

δ∗(x∗1|S1) + δ(x∗2|S2) + · · · + δ(x∗n+1|Sn+ 1) ≤ 0 (1.16)

Chú ý 1.2.4 Nếu ∩n+1i=2Si 6= ∅ thì x∗

1 6= 0 trong bổ đề 1.2.3

Hệ quả 1.2.5 Giả sử S1, S2, · · · , Sn là các nón lồi không

rỗng trong X và giả sử S1, S2, · · · , Sn là các tập mở Khi đó,

∩n+1 i=1Si = ∅nếu và chỉ nếu tồn tại x∗i ∈ S+

i , i = 1, 2, · · · , n + 1, khôngđồng thời bằng không, sao cho

x∗1+ · · · + x∗n = 0

Bổ đề 1.2.6 Giả sử A : X −→ U là toán tử tuyến tính với

miền giá trị R(A) và S là tập con lồi không rỗng của U Đặt

Từ định lý 1.2.1 ta suy ra điều kiện tối ưu cấp 1 như là

một trường hợp đặc biệt Ta phát biểu điều này trong hệ quả

sau

Hệ quả 1.2.7 Giả sử x0 là một nghiệm tối ưu địa phương

của bài toán (P ) và giả sử f, g, h là 0 - chính quy tại x0

Khi đó tồn tại các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X

lf ∈ D<

f (x0)+, lg ∈ D<

g(x0)+, lh ∈ Th(x0)+, (1.17)không đồng thời bằng không thoả mãn

lf + lg+ lh = 0 (1.18)Chú ý 1.2.8 Sự khác nhau giữa các điều kiện tối ưu cấp

một và cấp hai phản ánh sự khác nhau giữa bổ đề 1.2.3 và

hệ quả 1.2.5

Chú ý 1.2.9 Giả sử d thoả mãn giả thiết của định lý 1.2.1

Nếu

Qg(x0, d) ∩ Vh(x0, d) 6= ∅thì lf trong (1.10) và (1.11) khác 0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

(iii) [-v,v] là một lân cận của gốc trong V

Kí hiệu Ka là bao đóng của bao nón của K + a tức là (kí

hiệu cone A là bao nón của A):

Ka = cl cone(K + a) = cl{λ(k + a) : k ∈ K, λ ≥ 0}

Với b ∈ V , ta kí hiệu Ka,blà bao đóng của bao nón của Ka+b,

tức là

Ka,b = cl{(ka+ b) : ka∈ Ka, λ ≥ 0}

g(x) ∈ −K nếu và chỉ nếu qi(x) ≤ 0 với i = 1, 2 (2.1)

Giả sử intK 6= 0 Ta có kết quả sau đây về phần trong

2.2 Tập các phương giảm và tập các

phương chấp nhận được

Ta bắt đầu với việc phân tích D<f(x) và D<

g(x) dưới ngônngữ đạo hàm theo phương

Mệnh đề 2.2.2 Giả sử X, U và V là các không gian định

chuẩn Lấy x, d ∈ X và giả sử f00(x, d; z) và g00(x, d; z) tồn

tại với mọi z ∈ X Giả sử f, g thoả mãn điều kiện Lipschitz

địa phương tại x Khi đó,

Hệ quả 2.2.3 Cho X, U, V là các không gian định chuẩn,

và giả sử f, g thoả mãn điều kiện Lipschitz địa phương tại

x Giả sử tồn tại f0(x; d) và g0(x, d) với mọi d ∈ X Khi đó,

(i) D<

fx = {d ∈ X : f0(x; d) < 0},

(ii) Nếu g(x) ∈ −K thì Df<x = {d ∈ X : g0(x; d) ∈

−int Kg(x)}

Bổ đề 2.2.4 Giả sử f F- khả vi liên tục trong một lân cận

của x, với d cho trước hàm Φd(t) := f (x + td) khả vi cấp hai

tại t = 0 Khi đó, f00(x, d; z) tồn tại với ∀z ∈ X, và

Bổ đề 2.3.1 Giả sử X và W là các không gian Banach,

h : X → W F- khả vi liên tục trong một lân cận của x,

h0(x) là toàn ánh, h(x) = 0 Lấy k là số tự nhiên bất kỳ

Giả sử tồn tại dãy số thực → 0+ {ti}i=1,2,··· và dãy tương ứng

{y(ti)}i=1,2,··· trong X sao cho

y(ti) −→

t→∞0, ||h(x + y(ti))|| = o(||y(ti)||k)

Khi đó, với mọi i, tồn tại {r(ti)} sao cho

h(x + y(ti)) + r(ti) = 0, ||r(ti)|| = o(||y(ti)||k)

Chú ý 2.3.2 Từ chứng minh trên ta thấy dạng liên tục

của bổ đề 2.3.1 cũng đúng, trong đó các dãy y(ti)i=1,2,··· và

r(ti)i=1,2,··· thay bởi các hàm y(t) và r(t) xác định trong

khoảng (0, t0] với số dương t0 thích hợp Ta sử dụng điều

này để chứng minh:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Mệnh đề 2.3.3 Cho h là ánh xạ từ không gian Banach X

vào không gian Banach W , F - khả vi cấp hai trong một lân

cận của điểm x với h(x) = 0 Giả sử với h0(x) là toàn ánh

(2.6)Nói riêng, h chính quy tai x

2.4 Điều kiện cần cho cực tiểu yếu

của bài toán khả vi

Mệnh đề 2.4.1 Giả sử X, U, V và W là các không gian

định chuẩn; f, g và h là các hàm F- khả vi cấp hai Cho

x, d ∈ X

(i) Giả sử f0(x)d ≤ 0 và Qf(x, d) 6= ∅ Khi đó, với lf ∈

Λ(Qf(x, d)), tồn tại u∗ ∈ C+ sao cho

(ii) Giả sử g(x) ∈ −K, g0(x)d ∈ −cone(K + g(x)) và

Qg(x, d) 6= 0 Khi đó, với lg ∈ Λ(Qg(x, d)), tồn tại

(iii) Giả sử X và W là các không gian Banach, h0(x) là

ánh xạ lên, h(x) = 0 và h0(x)d = 0 Khi đó, với lh ∈

Vh(x, d), tồn tại w∗ ∈ W∗ sao cho

Định lý 2.4.2 Giả sử x0 là nghiệm tối ưu địa phương của

bài toán (P ); X và W là các không gian Banach, U và V là

không gian định chuẩn Giả sử f, g và h là F-khả vi cấp 2

Miền giá trị R(h0(x0)) của h0(x0) là đóng Khi đó, với mọi

d thoả mãn

f0(x0)d ≤ 0, g0(x0)d ∈ −cone(K + g(x0)), h0(x0)d = 0,

(2.7)tồn tại các hàm tuyến tính liên tục u∗ ∈ C+, v∗ ∈ K+ và

w∗ ∈ W∗ không đồng thời bằng 0 sao cho

u∗f0(x0)d = 0, v∗g(x0) = 0, v∗g0(x0)d = 0, (2.8)

u∗· f0(x0) + v∗· g0(x0) + w∗· h0(x0) = 0, (2.9)(u∗· f00(x0) + v∗· g00(x0) + w∗ · h00(x0))(d, d) ≥ 0 (2.10)

Ta thêm một điều kiện chính quy

h0(x0) là ánh xạ lên và tồn tại z ∈ X sao choCQ(d) g0(x0)z + g00(x0)(d, d) ∈ −int Kg(x0),g0

(x 0 )d,

h0(x0)z + h00(x0)(d, d) = 0

Hệ quả 2.4.3 Nếu cho vectơ d trong (2.8) thoả mãn điều

kiện CQ(d) thì u∗ tương ứng trong (2.9)-(2.11) khác 0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2.5 Điều kiện cần tối ưu cho bài

toán (MP)

Ta đặc biệt hoá định lý 1.2.1 cho bài toán (MP) Để làm

điều này ta ký hiệu Dgi(x) là tập của các phương tựa chấp

nhận được của thành phần gi của g (thay K bằng R+ trong

định nghĩa), tương tự cho Qg i(x, d) và Dg<i(x).Ta nói gi chính

quy tại x nếu Qg i(x, d) không rỗng và lồi với mọi d ∈ Dg i(x)

Nhắc lại định nghĩa của I(x):

I(x) = {i ∈ 1, 2, · · · , n} : gi(x) = 0},

và với d ∈ Dg(x), ta đặt

J (x, d) = {i ∈ I(x) : d ∈ D¯i(x)Định lý 2.5.1 Cho x0 là một nghiệm tối ưu địa phương của

bài toán (M P ), và giả sử f, h và gi, i ∈ I(x0) là chính quy

tại x0 Khi đó, với mọi

d ∈ Df(x0) ∩ ( ∩

i∈I(x 0 )Dgi(x0)) ∩ Th(x0) (2.11)tồn tại các hàm tuyến tính liên tục

lf ∈ Λ(Qf(x0, d)), lh ∈ Λ(Vh(x0, d)),

lg i ∈ Λ(Qg i(x0, d)) (i ∈ J (x0, d)), (2.12)không đồng thời bằng 0, thoả mãn

Điều kiện cấp 2 ở trên chứa điều kiện cấp 1 của

Dubobit-skii và Milyuntin [5] như một trường hợp đặc biệt Để thấy

điều này ta đặt d = 0 trong định lý 2.5.1 Hiển nhiên các tập

Hệ quả 2.5.2 Lấy x0 là nghiệm tối ưu địa phương của

bài toán (MP) và giả sử Df<(x0), Ih(x0) và Dg<i(x0) với i ∈

I(x0) không rỗng và lồi Khi ddos tồn tại lf ∈ D<

Các trường hợp khả vi của định lý 2.5.1 sau đây dễ dàng

được chứng minh bằng cách đặc biệt hoá định lý 2.4.2

Định lý 2.5.3 [4] Lấy x0 là một nghiệm tối ưu địa phương

của của bài toán (MP), X, W là các không gian Banach Giả

sử f, h và gi với i = 1, 2, · · · , n là F-khả vi cấp hai và miền

giá trị của h0(x0) là đóng Khi đó, với mọi d thoả mãn

y0f00(x0) + X

i∈J (x 0 ,d)

yigi00(x0) + w∗· h00(x0)
(d, d) ≥ 0 (2.17)

Chú ý 2.5.4 Với dimW < ∞, miền giá trị của h0(x) luôn

đóng và giả thiết này có thể là bỏ được

Chú ý 2.5.5 Giả sử các giả thiết của định lý 2.5.3 và (2.36)

đúng với d Khi đó, y0 có thể chọn bằng 1 nếu điều kiện chính

quy sau đây đúng:

h0(x) là ánh xạ lên và tồn tại z ∈ X sao cho(CQ(d)) g0i(x0)z + gi00(x0)(d, d) < 0, với i ∈ J (x0, d),

h0(x0)z + h00(x0)(d, d) = 0

Chú ý 2.5.6 Với d = 0 và W = Rm, định lý 2.5.3 qui về

điều kiện Fritz-John Điều kiện đảm bảo y0 = 1 trong (2.37)

là điều kiện chính quy Mangasarian - Fromwitz

Chú ý 2.5.7 Nếu có một ¯d trong (2.16) mà (2.17) đúng với

các nhân tử ¯y0 > 0, ¯yi ≥ 0 với i ∈ J(x0, d) và ¯w∗ (chẳng hạn

khi CQ(d) thoả mãn với ít nhất một d trong (2.36)), thì tập

các phương d thoả mãn(2.36) sẽ nhận được từ (2.37) (đặt

)

Chú ý 2.5.8 Sau đây là một ví dụ đơn giản để chỉ ra rằng

các nhân tử trong định lý 2.5.3 phụ thuộc vào d

mọi d ∈ R2 thoả mãn (2.16)