Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu kannan trong không gian metric

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMPHAN VĂN CHIỂU ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KIỂU KANNAN TRONG KHÔNG GIAN METRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2020... ĐẠI HỌC THÁI

Trang 1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHAN VĂN CHIỂU

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KIỂU KANNAN

TRONG KHÔNG GIAN METRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2020

Trang 2

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHAN VĂN CHIỂU

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KIỂU KANNAN

TRONG KHÔNG GIAN METRIC

Ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS BÙI THẾ HÙNG

Thái Nguyên - 2020

Trang 3

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trungthực và không trùng lặp với đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi

sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thôngtin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2020

Người viết luận văn

Phan Văn Chiểu

của trưởng khoa Toán của người hướng dẫn khoa học

TS Bùi Thế Hùng

Trang 4

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới TS Bùi Thế Hùng, người thầy tận tình hướng dẫntôi trong suốt quá trình nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận văn này.Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán cùng toàn thểcác thầy cô giáo trường ĐHSP Thái Nguyên đã truyền thụ cho tôi nhữngkiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đónggóp quý báu trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vìvậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và cácbạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôitrong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2020

Tác giả

Phan Văn Chiểu

Trang 5

Mục lục

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Một số ký hiệu và viết tắt iv

Mở đầu 1

Chương 1 Định lý điểm bất động Kannan 3

1.1 Định lý điểm bất động Banach 3

1.2 Định lý điểm bất động Kannan 9

1.3 Định lý điểm bất động đối với hằng số co là ánh xạ điều khiển 15 Chương 2 Một số định lý điểm bất động đối với ánh xạ kiểu Kannan 21

2.1 Một số khái niệm mở đầu 21

2.2 Định lý điểm bất động của ánh xạ co kiểu Kannan 23

Kết luận 36

Tài liệu tham khảo 37

Trang 7

Mở đầu

Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng là lĩnh vực nghiên cứu hấp dẫncủa toán học hiện đại Đây là lĩnh vực đã và đang thu hút được sự quantâm của rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước Lý thuyết điểm bấtđộng là một công cụ quan trọng để nghiên cứu các hiện tượng phi tuyếntính Nó có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán họcnhư sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi, tích phân, hệ phương trìnhtuyến tính, phương trình hàm, quỹ đạo đóng của hệ động lực, Hơn nữa,

nó còn có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác như khoa họcmáy tính, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò chơi, vật lý toán, sinh học,kinh tế, Sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết điểm bất động có thể nóibắt nguồn từ những ứng dụng rộng rãi của nó

Nguyên lý ánh xạ co Banach [1] là trung tâm của lý thuyết điểm bấtđộng trên không gian metric Sự ra đời của nguyên lý ánh xạ co Banachcùng với ứng dụng của nó đã mở ra sự phát triển mới của một lý thuyếtđiểm bất động metric Như ta đã biết mọi ánh xạ co Banach đều là ánh

xạ liên tục Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: Liệu có tồn tại ánh xạ

co không liên tục nhưng vẫn có điểm bất động hay không? Năm 1968,Kannan [7] đã chứng minh một lớp ánh xạ co không liên tục luôn có điểmbất động duy nhất:

Định lý 1 Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ và T : X → X làánh xạ thỏa mãn tồn tại K < 12 sao cho

d(T x, T y) ≤ K{d(x, T x) + d(y, T y)} với mọi x, y ∈ X

Trang 8

Khi đó T có điểm bất động duy nhất.

Năm 2017, J Górnicki [4] đã chứng minh định lý điểm bất động choánh xạ liên tục và co kiểu Kannan trên không gian metric compact Năm

2018, H Garai, L K Dey, T Senapati [3] đã thiết lập một số định lý điểmbất động cho ánh xạ liên tục theo quỹ đạo và co kiểu Kannan trên khônggian metric compact bị chặn và không gian metric compact theo quỹ đạo.Các kết quả của H Garai, L K Dey, T Senapati [3] hoàn toàn khác biệtkết quả của J Górnicki [4] Mục đích của luận văn là giới thiệu lại một sốkết quả nghiên cứu của các tác giả J Górnicki [4] và H Garai, L K Dey,

T Senapati [3] về định lý điểm bất động cho ánh xạ co kiểu Kannan.Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và tàiliệu tham khảo

Chương 1 chúng tôi trình bày nguyên lý ánh xạ co Banach và một số

mở rộng dạng đơn giản, định lý điểm bất động của ánh xạ Kannan và một

số mở rộng Ngoài ra chúng tôi còn trình bày một số định lý điểm bất độngcho ánh xạ co với hằng số là hàm điều khiển

Chương 2 dành cho việc trình bày một số định lý điểm bất động cho ánh

xạ co kiểu Kannan trong không gian metric compact, không gian metriccompact theo quỹ đạo, không gian metric compact bị chặn và không gianmetric đầy đủ với điều kiện kiểu Meir- Keeler Một đặc trưng của ánh xạ

co kiểu Kannan cũng được trình bày

Trang 9

Chương 1

Định lý điểm bất động Kannan

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số định lý điểm bất độngcủa ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động Kannan, định lý điểm bấtđộng đối với ánh xạ tiệm cận chính quy và định lý điểm bất động đối vớihằng số co là ánh xạ điều khiển Các kết quả chính của chương này đượcchúng tôi trích từ các tài liệu [?], [4]-[6]

1.1 Định lý điểm bất động Banach

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X là tập hợp khác rỗng Hàm d : X × X → R

được gọi là metric trên X nếu thỏa mãn

(i) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 ⇔ x = y

(ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X

(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X

Khi đó cặp (X, d) gọi là không gian metric

Định nghĩa 1.1.2 Cho (X, d) là không gian metric, {xn} là một dãy cácphần tử của X, ta nói {xn} hội tụ đến x ∈ X nếu

lim

n→∞d(xn, x) = 0

Ta kí hiệu lim

n→∞xn = x hoặc xn → x khi n → ∞

Trang 10

Định lý 1.1.3 Giả sử (X, d) là không gian metric Khi đó

(i) Giới hạn của một dãy (nếu có) là duy nhất

(ii) Nếu lim

n→∞xn = a; lim

n→∞yn = b thì lim

n→∞d(xn, yn) = d(a, b).Chứng minh (i) Trong X giả sử lim

n→∞xn = a; lim

n→∞yn = b Ta có

d(a, b) ≤ d(a, xn) + d(xn, b) với mọi n

Cho n → ∞ ta thu được d(a, b) = 0 Điều này kéo theo a = b

(ii) Với mọi n ta đều có

d(a, b) ≤ d(a, xn) + d(xn, yn) + d(yn, b)

Suy ra

d(a, b) − d(xn, yn) ≤ d(a, xn) + d(yn, b)

Tương tự ta cũng có

d(xn, yn) − d(a, b) ≤ d(a, xn) + d(yn, b)

Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được

|d(xn, yn) − d(a, b)| ≤ d(a, xn) + d(yn, b)

Theo giả thiết, lim

Định nghĩa 1.1.4 Giả sử(X, d)là không gian metric Dãy{xn}các phần

tử của X được gọi là dãy Cauchy (cơ bản ) nếu lim

m,n→∞d(xm, xn) = 0.Định nghĩa 1.1.5 Không gian metric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọidãy Cauchy các phần tử của X đều hội tụ trong nó

Định nghĩa 1.1.6 Không gian metric (X, d) được gọi là compact nếumọi dãy trong X đều chứa một dãy con hội tụ trong nó

Trang 11

Định nghĩa 1.1.7 Điểm x ∈ X¯ được gọi là điểm bất động của ánh xạ

T : X → X nếu T ¯x = ¯x

Định lý dưới đây chính là nguyên lý điểm bất động của ánh xạ coBanach (1922)

Định lý 1.1.8 Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ và ánh xạ

T : X → X thỏa mãn điều kiện co sau

d(T x, T y) ≤ kd(x, y), với mọi x, y ∈ X,

trong đó k ∈ [0, 1) là hằng số Khi đó T có điểm bất động duy nhất x ∈ X.¯

Hơn nữa, với mỗi x ∈ X, lim

n,m→∞d(xn, xm) = 0 Vậy dãy {xn} là dãy Cauchy trong X

Vì X đầy đủ nên tồn tại một phần tử x ∈ X¯ sao cho lim

Trang 12

Vậy x¯ là điểm bất động của ánh xạ T Để kết thúc ta sẽ chứng minh x¯ làduy nhất Thật vậy, giả sử y¯là một điểm bất động của T Khi đó ta có

d(¯x, ¯y) = d(T ¯x, T ¯y) ≤ kd(¯x, ¯y)

Suy ra d(¯x, ¯y) = 0 hay x = ¯¯ y

d(T x, T y) ≤ k max{d(T x, x); d(T y, y)} với mọi x, y ∈ X,

trong đó k ∈ [0, 1) là hằng số Khi đó T có điểm bất động duy nhất x ∈ X¯ Hơn nữa, với mỗi x ∈ X, ta có lim

n→∞Tnx = ¯x.Chứng minh Với mỗi x0 ∈ X, ta xây dựng dãy {xn} ⊆ X bởi công thức

xn = Tnx0 với mọi n ≥ 1 Nếu tồn tại n ∈ N sao cho xn+1 = xn thì xn

chính là điểm bất động của ánh xạ T Giả sử xn+1 6= xn với mọi n ∈ N.

Trang 13

Suy ra lim

n,m→∞d(xn, xm) = 0 Vậy {xn} là dãy Cauchy trong X Vì X đầy

đủ, tồn tại x ∈ X¯ sao cho lim

Suy ra x = ¯¯ y Vậy x¯ là điểm bất động của duy nhất của T

d(T x, T y) ≤ k max{d(T x, y); d(T y, x)} với mọi x, y ∈ X,

trong đó k ∈ [0, 12) là hằng số Khi đó T có điểm bất động duy nhất x ∈ X¯ Hơn nữa với mỗi x ∈ X, ta có lim

n→∞Tnx = ¯x.Chứng minh Với mỗi x0 ∈ X, ta xây dựng dãy {xn} ⊆ X bởi công thức

xn = Tnx0 với mọi n ≥ 1 Khi đó ta có

Trang 14

n,m→∞d(xn, xm) = 0 Vậy {xn} là dãy Cauchy trong X Vì X đầy

đủ, tồn tại x ∈ X¯ sao cho lim

d(¯x, ¯y) = d(T ¯x, T ¯y) ≤ k max{d(T ¯x, ¯y); d(¯x, T ¯y)} = kd(¯x, ¯y)

Suy ra x = ¯¯ y Vậy x¯ là điểm bất động của duy nhất của T

Định lý 1.1.11 Giả sử (X, d) là không gian metric compact và ánh xạ

T : X → X thỏa mãn điều co sau

d(T x, T y) < d(x, y), với mọi x, y ∈ X, x 6= y

Khi đó T có điểm bất động duy nhất x∗ ∈ X

Trang 15

Chứng minh Xét hàm số f : X → R xác định bởi f (x) = d(x, T x) vớimọi x ∈ X Khi đó f liên tục trên X Vì X compact nên f đạt được giátrị nhỏ nhất trên X, tức là tồn tại x ∈ X¯ sao cho

Hằng số K ∈ (0, 12) nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên gọi là hằng sốKannan

Bổ đề 1.2.2 Giả sử C là tập con không rỗng, đóng của không gian metricđầy đủ (X, d) và T : C → C là ánh xạ thỏa mãn tồn tại K ∈ [0, 1) saocho

Hơn nữa, giả sử tồn tại các hằng số a, b ∈R sao cho 0 ≤ a < 1 và b > 0.Khi đó nếu với mỗi x ∈ C, tồn tại u ∈ C sao cho d(u, T u) ≤ ad(x, T x)

và d(u, x) ≤ bd(x, T x) thì T có ít nhất một điểm bất động

Chứng minh Lấy x0 ∈ C tùy ý Xét dãy {xn} trong C thỏa mãn

d(T xn+1, xn+1) ≤ a.d(T xn, xn)

Trang 16

Cho n → ∞ ta thu được T v = v Vậy v là điểm bất động của T.

Định lý 1.2.3 Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ và T : X → X

là ánh xạ Kannan với hằng số K Khi đó T có điểm bất động duy nhất

Chứng minh Với mỗi x ∈ X, ta đặt u = T x Khi đó ta có

d(u, T u) = d(T x, T u) ≤ K.{d(x, T x) + d(u, T u)}

Từ đó suy ra

d(u, T u) ≤ K

1 − K.d(x, T x),

Trang 17

ở đây 1−KK < 1 và d(u, x) = d(T x, x) Lấy x0 ∈ X cố định Ta định nghĩadãy {xn} trong X xác định bởi

d(T x, T y) ≤ K{d(T x, y) + d(T y, x)}, với mọi x, y ∈ X,

trong đó K ∈ [0,12) là hằng số Khi đó T có điểm bất động duy nhấtx ∈ X¯ Hơn nữa, với mỗi x ∈ X, lim

n→∞Tnx = ¯x

Trang 18

Chứng minh Với x0 ∈ X, ta xây dựng dãy {xn} ⊆ X bởi công thức

Trang 19

≤ K{d(T ¯x, ¯y) + d(T ¯y, ¯x)}

= 2Kd(¯x, ¯y)

Vì K ∈ [0,12) nên d(¯x, ¯y) = 0 Điều này kéo theo x = ¯¯ y Vậy x¯ là điểmbất động duy nhất của T

Định nghĩa 1.2.5 Cho (X, d) là không gian metric Ánh xạ T : X → X

được gọi là tiệm cận chính quy nếu lim

n→∞d(Tn+1x, Tnx) = 0với mọi x ∈ X.Định lý 1.2.6 Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ và T : X → X

là ánh xạ tiệm cận chính quy sao cho

d(T x, T y) ≤ K{d(x, T x) + d(y, T y)} với mọi x, y ∈ X,

ở đây K < 1 là hằng số Khi đó T có điểm bất động duy nhất

Trang 20

là ánh xạ liên tục và tiệm cận chính quy sao cho

d(T x, T y) ≤ M d(x, y) + K{d(x, T x) + d(y, T y)} với mọi x, y ∈ X,

ở đây K ≥ 0, M ∈ [0, 1) là các hằng số Khi đó T có điểm bất động duynhất z ∈ X và Tnx → z với mọi x ∈ X

xn = Tnx0, với mọi n ≥ 1

Khi đó với mỗi n ∈ N và k ∈ N∗, ta có

d(xn+k, xn) ≤ d(xn+k, xn+k+1) + d(xn+k+1, xn+1) + d(xn+1, xn)

≤ d(xn+k, xn+k+1) + M d(xn+k, xn) + d(xn+1, xn)+ K{d(xn+k, xn+k+1) + d(xn, xn+1)}

Từ đó suy ra

(1 − M )d(xn+k, xn) ≤ (K + 1){d(xn+k, xn+k+1) + d(xn, xn+1)},

với mọi n ∈ N và k ∈ N∗ Bởi tính tiệm cận chính quy của T nên cho

n → ∞ ta thu được lim

n→∞d(xn+k, xn) = 0 với mọi k ∈ N∗ Vậy {xn} làdãy Cauchy trong X Vì X là đầy đủ, tồn tại x ∈ X¯ sao cho lim

Trang 21

với mọi n Cho n → ∞ ta được Tnx → ¯x với mọi x ∈ X.

1.3 Định lý điểm bất động đối với hằng số co là ánh

là ánh xạ từ X vào chính nó Giả sử tồn tại f ∈ S sao cho

d(T x, T y) ≤ f (d(x, y)){d(x, T x) + d(y, T y)} với mọi x, y ∈ X; x 6= y

Khi đó T có điểm bất động duy nhất x¯ và Tnx → ¯x với mọi x ∈ X

Nếu tồn tại n0 sao cho xn0+1 = xn0 thì xn0 là điểm bất động của ánh xạ

T Bây giờ ta giả sử xn 6= xn+1 với mọi n Khi đó theo giả thiết ta có

d(xn+1, xn) = d(Tn+1x0, Tnx0)

≤ 1

2{d(Tnx0, Tn+1x0) + d(Tn−1x0, Tnx0)}

Trang 22

= 1

2{d(xn+1, xn) + d(xn, xn−1)}

Điều này kéo theod(xn+1, xn) ≤ d(xn, xn−1)với mọin Vậy dãy{d(xn+1, xn)}

đơn điệu giảm các số thực không âm Do đó tồn tại γ ≥ 0 sao cho

Cho n → ∞ ta được lim

n→∞f (d(xn+1, xn)) ≥ 12 Từ f ∈ S nên suy raγ = 0.Vậy lim

n→∞xn = ¯x Mặtkhác, ta lại có

Trang 23

là ánh xạ từ X vào chính nó Giả sử tồn tại f ∈ U sao cho

d(T x, T y) ≤ f (d(x, y)){d(x, T x)+d(y, T y)+d(x, y)}với x, y ∈ X; x 6= y

Nếu tồn tại n0 sao cho xn0+1 = xn0 thì xn0 là điểm bất động của ánh xạ

T Bây giờ ta giả sử xn 6= xn+1 với mọi n Khi đó theo giả thiết ta có

Điều này kéo theod(xn+1, xn) ≤ d(xn, xn−1)với mọin Vậy dãy{d(xn+1, xn)}

đơn điệu giảm các số thực không âm Do đó tồn tại γ ≥ 0 sao cho

với mọi n Cho n → ∞ ta được lim

n→∞f (d(xn+1, xn)) ≥ 13 Từ f ∈ S nênsuy ra γ = 0 Vậy lim

n→∞d(xn+1, xn) = 0 Mặt khác, với m > n ta có

d(xn+1, xm+1) ≤ f (d(xn, xm)){d(xn, xn+1) + d(xm, xm+1) + d(xn, xm)}

≤ 1

3{2d(xn, xn+1) + 2d(xm, xm+1) + d(xn+1, xm+1)}

Trang 24

Từ đó suy ra

d(xn+1, xm+1) ≤ d(xn, xn+1) + d(xm, xm+1) với mọi m > n

Cho n → ∞ ta thu được lim

n,m→∞d(xn+1, xm+1) = 0 Vậy dãy {xn} làCauchy trong X Vì X là đầy đủ, tồn tại x ∈ X¯ sao cho lim

n→∞xn = ¯x Mặtkhác ta có

Vậy tất cả các giả thiết của Định lý 1.3.2 được thỏa mãn Hơn nữa, x = 0¯

là điểm bất động duy nhất của T

Trang 25

là ánh xạ liên tục, tiệm cận chính quy Giả sử tồn tại f ∈ V sao cho

d(T x, T y) ≤ f (d(x, y)){d(x, T x)+d(y, T y)+d(x, y)}với x, y ∈ X; x 6= y

Trang 26

Vậy x¯ là điểm bất động của ánh xạ T Giả sử y¯ là điểm bất động của T

Trang 27

Chương 2

Một số định lý điểm bất động đối với ánh xạ kiểu Kannan

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số định lý điểm bất động củaánh xạ co kiểu Kannan trong không gian metric compact, compact theoquỹ đạo và compact bị chặn Ngoài ra chúng tôi còn trình bày một đặctrưng của ánh xạ co Kannan và định lý điểm bất động cho ánh xạ co kiểuKannan trong không gian metric đầy đủ với điều kiện kiểu Meir- Keeler.Các kết quả của chương này được chúng tôi trích từ các công trình [3] và[4]

2.1 Một số khái niệm mở đầu

Định nghĩa 2.1.1 Không gian metric (X, d)được gọi là compact bị chặnnếu mọi dãy bị chặn trong X đều chứa một dãy con hội tụ

Nhận xét Mọi không gian metric compact đều là không gian metriccompact bị chặn Điều ngược lại không đúng Ví dụ sau minh họa chokhẳng định đó

Ví dụ 2.1.2 Xét X = R với metric tự nhiên Khi đó X là không gianmetric compact bị chặn nhưng không là không gian metric compact

Định dạng
Số trang	43
Dung lượng	267,65 KB