Lý thuyết KKM trong không gian g lồi

Lí do chọn đề tài Nguyên lý điểm bất động Browder và dạng tương đương của nó, bổ đềKKM được chứng minh trong không gian hữu hạn chiều.. Năm 1961, KyFan đã chứng minh một dạng tương tự củ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

-

HOÀNG THỊ MAI PHƯƠNG

LÝ THUYẾT KKM TRONG KHÔNG GIAN G-LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

-

HOÀNG THỊ MAI PHƯƠNG

LÝ THUYẾT KKM TRONG KHÔNG GIAN G-LỒI

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCNgười hướng dẫn khoa học: TS Trần Quốc Bình

HÀ NỘI - 2016

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Quốc Bình, người thầy

đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoànthành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, cácthầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sưphạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ,động viên để tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 11 năm 2016

Tác giả

Hoàng Thị Mai Phương

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS Trần QuốcBình, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài:”Lý thuyết KKMtrong không gian G-lồi” được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểucủa bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừanhững kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 11 năm 2016

Tác giả

Hoàng Thị Mai Phương

Mục lục

1.1 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff 6

1.2 Nguyên lý ánh xạ KKM 8

1.2.1 Bổ đề KKM 8

1.2.2 Nguyên lý ánh xạ KKM và bất đẳng thức Ky Fan 10 1.2.3 Dạng hình học của bất đẳng thức Ky Fan 13

1.2.4 Bổ đề KKM cho các tập hợp mở 14

1.2.5 Định lý minimax 15

1.2.6 Các định lý điểm bất động 17

2 Lý thuyết KKM trong không gian G-lồi 19 2.1 Giới thiệu 19

2.2 Không gian lồi suy rộng 22

2.3 Định lý KKM và định lý sánh đôi 23

2.4 Định lý giao toàn thể khác 27

2.5 Tính chất hình học hoặc tiết diện 28

2.6 Định lý điểm bất động kiểu Fan-Browder 30

2.7 Định lý tồn tại của phần tử cực đại 32

2.8 Giải tích thay phiên 34

2.9 Bất đẳng thức Minimax 35

2.10 Bất đẳng thức biến phân 40

2.11 Xấp xỉ tốt nhất 42

2.12 Các định lý điểm bất động 43

2.13 Định lý minimax loại von Neumann 45

2.14 Định lý cân bằng Nash 46

Bảng kí hiệu

2X họ tất cả các tập con của X

hXi lớp các tập con hữu hạn khác rỗng của X

(u.s.c) nửa liên tục trên

(l.s.c) nửa liên tục dưới

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Nguyên lý điểm bất động Browder và dạng tương đương của nó, bổ đềKKM được chứng minh trong không gian hữu hạn chiều Năm 1961, KyFan đã chứng minh một dạng tương tự của bổ đề KKM cho không gian vôhạn chiều gọi là nguyên lý ánh xạ KKM, ngày nay được xem như trungtâm của lý thuyết KKM Sau Ky Fan, rất nhiều nhà toán học trên thế giới

đã mở rộng nguyên lý ánh xạ KKM và cùng với nó là một loạt các vấn đềliên quan như Định lý sánh đôi, bất đẳng thức Ky Fan, dạng hình học củabất đẳng thức Ky Fan, Bổ đề KKM cho các tập mở, các định lý điểm bấtđộng, định lý minimax

Một trong những hướng phát triển đó là Sehie Park, nhà Toán học HànQuốc, khi ông đưa ra khái niệm không gian G-lồi, một dạng tổng quáthóa của nhiều dạng lồi trừu tượng đó của các nhà toán học khác Trongkhông gian G-lồi ta có một cấu trúc lồi (trừu tượng) mà không cần đếntính tuyến tính Ngoài nguyên lý KKM, ông cũng thu được một loạt cáckết quả liên quan, tương đương với nguyên lý KKM, như ta đã nói ở trên.Ngoài chương 1 là kiến thức chuẩn bị, đề cập đến lý thuyết KKM trongkhông gian vecto tôpô thông thường, thì chương 2, chương chính của luậnvăn, trình bày bài báo của Sehie Park

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là trình bày một số kết quả nghiêncứu về nguyên lý KKM trong không gian G-lồi và các định lý tương đươngvới nó

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu nguyên lý KKM trongkhông gian G-lồi và các định lý tương đương với nó

4 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là nguyên lý KKM trong không gianG-lồi và các định lý tương đương với nó

5 Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp, phân tích, đánh giá và sử dụng các kiến thức cơ bản củakhông gian vectơ tôpô để nghiên cứu về nguyên lý KKM trong không gianG-lồi và các định lý tương đương với nó

6 Đóng góp mới

Luận văn sẽ là một tổng quan về nguyên lý KKM và các định lý điểmbất động chung trong không gian vectơ tôpô

Định nghĩa 1.1.1 (Không gian tôpô) Cho tậpX 6= ∅ Một họ τ ⊆ P(X)

các tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn các tínhchất sau:

i) ∅, X ∈ τ;

ii) Giao của một số hữu hạn các phần tử thuộc τ thì thuộc τ;

iii) Hợp của một họ tùy ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ

Khi đó (X, τ ) được gọi là một không gian tôpô

Định nghĩa 1.1.2 (Không gian vectơ tôpô) Cho không gian vectơ thực

X Một tôpô τ trên X được gọi là tương thích với cấu trúc đại số của X

nếu các ánh xạ + và liên tục Tức là:

(i) Với mọi x, y ∈ X và mọi lân cận W của x + y, tồn tại các lân cận U

của x, V của y sao cho U + V ⊆ W

(ii) Với mọi λ ∈ R, x ∈ X và với mọi lân cận W của λx, tồn tại ε > 0 vàlân cận V của x sao cho µV ⊆ W với mọi µ ∈ (λ − ε, λ + ε)

Khi đó, τ được gọi là tôpô tuyến tính trên X và X được gọi là một khônggian vectơ tôpô hay không gian tôpô tuyến tính

Định nghĩa 1.1.3 (Tập lồi) Tập X ⊂ Rn được gọi là lồi nếu:

λx + (1 − λ) y ∈ X ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1].Định nghĩa 1.1.4 (Không gian tôpô lồi địa phương) Một không gianvectơ tôpô X gọi là không gian lồi địa phương (và tôpô của nó gọi là tôpôlồi địa phương) nếu trong X có một có sở lân cận của gốc toàn tập lồi

Vì khi tịnh tiến một tập lồi ta lại được một tập lồi nên trong không gianlồi địa phương mỗi điểm đều có một cơ sở lân cận lồi

Ví dụ 1.1.1 Không gian định chuẩn là một không gian lồi địa phươngsinh bởi hình cầu đơn vị: V0 = {B (0; 1)} Lúc đó, cơ sở lân cận gốc tươngứng là V = {εB (0; 1) |ε > 0} = {B (0; ε) |ε > 0}

Định nghĩa 1.1.5 Cho không gian tôpô X thỏa mãn điều kiện với mọicặp điểm khác nhau x1, x2 ∈ X đều có hai lân cận V1, V2 của x1, x2 saocho V1∩ V2 = ∅ (có nghĩa là, hai điểm khác nhau bao giờ cũng có thể táchđược bởi hai lân cận rời nhau) Khi đó, không gian tôpô X được gọi làkhông gian tách hay không gian Hausdorff và tôpô của nó gọi là tôpô táchhay tôpô Hausdorff

1.2 Nguyên lý ánh xạ KKM

Trước hết ta nhắc lại khái niệm n-đơn hình

Cho X là một không gian vectơ, tập hợp S trong X được gọi là một nđơn hình nếu S = co {u0, u1, , un} với u0, u1, , un ∈ X và các vectơ

-u1− u0, , un− u0 là độc lập tuyến tính Các điểm ui được gọi là các đỉnh.Bao lồi của k + 1 đỉnh được gọi là k-diện của S Mỗi x ∈ S được biểu diễnduy nhất dưới dạng:

Bổ đề 1.2.1 (Bổ đề KKM) (Knaster - Kuratowski - Mazurkiewicz,1929)Cho một n-đơn hình S = co {u0, u1, , un} trong Rn và các tập hợpđóng F0, F1, , Fn trong S thỏa mãn điều kiện: với mọi tập hợp con I ⊂{0, 1, , n} ta có

Với mỗi x ∈ S ta có x = (x0, x1, , xn) và y = T x = (y0, y1, , yn) Vớimỗi i = 0, 1, , n ta đặt Fi = {x ∈ S : xi ≥ yi} Do T liên tục nên các Fi

đều đóng Ta sẽ chứng minh các Fi thỏa mãn điều kiện (KKM)

Lấy I ⊂ {0, 1, , n} và x ∈ co {ui : i ∈ I} Vậy x = (x0, x1, , xn) với

xi = 0 nếu i /∈ I và xi > 0 nếu i ∈ I và y = (y0, y1, , yn) với yi ≥0,

để cho x ∈ Fi0, tức là xi0 ≥ yi0 Giả sử ngược lại rằng xi < yi với mọi

n

T

i=0

Fi.Khi đó ta có x∗i ≥ y∗

i với i = 0, 1, , n trong đó các yi∗ là tọa độ trọng tâmcủa y∗ = T x∗

n

T

i=0

Fi = ∅ Khi đó vớimỗi x ∈ S và với mỗi i = 0, 1, , n ta đặt αi(x) = d(x, Fi) là khoảng cách

Fi.Điều này mâu thuẫn với

Nguyên lý ánh xạ KKM là một mở rộng của bổ đề KKM ra không gian

vô hạn chiều và là trung tâm của lý thuyết KKM, một bộ phận cơ bản vàquan trọng của giải tích phi tuyến

Trước khi phát biểu nguyên lý ánh xạ KKM, chúng ta định nghĩa ánh xạKKM

Định nghĩa 1.2.1 (Ánh xạ KKM)

Cho C là một tập hợp trong không gian vectơ tôpô, ánh xạ đa trịF : C →

2X được gọi là ánh xạ KKM nếu với mọi tập hữu hạn A trong C ta có

ở đây F (A) = S

x∈A

F (x)

Định lý 1.2.2 Nguyên lý ánh xạ KKM

Cho C là một tập hợp trong không gian vectơ tôpô Hausdorff X, F :

L tương thích với tôpô cảm sinh từ X Kí hiệu ∆ = co {x1, x2, , xn}.Đặt G(xi) = F (xi)T

L, i = 1, 2, , n Với mỗi x ∈ ∆, đặt αi(x) =d(x, G(xi))

sao cho x /∈ G(xi), suy ra αi(x) > 0 do G(xi) đóng Vậy ta có thể đặt

µi(x)ui, do∆lồi ta được một ánh xạ liên tụcT : ∆ → ∆ ⊂ L

với L hữu hạn chiều

Theo định lý Brouwer, tồn tạix∗ ∈ ∆màx∗ = T x∗ ĐặtI = {i : µi(x∗) > 0},

nên x∗ ∈ F (x/ i) với mọi i ∈ I, tức là x∗ ∈/ S

i∈I

F (xi), ta gặp mâu thuẫn,vậy nguyên lý được chứng minh

Để ý rằng trong nguyên lý trên ta chỉ khẳng định x∈AF (x) 6= ∅ vớimọi A hữu hạn trong C Tính chất này thường được phát biểu là "họ

T

a) C là tập hợp hữu hạn, hoặc

b) tồn tại x0 ∈ C sao cho F (x0) compact

Khi đó chỉ việc thay mỗi F (x) bởi F (x) ∩ F (x0) ta được một họ tập hợpđóng trong một tập hợp compact Lúc này, để ∩x∈CF (x) 6= ∅ chỉ cần đòihỏi tính giao hữu hạn của họ {F (x) : x ∈ C}

Một hệ quả quan trọng của nguyên lý ánh xạ KKM, được sử dụng rộngrãi trong giải tích phi tuyến là một bất đẳng thức do Ky Fan chứng minhnăm 1961

Định lý 1.2.3 (Ky Fan, 1961 ) ChoX là không gian vectơ tôpô Hausdorff,

C là một tập hợp lồi, compact trong X, f : C × C → R là một hàm số

thỏa mãn các điều kiện sau:

ii) f (x, y) nửa liên tục dưới theo y với mỗi x cố định;

iii) f (x, x) ≤ 0 với mọi x ∈ C

Khi đó, tồn tại y∗ ∈ C sao cho f (x, y∗) ≤ 0 với mọi x ∈ C

Chứng minh Kết luận của định lý (gọi là bất đẳng thức Ky Fan) đượcsuy ra từ nguyên lý ánh xạ KKM như sau

Với mỗi x ∈ C đặt F (x) = {y ∈ C : f (x, y) ≤ 0} Vì hàm f nửa liên tụcdưới theo y nên F (x) là tập hợp đóng

Ta sẽ kiểm tra điều kiện KKM bằng phản chứng Giả sử tồn tạix1, x2, , xn ∈

Vì f (x, y) tựa lõm theo biến thứ nhất nên tập hợp {z ∈ C : f (z, x) > 0}

là lồi Tập hợp này chứa mọi xi nên cũng chứa x =

i) Với mỗi x ∈ C, tập hợp {y ∈ C : (x, y) /∈ A} là lồi,

ii) Với mỗi y ∈ C, tập hợp {y ∈ C : (x, y) ∈ A} là đóng,

iii) Với mọi x ∈ C ta có (x, x) ∈ A

Khi đó tồn tại x0 ∈ C sao cho {x0} × C ⊂ A

Chứng minh Với mỗi y ∈ C, đặt

F (y) = {x ∈ C : (x, y) ∈ A}

Như vậy ta đã có một ánh xạ F : C → 2C Từ điều kiện ii) suy ra F (y)

đóng với mọi y ∈ C Ta sẽ chứng minh rằng F là ánh xạ KKM bằng phảnchứng

Giả sử tồn tại x1, x2, , xn ∈ C và z ∈ co {x1, x2, , xn} mà z /∈

n

S

i=1

F (xi), tức là z /∈ F (xi), i = 1, 2, , n Theo định nghĩa của F, ta

có (z, xi) /∈ A Vì z ∈ co {x1, x2, , xn} nên khi chọn αi với αi ≥ 0, saocho

Từ định lý này trực tiếp suy ra bất đẳng thức Ky Fan Thật vậy, nếu

Ky Fan thì tập hợp A = {(x, y) : f (x, y) ≤ 0} thỏa mãn ba điều kiện củađịnh lý trên Khi đó kết luận {x0} × C ⊂ A chính là f (x0, y) ≤ 0 với mọi

bất đẳng thức Ky Fan khi ta thay việc xét hàm f bằng việc xét tập hợpdưới mức 0 của nó

Trong chứng minh bổ đề KKM, tính đóng (mở) của các tập hợpF0, F1, , Fn

là bắt buộc Một điều bất ngờ lý thú là tính đóng (mở) ở đây có thể thaybằng tính mở

Định lý 1.2.5 (Shih, 1986) Cho C là một tập hợp lồi trong không gianvectơ tôpô tách, A là một tập hợp con hữu hạn của C, G : A → 2C là một

ánh xạ KKM với giá trị mở Khi đó

Định lý 1.2.6 (Ky Fan, 1984) ChoC là một tập lồi trong không gian vectơtôpô tách A1, A2, , An là các tập hợp đóng trong C sao cho

gọi là điểm yên ngựa hoặc điểm cân bằng của f

Chúng ta đưa vào một ký hiệu mới ChoX, Y là hai tập hợp lồi, compacttrong hai không gian vectơ tôpô tách Ánh xạ đa trị T : X → 2Y thuộc

1) T x là tập hợp lồi với mỗi x ∈ X,

2) T−1y là tập hợp mở với mỗi y ∈ Y,

3) T−1(Y ) = X,

ở đây ánh xạ T−1 được xác định như sau:

x ∈ T−1y khi và chỉ khi y ∈ T x

Như vậy điều kiện (3) tương đương với T x 6= ∅ với mỗi x ∈ X, tức là T

xác định trên toàn X Để ý rằng nếu T ∈ B(X, Y ) và t là một ánh xạđơn trị liên tục từ một tập hợp lồi, compact Z vào X thì T · t ∈ B(X, Y ).Thật vậy ta có T (tz) lồi với mọi z ∈ Z, (T · t)−1y = t−1(T−1y) mở với mọi

y ∈ Y vì t liên tục và (T · t)−1(Y ) = t−1(T−1(Y )) = Z vì t xác định trêntoàn Z Ta sẽ dùng ký hiệu T ∈ B−1(X, Y ) nếu Y−1 ∈ B(Y, X) Định lýđiểm bất động sau đây cũng là một hệ quả của nguyên lý ánh xạ KKM,thường gọi là định lý Browder-Fan

Định lý 1.2.7 (Browder, 1968) Cho X, Y là hai tập hợp lồi, compacttrong hai không gian vectơ tôpô tách Khi đó mọi ánh xạ T ∈ B(X, X)

đều có điểm bất động

Định lý 1.2.8 (Mechaiekh, 1982) Cho X, Y là hai tập hợp lồi, compacttrong hai không gian vectơ tôpô tách và hai ánh xạ T ∈ B(X, Y ) và S ∈

B−1(X, Y ) Khi đó, tồn tại x0 ∈ X sao cho T x0TSx0 6= ∅

Định lý 1.2.9 (Sion, 1958) Cho X, Y là hai tập hợp lồi, compact tronghai không gian vectơ tôpô tách, f : X × Y → R là một hàm số thỏa mãn

hai điều kiện sau:

1) Với mỗi x ∈ X, hàm f (x, ) tựa lồi và nửa liên tục dưới theo y,

2) Với mỗi y ∈ Y, hàm f (., y) tựa lõm và nửa liên tục trên theo x

Hai định lý sau là hệ quả của Định lý 1.2.3

Định lý 1.2.11 (Định lý Schauder, 1930 ) Mọi ánh xạ liên tục từ mộttập hợp lồi, compắc của một không gian định chuẩn vào chính nó đều cóđiểm bất động

Chứng minh Trong 1) cho x = T x0 ta được kT x0 − x0k = 0, tức là

T x0 = x0 và hệ quả được chứng minh

Định lý 1.2.12 (Định lý điểm bất động Tikhonov,1935) ChoC là một tậphợp lồi, compắc trong không gian lồi địa phương tách (X, P ), T : C → C

là ánh xạ liên tục Khi đó T có điểm bất động

Định lý 2.1.1 (Brouwer, 1912) Cho ∆n = v0v1 vn là một đơn hình Khi

đó ánh xạ liên tục f : ∆n → ∆n có một điểm bất động x0 = f (x0) ∈ ∆n

Có một số lượng lớn những chứng minh khác nhau của định lý Brouwer.Một trong những cách chứng minh sớm của định lý Brouwer được đưa rabởi Kraster, Kuratowski, và Muzurkiewicz (ký hiệu KKM) sử dụng bổ đềsau:

Bổ đề 2.1.1 (Sperner, 1928) Cho K là một sự phân chia nhỏ của một

n-đơn hình v0v1 vn Với mỗi đỉnh của K, được gán một số nguyên saocho khi một đỉnh u của K nằm trên một mặt vi0vi1vik(0 ≤ k ≤ n, 0 ≤

i0 < i1 < < ik ≤ n), số được gán cho u là một trong những số nguyên

i0, i1, , ik Khi đó tổng số của n-đơn hình đó của K, mà các đỉnh đượcgán tất cả n + 1 số nguyên 0, 1, , n là lẻ Đặc biệt có ít nhất một n-đơnhình như vậy

Bổ đề được áp dụng để chứng minh nguyên lý KKM (dạng đóng) trong[KKM] như sau:

Định lý 2.1.2 (KKM, 1929) Cho Fi(0 ≤ i ≤ n) là tập con đóng (tươngứng mở) của một đơn hình v0v1 vn Nếu

Từ năm 1961, Ky Fan nhận được sự mở rộng của nguyên lý KKM và ápdụng chúng cho một loạt vấn đề khác nhau Đặc biệt, ông thiết lập đượcmột kết quả đơn giản nhưng cơ bản là dạng hình học của bất đẳng thức

Ky Fan và bất đẳng thức minimax Sau đó, Browder phát biểu lại bổ đềtrong dạng tiện lợi hơn đối với lý thuyết điểm bất động sử dụng định lýBrowder và phép phân hoạch đơn vị Các kết quả này cũng được biết đến

là tương đương với nguyên lý KKM Cùng với sự phát triển như vậy, xuấthiện nhiều sự mở rộng của nhiều kết quả đã biết và các ứng dụng mới liênquan đến cái gọi là ánh xạ KKM

Năm 1987, dạng mở của nguyên lý KKM đã thuộc về Kim và Shih vàTan, và sau đó Lassonde đã chứng minh được rằng dạng đóng và mở củanguyên lý KKM có thể được suy ra lẫn nhau

Lấy D là một tập khác rỗng và X là tập con lồi của không gian vectơsao cho D ⊂ X Ánh xạ đa trị F : D ( X được gọi là một ánh xạ KKMnếu

coA ⊂ F (A) =

a∈A

với mỗi A ∈ hDi,

ở đây bao lồi ký hiệu là co và tập hDi là tất cả các tập con hữu hạn khácrỗng của D

Nguyên lý KKM, được gọi như vậy lần đầu tiên bởi Sehie Park, là sựnghiên cứu ánh xạ KKM và các ứng dụng của chúng Ban đầu, lý thuyếtchủ yếu liên quan với các tập lồi trong không gian vectơ tôpô Sau đó nóđược mở rộng cho không gian lồi bởi Lassonde, và các không gian có các

họ các tập co rút được (đơn giản, không gian H hoặc không gian C) bởiHorvath Lối mở rộng này của các kết quả có từ sớm được phát triển bởinhiều tác giả

Mặt khác, tác giả giới thiệu khái niệm tổng quát hơn các không gian C

và các tính chất cơ bản của ánh xạ KKM cho những không gian đó mà

nó dường như phù hợp hơn cho những mục đích khác nhau Trên thực tếkhái niệm mới của không gian lồi suy rộng còn gọi là không gian G-lồi làmột sự mở rộng chung của nhiều tính lồi trừu tượng mà không có bất kỳcấu trúc tuyến tính nào được phát triển chủ yếu trong mối liên kết với lýthuyết điểm bất động và lý thuyết KKM

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu các kết quả cơ bản trong lý thuyếtKKM cho không gian G-lồi mà nó tương đương với định lý Brouwer, bổ

đề Sperner, nguyên lý KKM Những kết quả đó là phiên bản trừu tượngcủa các kết quả tương ứng cho các tập lồi trong không gian vectơ tôpô.Vài ứng dụng đầu tiên của những kết quả đó được chỉ ra Cuối cùng tachứng tỏ như là ví dụ điển hình của ứng dụng, rằng định lý điểm bất độngHimmelberg được suy ra từ dạng mở của nguyên lý KKM, và phát triểnđịnh lý minimax von Neumann và định lý cân bằng Nash cho không gian

G-lồi

2.2 Không gian lồi suy rộng

Một không gian lồi suy rộng, hay một không gian G-lồi (X, D; Γ) gồmmột không gian tôpô X và một tập D khác rỗng sao cho mỗi A ∈ hDi có

φA |∆J có thể được xem như φJ và ta có thể giả thiết Γ(J ) ⊂ Γ(A)

Chẳng hạn, ∆J là một diện của ∆n tương ứng với J ∈ hAi, tức là nếu

A = {a0, a1, , an}vàJ = {ai0, ai1, , ain} ⊂ Athì∆J := co {vi0, vi1, , vik}

Ta có thể viết ΓA = Γ(A) với mỗi A ∈ hDi

Ta đã giả thiết rằng D là một tập con khác rỗng của X trong địnhnghĩa của một không gian G-lồi (X, D; Γ) Từ bây giờ, ta chấp nhận địnhnghĩa trên, tức là nói chung ta không giả sử D ⊂ X Trong trường hợp

Có nhiều ví dụ của không gian G-lồi:

Ví dụ 2.2.1 Nếu X là một tập con lồi của một không gian vectơ, D ⊂ X

và X có một tôpô sao cho mỗi ΓA là bao lồi của A ∈ hDi được trang bịtôpô Euclide, thì (X, D; Γ) trở thành một không gian lồi suy rộng Chú ýrằng tập con lồi bất kỳ của một không gian vectơ tôpô là một không gianlồi, nhưng ngược lại không đúng

Ví dụ 2.2.2 Nếu X = D và ΓA được giả định là co rút được hoặc tổngquát hơn, được liên thông vô hạn (tức là, n-liên thông với mọi n ≥ 0), vànếu đối với mỗi A, B ∈ hXi, A ⊂ B kéo theo ΓA ⊂ ΓB thì (X, Γ) trởthành một không gian C (hoặc một không gian H) như của Horrath

Ví dụ 2.2.3 Những ví dụ cơ bản khác của không gian G-lồi là khônggian metric với cấu trúc lồi Michael, Pisicke, không gian S-co rút được,

không gian giả lồi Horrath, không gian lồi Komiya, không gian đơn hìnhBielawski, không gian giả lồi Joo, Gần đây, những ví dụ tiếp theo củakhông gian G-lồi được cho bởi các tác giả như sau: L-không gian và tínhlồi đơn hình B0 của Ben-Ej-Mechaiekh và các tác giả, ảnh liên tục củakhông gian G-lồi, H-không gian suy rộng Stacho hoặc Verma, cấu trúcđơn hình Kulpa, không gian P1,1 của Forgo và Joo, mc-không gian L-tuyếntính, không gian mêtric siêu lồi của Aroszajn, Pamitchpakidi, và tính lồicủa Takahashi trong không gian mêtric.

Cho một không gian G-lồi (X ⊃ D; Γ), một tập con Y ⊂ X được gọi là

Γ-lồi nếu với mỗi N ∈ hDi, N ⊂ Y kéo theo TN ⊂ Y và đối với tập conbất kỳ Y ⊂ X, bao lồi của Y được xác định như sau:

Dễ thấy Γ-coY := ∪ {Γ − coN : N ∈ hY i}

Một ánh xạ đa trị (nói gọn là một ánh xạ) T : X ( Y là một hàm số

từ X vào tập lũy thừa 2Y của Y.T (x) được gọi là giá trị của T tại x ∈ X

{T (x) : x ∈ A}, với A ⊂ X

Cho một không gian G-lồi (X, D; Γ), một ánh xạ đa trị F : D → X

được gọi là một ánh xạ KKM nếu

Một tập con A của không gian tôpô X được gọi là đóng (mở) compacttrong X nếu với mỗi tập compact K ⊂ X, tập A ∩ K là đóng (mở) trong

K

Sau đây là định lý KKM cho không gian G-lồi: