Lý thuyết mặt trong không gian LorentzMinkowski

Trong đó việc nghiên cứu cáctính chất về độ cong của các mặt trong không gian Ơclit chiều 3 hoặc phânloại các mặt là các bài toán cổ điển được rất nhiều nhà toán học nổi tiếngnghiên cứu.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

————————–o0o————————–

TRẦN THỊ XUÂN MAI

Tên đề tài

LÝ THUYẾT MẶT TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ - MINKOWSKI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

————————–o0o————————–

TRẦN THỊ XUÂN MAI

LÝ THUYẾT MẶT TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ - MINKOWSKI

Chuyên ngành : Hình học tô pô

Mã số : 60.46.01.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Hoàng Hà

HÀ NỘI - 2017

LỜI CẢM ƠNBản luận văn được thực hiện từ tháng 09 năm 2016 và đã hoàn thànhvào tháng 06 năm 2017, là một dấu ấn quan trọng trong sự nghiệp của tôi

và mở ra cho tôi những cánh cửa tri thức mới

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành nhất đến trường Đại học sưphạm Hà Nội, phòng Đào tạo sau đại học trường ĐHSP Hà Nội, đặc biệt

là TS Phạm Hoàng Hà, người đã trực tiếp hướng dẫn, dìu dắt, giúp đỡtôi với những chỉ dẫn khoa học quý giá trong suốt quá trình triển khai,nghiên cứu và hoàn thành đề tài "Lý thuyết mặt trong không gian Lorentz-Minkowski"

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trường Đại học sư phạm HàNội đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt những kiến thức khoa học chuyênngành hình học tô pô cho tôi trong những năm tháng qua

Là một trong những công trình nghiên cứu đầu tiên nên chắc chắn luậnvăn thạc sĩ của tôi còn rất nhiều thiếu sót Tôi rất mong nhận được nhiều

ý kiến đóng góp quý báu của các thầy giáo, cô giáo, của các bạn học viên

để luận văn được hoàn chỉnh và phát triển hơn

Hà Nội, 01 tháng 06 năm 2017Tác giả luận văn

Trần Thị Xuân Mai

Mục lục

1.1 Các định nghĩa cơ sở: 31.2 Vectơ kiểu thời gian 61.3 Phép đẳng cự trong E31 11

2 Mặt trong không gian Lorentz - Minkowski 162.1 Mặt kiểu không gian và kiểu thời gian trong E31 162.2 Độ cong trung bình của mặt kiểu không gian 222.3 Tính địa phương của độ cong và ví dụ 292.4 Mặt trong không gian Lorentz - Minkowski với độ cong

trung bình và độ cong Gauss là hằng 34

MỞ ĐẦU

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Hình học vi phân trong không gian Ơclit được nghiên cứu từ rất lâu đờivới đối tượng chính là các đường và mặt Trong đó việc nghiên cứu cáctính chất về độ cong của các mặt trong không gian Ơclit chiều 3 hoặc phânloại các mặt là các bài toán cổ điển được rất nhiều nhà toán học nổi tiếngnghiên cứu Cùng với sự phát triển của hình học Ơclit, các loại hình họcphi Ơclit cũng được nghiên cứu và mang lại nhiều ứng dụng trong thực tế(chẳng hạn trong vật lý) Một trong các nghiên cứu được quan tâm gầnđây là nghiên cứu các đối tượng trong không gian Lorentz - Minkowski

đã thu hút được sự quan tâm của rất nhiều các nhà toán học Mục đíchcủa luận văn này bước đầu tìm hiểu về lý thuyết mặt trong không gianLorentz – Minkowski chiều 3 Cụ thể hơn chúng tôi sẽ trình bày chi tiếtcác kết quả nghiên cứu gần đây của Rafael López về mặt trong không gianLorentz - Minkowski Các kết quả này tương tự các tính chất của các mặttrong không gian Ơclit

Với những lý do trên, đề tài nghiên cứu của luận văn được lựa chọn là:

”Lý thuyết mặt trong không gian Lorentz - Minkowski”

II MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu về các mặt độ cong trung bình, độ cong Gauss của các mặttrong không gian Lorentz-Minkowski E31

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Đối tượng mà luận văn tập trung nghiên cứu ở đây là mặt trong khônggian Lorentz – Minkowski E31

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Phương pháp của hình học và giải tích phức

V CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Luận văn gồm có 2 chương:

• Chương 1: Không gian Lorentz - Minkowski

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở về khônggian Lorentz - Minkowski như các định nghĩa, véc tơ thời gian và phépđẳng cự.

• Chương 2: Mặt trong không gian Lorentz - Minkowski

Chương này tập trung nghiên cứu về lý thuyết mặt trong không gianLorentz - Minkowski Các tính chất tương tự của mặt như trong khônggian Ơclit sẽ được tìm hiểu và nghiên cứu cụ thể, chi tiết

Chương 1

Không gian Lorentz - Minkowski.

Trong chương này chúng tôi trình bày những kiến thức về không gianLorentz - Minkowski

1.1 Các định nghĩa cơ sở:

Cho R3 là không gian vectơ thực với cấu trúc vectơ thông thường của nó

Kí hiệu Bu = {E1, E2, E3} là cơ sở chính tắc của R3 với:

E1 = (1, 0, 0), E2 = (0, 1, 0), E3 = (0, 0, 1)

Ta định nghĩa (x, y, z) là tọa độ của một vectơ theo cơ sở Bu Ta cũng xéttrong R3 cấu trúc affine của nó, và ta sẽ nói "hàng" và "cột" trong cấutrúc đó

Định nghĩa 1.1.1 Không gian Lorentz - Minkowski là không gian metric

E31 = (R3, h, i) với metric h, i xác định bởi:

hu, vi = u1v1+ u2v2− u3v3, u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3),

Metric h, i được xác định như trên được gọi là metric Lorentz

Chúng ta cũng sử dụng thuật ngữ không gian Minkowski và metricMinkowski để gọi không gian và metric trên Metric Lorentz là một metrickhông suy biến của chỉ số 1 Không gian vectơ R3 cũng có giá metric Ơclitđược kí hiệu h, ie Ta viết không gian Ơclit ba chiều E3 = (R3, h, ie) phânbiệt với không gian Lorentz - Minkowski

Định nghĩa 1.1.2 Một vectơ v ∈ E31 được gọi là:

(1) Vectơ kiểu không gian nếu hv, vi > 0 hoặc v = 0,

(2) Vectơ kiểu thời gian nếu hv, vi < 0,

(3) Vectơ kiểu ánh sáng nếu hv, vi = 0 và v 6= 0.

Nón ánh sáng của E31 là tập hợp của tất cả các vectơ kiểu ánh sáng của

(1) Metric là xác định dương và U được gọi là kiểu không gian

(2) Metric có chỉ số 1 và U được gọi là kiểu thời gian

(3) Metric là suy biến và U được gọi là kiểu ánh sáng

Các kết quả đặc trưng của một vectơ hoặc một không gian vectơ con làtính chất theo kiểu không gian, kiểu thời gian hoặc kiểu ánh sáng Trongphần tiếp theo, ta chỉ ra một số đặc trưng và tính chất của không gian concủa E31

Mệnh đề 1.1.3 Cho U ⊂ E31 là một không gian vectơ con

So sánh với không gian Ơclit E3, sự tồn tại của các vectơ kiểu thời gian

và kiểu ánh sáng đưa đến một số tính chất "khác lạ" như sau:

Mệnh đề 1.1.4 (1) Hai vectơ kiểu ánh sáng u, v ∈ E31 được gọi là phụthuộc tuyến tính nếu và chỉ nếu hu, vi = 0.

(2) Nếu u và v là hai vectơ kiểu thời gian hoặc kiểu ánh sáng với hu, vi = 0thì u và v là các vectơ kiểu ánh sáng

(3) Nếu u và v là hai vectơ kiểu thời gian thì hu, vi 6= 0

(4) Nếu U là không gian con kiểu ánh sáng thì dim(U ∩ U⊥) = 1

Mệnh đề 1.1.5 Cho P ⊂ E31 là một không gian 2 chiều Các khẳng địnhsau là tương đương:

(1) P là không gian con kiểu thời gian

(2) P chứa hai vectơ kiểu ánh sáng độc lập tuyến tính

(3) P chứa một vectơ kiểu thời gian

Chúng ta bây giờ xét đặc trưng của không gian con kiểu ánh sáng.Mệnh đề 1.1.6 Cho U là một không gian vectơ con của E31 Các khẳngđịnh sau là tương đương:

(1) U là không gian con kiểu ánh sáng

(2) U chứa một vectơ kiểu ánh sáng nhưng không phải là một vectơ kiểuthời gian

(3) U ∩ C = L − {0} và dimL = 1

Từ quan điểm Ơclit, các kết quả sau là hữu ích

Mệnh đề 1.1.7 Cho P ⊂ E31 là một mặt phẳng vectơ Kí hiệu −→n

e là mộtvectơ trực giao theo nghĩa metric Ơclit Khi đó P là một mặt phẳng kiểukhông gian (tương ứng kiểu thời gian, kiểu ánh sáng) nếu và chỉ nếu −→n

e làmột vectơ kiểu thời gian (tương ứng kiểu không gian, kiểu ánh sáng).Chứng minh Nếu P = {(x, y, z) ∈ R3 : ax + by + cz = 0} thì −→n

e tỉ lệ vớivectơ (a, b, c) Ta có thể viết P như sau:

P = {(x, y, z) ∈ R3 : ax + by − (−c)z = 0} = Span{(a, b, −c)}⊥.Tính chất đặc trưng của vectơ (a, b, −c) là giống với vectơ −→n

e và theo mệnh

đề 1.1.3 ta có điều phải chứng minh

Ta đi định nghĩa chuẩn (module) của một vectơ

Định nghĩa 1.1.8 Lấy u ∈ E31, chuẩn của u là |u| =p|hu, ui| Vectơ uđược gọi là vectơ đơn vị nếu chuẩn của nó bằng 1.

Mệnh đề 1.1.9 Nếu P = Span{v}⊥ là một mặt phẳng kiểu không gianthì |v|e ≥ |v|

Chứng minh Mệnh đề là thỏa mãn nếu |v| = 1

Giả sử −→n

e = (a, b, c), với a2+ b2+ c2 = 1 thì:

v = ±√(a, b, −c)

c2− a2− b2.Chuẩn Ơclit |v|e là:

1.2 Vectơ kiểu thời gian

Nếu u là một vectơ kiểu thời gian, nón kiểu thời gian của u là :

C(u) = {v ∈ T : hu, vi < 0} Tập hợp này khác rỗng vì u ∈ C(u) Hơn nữa, nếu v là một vectơ kiểuthời gian khác u và sử dụng hu, vi 6= 0 ( mệnh đề 1.1.4), thì hu, vi < 0hoặc hu, vi > 0 Điều đó có nghĩa rằng T là hợp của hai tập rời nhau, tức

là T = C(u) ∪ C(−u), với C(u) ∩ C(−u) = ∅ Ta có một số tính chất củanón kiểu thời gian

Mệnh đề 1.2.1 (1) Hai vectơ kiểu thời gian u và v thuộc cùng một nónkiểu thời gian nếu và chỉ nếu hu, vi < 0

(2) u ∈ C(v) khi và chỉ khi C(u) = C(v)

(3) Các nón kiểu thời gian là các tập lồi

Nhận xét 1: Sự tồn tại của nón kiểu thời gian xảy ra bởi vì T có haithành phần hợp thành Đối với vectơ kiểu ánh sáng cũng tương tự nhưvectơ kiểu thời gian vì C cũng có hai thành phần hợp thành, ta gọi lại là:

C+ = {p ∈ C : z > 0} và C− = {p ∈ C : z < 0}.

Lấy hai vectơ độc lập tuyến tính u, v ∈ C thì hu, vi 6= 0 (do mệnh đề1.1.4) Trong trường hợp hu, vi < 0 khi và chỉ khi cả hai vectơ u, v cùngnằm trong một thành phần hợp thành của C

Lập một trật tự, một cơ sở {e1, e2, e3} của E3

1 được gọi là cơ sở mục tiêu(khung mục tiêu) nếu e1 là một vectơ đơn vị kiểu không gian, e2, e3 là cácvectơ kiểu ánh sáng thuộc Spane1⊥ sao cho he2, e3i = −1 Đặc biệt, e2 và

e3 thuộc cùng một thành phần của C

Điểm khác nhau mà ta tìm giữa E3 và E31 được tham khảo từ bấtđẳng thức Cauchy- Schwarz Nếu u, v ∈ E3 , theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có |hu, vi| ≤ |u||v| và dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi u, v tỉ lệvới nhau

Trong không gian Minkowski và đối với các vectơ kiểu thời gian, tồntại bất đẳng thức "ngược" với bất đẳng thức trên và được gọi là bất đẳngthức Cauchy- Schwarz ngược

Định lí 1.2.2 Cho u, v ∈ E31 là hai vectơ kiểu thời gian Khi đó,

|hu, vi| ≥ |u||v|

và dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi u, v là tỉ lệ với nhau Trong trường hợp

cả u và v cùng thuộc một nón kiểu thời gian thì tồn tại duy nhất một số

ϕ ≥ 0 sao cho:

hu, vi = −|u||v|coshϕ (1.1)

Số ϕ được gọi là góc hyperbolic giữa u và v

Chứng minh Xét hai vectơ kiểu thời gian độc lập tuyến tính u và v Khi

đó U = Span{u, v} là một mặt phẳng kiểu thời gian Bởi mệnh đề 1.1.5,

ta có phương trình ẩn λ:

hu + λv, u + λvi = hu, ui + 2λhu, vi + λ2hv, vi = 0

có ít nhất hai nghiệm

Đặc biệt, biểu thức của phương trình bậc hai là xác định dương, ta có:

hu, vi2 > hu, uihv, vi

Điều đó chứng minh bất đẳng thức đúng trong trường hợp u và v là độclập tuyến tính

Mặt khác, nếu u và v là tỉ lệ với nhau thì đẳng thức xảy ra

Với phần thứ hai của định lý, ta viết:

hu, vi2(|u||v|)2 ≥ 1 (1.2)Nếu u và v thuộc cùng một nón kiểu thời gian thì hu, vi < 0 kết hợp biểuthức (1.2) suy ra:

−hu, vi

|u||v| ≥ 1.

Bởi vì hàm cosin hyperbolic cosh : [0, ∞) → [1, ∞) là hàm tương ứng một

- một nên tồn tại duy nhất số ϕ ∈ [0, ∞) sao cho:

coshϕ = −hu, vi

|u||v| .Suy ra điều phải chứng minh

Sau khi định nghĩa góc giữa hai vectơ thuộc cùng một nón kiểu thờigian, ta đi định nghĩa góc giữa hai vectơ u, v ∈ E31 Giả sử rằng u, v là haivectơ độc lập tuyến tính và u, v không phải vectơ kiểu ánh sáng Góc đượcđịnh nghĩa phụ thuộc vào mặt phẳng P được xác định bởi u và v Metriccảm sinh trên P có thể là metric Riemann, metric Lorentz hoặc metric suybiến

(1) Nếu mặt phẳng là Riemann thì định nghĩa góc giữa hai vectơ (kiểukhông gian) là thông thường giống không gian Ơclit

(2) Nếu mặt phẳng là Lorentz thì có phép đẳng cự từ mặt phẳng đó vàomặt phẳng Lorentz- Minkowski E21 và phép đẳng cự này không làmthay đổi định nghĩa của góc Ta có định nghĩa góc giữa hai vectơ kiểuthời gian cùng thuộc một nón kiểu thời gian Điều đó đủ để xét rằng

u và v là vectơ đơn vị Tập hợp U21 của các vectơ đơn vị của E21 có bốnthành phần hợp thành như sau:

− là các vectơ kiểu thời gian

Các vectơ thuộc S1+1 ∪ S1−1 là các vectơ kiểu không gian

Nhận xét 2: Chúng tôi chỉ ra rằng bằng cách thay đổi (x, y) thành(y, x), mặt phẳng E21thay đổi bởi R2 được trang bị bởi metric −(dy)2+(dx)2 Khi đó, một vectơ kiểu không gian (tương ứng kiểu thời gian)

của E21 chuyển đổi thành một vectơ kiểu thời gian (tương ứng kiểukhông gian) của không gian metric mới.

Xét hai vectơ đơn vị kiểu không gian u, v ∈ U21 , ngoài ra, ta giả sửrằng hai vectơ u và v cùng nằm trong một thành phần hợp thành của

U21, đó là u, v ∈ S1+1 hoặc u, v ∈ S1−1

Bằng những nhận xét trên, ta kết luận rằng hu, vi ≥ 1

Định nghĩa 1.2.3 Cho u, v ∈ E21 là hai vectơ kiểu không gian kháckhông sao cho u/|u| và v/|v| cùng thuộc một thành phần hợp thành của

U21 Khi đó, góc ∠(u, v) = ϕ với giá trị duy nhất ϕ ∈ [0, ∞) sao cho :

coshϕ = hu, vi

|u||v|. (1.3)

Ta không có định nghĩa góc giữa hai vectơ đơn vị kiểu không gian (tươngứng kiểu thời gian) của E21 mà hai vectơ đó không cùng thuộc một thànhphần của U21, như vậy ta cũng không có định nghĩa góc giữa một vectơkiểu không gian và vectơ kiểu thời gian

(3) Cuối cùng, trường hợp thứ ba xảy ra nếu mặt phẳng chứa cả hai vectơkiểu ánh sáng Điều kiện cần là u và v không phải vectơ kiểu thời gian

Ở đây chúng ta không có định nghĩa góc giữa hai vectơ (kiểu khônggian)

Bây giờ chúng tôi cung cấp các định nghĩa của sự định hướng kiểu thờigian Đầu tiên, chúng ta nhớ lại khái niệm của sự định hướng trong khônggian vectơ bất kì Đối với điều này, trong các tập của tất cả các cơ sởđược sắp xếp thành hàng của R3, ta xét quan hệ tương đương ∼o cho bởi

B ∼o B0 nếu định thức của ma trận chuyển cơ sở là dương Khi đó, tồn tạihai lớp tương đương được gọi là các định hướng của R3 Cố định một cơ

sở B, cho một cơ sở B0 khác B, ta nói rằng B0 là định hướng dương nếu

B0 ∼o B; ngược lại, ta nói rằng B0 là định hướng âm Hơn nữa, cặp địnhhướng (R3, [B]) được gọi là R3 được định hướng (bởi B)

Trong không gian Minkowski E31 và từ không gian R3, khái niệm của sựđịnh hướng là tương tự Định hướng kiểu thời gian mà chúng tôi giới thiệu

là một khái niệm metric bởi vì chúng tôi sử dụng metric Lorentz h, i, vìvậy, định hướng kiểu thời gian ở đây không có mối quan hệ với các kháiniệm trên

Trong E31, ta xét tập hợp B là tập gồm tập hợp các cơ sở trực chuẩnđược sắp xếp thành hàng, ở đây nếu B = {e1, e2, e3} ∈ B, thì e3 là mộtvectơ kiểu thời gian Nếu B = {e1, e2, e3} và B0 = {e01, e02, e03} là hai cơ sở,

ta định nghĩa quan hệ tương đương ∼ bởi:

B ∼ B0 nếu e3 và e03 cùng thuộc một nón kiểu thời gian,

đó là, nếu he3, e03i < 0 Quan hệ tương đương ∼ xác định hai lớp tươngđương, lớp tương đương này được gọi là định hướng kiểu thời gian Hơnnữa, mỗi lớp tương đương xác định duy nhất một nón kiểu thời gian, nónnày được định nghĩa bởi vectơ thứ ba e3 của B Ngược lại, lấy một nónkiểu thời gian, tồn tại duy duy nhất định hướng kiểu thời gian với bất kìcách lấy cơ sở B nào mà thuộc định hướng đó có vevtơ e3 nằm trong nónkiểu thời gian như vậy

Ta nói rằng E31 là được định hướng kiểu thời gian nếu ta cố định mộthướng kiểu thời gian, đó là, ta xét một cặp (E31, [B]) với B bất kì

Định nghĩa 1.2.4 Cho E3 = (0, 0, 1) Lấy một vectơ kiểu thời gian v,

ta nói rằng v là định hướng tương lai (tương ứng định hướng quá khứ)nếu v ∈ C(E3), đó là, nếu hv, E3i < 0 (tương ứng v ∈ C(−E3), hoặc

hv, E3i > 0)

Trong các tọa độ, v = (v1, v2, v3) là định hướng tương lai nếu v3 > 0

Vì vậy, nếu ta cố định một nón kiểu thời gian C(E3) thì ta đã kết hợpmột định hướng kiểu thời gian Khi đó, ta nói rằng một cơ sở trực chuẩn

B = {e1, e2, e3} là định hướng tương lai nếu e3 là định hướng tương laitương đương e3 ∈ C(E3)

Chúng ta kết thúc phần giới thiệu này với định nghĩa của các tích vector.Định nghĩa 1.2.5 Nếu u, v ∈ E31, vectơ tích Lorentz của u và v là mộtvectơ duy nhất kí hiệu u × v thỏa mãn:

hu × v, wi = det(u, v, w), (1.4)

ở đó, det(u, v, w) là định thức của ma trận xây dựng bởi các cột tọa độ của

ba vectơ u, v và w được biểu diễn bởi các vectơ trong Bu

Tính chất song tuyến tính của metric đảm bảo sự tồn tại và duy nhấtcủa vectơ u × v Bởi cách lấy w trong (1.4) là một vectơ trong các vector

Ei của Bu, ta thu được biểu diễn của u × v như sau:

u × v =

i j −k

u1 u2 u3

v1 v2 v3

... ip)) kiểu không gian (tương ứngkiểu thời gian, kiểu ánh sáng) Mặt không suy biến mặt kiểu không gianhoặc kiểu thời gian

Như đường cong E31, đưa mặt nhúng E31,... data-page="20">

Chương 2

Mặt không gian Lorentz

-Minkowski

Trong chương này, giới thiệu định nghĩa mặt kiểu không gian

và kiểu thời gian, ta xác định độ cong... kiểu thời gian (tương ứng kiểu không gian ánh sáng)

Kết loại bỏ nghiên cứu lớp mặt đóng khơng gianMinkowski E31 Các loại mặt đóng vai trị quan trọng khônggian Ơclit