Định lý hàm ẩn và hàm ngược trong không gian định chuẩn

Lời cam đoanEm xin cam đoan đề tài khóa luận “Định lý hàm ẩn và hàm ngược trong không gian định chuẩn” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS.. Với mong muốn được tìmhiểu sâu hơn về bộ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

*************

NGUYỄN THỊ HẢI YẾN

ĐỊNH LÝ HÀM ẨN VÀ HÀM NGƯỢC TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI – 2018

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Hoàng Ngọc Tuấn

Hà Nội – Năm 2018

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới các thầy cô khoa Toán, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã tận tình truyền đạt những tri thức quý báu và tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt nhiệm

vụ khóa học và khóa luận.

Đặc biệt, em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới TS Hoàng Ngọc Tuấn, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình giúp đỡ để em có thể hoàn thành khóa luận này.

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè

đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận này.

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Thị Hải Yến

Lời cam đoan

Em xin cam đoan đề tài khóa luận “Định lý hàm ẩn và hàm ngược trong không gian định chuẩn” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Hoàng Ngọc Tuấn không trùng với bất kỳ đề tài nào khác Trong quá trình hoàn thành đề tài, em

đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Thị Hải Yến

LỜI MỞ ĐẦU 1

định chuẩn 2

1.2 Tập đóng, tập mở và tập compact 7

1.3 Ánh xạ tuyến tính 12

2 Định lý hàm ẩn và hàm ngược 16 2.1 Phép toán vi phân 16

2.1.1 Đạo hàm có hướng 16

2.1.2 Vi phân 18

2.2 Định lý hàm ngược 26

2.3 Định lý hàm ẩn 33

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích là một ngành toán học tích lũy được những thành tựuquan trọng và nó đã trở thành chuẩn mực trong việc nghiên cứu vàtrình bày các kiến thức toán học Nội dung của nó rất phong phú, đadạng Do kiến thức trên lớp và thời lượng eo hẹp nên khó có thể đi sâunghiên cứu một vấn đề nào đó của giải tích Với mong muốn được tìmhiểu sâu hơn về bộ môn này, là một sinh viên khoa Toán, trong khuônkhổ một bản khóa luận, em xin được trình bày những hiểu biết củamình về định lý hàm ẩn và hàm ngược trong không gian định chuẩn.Được sự hướng dẫn tận tình của TS Hoàng Ngọc Tuấn cùngvới lòng nhiệt tình say mê nghiên cứu khoa học, em đã chọn đề tài :

“Định lý hàm ẩn và hàm ngược trong không gian định chuẩn”

Nội dung khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Định lý hàm ẩn và hàm ngược

Do thời gian và năng lực có hạn nên khóa luận của em còn nhiềuthiếu sót, kính mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo

và các bạn sinh viên

Nếu (xn)n∈N là một dãy trên một không gian định chuẩn E và có

một phần tử l ∈ E sao cho limn→∞kxn − lk = 0 thì dãy đó là hội tụ

Dễ dàng thấy rằng phần tử l phải là duy nhất Ta gọi l là giới hạn của

dãy số và ký hiệu lim

n→∞xn = l Ta sẽ tổng quát rằng (xn)n∈N là (xn) vàlim

n→∞xn = l là lim xn = l Ta có tính chất sau đây

Mệnh đề 1.1 Nếu (xn) và (yn) là các dãy hội tụ trên E, với lim xn =

l1 và lim yn = l2, và λ ∈ R thì

lim (xn+ yn) = l1 + l2 và lim (λxn) = λl1

Giả sử có hai không gian định chuẩn (E, k · kE) và (F, k · kF) Cho

A là một tập con của E, f là một ánh xạ đi từ A vào F và a ∈ A

Ta nói rằng f liên tục tại a nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: vớimọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho nếu x ∈ A và kx − akE < δ, thì

kf (x) − f (a)k < ε

Nếu f liên tục tại mọi điểm a ∈ A thì ta nói rằng f liên tục (trênA) Cuối cùng, nếu A ⊂ E và B ⊂ F và f : A → B là một song ánhliên tục sao cho ánh xạ ngược f−1 cũng liên tục, thì ta nói rằng là một

Mệnh đề 1.3 Cho E và F là các không gian định chuẩn, A ⊂ E, a ∈

A, f và g là các ánh xạ từ E vào F và λ ∈ R

• Nếu f và g liên tục tại a thì f + g cũng liên tục tại a

• Nếu f liên tục tại a thì λf cũng liên tục tại a

• Nếu α là một hàm giá trị thực xác định trên E và cả f và α đềuliên tục tại a thì αf cũng liên tục tại a

Hệ quả 1.1 Các hàm số f : E → F liên tục tại a (tương ứng, liêntục) tạo thành một không gian vector

Bây giờ ta xem xét tích Đề-các của các không gian định chuẩn.Cho (E1, k · kE1), , (Ep, k · kEp) là các không gian định chuẩn Tích

Đề-các của E1× × Ep là một không gian vector Cho (x1, , xp) ∈

Dễ thấy k · kS và k · kM là tương đương trên E1× × Ep Nói chung,

ta sẽ sử dụng chuẩn thứ hai, mà ta gọi là chuẩn thông thường Nếu

Chứng minh Đầu tiên ta xét f Ta có

k(x, y) − (a, b)kM < ε ⇒ kx − ak < ε, ky − bk < ε

⇒ k(x + y) − (a + b)k ≤ kx − ak + ky − bk < 2ε,

do đó, f liên tục tại (a, b)

Bây giờ ta xét g Nếu k(λ, x) − (α, a)k < ε, thì |λ − α| < ε và

kx − ak < ε và vì vậy

kλx − αak = kλx − λa + λa − αak

≤ |λ| kx − ak + |λ − α| kak < (|α| + ε) ε + ε kak ,

do đó, g liên tục tại (α, a)

Một thành phần của các hàm số giá trị thực liên tục của một biếnthực là liên tục Ta có một khái quát về kết quả này

Mệnh đề 1.5 Cho E, F và G là các không gian định chuẩn, A ⊂

E, B ⊂ F, f là một ánh xạ đi từ A vào F và g là ánh xạ đi từ B vào

G Nếu f (A) ⊂ B, f liên tục tại a và g liên tục tại f (a) thì g ◦ f liêntục tại a

Chứng minh Lấy ε > 0 Khi g liên tục tại f (a), tồn tại δ > 0 saocho, nếu y ∈ B và ky − f (a)kF thì kg (y) − g (f (a))kG < ε Khi f

liên tục tại a, tồn tại α > 0 sao cho, nếu x ∈ A và kx − akE < α thì

kf (x) − f (a)kF < δ Suy ra kg (f (x)) − g (f (a))kG < ε Do đó, g ◦ fliên tục tại a

Hệ quả 1.2 Nếu A ⊂ E và f : A → R là khác không và liên tục trên

A, thì hàm số g = 1

f cũng liên tục trên A.

Chứng minh Dễ thấy rằng g có thể viết được g = h ◦ f, trong đó h làhàm giá trị thực xác định trên R∗ với h (t) = 1

t.

Để kết thúc phần này, ta đưa ra một liên hệ giữa tính liên tục vàgiới hạn dãy

Định lí 1.1 Cho E và F là các không gian định chuẩn, A ⊂ E và f

là một ánh xạ từ A vào F Khi đó f liên tục tại a khi và chỉ khi, vớimọi dãy số (xn) trên A sao cho lim xn = a, ta có lim f (xn) = f (a)

Chứng minh Giả sử f liên tục tại a và lấy ε > 0 Tồn tại δ > 0 saocho x ∈ A và kx − akE < δ thì kf (x) − f (a)kF < ε Bây giờ cho

(xn) là một dãy số trên A có giới hạn a Có một số n0 ∈ N sao chonếu n ≥ n0 thì kxn− akE < δ Suy ra kf (xn) − f (a)kF < ε Vì vậy,

f (xn) = f (a)

Bây giờ giả sử, khi (xn) ⊂ A và lim xn = a, ta có lim f (xn) = f (a)

Nếu f không liên tục tại a thì có một số ε > 0 và một dãy số (xn) ⊂ A

sao cho kxn − akE < 1

n và kf (xn) − f (a)kF ≥ ε Tuy nhiên, khi đólim xn = a và dãy số (f (xn)) không hội tụ tới f (a), mâu thuẫn Vì

vậy, f phải liên tục tại a

Ta nói rằng một dãy (xk) trong không gian định chuẩn E là dãy

Cauchy ε nếu với mọi ε > 0, có N (ε) ∈ N sao cho kum− unk < ε nếu

m, n ≥ N (ε)

Không gian định chuẩn E được gọi là không gian Banach nếu mọidãy Cauchy trong E đều hội tụ

1.2 Tập đóng, tập mở và tập compact

Cho E là một không gian định chuẩn, một điểm a ∈ E và số thực

r > 0 Tập hợp B(a, r) = {x ∈ E : kx − ak < r} được gọi là hình cầu

mở tâm a, bán kính r; tập hợp ¯B(a, r) = {x ∈ E : kx − ak ≤ r} đượcgọi là hình cầu đóng tâm a, bán kính r

Một tập con O của E được gọi là mở nếu với mọi x ∈ O có mộthình cầu mở tâm x nằm hoàn toàn trong O

Nếu A ⊂ E và có một tập mở O sao cho a ∈ O ⊂ A, thì A đượcgọi là lân cận của a Nếu A là mở thì ta nói rằng A là một lân cận mởcủa a

Do đó, B (x, ρ) ⊂ B (a, r) và suy ra B(a, r) là mở

Nếu E là một không gian định chuẩn, thì

(Nếu ∅ không mở thì tồn tại một số x ∈ ∅ sao cho với bất kỳ r > 0hình cầu B (x, r) 6⊂ ∅ Vì nếu không có x ∈ ∅, mệnh đề này là sai Vậy

∅ là mở.) Tập C ⊂ E được gọi là đóng nếu phần bù của nó là tập mở.Mệnh đề 1.7 Một hình cầu đóng B (a, r) là một tập đóng

Chứng minh ta cần chứng minh phần bù của B (a, r) là mở Cho

x ∈ cB (a, r) và ρ = 1

2(ka − xk − r) Rõ ràng, ρ > 0 Nếu y ∈ B (x, ρ)thì

ka − yk ≥ ka − xk − ky − xk > ka − xk − ρ = 2ρ + r − ρ = ρ + r > r

Do đó B (x, ρ) ∈ cB (a, r) suy ra cB (a, r) là mở

Sử dụng định lý Morgan, tức là

c (∪α∈AAα) = ∩α∈AcAα và c (∩α∈AAα) = ∪α∈AcAα,

ta được: nếu E là một không gian định chuẩn thì

Chứng minh Giả sử rằng A là đóng và cho (xn) là một dãy số hội tụ

chứa trong A Nếu lim xn = x thì mọi hình cầu mở tâm x chứa một

phần tử của dãy số đó và do đó phần tử ấy thuộc A Khi cA là mở,

chứa một phần

tử xn ∈ A Dãy số (xn) chứa trong và hội tụ tới x và theo giả thiết,

x ∈ A Tuy nhiên, đây là một mâu thuẫn và do đó tồn tại một số nsao cho B



x, 1n



⊂ cA Suy ra cA là mở, vì vậy A là đóng

Trong một không gian định chuẩn E, các tập con E và ∅ vừa mở vừađóng Có tập con nào khác như vậy không? Giả sử A ⊂ E là một tậpcon vừa đóng vừa mở và a 6= E và A 6= ∅ Ngoài ra, cho a ∈ A và

(b − a) với n ∈ N∗ Dãy số (xn) nằm trong A và hội tụ tới

x Khi A đóng, x thuộc A Dãy số (xn) nằm trong A và hội tụ tới x

Khi A đóng, x thuộc A Theo định nghĩa t tồn tại một dãy (yn) ⊂ cA,

trong đó

yn = a + t + εn
(b − a) và 0 < εn < 1

n.Khi lim yn = x và cA là đóng, ta có x ∈ cA, mâu thuẫn Do đó, ta đã

thể được sử dụng để xem một tập đã cho là tập mở hay tập đóng.

Mệnh đề 1.10 Cho E và F là các không gian định chuẩn, A ⊂ E

và f là một ánh xạ từ A vào F Các mệnh đề sau là tương đương:

Chứng minh (a) ⇒ (b) Cho O ⊂ F là mở Nếu f (A) ∩ O = ∅ thì

f−1(O) = ∅, một tập con mở của E; do đó, kết quả này là đúng trong

trường hợp này Giả sử rằng f (A) ∩ O 6= ∅ và cho f (a) ∈ O Khi O là

mở, có một hình cầu mở B (f (a) , r) ⊂ O Tính liên tục của f ngụ ý

sự tồn tại của một hình cầu mở B (a, ρa) sao cho f (B (a, ρa) ∩ A) ⊂

B (f (a) , r) Ta thu được sự bao hàm

B (a, ρa) ∩ A ⊂ f−1(B (f (a) , r)) ⊂ f−1(O)

ta có

f−1(O) = ∪ (B (a, ρa) ∩ A) = A ∩ (∪B (a, ρa)) ,

trong đó giao được thực hiện như trên mà a ∈ A sao cho f (a) ∈ O

Do đó, f−1(O) là giao của A với một tập con mở trên E

(b) ⇒ (a) Cho a ∈ A và r > 0 Khi B (f (a) , r) là mở, f−1(B (f (a) , r))

là giao của A với một tập con mở trên E Tuy nhiên, a ∈ f−1(B (f (a) , r))

nên tồn tại một hình cầu mở B (a, ρ) mà giao của nó với A chứa trong

f−1(B (f (a) , r)) Ta thấy rằng f (B (a, ρ) ∩ A) ⊂ B (f (a) , r) Suy

ra f liên tục tại a

(b) ⇒ (c) Nếu C ⊂ F là đóng, thì c C là mở và vì vậy, f−1(c C) là

giao của A với một tập con mở U trên E Tuy nhiên,

f−1(C) = A \ f−1(c C) = A ∩ c U

và f là giao của A với một tập con đóng trên E

(c) ⇒ (b) Phần này chứng minh tương tự như (b) ⇒ (c)

Trong phần dưới đây, ta sẽ giới thiệu khái niệm cơ bản của compact.Cho không gian metric M = (X, d) Tập K ⊂ X gọi là tập compacttrong không gian M , nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc K đềuchứa dãy con hội tụ tới phần tử thuộc K

Mệnh đề 1.11 Nếu E là một không gian định chuẩn và A ⊂ E làcompact, thì A là đóng và bị chặn

Chứng minh Cho A ⊂ E là compact Nếu (xn) là một dãy con hội tụ

của A, thì (xn) có một dãy con hội tụ về một phần tử x ∈ A Tuy

nhiên, x phải có một giới hạn của (xn) Do đó một dãy số hội tụ của

A có giới hạn của nó trên A và vì vậy A là đóng

Nếu A không bị chặn, khi đó ta có thể xây dựng một dãy số (xn) ⊂

A sao cho kxnk > n Dãy số này không thể có một dãy con hội tụ, bởi

vì các dãy số hội tụ là bị chặn Suy ra A là bị chặn

Định lí 1.2 Nếu E là một không gian định chuẩn, A ⊂ E compact

và f : A → liên tục, thì f bị chặn trên A và đạt giới hạn trên và giớihạn dưới

Chứng minh Nếu f (A) không bị chặn, thì có một dãy sao cho |f (xn)| >

n Khi A là compact liên tục, (xn) có một dãy con (yn) hội tụ tới một

điểm x ∈ A Tuy nhiên, f liên tục và vì vậy lim f (yn) = f (x) và do

đó, dãy số (f (xn)) bị chặn, mâu thuẫn Suy ra f (A) bị chặn

Cho (xn) là một dãy trên A sao cho

Ánh xạ f : E → F được gọi là tuyến tính nếu thỏa mãn các điều kiện:

f (x + y) = f (x) + f (y) với mọi x, y ∈ E và f (λx) = λf (x) với mọi

λ ∈ R, x ∈ E

Định lí 1.3 Cho E và F là các không gian định chuẩn và φ là ánh

xạ tuyến tính từ E vào F Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:a) φ liên tục;

b) φ liên tục tại 0;

c) φ bị chặn trên hình cầu đóng ¯B (0, 1) của E;

d) Tồn tại µ ∈ R+ sao cho

kφ (x)kF ≤ µ kxkE

với mọi x ∈ E

Chứng minh a) ⇒ b) Điều này đúng do định nghĩa liên tục

b) ⇒ c) Nếu f liên tục tại 0 thì tồn tại α > 0 sao cho

x ∈ ¯B (0, 1) ⇒ kφ (x)kF ≤ µ

kxk ∈ ¯B (0, 1) vậy nên φ

x

là không gian vector, kí hiệu L(E, F ) Nếu ta đặt

Nếu G là một không gian định chuẩn khác và ψ ∈ L (E, F ) thì

|ψ ◦ φ|L(E,F ) ≤ |ψ|L(E,F )|φ|L(E,F )

Ta luôn viết L (E) cho L (E, F ) và E∗ cho L (E, R) E∗ được gọi làđối ngẫu của E và các phần tử thường được gọi là dạng tuyến tính

Để tránh nhầm lẫn ta sẽ viết |φ| cho |φ|L(E,F )

Định lí 1.4 Nếu E và F là các không gian định chuẩn và F là đủ,thì không gian L (E, F ) là đủ

Chứng minh Cho (φn) là một dãy Cauchy trong L (E, F ) Khi đó với

mỗi x ∈ E ta có

kφn(x) − φm(x)kF ≤ |φn − φm|L(E,F )kxkE

vì vậy (φn(x)) là dãy Cauchy trong F Khi F là đủ, dãy này có giới

hạn, ta có thể viết φ (x) Dễ dàng để nhận ra rằng φ là ánh xạ tuyếntính Khi (φn) là dãy Cauchy, chuẩn |φn| bị chặn dưới M Vì vậy

kφ (x)kF = klim φn(x)kF = lim kφn(x)kF ≤ M kxkE

vậy nên φ liên tục Ta còn phải chứng minh rằng lim φn = φ Cho

ε > 0 và N ∈ N∗ sao cho m, n ≥ N ⇒ |φm − φn| < ε2 Nếu kxkE ≤ 1

Khi kφn(x) − φ (x)kF < ε với mọi x sao cho kxkE ≤ 1, ta có |φn − φ| ≤

ε điều đó chứng tỏ rằng lim φn = φ Định lí đã được chứng minh

khoảng mở chứa 0 Nếu đạo hàm dfu

dt (0) là xác định, tức là nếu giớihạn

lim

t→0

f (a + tu) − f (a)

ttồn tại, thì ta kí hiệu nó là ∂uf (a) và gọi là đạo hàm của f tại a theo

hướng u Chú ý rằng nếu ∂uf (a) là xác định và λ ∈ R∗ thì ∂λuf (a)xác định và ∂λuf (a) = λ∂uf (a)

Nếu E = Rn và (ei) là cơ sở trực chuẩn của nó, thì đạo hàm cóhướng ∂eif (a) được gọi là đạo hàm riêng thứ i của f tại a hoặc đạo

hàm của f đối với xi tại a Trong trường hợp này, ta ký hiệu ∂if (a)

ta có được đạo hàm riêng thứ i của hàm số xác định trên O Nếu các

hàm số này là xác định và liên tục với mọi i thì ta nói rằng hàm số f

thuộc lớp C1

số giá trị thực xác định trên O có đạo hàm riêng đối với xi tại a Khi

Bây giờ giả sử rằng O là một tập con mở của Rn và f là một ánh

xạ xác định trên O với ảnh trên Rm, f có m tọa độ ánh xạ f1, , fm

Nếu a ∈ O và đạo hàm riêng ∂fi

được gọi là ma trận Jacobian của f tại a.

Ví dụ 2.1 Nếu ánh xạ f của R3 vào R2 được xác định bởi f (x, y, z) =(xy, zexy) thì tất cả các đạo hàm riêng được xác định tại bất kỳ điểm

(x, y, z) ∈ R3 và

Jf (x, y, z) =



yyzexy

xxzexy

0

exy





Dễ dàng mở rộng định nghĩa của lớp C1 lên ánh xạ có ảnh của nó

trên Rm Ta nói rằng một hàm số như vậy thuộc lớp C1 nếu các ánh

xạ thành phần của nó đều thuộc lớp C1

Cho E và F là các không gian định chuẩn, O là một tập con mở của

E chứa 0, và g là một ánh xạ từ O vào F sao cho g(0) = 0 Nếu tồntại một ánh xạ ε, xác định trên lân cận của 0 ∈ E và có ảnh trên F,sao cho limh→0ε (h) = 0 và

f (a + h) = f (a) + φ (h) + o (h)

khi h là tiến tới 0, thì ta nói rằng f khả vi tại a.

Cho t tiến đến 0, ta thu được φ2(x) − φ1(x) = 0

Ánh xạ tuyến tính liên tục duy nhất này được gọi là vi phân của

f tại a, ký hiệu là f0(ca) , df (a) , hoặc Df (a) Nếu f khả vi tại mọi

điểm a ∈ O thì ta nói rằng f khả vi trên O Ngoài ra nếu f là mộtsong ánh vào một tập con mở U của F và ánh xạ ngược f−1 cũng khả

vi thì ta nói rằng f là vi phôi Rõ ràng một vi phôi là một đồng phôi.Ghi chú Ta sẽ sử dụng ký hiệu f0 cho vi phân Nếu xem xét đạo

hàm của một hàm giá trị thực được xác định trên một khoảng mở của