Một số định lý ánh xạ co trong không gian metric suy rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THANH MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ÁNH XẠ CO TRONG KHÔNG GIAN METRIC SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2018... BỘ GIÁO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THANH

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ÁNH XẠ CO TRONG KHÔNG GIAN METRIC SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THANH

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ÁNH XẠ CO TRONG KHÔNG GIAN METRIC SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số : 846 01 02

Người hướng dẫn khoa học

TS Trần Quốc Bình

HÀ NỘI, 2018

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Một số định nghĩa 3

1.2 Một số định lý về ánh xạ co cơ bản 5

1.2.1 Mối quan hệ giữa các dạng ánh xạ co cơ bản 5

1.2.2 Sự tồn tại duy nhất điểm bất động của các ánh xạ co cơ bản 7

1.3 Ánh xạ co địa phương 9

Chương 2 Một số định lí ánh xạ co toàn cục trong không gian metric suy rộng 12

2.1 Định lý điểm bất động của ánh xạ co Boyd-Wong 13

2.2 Định lý điểm bất động của ánh xạ co Rakotch 17

2.3 Không gian metric suy rộng bổ sung tính Hausdorff cảm sinh bởi tôpô 17

2.4 Không gian metric suy rộng không có tính Hausdorff 19

2.5 Không gian metric suy rộng và định lý Caristi 24

Chương 3 Ánh xạ co địa phương trong không gian metric suy rộng 25

Kết luận 30

Tài liệu tham khảo 31

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Quốc Bình Thầy đã tậntình hướng dẫn và giải đáp những thắc mắc của tôi, giúp đỡ tôi hoànthành luận văn này

Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo phòng Sau đạihọc, các thầy cô giáo khoa Toán cũng như các thầy cô giáo giảng dạylớp thạc sĩ K20 chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp

đã luôn quan tâm, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trongquá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 12 năm 2018

Tác giả

Nguyễn Thị Phương Thanh

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Trần Quốc Bình, luận vănthạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Một số định lý ánh xạ

co trong không gian metric suy rộng" được hoàn thành bởi chính

sự nhận thức của bản thân tôi

Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tôi đã kế thừanhững thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2018

Tác giả

Nguyễn Thị Phương Thanh

mở rộng định lý ánh xạ co Banach cho không gian metric suy rộng, làkhông gian mà bất đẳng thức tam giác được thay bằng bất đẳng thứcsau đây:

xạ co địa phương trong không gian metric suy rộng

Được sự hướng dẫn của TS Trần Quốc Bình, tôi chọn đề tài:

“ Một số định lý ánh xạ co trong không gian metric suy rộng”

Đề tài tập trung tìm hiểu về ánh xạ co toàn cục và ánh xạ co địa phươngtrong không gian metric suy rộng

2 Mục đích nghiên cứu

Hệ thống hóa các kết quả nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ cotoàn cục và ánh xạ co địa phương trong không gian metric suy rộng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Nghiên cứu một số định lý ánh xạ co toàn cục trong không gianmetric suy rộng

• Nghiên cứu ánh xạ co địa phương trong không gian metric suy rộng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Ánh xạ co và điểm bất động của ánh xạ co

• Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu trong không gian metric suy rộng

5 Phương pháp nghiên cứu

• Thu thập, tổng hợp các bài báo,công trình nghiên cứu trong vàngoài nước

6 Đóng góp của luận văn

Luận văn là tài liệu tổng quan về lĩnh vực nghiên cứu điểm bất độngdạng co trong không gian metric suy rộng

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.3 Trong không gian mêtric (X, d), dãy {xn} ⊂ X đượcgọi là dãy Cauchy nếu lim

m,n→∞d (xn, xm) = 0, tức là:

(∀ε > 0) (∃N ) (∀m, n > N ) , d (xm, xn) < ε

Định nghĩa 1.4 Không gian mêtric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mỗidãy Cauchy trong nó đều là dãy hội tụ

Định nghĩa 1.5 Cho T là một ánh xạ đi từ X vào chính nó Khi đó Tđược gọi là có điểm bất động nếu tồn tại x∗ ∈ X sao cho T x∗ = x∗.Định nghĩa 1.6 Ánh xạ T đi từ không gian mêtric (X, d) vào chính

nó được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số k ∈ [0, 1) sao cho:

d (T x, T y) 6 k.d (x, y), ∀x, y ∈ X

Định nghĩa 1.7 Ánh xạ T đi từ không gian mêtric (X, d) vào chính

nó được gọi là ánh xạ co yếu nếu mọi x 6= y thì:

d (T x, T y) < d (x, y), ∀x, y ∈ X

Định nghĩa 1.8 Ánh xạ T đi từ không gian mêtric (X, d) vào chính

nó được gọi là tựa co khi và chỉ khi tồn tại số α ∈ [0, 1) thỏa mãn:

d (T x, T y) ≤ α max {d (x, y) , d (x, T x) , d (y, T y) , d (x, T y) , d (y, T x)}.Định nghĩa 1.9 Ánh xạ T đi từ không gian mêtric (X, d) vào chính nóđược gọi là φ−co nếu với mọi x, y ∈ X, mọi t > 0 thỏa mãn 0 < φ(t) <

1, φ(t) < t thì d(T x, T y) ≤ φ(d(x, y))

Định nghĩa 1.10 Không gian mêtric X được gọi là T-quỹ đạo đầy đủkhi và chỉ khi mọi dãy Cauchy trong O (x, ∞) = x, T x, T2x, đềuhội tụ về một điểm nào đó nằm trong X

Định nghĩa 1.11 Với tập A nằm trong không gian mêtric X, đườngkính tập A được kí hiệu là δ (A) và được xác định như sau:

δ (A) = sup {d (a, b) : a, b ∈ A}

Định nghĩa 1.12 Cho (X, d) là không gian mêtric Hàm f : X →

R ∪ {+∞} được gọi là hàm nửa liên tục trên tại x0 ∈ X nếu :

1.2.1 Mối quan hệ giữa các dạng ánh xạ co cơ bản

Định nghĩa 1.13 Cho (X,d) là một không gian mêtric đầy đủ và T làmột ánh xạ co trong X Khi đó T là ánh xạ co Banach

Định nghĩa 1.14 Giả sử T là ánh xạ liên tục từ không gian mêtric đầy

∀x, y ∈ X, a ≤ d (x, y) ≤ b Ở đây, 0 ≤ k (a, b) < 1 khi 0 < a ≤ b, a, b làcác số bất kỳ.

nếu ε ≤ d (x, y) < ε + δ thì d (T x, T y) < εKhi đó T là ánh xạ co Meir-Keeler

Định lí 1.1 [7],[14] ( Định lý về mối quan hệ giữa các dạngánh xạ co cơ bản)

Banach ⇒ Rakotch ⇒ Browder ⇔ Krasnoselskii ⇒ Boyd − W ong ⇒

M eir − Keeler

1.2.2 Sự tồn tại duy nhất điểm bất động của các ánh xạ co cơ

bản

Định lí 1.2 [11] [ Định lí ánh xạ co Meir-Keeler] Cho (X,d) làmột không gian mêtric đầy đủ, T là một ánh xạ (ε, δ) − co trong X, tức

là với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 thỏa mãn

nếu ε ≤ d (x, y) < ε + δ thì d (T x, T y) < εKhi đó T có điểm bất động duy nhất x∗ và với mọi x0 ∈ X ta có

Chọn k ∈ N sao cho nếu n ≥ k thì ε ≤ cn < ε + δ Khi đó ta có

cn+1 = d (xn+1, xn+2) = d (T xn, T xn+1) < ε, vô lí Vì vậy ε = 0 hay

cn → 0

Bây giờ ta đi chứng minh dãy {cn} là dãy Cauchy Giả sử ngược lại,dãy {cn} không phải là dãy Cauchy, tức là có ε > 0 sao cho với mọi

k ∈ N luôn tồn tại n, m > k thỏa mãn d (xn, xm) ≥ 2ε Chọn k saocho nếu i ≥ k thì ci < α

4 với α = min {ε, δ} Chọn m > n ≥ k đểcho d (xm, xn) ≥ 2ε và xét các số d (xn, xn+1) , d (xn, xn+2) , , d (xn, xm).Khoảng cách giữa hai số liên tiếp là:

|d (xn, xi) − d (xn, xi+1)| = d (xi, xi+1) ≤ ci < α

4.Giả sử với mọi số j ∈ N, n ≤ j ≤ m thì d (xn, xj) < ε + α

d (xj, xm) = d (xm−1, xm) = cm−1 < α

4.Mâu thuẫn, do đó giả sử ở trên là sai Tức là tồn tại j ∈ N, n ≤ j ≤ m,

ta luôn có d (xn, xj) ≥ ε + α

2.Đặt j0 = min{j : n ≤ j ≤ m, d (xn, xj) ≥ ε + α

2 Vậy {xn} phải là dãy Cauchy.Giả sử xn → x∗ ∈ X Vì T là ánh xạ co yếu, với mọi n ta có:

d (x∗, T x∗) ≤ d (x∗, xn+1) + d (xn+1, T x∗)

= d (x∗, xn+1) + d (T xn, T x∗)

≤ d (x∗, xn+1) + d (xn, x∗) Cho n → ∞ ta được d (x∗, T x∗) = 0, tức là x∗ = T x∗

Nhận xét 1.1 Định lý ánh xạ co Meir – Keeler là định lý tổng quátnhất nói về sự tồn tại duy nhất điểm bất động của các ánh xạ co cơ bản

1.3 Ánh xạ co địa phương

Định nghĩa 1.19 Một ánh xạ T được gọi là phép ε − co địa phươngBanach nếu tồn tại một hằng số λ < 1 sao cho 0 < d(x, y) ≤ ε suy rad(T x, T y) < λd(x, y)

Định nghĩa 1.20 Một ánh xạ T được gọi là

(a) ε − co địa phương Rakotch nếu tồn tại một hàm giảm α : (0, ε] →[0, 1) sao cho

0 < d(x, y) ≤ ε ⇒ d(T x, T y) ≤ α(d(x, y))d(x, y)

(b) ε − co địa phương Karasnoselskii nếu tồn tại một hàm k(a, b) :(0, ε] × (0, ε] → [0, 1) sao cho

a ≤ d(x, y) ≤ b ⇒ d(T x, T y) ≤ k(a, b)d(x, y)

(c) ε − co địa phương Browder nếu tồn tại một hàm liên tục phải, tăng

φ : [0, ε] → [0, ε) với φ(t) < t với mọi t > 0 sao cho T là φ − co khi

Định nghĩa 1.21 Một không gian mêtric X được gọi là η-chuỗi nếuvới bất kì x, y ∈ X, tồn tại một η-chuỗi từ x đến y, tức là tồn tại

n điểm x0 = x, x1, , xn = yn (n phụ thuộc vào cả x và y) sao chod(xi−1, xi) < η, i = 1, 2, , n

Định lí 1.4 Giả sử một tự ánh xạ T của ε-xích không gian mêtric X làmột trong các dạng (a) − (f ) trong Định nghĩa 1.20 Khi đó, T có duynhất một điểm bất động, là giới hạn của dãy {Tnx0} với x0 ∈ X bất kì

Chương 2 Một số định lí ánh xạ co toàn cục trong không gian metric suy rộng

Trước tiên ta đưa ra một vài định nghĩa

Định nghĩa 2.1 Cho X là một tập hợp, d : X2 −→ R+ là một ánh

xạ thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x, y ∈ X và các điểm phân biệt

z1, z2, , zk ∈ X, k ≥ 2, mỗi điểm phân biệt đó khác x, y :

i) d (x, y) = 0 nếu và chỉ nếu x = y

ii) d (x, y) = d (y, x)

iii) d(x, y) ≤ d(x, z1) + d(z1, z2) + + d(zk, y)

Khi đó ta nói (X, d) là một không gian mêtric suy rộng

Định nghĩa 2.2 Trong không gian mêtric suy rộng, một dãy {xn} đượcgọi là hội tụ tới điểm x nếu d(xn, x) → 0 khi n → ∞

Định nghĩa 2.3 Trong không gian mêtric suy rộng, một dãy {xn}, n ∈

N được gọi là dãy Cauchy nếu:

∀ε > 0, ∃nε ∈ N, ∀m, n ∈ N, n ≥ nε, d(xn, xn+m) < ε

Định nghĩa 2.4 Không gian mêtric suy rộng (X, d) được gọi là đầy đủnếu mọi dãy Cauchy trong không gian mêtric suy rộng đều là dãy hội tụtrong X.

Định nghĩa 2.5 Ánh xạ T đi từ không gian mêtric suy rộng (X, d) vàochính nó được gọi là ánh xạ co nếu với 2 điểm phân biệt x, y ∈ X,

vì vậy

c ≤ lim

điều này là mâu thuẫn

Với mỗi x ∈ X, xét dãy {Tnx} Đầu tiên giả sử rằng nó là dãy hằng sốchung cuộc, do đó có n ∈ N nào đó thỏa mãn Tmx = Tnx = y với mỗi

m > n Khi đó Tm−n(Tnx) = Tnx, đặt k = m−n, ta có Tky = y, ∀k ∈ N.Suy ra d(y, T y) = d(Tky, Tk+1y) = ck, ∀k và từ ck → 0, d(y, T y) = 0 nên

y = T y Vì vậy y là một điểm bất động của T

Nếu {Tnx} không là một dãy hằng số thì nó có một dãy con với các phần

tử đôi một phân biệt Không mất tính tổng quát, giả sử {Tnx} là dãycon này Ta cần chỉ ra {Tnx} là một dãy Cauchy trong không gian mêtricsuy rộng Ngược lại, giả sử có một ε > 0 và các dãy {m(k)}, {n(k)} các

số nguyên dương với m(k) > n(k) ≥ k sao cho

d(Tm(k)x, Tn(k)x) ≥ ε, ∀k ∈ N (2.5)Điều này đúng với mọi k ∈ N, ta có thể kết luận rằng ∀k ∈ N, khi đótồn tại n(k) ≥ k và một số vô hạn m(k) > n(k) thì

Bây giờ nếu m0 = max{m1, m2} thì với bất kì i, j > m0,

d(Tix, Tjx) = d(Tix, Ti+1x)

< ε

3 < ε nếu j = i + 1, hoặc,d(Tix, Tjx) ≤ d(Tix, Ti+1x) + d(Ti+1x, Tnx) + d(Tnx, Tjx)

Sau đó ta giả sử rằng Tkx = x0 hoặc Tkx = T x0 với k ∈ N.

Hiển nhiên thì x0 6= x và dễ dàng chỉ ra {Tnx0} là một dãy có các tínhchất sau:

(i) lim

n→∞d(Tnx0, x0) = 0

(ii) Tnx0 6= x0 với mọi n ∈ N

(iii) Tpx0 6= Trx0 với mọi p, r ∈ N, p 6= r.

Từ đó lập luận như trên, kéo theo x0 là một điểm bất động của T Tính duy nhất của điểm bất động của T dễ dàng được suy ra từ định

2.2 Định lý điểm bất động của ánh xạ co Rakotch

Định lí 2.2 ([5]) Cho (X, d) là không gian mêtric suy rộng đầy đủ, ánh

xạ T : (X, d) → (X, d) thỏa mãn: d(T x, T y) ≤ α(d(x, y))d(x, y), ∀x, y ∈

X với α(d(x, y)) là hàm đơn điệu giảm và 0 < α(d) < 1

Khi đó T là điểm bất động duy nhất x0 và Txn → x0 với mỗi x ∈ X

2.3 Không gian metric suy rộng bổ sung tính

Haus-dorff cảm sinh bởi tôpô

Có nhiều nghiên cứu mở rộng mêtric và một vài loại không gian đãđược giới thiệu Một trong những mở rộng thú vị về không gian mêtricđược đưa ra bởi Branciari năm 2000 ([3]), là không gian mà bất đẳngthức tam giác được thay bởi bất đẳng thức tổng quát hơn, gọi là khônggian mêtric suy rộng Nhưng không gian mêtric suy rộng có thể khôngthỏa mãn điều kiện:

(1) Mêtric d là liên tục với cả 2 biến

(2) Topo tương ứng là Hausdorff

(3) Đặc biệt, một dãy chỉ có thể hội tụ đến nhiều nhất một điểm

(4) Mỗi hình cầu mở là một tập mở.

(5) Mỗi dãy hội tụ là một dãy Cauchy

Do đó, hầu hết các nhà toán học khi nghiên cứu về không gian mêtricsuy rộng đều giả sử một số điều kiện bổ sung, thông thường là tínhHausdorff cảm sinh bởi tôpô

Định lí 2.3 ([8]) Cho (X, d) là không gian Hausdorff mêtric suy rộngđầy đủ, T : X → X là ánh xạ thỏa mãn với λ ∈ [0, 1) và mọi x, y ∈ X,

d(T x, T y) ≤ λd(x, y)

Khi đó T có một điểm bất động duy nhất

Định lí 2.4 ([8]) Cho (X, d) là không gian Hausdorff mêtric suy rộngđầy đủ, T : X → X thỏa mãn với ∀x, y ∈ X,

d(T x, T y) ≤ 1

2(d(x, T x) + d(y, T y)) − φ(d(x, T x), d(y, T y)),với φ : [0, +∞) × [0, +∞) → [0, +∞) liên tục và φ(a, b) = 0 nếu và chỉnếu a = b = 0 Khi đó T có điểm bất động duy nhất

Định lí 2.5 ([8]) Cho (X, d) là không gian Hausdorff mêtric suy rộngđầy đủ, ϕ : [0, +∞) → [0, +∞) thỏa mãn: (ϕ1)(ϕ(t)) < t với ∀t > 0 vàϕ(0) = 0; (ϕ2) lim inftn→tϕ(tn) < t với ∀t > 0 Cho S, T, F, G : X → Xthỏa mãn với ∀x, y ∈ X,

d(Sx, T y) ≤ ϕ(max{d(F x, Gy), d(F x, Sx), d(Gy, T y)})

Giả sử T (X) ⊆ F (X) và S(X) ⊆ G(X) và các cặp {S, F } và {T, G} làtương thích Nếu F hoặc G liên tục thì S, T, F, G có một điểm bất độngchung duy nhất

2.4 Không gian metric suy rộng không có tính

Haus-dorff

Một dãy trong không gian mêtric suy rộng có thể có hai giới hạn.Tuy nhiên có một trường hợp đặc biệt là khi mà nó không xảy ra và điềunày có thể hữu ích cho một vài chứng minh

Bổ đề 2.1 ([8]) Cho (X, d) là một không gian mêtric suy rộng và {xn}

là một dãy Cauchy trong X sao cho xm 6= xn với m 6= n Khi đó dãy{xn} có thể hội tụ đến nhiều nhất một điểm

Chứng minh

Giả sử ngược lại, nếu lim

n→∞xn = x, lim

n→∞xn = y và x 6= y

Do xm, xn phân biệt, cũng như x và y, rõ ràng tồn tại l ∈ N sao cho x

và y khác xn với mọi n > l Với mọi m, n > l, bất đẳng thức tứ giác đưađến: d(x, y) ≤ d(x, xm) + d(xm, xn) + d(xn, y)

Khi m, n → ∞ thì d(x, y) = 0, nghĩa là x = y Trái với giả thiết 

Bổ đề 2.2 ([8]),([9]) Cho (X, d) là không gian mêtric suy rộng và {xn}

là một dãy trong X mà vừa là dãy Cauchy, vừa hội tụ Khi đó giới hạn

d(ymk, ynk), d(ymk, ynk+1), d(ymk−1, ynk), d(ymk−1, ynk+1) (2.9)

Chứng minh.

Do {yn} không là dãy Cauchy, khi đó ∃ε > 0 và hai dãy {mk} và {nk}nguyên dương sao cho nk > mk > k, d(ymk, ynk) ≥ ε và nk là số nguyêndương nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức này, nghĩa là d(ymk, yl) < ε với

ε ≤ d(ymk, ynk) ≤ d(ymk, ynk−2) + d(ynk−2, ynk−1) + d(ynk−1, ynk)

≤ ε + d(ynk−2, ynk−1) + d(ynk−1, ynk) → ε,

khi k → ∞, tức là d(ymk, ynk) → ε khi k → ∞

Để chứng minh dãy thứ hai trong (2.9) tiến tới ε khi k → ∞, ta xéthai bất đẳng thức tứ giác sau:

d(ymk, ynk+1) ≤ d(ymk, ynk) + d(ynk, ynk−1) + d(ynk−1, ynk+1)

d(ymk, ynk) ≤ d(ymk, ynk+1) + d(ynk+1, ynk−1) + d(ynk−1, ynk),

cùng với d(ymk, ynk) → ε tức là d(ymk, ynk+1) → ε khi k → ∞

Chứng minh cho hai dãy còn lại có thể bằng cách tương tự, sử dụng bấtđẳng thức tứ giác

(ymk−1, ynk, ynk−2, ymk) và (ymk, ynk, ymk−1, ymk−2),tương ứng

(ymk−1, ynk+1, ynk, ymk) và (ymk, ynk, ymk+1, ynk−1).

Định lí 2.6 ([10]) Cho T là một giả mêtric xem ([13]) trong không gianmêtric suy rộng (X, d) với T là một quỹ đạo đầy đủ

X → X thỏa mãn f (X) ⊆ g(X), một trong hai tập con của X là đầy

đủ Nếu cho hàm khoảng cách thay đổi ψ và c ∈ [0, 1) nào đó,

ψ(d(f x, f y)) ≤ cψ(d(gx, gy)) (2.10)với ∀x, y ∈ X thì f và g có một điểm chung duy nhất

Ngoài ra, nếu f và g là tương thích yếu thì chúng có một điểm bất độngchung duy nhất

Ở đây, ψ : [0, +∞) → [0, +∞) được gọi là một hàm khoảng cách thayđổi nếu:

(i) ψ là tăng và liên tục