Lý thuyết KKM trong không gian G-lồi

Lí do chon đe tài Nguyên lý điem bat đ®ng Browder và dang tương đương cna nó, bo đe KKM đưoc chúng minh trong không gian huu han chieu.. Sau Ky Fan, rat nhieu nhà toán hoctrên the giói đ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

-HOÀNG THỊ MAI PHƯƠNG

LÝ THUYẾT KKM TRONG KHÔNG GIAN G-LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN

HỌC

HÀ NỘI - 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

-HOÀNG THỊ MAI PHƯƠNG

LÝ THUYẾT KKM TRONG KHÔNG GIAN G-LỒI

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN

HỌCNgười hướng dẫn khoa học: TS Trần Quốc Bình

HÀ NỘI - 2016

Lài cám ơn

Tôi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac đen TS Tran Quoc Bình, ngưòithay đã đ%nh hưóng chon đe tài và nhi¾t tình hưóng dan đe tôi có thehoàn thành lu¾n văn này

Tôi cũng xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói Phòng Sau đai hoc, cácthay cô giáo giáng day chuyên ngành Toán giái tích, trưòng Đai hoc sưpham Hà N®i 2 đã giúp đõ tôi trong suot quá trình hoc t¾p tai trưòng.Nhân d%p này tôi cũng xin gúi lòi cám ơn đen gia đình, ban bè đã co

vũ, đ®ng viên đe tôi hoàn thành lu¾n văn này

Hà N®i, tháng 11 năm 2016

Tác giá

Hoàng Th% Mai Phương

Lài cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưói sn chí báo và hưóng dan cna TS Tran

Quoc Bình, lu¾n văn chuyên ngành Toán giái tích vói đe tài:”Lý thuyet KKM trong không gian G-loi” đưoc hoàn thành bói sn nh¾n

thúc và tìm hieu cna bán thân tác giá

Trong quá trình nghiên cúu và thnc hi¾n lu¾n văn, tác giá đã ke thùanhung ket quá cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn

Hà N®i, tháng 11 năm 2016

Tác giá

Hoàng Th% Mai Phương

Mnc lnc

Má

đau 4

1 Các kien thNc bo tra 6 1.1 Không gian tôpô tuy en tính loi đ%a phương H ausdorff 6

1.2 Nguyên lý ánh xa KKM 8

1.2.1 Bo đe KKM 8

1.2.2 Nguyên lý ánh xa KKM và bat đang thúc Ky Fan 10 1.2.3 Dang hình hoc cna bat đang thúc Ky Fan 13

1.2.4 Bo đe KKM cho các t¾p hop mó 14

1.2.5 Đ%nh lý minimax 15

1.2.6 Các đ%nh lý điem bat đ®ng 17

2 Lý thuyet KKM trong không gian G-loi 19 2.1 Giói thi¾u 19

2.2 Không gian loi suy r®ng 22

2.3 Đ%nh lý KKM v à đ%nh lý sánh đôi 23

2.4 Đ%nh lý giao toàn the khác 27

2.5 Tính c hat hình hoc ho¾c tiet di¾n 28

2.6 Đ%nh lý điem bat đ®ng kieu F an-Browder 30

2.7 Đ%nh lý ton tai cna phan tú cnc đai 32

2.8 Giái tíc h thay phiên 34

2.9 Bat đang thúc Minimax 35

2.10 Bat đang thúc bien phân 40

2.11 Xap x í tot nhat 42

2.12 Các đ%nh lý điem bat đ®ng 43

2.13 Đ%nh lý minimax loai v on Neumann 45

2.14 Đ%nh lý cân bang Nash 46

Ket lu¾n 49

Tài li¾u tham kháo 50

Báng kí hi¾u

2X ho tat cá các t¾p con cna X

(X) lóp các t¾p con huu han khác rong cna

X co (A) bao loi cna t¾p A

(u.s.c) núa liên tuc trên

(l.s.c) núa liên tuc dưói

Má đau

1 Lí do chon đe tài

Nguyên lý điem bat đ®ng Browder và dang tương đương cna nó, bo

đe KKM đưoc chúng minh trong không gian huu han chieu Năm 1961,

Ky Fan đã chúng minh m®t dang tương tn cna bo đe KKM cho khônggian vô han chieu goi là nguyên lý ánh xa KKM, ngày nay đưoc xemnhư trung tâm cna lý thuyet KKM Sau Ky Fan, rat nhieu nhà toán hoctrên the giói đã mó r®ng nguyên lý ánh xa KKM và cùng vói nó là m®tloat các van đe liên quan như Đ%nh lý sánh đôi, bat đang thúc Ky Fan,dang hình hoc cna bat đang thúc Ky Fan, Bo đe KKM cho các t¾p mó,các đ%nh lý điem bat đ®ng, đ%nh lý minimax

M®t trong nhung hưóng phát trien đó là Sehie Park, nhà Toán hocHàn Quoc, khi ông đưa ra khái ni¾m không gian G-loi, m®t dang tongquát hóa cna nhieu dang loi trùu tưong đó cna các nhà toán hoc khác.Trong không gian G-loi ta có m®t cau trúc loi (trùu tưong) mà khôngcan đen tính tuyen tính Ngoài nguyên lý KKM, ông cũng thu đưoc m®tloat các ket quá liên quan, tương đương vói nguyên lý KKM, như ta đã

nói ó trên Ngoài chương 1 là kien thúc chuan b%, đe c¾p đen lýthuyet KKM trong không gian vecto tôpô thông thưòng, thì chương 2,

chương chính cna lu¾nvăn, trình bày bài báo cna Sehie Park

2 Mnc đích nghiên cNu

Muc đích nghiên cúu cna lu¾n văn là trình bày m®t so ket quánghiên cúu ve nguyên lý KKM trong không gian G-loi và các đ%nh lýtương đương vói nó

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

Nhi¾m vu nghiên cúu cna lu¾n văn là nghiên cúu nguyên lý KKMtrong không gian G-loi và các đ%nh lý tương đương vói nó

4 Đoi tưang nghiên cNu

Đoi tưong nghiên cúu cna lu¾n văn là nguyên lý KKM trong khônggian G-loi và các đ%nh lý tương đương vói nó

5 Phương pháp nghiên cNu

Tong hop, phân tích, đánh giá và sú dung các kien thúc cơ báncna không gian vectơ tôpô đe nghiên cúu ve nguyên lý KKM trongkhông gian G-loi và các đ%nh lý tương đương vói nó

6 Đóng góp mái

Lu¾n văn se là m®t tong quan ve nguyên lý KKM và các đ%nh lýđiem bat đ®ng chung trong không gian vectơ tôpô

Chương 1

Các kien thNc bo tra

Chương này trình bày m®t so kien thúc cơ bán ve nguyên lý KKMđưoc PGS.TSKH Đo Hong Tân trình bày trong sách cna mình [1].Ngoài ra, chương này còn trình bày m®t so không gian: không gianvectơ tôpô, không gian vectơ tôpô loi đ%a phương Hausdorff đe phuc vucho các chương sau

1.1 Không gian tôpô tuyen tính loi đ%a phương

ii) Giao cna m®t so huu han các phan tú thu®c τ thì thu®c τ ;

iii) Hop cna m®t ho tùy ý các phan tú thu®c τ thì thu®c τ

Khi đó (X, τ ) đưoc goi là m®t không gian tôpô

Đ%nh nghĩa 1.1.2 (Không gian vectơ tôpô) Cho không gian vectơ thnc

X M®t tôpô τ trên X đưoc goi là tương thích vói cau trúc đai so cna X

neu các ánh xa + và liên tuc Túc là:

(i) Vói moi x, y ∈ X và moi lân c¾n W cna x + y, ton tai các lân c¾n U

cna x, V cna y sao cho U + V ⊆ W

(ii) Vói moi λ ∈ R, x ∈ X và vói moi lân c¾n W cna λx, ton tai ε > 0

và lân c¾n V cna x sao cho µV ⊆ W vói moi µ ∈ (λ − ε, λ + ε).

Khi đó, τ đưoc goi là tôpô tuyen tính trên X và X đưoc goi là m®t không

gian vectơ tôpô hay không gian tôpô tuyen tính.

Đ%nh nghĩa 1.1.3 (T¾p loi) T¾p X ⊂ R n đưoc goi là loi neu:

λx + (1 − λ) y ∈ X ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1].

Đ%nh nghĩa 1.1.4 (Không gian tôpô loi đ%a phương) M®t không gian

vectơ tôpô X goi là không gian loi đ%a phương (và tôpô cna nó goi là

tôpô loi đ%a phương) neu trong X có m®t có só lân c¾n cna goc toàn

t¾p loi

Vì khi t%nh tien m®t t¾p loi ta lai đưoc m®t t¾p loi nên trong khônggian loi đ%a phương moi điem đeu có m®t cơ só lân c¾n loi

Ví dn 1.1.1 Không gian đ%nh chuan là m®t không gian loi đ%a phương

sinh bói hình cau đơn v%: V0 = {B (0; 1)} Lúc đó, cơ só lân c¾n goc

tương úng là V = {εB (0; 1) |ε > 0} = {B (0; ε) |ε > 0}.

Đ%nh nghĩa 1.1.5 Cho không gian tôpô X thóa mãn đieu ki¾n vói moi

c¾p điem khác nhau x1, x2 ∈ X đeu có hai lân c¾n V1, V2 cna x1, x2

sao cho V1 ∩ V2 = ∅ (có nghĩa là, hai điem khác nhau bao giò cũng

có the tách đưoc bói hai lân c¾n ròi nhau) Khi đó, không gian tôpô X đưoc goi là không gian tách hay không gian Hausdorff và tôpô cna nó goi

là tôpô tách hay tôpô Hausdorff

1.2 Nguyên lý ánh xa KKM

1.2.1 Bo đe KKM

Trưóc het ta nhac lai khái ni¾m n-đơn hình.

Cho X là m®t không gian vectơ, t¾p hop S trong X đưoc goi là m®t đơn hình neu S = co {u0, u1, , u n } vói u0, u1, , u n ∈ X và các

n-vectơ u1 − u0, , u n − u0 là đ®c l¾p tuyen tính Các điem u i đưoc goi

là các đính Bao loi cna k + 1 đính đưoc goi là k-di¾n cna S Moi x

∈ S đưoc bieu dien duy nhat dưói dang:

Rn

Bo đe 1.2.1 (Bo đe KKM) (Knaster - Kuratowski - Mazurkiewicz,1929)

Cho m®t n-đơn hình S = co {u0, u1, , u n } trong R n và các t¾p hop đóng F0, F1, , F n trong S thóa mãn đieu ki¾n: vói moi t¾p hop con I ⊂

Đ%nh lý 1.2.1 (Nguyên lý điem bat đ®ng Brouwer, 1912) Moi ánh xa liên

tnc tù hình cau đơn v% đóng trong R n vào chính nó đeu có điem bat đ®ng.

Chúng minh Vì hình cau đơn v% đóng trong R n đong phôi vói m®t đơn hình S nên ta chí can chúng minh rang ánh xa liên tuc T : S → S

n-se có điem bat đ®ng trong S.

Vói moi x ∈ S ta có x = (x0, x1, , x n ) và y = Tx = (y0, y1, , y n) Vói

moi i = 0, 1, , n ta đ¾t F i = {x ∈ S : x i ≥ y i } Do T liên tuc nên các

F i

đeu đóng Ta se chúng minh các F i thóa mãn đieu ki¾n (KKM)

Lay I ⊂ {0, 1, , n} và x ∈ co {u i : i ∈ I} V¾y x = (x0, x1, , x n)vói

đe cho x ∈ F i0 , túc là x i0 ≥ y i0 Giá sú ngưoc lai rang x i < y i vói moi

i ∈ I Khi đó ta g¾p mâu thuan:

= 1, các bat đang thúc trên phái là đang thúc, túc là

Chúng minh Chí can chúng minh bo đe KKM tù nguyên lý điem bat

đ®ng Brouwer Ta se dùng phán chúng

Cho S = {u0, u1, , u n } là m®t đơn hình và F0, F1, , F n là các t¾phop

là α i (x) > 0 do F i đóng V¾y ta có the đ%nh nghĩa hàm

do đieu ki¾n (KKM) V¾y m¾nh đe đưoc chúng minh

1.2.2 Nguyên lý ánh xa KKM và bat đang thNc Ky Fan

Nguyên lý ánh xa KKM là m®t mó r®ng cna bo đe KKM ra khônggian vô han chieu và là trung tâm cna lý thuyet KKM, m®t b® ph¾n cơbán và quan trong cna giái tích phi tuyen

Trưóc khi phát bieu nguyên lý ánh xa KKM, chúng ta đ%nh nghĩa ánh

xa KKM

Đ%nh nghĩa 1.2.1 (Ánh xa KKM)

Cho C là m®t t¾p hop trong không gian vectơ tôpô, ánh xa đa tr% F :

Đ%nh lý 1.2.2 Nguyên lý ánh xa KKM

Cho C là m®t t¾p hop trong không gian vectơ tôpô Hausdorff X, F :

C → 2 X là m®t ánh xa KKM vói giá tr% đóng Khi đó vói moi t¾p huu han

Đ¾t Tx = µ i (x)u i, do ∆ loi ta đưoc m®t ánh xa liên tuc T : ∆ → ∆ ⊂

L

i=1

vói L huu han chieu.

Theo đ%nh lý Brouwer, ton tai x ∗ ∈ ∆ mà x ∗ = T x ∗ Đ¾t I = {i : µ i (x ∗)

> 0}, ta đưoc

x ∗ = T x ∗ = µ i (x ∗ )u i ∈ co {u i : i ∈ I} ⊂ S F i vì F là ánh xa KKM.

Đe ý rang trong nguyên lý trên ta chí khang đ%nh Tx∈A F (x) ƒ= ∅ vói moi A huu han trong C Tính chat này thưòng đưoc phát bieu là "ho

{F (x) : x ∈ C} có tính chat giao huu han" Muon có ket quá manh hơn:

T

x∈C F (x) ƒ= ∅ ta phái thêm m®t trong hai giá thiet sau:

a) C là t¾p hop huu han, ho¾c

b) ton tai x0 ∈ C sao cho F (x0) compact

Khi đó chí vi¾c thay moi F (x) bói F (x) ∩ F (x0) ta đưoc m®t ho t¾phop đóng trong m®t t¾p hop compact Lúc này, đe ∩ x∈C F (x) ƒ= ∅

chí can đòi hói tính giao huu han cna ho {F (x) : x ∈ C}.

M®t h¾ quá quan trong cna nguyên lý ánh xa KKM, đưoc sú dungr®ng rãi trong giái tích phi tuyen là m®t bat đang thúc do Ky Fan chúngminh năm 1961

Đ%nh lý 1.2.3 (Ky Fan, 1961 ) Cho X là không gian vectơ tôpô Hausdorff,

C là m®t t¾p hop loi, compact trong X, f : C × C → R là m®t hàm so

thóa mãn các đieu ki¾n sau:

i) f (x, y) tna lõm theo x vói moi y co đ%nh;

ii) f (x, y) núa liên tnc dưói theo y vói moi x co đ%nh;

iii) f (x, x) ≤ 0 vói moi x ∈ C.

Khi đó, ton tai y ∗ ∈ C sao cho f (x, y ∗ ) ≤ 0 vói moi x ∈ C.

Chúng minh Ket lu¾n cna đ%nh lý (goi là bat đang thúc Ky Fan) đưoc

suy ra tù nguyên lý ánh xa KKM như sau

Vói moi x ∈ C đ¾t F (x) = {y ∈ C : f (x, y) ≤ 0} Vì hàm f núa liên tuc

dưói theo y nên F (x) là t¾p hop đóng.

Ta se kiem tra đieu ki¾n KKM bang phán chúng Giá sú ton tai x1, x2, ,

f (x, y ∗ ) ≤ 0 vói moi x ∈ C Đ%nh lý đã đưoc chúng minh.

1.2.3 Dang hình hoc cúa bat đang thNc Ky Fan

M®t trong nhung h¾ quá cna nguyên lý ánh xa KKM là đ%nh lý sau đây ve tính chat cna t¾p hop loi

Đ%nh lý 1.2.4 (Ky Fan, 1984) Cho C là m®t t¾p hop loi, compact trong

m®t khoáng không gian vectơ topo tách và t¾p hop A ⊂ C × C thóa các đieu ki¾n sau:

i) Vói moi x ∈ C, t¾p hop {y ∈ C : (x, y) ∈/ A} là loi,

ii) Vói moi y ∈ C, t¾p hop {y ∈ C : (x, y) ∈ A} là đóng,

iii) Vói moi x ∈ C ta có (x, x) ∈ A.

Khi đó ton tai x0 ∈ C sao cho {x0} × C ⊂ A

Chúng minh Vói moi y ∈ C, đ¾t

Tù đ%nh lý này trnc tiep suy ra bat đang thúc Ky Fan Th¾t v¾y,

neu hàm f : C × C → R thóa mãn ba tính chat nêu trong bat đang thúc Ky Fan thì t¾p hop A = {(x, y) : f (x, y) ≤ 0} thóa mãn ba đieu

ki¾n cna đ%nh lý trên Khi đó ket lu¾n {x0} × C ⊂ A chính là f (x0,

y ) ≤ 0 vói moi y ∈ C (bat đang thúc Ky Fan) Vì v¾y, đ%nh lý trên là

m®t dang khác cna

bat đang thúc Ky Fan khi ta thay vi¾c xét hàm f bang vi¾c xét t¾p

hop dưói múc 0 cna nó

1.2.4 Bo đe KKM cho các t¾p hap má

Trong chúng minh bo đe KKM, tính đóng (mó) cna các t¾p hop F0, F1, , F n là bat bu®c M®t đieu bat ngò lý thú là tính đóng (mó) ó đây có the thay bang tính mó

Đ%nh lý 1.2.5 (Shih, 1986) Cho C là m®t t¾p hop loi trong không gian

vectơ tôpô tách, A là m®t t¾p hop con huu han cúa C, G : A → 2 C là m®t

ánh xa KKM vói giá tr% mó Khi đó

T

x∈A G (x) ƒ= ∅

M®t úng dung quan trong cna đ%nh lý Shih là ket quá sau đây do KyFan chúng minh bang m®t phương pháp khác Ket quá này thưòngđưoc nhac đen trong tài li¾u dưói cái tên "Đ%nh lý sánh đôi"

Đ%nh lý 1.2.6 (Ky Fan, 1984) Cho C là m®t t¾p loi trong không gian vectơ

Các đ%nh lý nêu ra các đieu ki¾n đe xáy ra đang thúc goi là các đ%nh

lý minimax Các đ%nh lý này thưòng xuat hi¾n trong lý thuyet trò chơi

và Toán Kinh te C¾p điem (x0, y0) ∈ X × Y thoá mãn đang thúc

max min f (x, y) = min max f (x, y)

x∈X y∈

Y

y∈Y x∈X

goi là điem yên ngna ho¾c điem cân bang cna f

Chúng ta đưa vào m®t ký hi¾u mói Cho X, Y là hai t¾p hop loi, compact trong hai không gian vectơ tôpô tách Ánh xa đa tr% T : X →

2Y thu®c lóp B(X, Y ) neu nó thóa mãn:

1) Tx là t¾p hop loi vói moi x ∈ X,

2) T −1 y là t¾p hop mó vói moi y ∈

Y , 3) T −1 (Y ) = X,

ó đây ánh xa T −1 đưoc xác đ%nh như sau:

x ∈ T −1 y khi và chí khi y ∈ Tx

Như v¾y đieu ki¾n (3) tương đương vói Tx ƒ= ∅ vói moi x ∈ X, túc

là T xác đ%nh trên toàn X Đe ý rang neu T ∈ B(X, Y ) và t là m®t

ánh xa đơn tr% liên tuc tù m®t t¾p hop loi, compact Z vào X thì T · t

∈ B(X, Y ) Th¾t v¾y ta có T (tz) loi vói moi z ∈ Z, (T · t) −1 y =

t −1 (T −1 y ) mó vói moi y ∈ Y vì t liên tuc và (T · t) −1 (Y ) =

t −1 (T −1 (Y )) = Z vì t xác đ%nh trên toàn Z Ta se dùng ký hi¾u T ∈

B −1 (X, Y ) neu Y −1 ∈ B(Y, X) Đ%nh lý điem bat đ®ng sau đây cũng

là m®t h¾ quá cna nguyên lý ánh xa KKM, thưòng goi là đ%nh lýBrowder-Fan

Đ%nh lý 1.2.7 (Browder, 1968) Cho X, Y là hai t¾p hop loi, compact

trong hai không gian vectơ tôpô tách Khi đó moi ánh xa T ∈ B(X, X) đeu có điem bat đ®ng.

Đ%nh lý 1.2.8 (Mechaiekh, 1982) Cho X, Y là hai t¾p hop loi, compact

trong hai không gian vectơ tôpô tách và hai ánh xa T ∈ B(X, Y ) và S

∈ B −1 (X, Y ) Khi đó, ton tai x0 ∈ X sao cho T x0

T

Sx0 ƒ= ∅.

Đ%nh lý 1.2.9 (Sion, 1958) Cho X, Y là hai t¾p hop loi, compact

trong hai không gian vectơ tôpô tách, f : X × Y → R là m®t hàm so

thóa mãn hai đieu ki¾n sau:

1) Vói moi x ∈ X, hàm f (x, ) tna loi và núa liên tnc dưói theo y, 2) Vói moi y ∈ Y , hàm f (., y) tna lõm và núa liên tnc trên theo x.

Khi đó ta có max min f (x, y) = min max f (x, y).

x∈X y∈

1.2.6 Các đ%nh lý điem bat đ®ng

Trong muc này trình bày m®t so đ%nh lý điem bat đ®ng noi tieng:

Ky Fan, Schauder, Tikhonov

Đ%nh lý 1.2.10 (Đ%nh lý Ky Fan, 1961) Cho C là m®t t¾p hop loi,

compac trong không gian đ%nh chuan X và T : C → X là m®t ánh xa liên

tnc Khi đó ton tai x0 ∈ C sao cho:

"T x0 − x0" = min{"T x0 − x" : x ∈ C} (1) Chúng minh Vói x, y ∈ C, đ¾t

Hai đ%nh lý sau là h¾ quá cna Đ%nh lý 1.2.3

Đ%nh lý 1.2.11 (Đ%nh lý Schauder, 1930 ) Moi ánh xa liên tnc tù m®t

t¾p hop loi, compac cúa m®t không gian đ%nh chuan vào chính nó đeu có điem bat đ®ng.

Chúng minh Trong 1) cho x = T x0 ta đưoc "T x0 − x0" = 0, túc

là

T x0 = x0 và h¾ quá đưoc chúng minh

Đ%nh lý 1.2.12 (Đ%nh lý điem bat đ®ng Tikhonov,1935) Cho C là m®t t¾p

hop loi, compac trong không gian loi đ%a phương tách (X, P ), T : C → C

là ánh xa liên tnc Khi đó T có điem bat đ®ng.

Đ%nh lý 2.1.1 (Brouwer, 1912) Cho ∆n = v0v1 v n là m®t đơn hình Khi

đó ánh xa liên tnc f : ∆n → ∆ n có m®t điem bat đ®ng x0 = f (x0) ∈ ∆ n

Có m®t so lưong lón nhung chúng minh khác nhau cna đ%nh lýBrouwer M®t trong nhung cách chúng minh sóm cna đ%nh lý Brouwerđưoc đưa ra bói Kraster, Kuratowski, và Muzurkiewicz (ký hi¾u KKM)

sú dung bo đe sau:

Bo đe 2.1.1 (Sperner, 1928) Cho K là m®t sn phân chia nhó cúa m®t

n-đơn hình v0v1 v n Vói moi đsnh cúa K, đưoc gán m®t so nguyên sao cho khi m®t đsnh u cúa K nam trên m®t m¾t v i0 v i1 v i k (0 ≤ k ≤

n, 0 ≤ i0 < i1 < < i k ≤ n), so đưoc gán cho u là m®t trong nhung

so nguyên i0, i1, , i k Khi đó tong so cúa n-đơn hình đó cúa K, mà các đsnh đưoc gán tat cá n + 1 so nguyên 0, 1, , n là lé Đ¾c bi¾t có

ít nhat m®t n-đơn hình như v¾y.

Bo đe đưoc áp dung đe chúng minh nguyên lý KKM (dang đóng)trong [KKM] như sau:

Đ%nh lý 2.1.2 (KKM, 1929) Cho F i (0 ≤ i ≤ n) là t¾p con đóng

(tương úng mó) cúa m®t đơn hình v0v1 v n Neu

v i0 v i1 v i k ⊂ F i0 ∪ F i1 ∪ ∪ F i k

đúng cho moi m¾t v i0 v i1 v i n (0 ≤ k ≤ n, 0 ≤ i0 < i1 < < i k ≤ n) thì

Tù năm 1961, Ky Fan nh¾n đưoc sn mó r®ng cna nguyên lý KKM và

áp dung chúng cho m®t loat van đe khác nhau Đ¾c bi¾t, ông thietl¾p đưoc m®t ket quá đơn gián nhưng cơ bán là dang hình hoc cnabat đang thúc Ky Fan và bat đang thúc minimax Sau đó, Browderphát bieu lai bo đe trong dang ti¾n loi hơn đoi vói lý thuyet điem batđ®ng sú dung đ%nh lý Browder và phép phân hoach đơn v% Các ketquá này cũng đưoc biet đen là tương đương vói nguyên lý KKM Cùngvói sn phát trien như v¾y, xuat hi¾n nhieu sn mó r®ng cna nhieu ketquá đã biet và các úng dung mói liên quan đen cái goi là ánh xa KKM.Năm 1987, dang mó cna nguyên lý KKM đã thu®c ve Kim và Shih

và Tan, và sau đó Lassonde đã chúng minh đưoc rang dang đóng và

mó cna nguyên lý KKM có the đưoc suy ra lan nhau

Lay D là m®t t¾p khác rong và X là t¾p con loi cna không gian vectơ sao cho D ⊂ X Ánh xa đa tr% F : D a X đưoc goi là m®t ánh

xa KKM neu

nó đưoc mó r®ng cho không gian loi bói Lassonde, và các không gian

có các ho các t¾p co rút đưoc (đơn gián, không gian H ho¾c không gian C) bói Horvath Loi mó r®ng này cna các ket quá có tù sóm đưoc

phát trien bói nhieu tác giá

M¾t khác, tác giá giói thi¾u khái ni¾m tong quát hơn các không

gian C và các tính chat cơ bán cna ánh xa KKM cho nhung không

gian đó mà nó dưòng như phù hop hơn cho nhung muc đích khácnhau Trên thnc te khái ni¾m mói cna không gian loi suy r®ng còn goi

là không gian G-loi là m®t sn mó r®ng chung cna nhieu tính loi trùu

tưong mà không có bat kỳ cau trúc tuyen tính nào đưoc phát trien chnyeu trong moi liên ket vói lý thuyet điem bat đ®ng và lý thuyet KKM.Trong chương này, chúng tôi giói thi¾u các ket quá cơ bán trong lý

thuyet KKM cho không gian G-loi mà nó tương đương vói đ%nh lý

Brouwer, bo đe Sperner, nguyên lý KKM Nhung ket quá đó là phiênbán trùu tưong cna các ket quá tương úng cho các t¾p loi trong khônggian vectơ tôpô Vài úng dung đau tiên cna nhung ket quá đó đưoc chí

ra Cuoi cùng ta chúng tó như là ví du đien hình cna úng dung, rang đ

%nh lý điem bat đ®ng Himmelberg đưoc suy ra tù dang mó cnanguyên lý KKM, và phát trien đ%nh lý minimax von Neumann và đ%nh

lý cân bang Nash cho không gian G-loi.

2.2 Không gian loi suy r®ng

M®t không gian loi suy r®ng, hay m®t không gian G-loi (X, D; Γ) gom m®t không gian tôpô X và m®t t¾p D khác rong sao cho moi A ∈ (D) có n + 1 phan tú, ton tai m®t t¾p con Γ(A) cna X và m®t hàm so

liên tuc φ A : ∆n → Γ(A) sao cho J ∈ (A) kéo theo φ A(∆J ) ⊂ Γ(J ) Chú ý rang φ A |∆J có the đưoc xem như φ J và ta có the giá thiet Γ(J )

⊂ Γ(A).

Chang han, ∆J là m®t di¾n cna ∆n tương úng vói J ∈ (A), túc là neu

A = {a0, a1, , a n } và J = {a i0 , a i1 , , a i n } ⊂ A thì ∆ J := co {v i0 , v i1 , , v i k } Ta có the viet Γ A = Γ(A) vói moi A ∈ (D).

Ta đã giá thiet rang D là m®t t¾p con khác rong cna X trong đ%nh nghĩa cna m®t không gian G-loi (X, D; Γ) Tù bây giò, ta chap nh¾n đ

%nh nghĩa trên, túc là nói chung ta không giá sú D ⊂ X Trong

trưòng hop D ⊂ X, thì (X, D; Γ) se đưoc ký hi¾u là (X ⊃ D; Γ) và

neu X = D thì (X ⊃ D; Γ) ký hi¾u là (X, Γ).

Có nhieu ví du cna không gian G-loi:

Ví dn 2.2.1 Neu X là m®t t¾p con loi cúa m®t không gian vectơ, D ⊂ X

và X có m®t tôpô sao cho moi ΓA là bao loi cúa A ∈ (D) đưoc trang b

% tôpô Euclide, thì (X, D; Γ) tró thành m®t không gian loi suy r®ng.

Chú ý rang t¾p con loi bat kỳ cúa m®t không gian vectơ tôpô là m®t không gian loi, nhưng ngưoc lai không đúng.

Ví dn 2.2.2 Neu X = D và Γ A đưoc giá đ%nh là co rút đưoc ho¾c tong quát hơn, đưoc liên thông vô han (túc là, n-liên thông vói moi n ≥

0), và neu đoi vói moi A, B ∈ (X), A ⊂ B kéo theo Γ A ⊂ Γ B thì (X, Γ) tró thành m®t không gian C (ho¾c m®t không gian H) như cúa

Horrath.

Ví dn 2.2.3 Nhung ví dn cơ bán khác cúa không gian G-loi là không

gian metric vói cau trúc loi Michael, Pisicke, không gian S-co rút đưoc,

không gian giá loi Horrath, không gian loi Komiya, không gian đơn hình Bielawski, không gian giá loi Joo, Gan đây, nhung ví dn tiep theo cúa không gian G-loi đưoc cho bói các tác giá như sau: L-không gian và tính loi đơn hình B r cúa Ben-Ej-Mechaiekh và các tác giá, ánh liên tnc cúa không gian G-loi, H-không gian suy r®ng Stacho ho¾c Verma, cau trúc đơn hình Kulpa, không gian P 1,1 cúa Forgo và Joo, mc-không gian L- tuyen tính, không gian mêtric siêu loi cúa Aroszajn, Pamitchpakidi, và tính loi cúa Takahashi trong không gian mêtric.

Cho m®t không gian G-loi (X ⊃ D; Γ), m®t t¾p con Y ⊂ X đưoc goi

là Γ-loi neu vói moi N ∈ (D), N ⊂ Y kéo theo T N ⊂ Y và đoi vói t¾p

con bat kỳ Y ⊂ X, bao loi cna Y đưoc xác đ%nh như sau:

Γ-coY := T{Z ⊂ X : Z là m®t t¾p con Γ-loi cna X bao hàm Y }.

De thay Γ-coY := ∪ {Γ − coN : N ∈ (Y )}

M®t ánh xa đa tr% (nói gon là m®t ánh xa) T : X a Y là m®t hàm

so tù X vào t¾p lũy thùa 2 Y cna Y T (x) đưoc goi là giá tr% cna T tai

x ∈ X và T −1 (y) := {x ∈ X : y ∈ T (x)} là ngh%ch ánh cna T tai y

∈ Y Giá sú T (A) := S{T (x) : x ∈ A}, vói A ⊂ X.

Cho m®t không gian G-loi (X, D; Γ), m®t ánh xa đa tr% F : D → X

đưoc goi là m®t ánh xa KKM neu

Đ%nh lý 2.3.1 Cho (X, D; Γ) là m®t không gian G-loi và ánh xa F :

Chúng minh Cho A = {a0, a1, , a n } ∈ (D) Khi đó ton tai m®t hàm

so liên tuc φ A : ∆n → Γ A sao cho, moi 0 ≤ i0 < i1 < < i k ≤ n, ta có

lý cna phan đau tiên cna đ%nh lý

Chú ý phan thú hai thay ngay tù phan thú nhat

−

A

T

φ −

Nh¾n xét.

(1) Đieu ki¾n (1.1) đưoc thóa mãn neu ta giá sú rang, vói moi a ∈ D và

A ∈ (D), F (a) T ΓA đóng (mó) trong ΓA Đây là phát bieu cna

m®t so tác giá rang F có giá tr% đóng (mó) huu han.

(2) Cho X = ∆n , neu D là t¾p các đính cna ∆n và ΓA = co, bao loi, đ

%nh lý 2.3.1 tró thành nguyên lý KKM Nguyên lý này đưoc súdung đau tiên trong [KKM] đe thu đưoc m®t trong nhung chúngminh trnc tiep nhat cna đ%nh lý Brouwer, và sau đó áp dung chocác ket quá tôpô trên không gian Euclide

(3) Neu D là m®t t¾p con khác rong cna không gian vectơ tôpô X

(không can thiet Hausdorff), đ%nh lý 2.3.1 đưoc mó r®ng bo đeKKM cna Fan Fan đã áp dung bo đe ay cho đ%nh lý điem trùng

mó r®ng đ%nh lý điem bat đ®ng Tychonoff và m®t ket quá liênquan tói hai ánh xa liên tuc tù t¾p loi compact và m®t không gianđeu Sau đó, Fan cũng áp dung bo đe cna mình đe thu đưoc m®t đ

%nh lý giao nhau (nhung t¾p liên quan vói mien loi) mà nó suy rađ%nh lý minimax Sion và đ%nh lý điem bat đ®ng Tychonoff

(4) Cho dang khác cna đ%nh lý KKM trong không gian loi và úng dungcna chúng M®t dang suy r®ng cna đ%nh lý 2.3.1 và các phát bieutương đương đưoc cho bói Sehie Park và Kim Có nhieu đieu ki¾n

"compact" ho¾c đieu ki¾n "búc" tong quát hơn (1.3) Tuy nhiên, đeđơn gián, ta chí dùng (1.3) và dang đơn gián hơn cho t¾p m®t

cho 1 ≤ i ≤ n.

Đ%nh lý 2.3.2 Cho (X, D; Γ) là m®t không gian G-loi sao cho D là

như trên và T : D a X là m®t ánh xa đa tr% vói giá tr% đóng (mó)

compact sao cho

(2.1) X = T (D) và

(2.2) ΓA i ⊂ T (a i ) vói 0 ≤ i ≤ n.

Khi đó Tn T (a i ) ƒ= ∅.

Chúng minh Ta se chúng minh rang T là ánh xa KKM Cho N ∈ (D).

Neu N = D thì Γ N ⊂ X = T (N ) bói (2.1) Giá sú rang N Ç D, khi

Tù bây giò, chúng ta chn yeu đe c¾p tói dang đóng cna nguyên lý KKM Tù đ%nh lý 2.3.1, ta có đ%nh lý sánh đôi cna Ky Fan cho phn

(3.1) S (Z) là mó compact vói moi z ∈ D;

(3.2) S − (y) là khác rong vói moi y ∈ X (túc là S là toàn ánh) và

(3.3) X \ S(z0) là compact vói z0 ∈ X nào đó.

Khi đó ton tai N ∈ (D) sao cho

ΓN T Tz∈N S (z) ƒ= ∅.

Chúng minh Giá sú F : D a X là m®t ánh xa đưoc cho bói F (z) := X \ S(z) vói x ∈ D Khi đó đieu ki¾n (3.1) kéo theo giá thiet (1.1) Giá sú ngưoc lai rang, cho bat kỳ N ∈ (D) ta có Γ N

T T

z∈N S (z) ƒ=

∅, túc là Γ N ⊂ X \ Tz∈N S (z) = Sz∈N (X \ S(z)) = F (N ), mà đieu đó suy ra (1.2) Hơn nua, (3.3) kéo theo (1.3) vói M = {z0} Do v¾y, bói

đ%nh lý 2.3.1, ton

∈ /

S (z) ho¾c z

∈/

S − y)ˆ

vói moi z ∈ D Đieu này mâu thuan vói đieu ki¾n (3.2) Đieu phái chúng

minh

Nh¾n xét: Khói điem cna đ%nh lý 2.3.3 ta quay lai đ%nh lý cna Ky Fan

cho t¾p loi X = D.

Đ%nh lý 2.3.3 có the đưoc phát bieu trong dang trái ngưoc cna nó

vói các phan bù F (x) cna S(x) trong X Khi đó ta có dang đóng cna đ

%nh lý

2.3.1 vói M = {z0}.

2.4 Đ%nh lý giao toàn the khác

Tù đ%nh lý 2.3.1, ta có tính chat giao toàn the khác:

Đ%nh lý 2.4.1 Cho (X, D; Γ) là m®t không gian G-loi và ánh xa F :

(