Tập hợp: -Sự gom góp một số đối tượng lại với nhau cho ta hình ảnh của tập hợp.. Các đối tượng này trở thành phần tửcủa tập hợp.. Ví dụ: Tập hợp các sinh viên đang học trong giờ môn XST
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN -O 0 O -
Bài giảng XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Giảng viên: Phan Trung Hiếu
Mail: sguhieupt@gmail.com
Facebook: Hieu Pt
Lưu hành nội bộ
3/2015
Trang 2Trang
CHƯƠNG 0 ĐẠI CƯƠNG VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP.……… …………1
I Tập hợp……… 2
II Các phép toán tập hợp……… … 3
III Các tính chất……… 5
IV Các quy tắc đếm……….……… 5
V Giải tích tổ hợp……… 6
VI Một vài ví dụ tổng hợp……… … 7
CHƯƠNG 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT……… …….…9
I Hiện tương ngẫu nhiên……… …9
II Phép toán trên các biến cố……… ………… ………… …………10
III Quan hệ giữa các biến cố……… ……… ………… …11
IV Các tính chất của biến cố ……… ……… ……… …13
V Nhóm đầy đủ các biến cố……… ……… ……….13
VI Định nghĩa xác suất……… ……….….14
VII Các công thức tính xác suất……… ……….……18
CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN……….……22
I Định nghĩa……….………… ……….22
II Biến ngẫu nhiên rời rạc……… …… ……… 22
III Biến ngẫu nhiên liên tục……… ……… ….23
IV Hàm phân phối (tích lũy)……… ……… ……… 24
V Các tham số đặc trưng……… ……… … 26
VI Định nghĩa biến ngẫu nhiên n chiều……… ……….……30
VII Biến ngẫu nhiên 2 chiều rời rạc……… ……… ………30
VIII Biến ngẫu nhiên 2 chiều liên tục……….……….33
IX Hàm của các biến ngẫu nhiên……… ……… …….33
X Các tham số đặc trưng khác……… ……… ……….35
CHƯƠNG 3 MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT…….…… …37
I Phân phối nhị thức B(n,p)……… 37
II Phân phối siêu bội H(N,M,n)……… ………… ……… …39
III Liên hệ giữa B(n,p) và H(N,M,n)……… ……… ………… 40
IV Phân phối Poisson P( )……… ……… ……… 40
V Liên hệ giữa B(n,p) và P( ) ……… …… …….41
VI Phân phối chuẩn N( )……… ……… ….42 , 2 VII Liên hệ giữa B(n,p) và N( )……….………….……….………43 , 2 VIII Phân phối đều U(a,b)……… 44
IX Phân mối mũ E( )……….……45
Trang 3CHƯƠNG 4 LÝ THUYẾT MẪU & ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ……… ……46
I Tổng thể và mẫu……….……… 46
II Các đặc trưng của tổng thể……… …… .46
III Các đặc trưng của mẫu……… ……… ….46
IV Lý thuyết ước lượng……… ……… ……… 49
V Ước lượng điểm……… ……… … 49
VI Ước lượng khoảng……… ……49
VII Ước lượng trung bình của tổng thể……… ……… ……50
VIII Ước lượng tỉ lệ của tổng thể……….……… …….51
IX Ước lượng phương sai của tổng thể……… ……….….53
X Các bài toán liên quan đến ước lượng trung bình……… …….….53
XI Các bài toán liên quan đến ước lượng tỉ lệ……… ………… ….53
CHƯƠNG 5 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ……… ……55
I Các khái niệm……….……… …… 55
II Các loại sai lầm trong kiểm định……… …… 56
III Kiểm định tham số……… ……… ….56
IV So sánh trung bình với một số……… ……… ……… 57
V So sánh tỉ lệ với một số……… ……… 59
VI So sánh hai trung bình………60
VII So sánh hai tỉ lệ……… ………61
DẠNG BÀI THỐNG KÊ.……… ……… ………… ……63
BÀI TẬP CHƯƠNG 0.……… ……… ……… ……72
BÀI TẬP CHƯƠNG 1.……… ……… ……… ……77
BÀI TẬP CHƯƠNG 2.……… ……… ……… ……86
BÀI TẬP CHƯƠNG 3.……… ……… ……… ……96
BÀI TẬP CHƯƠNG 4.……… ……… ………103
BÀI TẬP CHƯƠNG 5.……… ……… ………104
CÁC BẢNG SỐ THÔNG DỤNG.……… ……… … …107
TÀI LIỆU THAM KHẢO.……… ………… ……… … …120
Trang 4LOG O
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Giảng viên: Phan Trung Hiếu
45 tiết
2
Kiểm tra, đánh giá kết quả:
-Điểm chuyên cần (hệ số 0.1):
Dự lớp đầy đủ: 10 điểm Vắng 1 buổi không phép: trừ 1 điểm
Chỉ duy nhất 1 lần có phép
-Bài kiểm tra giữa kì (hệ số 0.3):
Tự luận, không được sử dụng tài liệu
-Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6):
Tự luận, không được sử dụng tài liệu.
3
Nội dung:
Chương 0: Đại cương về Giải tích tổ hợp
Chương 1: Đại cương về Xác suất
Chương 2: Biến ngẫu nhiên.
Chương 3: Một số phân phối xác suất quan
trọng.
Chương 4: Lý thuyết mẫu và ước lượng
tham số.
Chương 5: Kiểm định giả thuyết thống kê.
4
Tài liệu học tập:
[1] Bài giảng trên lớp.
[2] Lê Sĩ Đồng, Xác suất thống kê và ứng dụng, NXB GD Việt Nam, 2011.
[3] Lê Sĩ Đồng, Bài tập Xác suất-thống kê ứng dụng, NXB GD Việt Nam, 2011.
[4] Phạm Hoàng Quân-Đinh Ngọc Thanh,
Xác suất thống kê, NXB GD Việt Nam,2011.
Các tài liệu tham khảo khác.
5
Dụng cụ hỗ trợ học tập:
Máy tính FX 500MS, FX 570MS,
FX 570ES, FX 570ES Plus
LOG O
Chương 0:
ĐẠI CƯƠNG VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP
Giảng viên: Phan Trung Hiếu
Trang 5-Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy, không
có định nghĩa
I Tập hợp:
-Sự gom góp một số đối tượng lại với nhau
cho ta hình ảnh của tập hợp Các đối tượng này
trở thành phần tửcủa tập hợp
Ví dụ: Tập hợp các sinh viên đang học trong
giờ môn XSTK tại phòng A…
1.1 Khái niệm:
8
▪ Tập hợp: A, B, C,…,X, Y, Z,…
1.2 Ký hiệu:
▪ Phần tử: a, b, c,…,x, y, z,…
▪ x là một phần tử của tập hợp A:
▪ x không là một phần tử của tập hợp A:
x A
x A
▪ A : số phần tử của tập hợp A.
9
Liệt kê: dùng khi số phần tử là hữu hạn
(đếm được, thấy được cụ thể)
1.3 Các phương pháp xác định tập hợp:
Ví dụ 1:
A 2, 3, 4, 5
3 A 5 A 0 A
Tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 1 và
bé hơn 6:
A 4
10
Ví dụ 2: Tập hợp các số tự nhiên bé hơn
1000:
B 0, 1, 2, …, 997, 998, 999
Chú ý: Phương pháp liệt kê
- Không quan tâm thứ tự liệt kê
- Mỗi phần tử chỉ được liệt kê 1 lần, không lặp lại
500 B B 1000
Trưng tính:
- Nêu bật tính chất đặc trưng của các phần tử
trong tập hợp
- Hay dùng khi số phần tử là vô hạn
Ví dụ 1: Tập hợp các số tự nhiên chẵn:
A x x và x 2
10 A 101 A 4 A
Ví dụ 2:
B = { x | x là sinh viên đang học môn XSTK tại
phòng A… }
Giản đồ Venn: là một đường cong khép kín,
không tự cắt
A
2 3
4 5
7
3 A
7 A
Ví dụ 1:
2,3, 4,5
A
Trang 6Ví dụ 2: Một tổ 10 người sẽ được chơi hai
môn thể thao là cầu lông và bóng bàn Có 5
bạn đăng ký chơi cầu lông, 4 bạn đăng ký
chơi bóng bàn, 2 bạn đăng ký chơi cả hai
môn Hỏi có bao nhiêu bạn đăng ký chơi thể
thao? Bao nhiêu bạn không đăng ký chơi thể
thao
2
7 bạn đăng ký
3 bạn không đăng ký
14
1.4 Tập hợp con:
A là tập con của B, ký hiệu:
A
B
A B x A x B
I Tập hợp:
15
Ví dụ:
{1, 2, 3, 5, 7}
A
{1, 2, 8}
C
{1, 5}
B
B A
16
1.5 Tập hợp rỗng:
-Là tập hợp không chứa một phần tử nào.
Ví dụ 1:
A = { x | x là sinh viên đang học trong phòng
A… mà có số tuổi lớn hơn 80} A
Ví dụ 2:B x x vàx 2 1 B
Quy ước: là tập con của mọi tập hợp
Chú ý: ( )X là tập tất cả các tập con của X
( )X { A A X }.
( ) X 2 ,n n: số phần tử của X.
17
1.6 Tập hợp bằng nhau:
A B
A B
B A
II Các phép toán tập hợp:
18
2.1 Phép giao:
A B x x A vàx B
A B
A
B A B
(A và B rời nhau)
Trang 72.2 Phép hợp:
A B x x A hayx B
A B
II Các phép toán tập hợp:
Ví dụ:
{1, 2, 3, 4}
A
{3, 4, 5, 6, 7}
B
{2, 8, 9}
C
A B {3, 4}
A C
B C
A B
A C
B C
{2}
{1, 2,3, 4,5,6, 7}
{1, 2,3, 4,8,9}
{2,3, 4,5, 6, 7,8,9}
20
2.3 Phép lấy hiệu:
\
A B x x A và x B
\
A B
21
II Các phép toán tập hợp:
Ví dụ:
{1, 2, 3, 4}
A
{3, 4, 5, 6, 7}
B
{6, 7, 8, 9}
C
\
A B {1, 2}
\
A C
\
C A
\
A A
\
B
A C
\
C B {8, 9}
B
22
2.4 Phép lấy bù:
A x X x A
A
A
X
Nhận xét: A A
A A X
II Các phép toán tập hợp:
Ví dụ: Cho X là tập hợp tất cả các số nguyên
dương, A là tập hợp các số nguyên dương lớn
hơn 10 Hỏi A ?
X
Giải
A
A x X x A 1, 2, 3, 4, ,10 {1, 2, 3, 4, 5, }
{11, 12, 13, 14, 15, }
Trang 8III Các tính chất:
3.1 Phân phối:
A B C A B A C
A B C A B A C
3.2 De Morgan:
A B A B
A B A B
3.3:
B
B AB A B B A B A
IV Quy tắc đếm:
26
4.1 Quy tắc cộng:
Công việc
Phương án (Trường hợp)
1 2 k
thực hiện
1
n
2
n
n k
27
Ví dụ 1: Có 4 quần Jean và 3 quần tây Hỏi có
mấy cách chọn 1 quần để mặc?
Giải
TH1: Chọn 1 quần Jean từ 4 quần Jean:
chọn 1 quần để mặc
TH2: Chọn 1 quần tây từ 3 quần tây:
Vậy có: 4 + 3 = 7 cách
4 cách
3 cách
Ví dụ 2: Có 10 quyển sách Toán khác nhau, 8
quyển sách Lý khác nhau, 6 quyển sách Hóa
khác nhau Một học sinh được chọn 1 quyển
Hỏi có bao nhiêu cách chọn
10 + 8 + 6 = 24 cách
28
4.2 Quy tắc nhân:
Công việc
Bước
1 2 k
thực hiện
1
n
2
n
n k
29
Ví dụ 1: Có 4 quần Jean khác nhau và 3 áo sơ
mi khác nhau Hỏi có mấy cách chọn 1 bộ đồ để
mặc?
Giải
chọn 1 bộ đồ
Bước 1: Chọn 1 quần Jean từ 4 quần Jean:
Bước 2: Chọn 1 áo sơ mi từ 3 áo sơ mi:
Vậy có: 4 3 12
4 cách
3 cách
cách
30
Ví dụ 2: Một trường phổ thông có 12 học sinh
chuyên Tin và 18 học sinh chuyên Toán Nhà trường muốn thành lập một đoàn gồm 2 người
dự hội nghị sao cho có 1 học sinh chuyên Tin và
1 học sinh chuyên Toán Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn như trên?
12 18 216 cách
Trang 9Tóm lại:
-Khi thực hiện một công việc có nhiều phương
án, mỗi phương án ta đều thực hiện được xong
công việc Khi đó, ta dùng quy tắc cộng
-Khi thực hiện một công việc mà phải trải qua
nhiều bước mới xong công việc, thì ta dùng
quy tắc nhân
32
5.1 Hoán vị:
!
n
n vật khác nhau xếp vào n chỗ khác
cách
Ví dụ: Có bao nhiêu cách xếp 3 người vào
a) Một bàn dài có 3 chỗ ngồi
b) Một bàn tròn có 3 chỗ ngồi:
c) Một bàn tròn có 3 chỗ ngồi có đánh số:
3! 6 cách
nhau theo một thứ tự nhất định
2! 2 cách
3! 6 cách
V Giải tích tổ hợp:
33
5.2 Tổ hợp ( ):Cn k
Từ n vật khác nhau, bốc (chọn) ra k vật.
!
k
n
n C
k n k cách.
Ví dụ 1: Một lớp học có 40 người Có bao
nhiêu cách chọn ra 3 người để cử đi họp
3
40
C 9880cách
Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách rút ra 3 lá bài từ bộ
bài 52 lá? 3
52
C 22100cách.
(0 k n k n ; , )
34
5.3 Chỉnh hợp:
Từ n vật khác nhau, bốc (chọn) ra k vật rồi rồi xếp
vào k chỗ khác nhau
k n
Xếp có lặp lại, có hoàn lại
Xếp không lặp lại, không hoàn lại
!
k n
n A
n k (0 cách.k n k n ; , )
Nhận xét: A n k C k n k !
Ví dụ 1: Một lớp học có 40 người Có bao
nhiêu cách lập một ban cán sự lớp gồm: Lớp
trưởng, lớp phó học tập, lớp phó phong trào
nếu:
a) 1 ứng cử viên có thể phụ trách cùng lúc
nhiều chức danh?
b) 1 ứng cử viên chỉ được phép phụ trách 1 chức
danh?
3
40 64000cách
3
40 59280
Ví dụ 2: Có mấy cách chọn ngẫu nhiên 2
người, một người lau bảng, một người quét lớp cho một buổi trực nhật từ một tổ có 5 người?
2
5 20
3 5
A cách
Ví dụ 3: Có 5 bức tranh khác nhau Hỏi có mấy
cách:
a) Lấy ra 3 bức để treo lên tường?
b) Lấy ra 3 bức và treo lên 3 vị trí định sẵn trên tường?
3 5
C cách
Trang 10VI Một vài ví dụ tổng hợp:
37
Ví dụ 1: Xếp ngẫu nhiên 5 sinh viên A, B, C, D, E vào 1
chiếc ghế dài có 5 chỗ Có bao nhiêu cách xếp:
a) Năm người vào ghế?
b) Sao cho C ngồi chính giữa?
c) Sao cho A, B ngồi hai đầu ghế?
Giải
5! cách.
a) Xếp 5 SV vào 5 chỗ:
1 cách.
b) B1: Xếp C ngồi chính giữa:
B2: Xếp 4 SV còn lại vào 4 chỗ còn lại: 4! cách.
Vậy có: 4!cách.
2!cách.
c) B1: Xếp A, B ngồi hai đầu ghế:
B2: Xếp 3 SV còn lại vào 3 chỗ còn lại: 3! cách.
Vậy có: 2! 3! cách.
38
Ví dụ 2: Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác
nhau trong đó có 4 sách Văn, 2 sách Toán, 6 sách Anh văn Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các cuốn sách lên một kệ dài nếu các cuốn cùng môn được sắp kề nhau.
Giải
Hoán vị 4 sách Văn với nhau: 4!cách.
Hoán vị 2 sách Toán với nhau: 2! cách.
Hoán vị 6 sách Anh văn với nhau: 6!cách.
Hoán vị 3 nhóm sách của 3 môn với nhau: 3! cách.
Vậy có: 4! 2! 6! 3! cách.
39
Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách chia 10 người thành
3 nhóm: nhóm 1 có 4 người, nhóm 2 có 3 người,
nhóm 3 có 3 người?
Giải
B1:Chọn 4 người từ 10 người để lập nhóm 1:
B2:Chọn 3 người từ 6 người để lập nhóm 2:
B3:Chọn 3 người từ 3người còn lại để lập nhóm 3:
4
10
C cách
3
6
C cách
3
3
C cách
Vậy có: C104 3
6
C 3 3
C cách
6 3
40
Ví dụ 4: Trong một bình có 4 bi đỏ và 3 bi xanh
Lấy ra 2 bi Có bao nhiêu cách để 2 bi lấy ra cùng màu?
Giải
TH1: Lấy được 2 bi đỏ từ 4 bi đỏ:C42 cách
Vậy có: cách.
TH2: Lấy được 2 bi xanh từ 3 bi xanh:C32cách
2 4
C C32
41
Ví dụ 5: Từ 7 nam và 4 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra 6
người trong đó:
a) có 3 nam và 3 nữ.
b) có đúng 2 nữ.
c) có ít nhất 2 nữ.
d) có nhiều nhất 2 nữ.
e) có không quá 1 nữ
Giải
a) B1:Chọn 3 nam từ 7 nam:
Vậy có: C C7 3 . 43
3 7
C cách.
B2:Chọn 3 nữ từ 4 nữ: 3
4
C cách
cách.
b) B1:Chọn 2 nữ từ 4 nữ:
Vậy có: 2 4
4 7
C C
2 4
C cách.
B2:Chọn 4 nam từ 7 nam: 4
7
C cách
cách.
42
c) có ít nhất 2 nữ ( 2
TH1: chọn 2 nữ và 4 nam:
Vậy có: 2 4 3 3 4 2
4 7 4 7 4 7
TH2: chọn 3 nữ và 3 nam:
cách.
2 4
4 7
C C cách.
3 3
4 7
C C cách.
TH3: chọn 4 nữ và 2 nam: 4 2
4 7
C C cách.
d) có nhiều nhất 2 nữ ( 2
TH1: chọn 6 nam:
Vậy có: 6 1 5 2 4
7 4 7 4 7
C C C C C
TH2: chọn 1 nữ và 5 nam:
cách.
6 7
C cách.
1 5
4 7
C C cách.
TH3: chọn 2 nữ và 4 nam: 2 4
4 7
C C cách.
e) có không quá 1 nữ ( 1
TH1: chọn 6 nam:
Vậy có: 6 1 5
7 4 7
TH2: chọn 1 nữ và 5 nam:
cách.
6 7
C cách.
1 5
4 7
C C cách.
nữ)
nữ)
nữ)
Trang 11Ví dụ 6: Trong một bình có 4 bi đỏ, 5 bi trắng, 6 bi vàng
Lấy ra 4 bi Có bao nhiêu cách để số bi lấy ra không đủ 3
màu?
Giải
Lấy 4 bi trong 15 bi: 4
15
C cách.
TH1: Lấy được 1 Đ, 1 T, 2 V: C1 4.C1 5 2 cách.
6
C
TH2: Lấy được 1 Đ, 2 T, 1 V: C1 4.C52 .C61 cách.
TH3: Lấy được 2 Đ, 1 T, 1 V: 2
4
C C1 5 1 cách.
6
C
Có: 1 1 2 1 2 1 2 1 1
4 5 6 4 5 6 4 .5 6
C C C C C C C C C cách để số bi
lấy ra có đủ cả 3 màu.
Số cách để 4 bi lấy ra có đủ 3 màu:
Vậy có:
4
15
C 1
4.
C C1 5 C 62 1
4.
C C52 C 61 2
4.
C C51 . 1
6
C
645 cách thỏa yêu cầu
44
Ví dụ 7: Có 10 cuốn sách khác nhau và 7 cây bút
máy khác nhau Cần chọn ra 3 cuốn sách và 3 cây bút máy để tặng cho 3 sinh viên, mỗi em một cuốn sách và một cây bút máy Hỏi có mấy cách?
Giải
B1: Chọn 3 trong 10 cuốn sách để tặng cho 3 em:
B2: Chọn 3 trong 7 cây bút để tặng cho 3 em:
3 10
A cách
3 7
A cách
Vậy có: 3
10
A A73 cách
45
Ví dụ 8: Một lớp học có 30 sinh viên trong đó có
20 nam Có bao nhiêu cách chọn ra một ban cán
sự lớp gồm: 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 ủy viên
học tập, 1 ủy viên đời sống nếu:
a) Chọn bất kỳ
b) Lớp trưởng là nữ
c) Có đúng 1 nam
d) Toàn là nữ
e) Có ít nhất 1 nam
4 30
A cách
3 29
10.A cách
3 10
20 C 4! cách
4 10
A cách
4 4
30 10
A A cách
Trang 12LOG O
Chương 1:
ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT
Giảng viên: Phan Trung Hiếu
2
Hiện tượng tất định:
I Hiện tượng ngẫu nhiên:
Hiện tượng ngẫu nhiên:
là những hiện tượng
mà khi thực hiện trong cùng một điều kiện như nhau sẽ cho kết quả như nhau
là những hiện tượng mà
dù được thực hiện trong cùng một điều kiện như nhau vẫn có thể cho nhiều kết quả khác nhau
biết trước kết quả
sẽ xảy ra
không biết trước được kết quả sẽ xảy ra
3
- Hiện tượng ngẫu nhiên là đối tượng khảo sát
của lý thuyết xác suất
-Mỗi lần cho xuất hiện một hiện tượng ngẫu
nhiên được gọi là “thực hiện một phép thử”
1.1 Phép thử (T ):
sát hiện tượng nào đó mà kết quả của nó không
thể dự đoán trước được
thí nghiệm, phép đo, sự quan
Ví dụ: T: tung một con súc sắc
T: mua 1 tờ vé số T: quan sát tình trạng hoạt động của một máy
4
kết quả có thể xảy ra của phép thử.
1.2 Không gian mẫu ( ):
Tập hợp tất cả các
Ví dụ 1:
T: tung một con súc sắc
▪
{1, 2, 3, 4, 5, 6} | | 6
T: tung một đồng xu
▪
{ , } S N | | 2.
T: tung hai đồng xu
▪
{ , SS SN NS NN , , } | | 4.
Ví dụ 2:
T: tung 2 con súc sắc
5
Ví dụ 3:
▪ Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đỏ
Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi
T: Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi từ 10 bi
| |
C102 45
Ví dụ 4:
▪ Một kho có 50 sản phẩm
Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kho
| |
C501 50
T: Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ 50 sản phẩm
6
1.3 Biến cố: là tập con của không gian mẫu
Thường được ký hiệu là A, B, C,…
Ví dụ 1:
T: tung một con súc sắc
A: “Súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm”
Khi nào biến cố
A xảy ra?
Nếu kết quả của phép thử là một phần tử của
biến cố A thì ta nói biến cố A xảy ra.
{1, 2, 3, 4, 5, 6}.