Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 5 - Trường ĐH Hoa Sen

Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 5 cung cấp cho người học những kiến thức như: Giới thiệu bài toán ước lượng tham số; Ước lượng điểm; Phương pháp ước lượng khoảng: trung bình, tỷ lệ - Ước lượng kích thước mẫu. Mời các bạn cùng tham khảo!

Trang 1

uu 1

Probability and Statistics

THAM SỐ

Số tiết: 6

www.hoasen.edu.vn

1.  Giới thiệu bài toán ước lượng tham số

2.  Ước lượng điểm

3.  Phương pháp ước lượng khoảng: trung

bình, tỷ lệ - Ước lượng kích thước mẫu

Trang 2

uu 3

1 Bài toán ước lượng tham số

•  Giả sử X1 , X2, …, Xn là mẫu ngẫu nhiên từ phân

phối F đã biết nhưng phụ thuộc vào một hay một

vài tham số θ chưa biết

•  Ví dụ:

- Mẫu có từ phân phối Poisson:

- Mẫu có từ phân phối chuẩn:

•  Phân phối này xác định nếu tìm được hoặc ước

lượng được giá trị của θ

2 Ước lượng điểm – phương pháp hợp lý cực đại

•  Bài toán tìm một thống kê (đủ “tốt”) để ước lượng cho tham số θ

chưa biết được gọi là bài toán ước lượng điểm (point estimate)

•  Ví dụ: trung bình mẫu là ước lượng của µ; S2 là ước lượng của σ2

•  Giả sử có mẫu cụ thể (x1, x2, …, xn)

Hàm số có dạng: f (x1, x2, …, xn | θ) được gọi là hàm hợp lý cực

đại của θ (likelihood function of θ) – hàm mật độ xác suất đồng

thời của X1 , X2, …, Xn

•  Û được gọi là ước lượng hợp lý cực đại (maximum likelihood

estimator) của θ nếu

f (x1, x2, …, xn | Û) ≥ f (x1, x2, …, xn | θ)

Trang 3

uu 5

•  Phương pháp chung để tìm :

Bước 1: tìm hàm hợp lý cực đại

Bước 2: logarit hóa hàm hợp lý cực đại: (nếu cần)

Bước 3: lấy đạo hàm và cho đạo hàm đó bằng 0

Bước 4: giải phương trình và tìm điểm dừng

Bước 5: kiểm tra xem có thỏa

2 Ước lượng điểm – phương pháp hợp

lý cực đại

lý cực đại (tt)

Ước lượng hợp lý cực đại của tham số Bernoulli

Ví dụ 2.1

Giả sử có n kết cục độc lập với xác suất thành công đều là p

(chưa biết) Tìm ước lượng hợp lý cực đại của p?

là mẫu với

1, 2, , n

Hàm hợp lý cực đại:

Trang 4

uu 7

Logarit hóa, ta được:

Lấy đạo hàm và cho bằng 0:

Giả sử mỗi RAM do một nhà máy sản xuất đều độc lập với nhau và tỉ

lệ RAM chấp nhận được là p Kiểm tra 1000 chiếc và có 921 chiếc

chấp nhận được, khi đó ước lượng hợp lý cực đại cho p là bao

nhiêu?

Thử lại?

Ước lượng hợp lý cực đại của tham số Poisson

Ví dụ 2.2

Giả sử là các biến ngẫu nhiên Poisson độc

lập với kỳ vọng là Hãy xác định ước lượng hợp lý cực

đại của

1, 2, , n

λ λ

Hàm hợp lý cực đại:

Trang 5

uu 9

Giả sử số lượng khách hàng vào siêu thị trong một ngày là biến

ngẫu nhiên Poisson có kỳ vọng là chưa biết Sau khi quan sát

20 ngày, thấy có 857 người đến siêu thị Khi đó ước lượng hợp

lý cực đại cho là bao nhiêu?

λ λ

λ= 857 / 20 = 42,85

Quan sát ngẫu nhiên 10 ngày trong năm 2008 tại một thành phố

thì thấy số lượng tai nạn giao thông là: 4,0,6,5,2,1,2,0,4,3 Sử

dụng số liệu trên để ước lượng tỉ lệ những ngày có nhiều nhất 2

tai nạn giao thông trong năm 2007?

Gọi X là số tai nạn giao thông trong một ngày =>

Mà

Tỉ lệ ngày có nhiều nhất 2 tai nạn là

Ước lượng hợp lý cực đại trong dân số chuẩn

Ví dụ 2.3

Giả sử là các biến ngẫu nhiên chuẩn độc lập

với kỳ vọng và phương sai chưa biết là và 1 2

, , , n

Trang 6

uu 11

3 Ước lượng khoảng

 Gọi X1 , X2, …, Xn là mẫu có từ dân số chuẩn

 Cần ước lượng khoảng cho tham số θ

 Nói cách khác, với α cho trước, cần tìm khoảng (a;b)

sao cho

được gọi là độ tin cậy

là xác suất gặp sai lầm khi ước lượng

gọi là sai số của ước lượng

Độ tin cậy càng lớn thì sai lầm càng nhỏ và

ngược lại

Trang 7

uu 13

  Gọi là mẫu có từ dân số chuẩn có kỳ vọng µ,

chưa biết và phương sai σ2 đã biết Khi đó, các khoảng

ước lượng (interval estimate) cho µ là:

Hai phía:

Phía dưới: Trong đó:

Phía trên:

1, 2, , n

Phương sai đã biết

Theo kinh nghiệm thì trọng lượng µ của một sinh vật (g) là biến

ngẫu nhiên chuẩn và thay đổi theo mùa, biết độ lệch tiêu chuẩn

là 0,3 Khảo sát 50 sinh vật loại này thì được trọng lượng trung

bình là 14 Với độ tin cậy là 95%:

a Tìm khoảng ước lượng cho µ

b Tìm khoảng tin cậy phía trên, phía dưới của µ

Ví dụ 3.1

Trang 8

uu 15

Giả thiết như ví dụ 3.1 Nếu muốn ước lượng giá trị trung bình

chính xác nằm trong khoảng thì cỡ mẫu tối thiểu là bao

nhiêu?

Ví dụ 3.2

0,1

± HD: Ta có

Trọng lượng của một loài cá là biến ngẫu nhiên chuẩn có phương

sai là 0,3kg Để ước lượng trọng lượng cá với độ tin cậy là 95%

và chỉ sai lệch trong khoảng ± 0,1kg thì lấy mẫu gồm bao nhiêu

con cá?

Nếu độ tin cậy là 99,8% thì phải cân bao nhiêu con?

Ví dụ 3.3

Trang 9

uu 17

Gọi (X1, X2, …, Xn) là mẫu có từ dân số chuẩn có kỳ vọng µ và

phương sai σ2 chưa biết Khi đó, các khoảng ước lượng với độ

tin cậy 1- α cho µ là:

Hai phía:

Phía dưới:

Phía trên:

Và tra trong bảng giá trị của biến ngẫu nhiên t

Phương sai chưa biết, n < 30

Giá bán của một thiết bị (USD) trên thị trường là biến ngẫu nhiên

chuẩn Một người muốn mua thiết bị này Khảo sát tại 16 cửa

hàng được giá bán trung bình là 157,7 USD với độ lệch tiêu

chuẩn là 8,92 USD Hãy ước lượng giá bán trung bình của thiết

bị với phần trăm tin cậy là 95

Ví dụ 3.4

Trang 10

uu 19

•  Trong các trường hợp sau thì ước lượng µ như thế

nào:

–  Phương sai chưa biết và n > = 30?

–  Phương sai đã biết và n < 30?

=> thực hiện ước lượng như trường hợp đầu tiên

X là biến ngẫu nhiên nhị thức Với p chưa

biết, n đủ lớn Các khoảng ước lượng của p:

Hai phía:

Phía dưới:

Phía trên:

Trang 11

uu 21

Ví dụ 3.5

HD: a Ta có khoảng ước lượng:

Để ước lượng tỉ lệ chính phẩm của một kho hàng, người ta

kiểm tra ngẫu nhiên 100 sản phẩm và thấy có 80 chính phẩm

Với phần trăm tin cậy là 95:

a   Tìm khoảng ước lượng cho tỉ lệ chính phẩm trong kho

b   Nếu muốn sai số là 4% thì cần kiểm tra bao nhiêu sản phẩm?

Tiêu đề	Chương 5 - Trường ĐH Hoa Sen
Trường học	Faculty of Science and Technology
Chuyên ngành	Probability and Statistics
Thể loại	Bài giảng
Năm xuất bản	2013
Thành phố	Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	337,99 KB