Bài giảng xác suất thống kê chương 3 ts trần việt anh

Chương 3 Vectơ ngẫu nhiên hai chiều Bài 1 Vectơ ngẫu nhiên rời rạc hai chiều 1) Bảng phân bố xác suất của vectơ ngẫu nhiên rời rạc hai chiều • Vectơ ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ) được gọi là rời rạc nế[.]

Trang 1

Chương 3 Vectơ ngẫu nhiên hai chiều

Bài 1: Vectơ ngẫu nhiên rời rạc hai chiều

1) Bảng phân bố xác suất của vectơ ngẫu nhiên rời rạc hai chiều

• Vectơ ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ) được gọi là rời rạc nếu tất

cả các biến ngẫu nhiên thành phần X, Y là rời rạc

• Bảng phân bố xác suất của vectơ ngẫu nhiên rời rạc hai chiều (X, Y ) (hay còn gọi là bảng phân bố xác suất đồng thời của hai biến ngẫu nhiên X, Y ) là

Trang 2

1) Bảng phân bố xác suất của vectơ ngẫu nhiên rời

rạc hai chiều

Trang 3

1) Bảng phân bố xác suất của vectơ ngẫu nhiên rời

rạc hai chiều

Trang 4

1) Bảng phân bố xác suất của vectơ ngẫu nhiên rời rạc hai chiều

Trang 5

x1 p(x1, y1) p(x1, y2) p(x1, yj) p(x1, ym)

x2 p(x2, y1) p(x2, y2) p(x2, yj) p(x2, ym) · · · ·

xi p(xi, y1) p(xi, y2) p(xi, yj) p(xi, ym) · · · ·

xn p(xn, y1) p(xn, y2) p(xn, yj) p(xn, ym)

,

P(X = xi) = p(xi, y1) + p(xi, y2) + · · · + p(xi, ym), P(Y = yj) = p(x1, yj) + p(x2, yj) + · · · + p(xn, yj),

E(XY ) =

n X

i=1

m X

j=1

xiyjp(xi, yj),

Trang 6

trong đó

• x1, x2, , xn là các giá trị của biến ngẫu nhiên X,

• y1, y2, , ym là các giá trị của biến ngẫu nhiên Y ,

• p(xi, yj) = P(X = xi, Y = yj) là xác suất để X bằng xi và Y bằng yj

• Ta có











0 ≤ p(xi, yj) ≤ 1, i = 1, 2, , n, j = 1, 2, , m, n

X

i=1

m X

j=1

p(xi, yj) = 1

Trang 7

trong đó

• Ta có











0 ≤ p(xi, yj) ≤ 1, i = 1, 2, , n, j = 1, 2, , m, n

X

i=1

m X

j=1

p(xi, yj) = 1

Trang 8

trong đó

• p(xi, yj) = P(X = xi, Y = yj) là xác suất để X bằng xi và Y

bằng yj

• Ta có











0 ≤ p(xi, yj) ≤ 1, i = 1, 2, , n, j = 1, 2, , m, n

X

i=1

m X

j=1

p(xi, yj) = 1

Trang 9

trong đó

• Ta có











0 ≤ p(xi, yj) ≤ 1, i = 1, 2, , n, j = 1, 2, , m, n

X

i=1

m X

j=1

p(xi, yj) = 1

Trang 10

2) Bảng phân bố xác suất của X, Y

Biến ngẫu nhiên X có bảng phân bố xác suất

P P(X = x1) P(X = x2) P(X = xn) , trong đó

P(X = xi) = p(xi, y1) + p(xi, y2) + · · · + p(xi, ym)

Trang 11

2) Bảng phân bố xác suất của X, Y

Biến ngẫu nhiên X có bảng phân bố xác suất

P P(X = x1) P(X = x2) P(X = xn) , trong đó

P(X = xi) = p(xi, y1) + p(xi, y2) + · · · + p(xi, ym)

Trang 12

Tương tự biến ngẫu nhiên Y có bảng phân bố xác suất

P P(Y = y1) P(Y = y2) P(Y = ym) , trong đó

P(Y = yj) = p(x1, yj) + p(x2, yj) + · · · + p(xn, yj)

Trang 13

• Nhắc lại rằng hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập khi và chỉ

khi P(X = a, Y = b) = P(X = a)P(Y = b) với a, b là hai giá

trị bất kỳ của X, Y

Trong trường hợp này thì hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập khi và chỉ khi

P(X = xi, Y = yj) = P(X = xi)P(Y = yj) với mọi i = 1, 2, , n, j = 1, 2, , m

Do đó nếu tồn tại i, j nào đó mà P(X = xi, Y = yj) 6= P(X = xi)P(Y = yj) thì hai biến ngẫu nhiên X, Y không độc lập

Trang 14

• Nhắc lại rằng hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập khi và chỉ

khi P(X = a, Y = b) = P(X = a)P(Y = b) với a, b là hai giá

Trong trường hợp này thì hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập

khi và chỉ khi

Do đó nếu tồn tại i, j nào đó mà P(X = xi, Y = yj) 6= P(X = xi)P(Y = yj) thì hai biến ngẫu nhiên X, Y không độc lập

Trang 15

• Nhắc lại rằng hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập khi và chỉ khi P(X = a, Y = b) = P(X = a)P(Y = b) với a, b là hai giá

Trong trường hợp này thì hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập khi và chỉ khi

Do đó nếu tồn tại i, j nào đó mà

P(X = xi, Y = yj) 6= P(X = xi)P(Y = yj) thì hai biến ngẫu

nhiên X, Y không độc lập

Trang 16

3) Hiệp phương sai và hệ số tương quan

• Hiệp phương sai (hay còn gọi là Covariance) của hai biến ngẫu nhiên X, Y

cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ), trong đó E(XY ) =

n

X

i=1

m

X

j=1

xiyjp(xi, yj)

Trang 17

• Hiệp phương sai (hay còn gọi là Covariance) của hai biến

ngẫu nhiên X, Y

cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ),

trong đó E(XY ) =

n

X

i=1

m

X

j=1

xiyjp(xi, yj)

Trang 18

• Hiệp phương sai (hay còn gọi là Covariance) của hai biến

ngẫu nhiên X, Y

cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ), trong đó E(XY ) =

n

X

i=1

m

X

j=1

xiyjp(xi, yj)

Trang 19

• Hệ số tương quan giữa hai biến ngẫu nhiên X, Y

ρ(X, Y ) = p cov(X, Y )

D(X)pD(Y ) khi D(X) > 0 và D(Y ) > 0

Nếu D(X) = 0 hoặc D(Y ) = 0 thì ta quy ước ρ(X, Y ) = 0

• Với mọi a, b ∈ R, ta có

D(aX + bY ) = a2D(X) + b2D(Y ) + 2ab cov(X, Y )

Trang 20

• Hệ số tương quan giữa hai biến ngẫu nhiên X, Y

ρ(X, Y ) = p cov(X, Y )

D(X)pD(Y )

khi D(X) > 0 và D(Y ) > 0

Nếu D(X) = 0 hoặc D(Y ) = 0 thì ta quy ước ρ(X, Y ) = 0

• Với mọi a, b ∈ R, ta có

D(aX + bY ) = a2D(X) + b2D(Y ) + 2ab cov(X, Y )

Tiêu đề	Vectơ ngẫu nhiên hai chiều
Tác giả	Trần Việt Anh
Trường học	Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên
Chuyên ngành	Xác suất Thống kê
Thể loại	Bài giảng
Năm xuất bản	2020
Thành phố	TP. Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	250,91 KB