Bài giảng Xác suất Thống kê Trường ĐH Nguyễn Tất Thành

HẦN I. XÁC SUẤTCHƯƠNG I. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT§1. GIẢI TÍCH TỔ HỢP1. Quy tắc cơ bản về phép đếm1.1. Quy tắc cộngMột công việc có thể thực hiện theo k phương án độc lậpPhương án thứ nhất có n1 cách thực hiện.Phương án thứ hai có n2 cách thực hiện.……Phương án thứ k có nk cách thực hiện.Khi đó, số cách để hoàn thành công việc này là n n n 1 2 k .Ví dụ 1. Xét các sinh viên khóa mới thuộc khoa Dược của trường đại học X gồm 200 sinh viênchuyên ngành Dược học trong đó có 120 nữ và 170 sinh viên chuyên ngành Điều dưỡng trong đócó 60 nam. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên khóa mới của khoa Dược. Hỏi có bao nhiêu cách đểchọn sinh viên nữ?Giải. Ta có 2 phương án để chọn sinh viên nữ thuộc khoa Dược:Phương án 1: chọn sinh viên nữ ngành Dược học, có n1 120 cáchPhương án 2: chọn sinh viên nữ ngành Điều dưỡng, có n2 110 cáchVậy theo quy tắc cộng có 120 110 230   cách chọn sinh viên nữ thuộc khoa Dược.■

PH ẦN I XÁC SUẤT CHƯƠNG I KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

Khi đó, số cách để hoàn thành công việc này là n1 n2 n k

Ví d ụ 1 Xét các sinh viên khóa mới thuộc khoa Dược của trường đại học X gồm 200 sinh viên

chuyên ngành Dược học trong đó có 120 nữ và 170 sinh viên chuyên ngành Điều dưỡng trong đó

có 60 nam Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên khóa mới của khoa Dược Hỏi có bao nhiêu cách để chọn sinh viên nữ?

Giải Ta có 2 phương án để chọn sinh viên nữ thuộc khoa Dược:

Phương án 1: chọn sinh viên nữ ngành Dược học, có n 1 120 cách

Phương án 2: chọn sinh viên nữ ngành Điều dưỡng, có n 2 110 cách

Vậy theo quy tắc cộng có 120 110 230  cách chọn sinh viên nữ thuộc khoa Dược.■

1.2 Quy t ắc nhân

Một công việc phải thực hiện thông qua k giai đoạn có mối liên hệ với nhau

Giai đoạn 1 có n1 cách thực hiện

Giai đoạn 2 có n2 cách thực hiện

……

Giai đoạn k có n k cách thực hiện

Khi đó, số cách để hoàn thành công việc A là n1 n2 n k

Ví d ụ 2 Từ A đến B có 2 con đường, từ B đến C có 3 con đường

a) Có bao nhiêu cách đi từ A qua B rồi đến C?

b) Người ta mở thêm 2 con đường đi trực tiếp từ A đến C, hỏi khi đó có bao nhiêu cách đi từ

A đến C

Giải

a) Giai đoạn 1 đi từ A đến B có 2 cách, giai đoạn 2 đi từ B đến C có 3 cách Vậy theo quy tắc nhân có 2 3 6 cách đi từ A qua B rồi đến C

b) Phương án 1: đi từ A qua B rồi đến C, theo câu a) có 6 cách,

Phương án 2: đi trực tiếp từ A đến C (không qua B) có 2 cách

Vậy theo quy tắc cộng có 6 2 8  cách đi từ A đến C ■

Cho tập hợp A gồm n phần tử Một bộ có thứ tự gồm k phần tử phân biệt lấy từ nphần tử của

A được gọi là một chỉnh hợp chập kcủa nphần tử

 Một phòng điều trị nội trú ở bệnh viện A có 5 giường trống Hỏi có bao nhiêu cách xếp 3 bệnh nhân vào các giường này biết mỗi giường chỉ chứa không quá 1 người?

4 Hoán v ị

Cho tập hợp A có nphần tử Một dãy gồm tất cả các phần tử của Asắp xếp theo một thứ tự nào

đó được gọi là một hoán vị của nphần tử này

Ví d ụ 5 Tập A{ , , }a b c có các hoán vị là abc acb bac bca cab cba, , , , , ■

Số hoán vị của n phần tử, kí hiệu là P n

Ví d ụ 7 Có 5 mẫu máu cần xét nghiệm nhưng chỉ có đủ hóa chất để xét nghiệm cho 3 mẫu Hỏi

có bao nhiêu cách thực hiện?

Giải Số cách xét nghiệm chính là số cách chọn 3 mẫu máu (không kể thứ tự) từ 5 mẫu máu hay

Ví d ụ 8 Một bệnh viện có 50 bác sĩ Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 bác sĩ để:

a) Lập một hội đồng kiểm kê hàng tháng gồm 1 trưởng, 1 phó và 1 ủy viên?

b) Lập một nhóm tham gia một ca hội chẩn? (vai trò của các thành viên trong nhóm như nhau)

Giải a) Mỗi kết quả chọn ra 1 trưởng, 1 phó và 1 ủy viên từ 50 bác sĩ tương ứng với một cách

chọn một bộ có thứ tự 3 phần tử từ 50 phần tử hay chính là một chỉnh hợp chập 3 của 50 phần tử Vậy số kết quả có thể xảy ra là 3

50

50!

117600(50 3)!

Phép thử là một khái niệm cơ bản của xác suất, nó không được định nghĩa một cách

chính xác Ta hiểu phép thử là một thí nghiệm hay một hành động để quan sát một hiện tượng ngẫu nhiên nào đó, chẳng hạn gieo một con xúc xắc xem xuất hiện mặt mấy chấm, gieo một đồng xu xem xuất hiện mặt sấp hay ngửa, chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ một kho hàng để kiểm tra xem chất lượng tốt hay xấu … là những phép thử

Hiện tượng ngẫu nhiên ta quan sát trong phép thử được gọi là biến cố Mỗi biến cố chính

là một kết quả (kết cục) của phép thử Trong một phép thử có thể có nhiều kết quả xảy ra, có kết quả đơn giản và cũng có kết quả phức hợp Chẳng hạn, khi gieo xúc xắc, nếu ta chỉ quan tâm tới mặt xuất hiện có mấy chấm thì 1, 2, 3, 4, 5, 6 là những kết quả đơn giản nhất; trong khi đó sự xuất hiện của các số chẵn (2, 4, 6) hay lẻ (1, 3, 5) … là những kết quả phức hợp Kết quả đơn giản nhất gọi là các biến cố sơ cấp, tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp được gọi là không gian mẫu

hay không gian các bi ến cố sơ cấp Như vậy, về phương diện tập hợp, biến cố là một tập con của

không gian mẫu Ta thường dùng  để ký hiệu cho không gian mẫu; A B C, , , để ký hiệu cho các biến cố

Ví d ụ 1

1 Gieo một đồng xu một lần, không gian mẫu là  { , }S N

2 Bác sĩ điều trị bệnh cho các bệnh nhân có thể xảy ra các trường hợp: chắc chắn khỏi bệnh, không bao giờ khỏi bệnh, có thể khỏi bệnh

3 Gieo một con xúc xắc, không gian mẫu là  {1,2,3,4,5,6} Gọi A là biến cố “xuất hiện mặt chẵn” thì A {2, 4,6}; các kết quả 2, 4, 6 gọi là các kết quả thuận lợi cho biến cố A; gọi B là biến cố “xuất hiện mặt chia hết cho 3” thì B {3,6}.■

2 Các lo ại biến cố

2.1 Bi ến cố chắc chắn (): Là biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện phép thử

2.2 Bi ến cố không thể ():Là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện phép thử

2.3 Bi ến cố ngẫu nhiên: Là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử, các

biến cố này thường được ký hiệu bởi các chữ cái in hoa: A, B, C, …

Ví d ụ 2 Gieo một con xúc xắc, biến cố “xuất hiện mặt có từ 1 đến 6 chấm” là biến cố chắc chắn;

biến cố “xuất hiện mặt 7 chấm” là biến cố không thể; biến cố “xuất hiện mặt 5 chấm” là biến cố ngẫu nhiên ■

3 M ối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố

3.1 Quan h ệ kéo theo

Ta nói rằng biến cố A kéo theo biến cố B, ký hiệu AB,nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra Hai biến cố A và B được gọi là tương đương, kí hiệu A = B, nếu A xảy ra thì B xảy ra và ngược lại, nghĩa là A  B và B  A

Ví dụ 3 Tung một con xúc xắc, gọi A là biến cố xuất hiện mặt 2 chấm, B là biến cố xuất hiện

mặt chẵn nhỏ hơn 4 chấm, C là biến cố xuất hiện mặt chẵn thì A = B, A C ■

3.2 T ổng các biến cố

Tổng của hai biến cố A và B, kí hiệu là A + B hoặc AB, là biến cố xảy ra khi và chỉ khi

ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra Tổng của hữu hạn biến cố A1 A2 A n

được định nghĩa tương tự

tức là AB =  và A + B =  Khi đó B được gọi là biến cố đối lập (gọi tắt là biến cố đối) của biến cố A và được kí hiệu là A Nói cách khác A và B là hai biến cố đối lập nếu trong một phép

thử chỉ hoặc A hoặc B xảy ra

Ví d ụ 7

1 Một bà mẹ sinh con, biến cố sinh con trai và biến cố sinh con gái là biến cố đối lập

2 Điều trị bệnh cho 1 bệnh nhân Biến cố điều trị khỏi bệnh và biến cố điều trị không khỏi bệnh là hai biến cố đối lập ■

3.6 S ự đồng khả năng của các biến cố

Các biến cố được gọi là đồng khả năng nếu chúng có khả năng xuất hiện như nhau trong phép thử

Ví d ụ 8

1 Gieo một đồng xu cân đối, khi đó khả năng xuất hiện hai mặt sấp, ngửa là như nhau hay

S, N là các biến cố đồng khả năng Cũng vậy gieo một con xúc xắc cân đối ta có 6 biến

cố đồng khả năng là xuất hiện mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6 chấm

2 Trong một bình đựng các viên bi to nhỏ như nhau, nặng nhẹ như nhau, chỉ khác màu sắc Nếu ta lấy ra ngẫu nhiên một viên, không quan tâm tới màu sắc thì các viên bi trong bình

có khả năng được lấy ra như nhau ■

4 Tính ch ất của các phép toán trên biến cố

Giả sử A, B, C là các biến cố Khi đó :

Ví dụ 9 Ba bệnh nhân nặng cùng điều trị tại bệnh viện, gọi A i (i = 1, 2, 3) là biến cố người thứ i

bị cấp cứu trong một giờ Hãy biểu diễn theo các biến cố Ai (i = 1, 2, 3) các biến cố sau đây:

a Trong một giờ không có ai bị cấp cứu (Đs: AA A A1 .2 3)

b Trong một giờ có đúng 1 người bị cấp cứu (Đs: B A A A1 .2 3A A A1 .2 3A A A1 .2 3)

c Trong một giờ có đúng 2 người bị cấp cứu (Đs: CA A A1 2 3A A A1 2 3A A A1 2 3)

d Trong một giờ cả 3 người bị cấp cứu (Đs: DA A A1 2 3)

e Trong một giờ có ít nhất 1 người bị cấp cứu (Đs: E A1A2A3)

f Trong một giờ có ít nhất 1 người không phải cấp cứu (Đs: F A1A2A3).■

 Tìm các cặp biến cố đối nhau trong ví dụ 9?

§3 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT

Xác suất của biến cố là đại lượng đặc trưng cho khả năng xuất hiện của biến cố và được quy ước bao hàm giữa 0 và 1 sao cho biến cố chắc chắn có xác suất bằng 1, biến cố không thể có xác suất bằng 0 Xác suất của biến cố A được ký hiệu là P(A) Sau đây chúng ta sẽ xét một số đình nghĩa xác suất:

1 Định nghĩa về xác suất theo quan điểm cổ điển

Giả sử một phép thử có n trường hợp (biến cố sơ cấp) đồng khả năng có thể xảy ra, trong đó có

m trường hợp thuận lợi cho biến cố A Khi đó xác suất của biến cố A được xác định bằng công

thức:

𝑃(𝐴) = 𝑚𝑛 = Số trường hợp thuận lợi cho ASố trường hợp có thể xảy ra

Ví d ụ 1 Một gia đình có 3 con Tính xác suất để gia đình đó có 2 con gái (Giả sử xác suất sinh

con trai và con gái là như nhau)

TTT Trong đó có m  3 trường hợp thuận lợi để có 2 con gái Vậy

3( )

Ví d ụ 3 Một phòng khám có 6 bác sĩ nam và 4 bác sĩ nữ Chọn ngẫu nhiên 2 bác sĩ tham gia hội

thảo Tính xác suất của các biến cố:

a) Số trường hợp thuận lợi cho A (chọn 2 bác sĩ nam trong 6 bác sĩ nam) là 2

6

m C Vậy2

6

2

10

1( )

3

C

P A

b) Công việc “chọn 1 bác sĩ nam và 1 bác sĩ nữ” gồm 2 giai đoạn; giai đoạn thứ nhất chọn 1 bác

sĩ nam trong 6 nam có 1

6

C cách, giai đoạn hai chọn 1 bác sĩ nữ trong 4 bác sĩ nữ có 1

4

C cách Theo quy tắc nhân có 1 1

6 4

C C trường hợp thuận lợi cho B Vậy 61 41

2 10

(B)

15

C C P

c) ĐS: 61 41 62

2 10

2 Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê

Định nghĩa Giả sử lặp lại n lần một phép thử để quan sát biến cố A ta thấy A xuất hiện m lần thì

tỷ số f n m

n được gọi là tần suất xuất hiện biến cố A trong loạt thử này Khi số lần thử n thay đổi thì tần suấtf nthay đổi một cách ngẫu nhiên nhưng người ta chứng minh được rằng khi n đủ lớn thì f ndần ổn định về một hằng số p Ta định nghĩa xác suất của biến cố A chính là hằng số

p này Nói cách khác, xác suất là giới hạn của tần suất khi số phép thử tăng lên vô hạn

Người thực hiện Số lần gieo (n) Số lần sấp (m) Tần suất (m/n)

2 Để kiểm tra chất lượng của một dây chuyền sản xuất ra một sản phẩm, người ta lấy ra 1000 sản phẩm Sau khi kiểm tra thấy có 50 phế phẩm, khi đó ta có thể nói xác suất xuất hiện phế phẩm khi sản xuất một sản phẩm là 5% hay 50 1

1000 20

Việc định nghĩa xác suất bằng thống kê giúp ta có thể tìm ra quy luật diễn biến phức tạp của thời tiết, tỉ lệ phế phẩm, lấy kích thước quần áo may sẵn, nghiên cứu công hiệu của một loại thuốc nào đó v.v…

Ví d ụ 1 Ở một địa phương tỷ lệ người mắc bệnh tim là 9%, mắc bệnh huyết áp là 12%, mắc cả

hai bệnh là 7% Chọn ngẫu nhiên 1 người, tính xác suất người này mắc ít nhất một trong hai loại

Giải Gọi A, B lần lượt là các biến cố người được chọn bị mắc bệnh tim, huyết áp thì A B chính là biến cố người đó mắc ít nhất một trong hai loại bệnh Ta có:

P A B P A P B P AB     ■

Ví d ụ 2 Một phòng khám có 6 bác sĩ nam và 4 bác sĩ nữ Chọn ngẫu nhiên 2 bác sĩ tham gia hội

thảo Tính xác suất có ít nhất một bác sĩ nam

Giải Ở câu c, ví dụ 3, §3 ta đã dùng định nghĩa cổ điển tính trực tiếp được xác suất lấy được ít

nhất 1 bác sĩ nam là 13

15 Bây giờ ta sẽ dùng công thức cộng hai biến cố xung khắc để giải quyết: gọi A = chọn được 1 nam + 1 nữ, B = chọn được 2 nam, C = chọn được ít nhất 1 bác sĩ nam Thế thì C = A + B và do A, B xung khắc nên ta có 61 14 62

Ví d ụ 3 Một hộp có 6 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ Lấy lần lượt không hoàn lại 2 viên (mỗi lần lấy

1 bi) Tính xác suất để lần thứ hai lấy được bi xanh biết lần thứ nhất lấy được bi xanh

Giải Gọi A là biến cố lần thứ nhất lấy được bi xanh, B là biến cố lần thứ hai lấy được bi xanh

Nếu lần thứ nhất lấy được bi xanh, tức A xảy ra thì sau lần lấy thứ nhất trong bình còn lại 5 viên xanh và 4 viên đỏ Khi đó, xác suất để lần 2 lấy được bi xanh là P B( / )A 5 / 9.■

 Trong ví dụ 3, tính xác suất lần 2 lấy được bi xanh biết lần 1 lấy được bi đỏ?

Ví d ụ 4 Xét nghiệm một nhóm gồm 40 nữ và 60 nam thấy 10 nữ và 15 nam có nhóm máu O

Chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm, tính các xác suất:

a) Chọn được nữ

b) Chọn được người có nhóm máu O

c) Chọn được nữ có nhóm máu O

d) Chọn được người có nhóm máu O biết người này là nữ

e) Chọn được nữ biết người này có nhóm máu O

100

P A 

b) Gọi B = chọn được người có nhóm máu O, (B) 25

10( / )

2.1.2 Công th ức xác suất có điều kiện

Trong các ví dụ trên ta thấy có thể dùng định nghĩa xác suất cổ điển để tính xác suất có điều kiện với lưu ý rằng số kết cục đồng khả năng có thể xảy ra bị thu hẹp lại khi “điều kiện” đã xảy ra Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp không thể tính trực tiếp xác suất có điều kiện từ định nghĩa, khi đó ta có thể dùng công thức sau:

( )( / )

Ví d ụ 5 Một bệnh nhân trải qua 2 xét nghiệm y khoa liên tiếp Biết xác suất người này có kết

quả âm tính ở xét nghiệm thứ nhất là 0,8; âm tính ở cả hai xét nghiệm là 0,6 Tính xác suất anh ta

có kết quả âm tính ở xét nghiệm thứ hai biết xét nghiệm thứ nhất cho kết quả âm tính

Giải Gọi A là biến cố xét nghiệm 1 âm tính, B là biến cố xét nghiệm 2 âm tính Theo đề bài ta

có P A( ) 0,8; ( P AB) 0,6 và ta cần tính P(B/ A) Áp dụng công thức xác suất có điều kiện ta

2.2 Công th ức nhân xác suất

2.2.1 Công th ức nhân tổng quát

Từ công thức xác suất có điều kiện ta dễ dàng suy ra công thức sau đây được gọi là công thức nhân:

( ) ( ) ( / ) ( ) ( / )

P AB P A P B A P B P A B Tổng quát, xác suất của tích n biến cố A A1, , ,2 A n được tính bởi công thức :

( n) ( ) ( / ) ( / ) ( n / n )

Ví d ụ 6 Một hộp có 6 viên bi đỏ, 4 viên xanh Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai lần, mỗi lần 1 bi,

không hoàn lại Tính xác suất :

a) Lần 1 lấy được bi đỏ và lần 2 lấy được bi xanh

b) Lần 1 lấy được bi xanh và lần 2 lấy được bi đỏ

c) Lấy được 1 bi đỏ và 1 bi xanh

d) Cả 2 lần đều lấy được bi đỏ

Giải Gọi A i  i( 1, 2) là biến cố lần thứ i lấy được bi đỏ

Ví d ụ 7 Một người bán thuốc tây để 5 loại thuốc khác nhau vào 5 hộp giống nhau nhưng sơ suất

không dán nhãn bên ngoài hộp Anh ta cần tìm 1 loại thuốc trong 5 loại để bán cho khách hàng nên phải mở thử lần lượt từng hộp để lấy loại thuốc đó Tính xác suất người này phải mở thử 3 hộp mới lấy được loại thuốc cần bán

thử 3 hộp mới lấy được đúng thuốc có nghĩa là 2 lần mở đầu không đúng thuốc và lần thứ 3 đúng Biến cố này chính là A A A1 .2 3 Theo công thức nhân ta có :

Định nghĩa Hai biến cố được gọi là độc lập với nhau nếu sự xảy ra hay không của biến cố này

không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố kia

Ví d ụ 8

1 Gieo hai đồng xu, gọi A = ‘‘đồng xu thứ nhất sấp’’, B = ‘‘đồng xu thứ hai sấp’’

Rõ ràng đồng xu thứ nhất sấp hay ngửa, tức A có xảy ra hay không cũng không ảnh hưởng đến xác suất đồng thứ hai sấp (biến cố B), nên A và B độc lập

2 Trong ví dụ 3, phần 2.1 (xác suất có điều kiện) ta thấy nếu A xảy ra thì xác suất của B là ( / ) 5 / 9

P B A còn nếu A không xảy ra thì xác suất của B là P B( / )A 6 / 9 Như vậy, hai biến cố A và B không độc lập ■

Nh ận xét Nếu hai biến cố A, B độc lập thì các cặp biến cố sau cũng độc lập : A và B ; A và

B ; A và B cũng độc lập

Tổng quát, ta định nghĩa họ các biến cố { , , }A1 A n được gọi là độc lập (hay còn gọi độc lập toàn phần) nếu sự xảy ra hay không của tích một nhóm các biến cố bất kỳ không ảnh hưởng tới xác suất của các biến cố còn lại

b) Công th ức nhân trong trường hợp các biến cố độc lập

Ví d ụ 9 Hai bệnh nhân cùng được làm một xét nghiệm, người thứ nhất có khả năng dương tính

là 0,7; người thứ hai có khả năng dương tính là 0,8 Tính xác suất:

a) Cả hai đều có kết quả dương tính

b) Một người có kết quả dương tính và một người âm tính

c) Có ít nhất một người có kết quả dương tính

Giải Gọi A i  i( 1, 2) là biến cố người thứ i có kết quả xét nghiệm dương tính Theo đề bài ta có

Ví d ụ 10 Một hộp có 6 viên bi đỏ, 4 viên xanh Lấy ngẫu nhiên hai lần, mỗi lần 1 bi, có hoàn lại

(lấy ra bi thứ nhất quan sát xem đỏ hay xanh trả lại vào hộp rồi mới lấy bi thứ hai) Tính xác suất :

a) Lần 1 lấy được bi đỏ và lần 2 lấy được bi xanh

b) Lần 1 lấy được bi xanh và lần 2 lấy được bi đỏ

c) Lấy được 1 bi đỏ và 1 bi xanh

Giải Gọi A i  i( 1, 2) là biến cố lần thứ i lấy được bi đỏ Khác với ví dụ 6, do lấy có hoàn lại nên các biến cố A i  i( 1, 2)độc lập với nhau và ta tính được các xác suất như sau :

Ví d ụ 11 Ba bệnh nhân nặng cùng điều trị tại bệnh viện, xác suất mỗi người phải cấp cứu trong

một giờ lần lượt là 0.7 ; 0.8 ; 0.9 Tính xác suất trong một giờ nào đó:

a Ta có A A A A1 2 3 A A A1 2 3 A A A1 2 3 là biến cố có đúng 1 người bị cấp cứu trong 1 giờ

3 Công th ức xác suất đầy đủ và công thức Bayes

3.1 Công th ức xác suất đầy đủ

Giả sử A A1, 2, ,A n là họ đầy đủ và xung khắc từng đôi và B là một biến cố bất kỳ (thuộc cùng phép thử) Ta có:

Ta hãy hình dung một phép thử có một và chỉ một trong ntrường hợp ( ,A A1 2, ,A n) có thể xảy

ra, nếu biết một trường hợp bất kỳ nào từ A1 đến A nxảy ra ta đều có ngay xác suất của biến cố B nhưng lại không biết trường hợp nào trong chúng xảy ra Khi đó để tính P(B) ta sẽ dùng công thức xác suất đầy đủ với họ đầy đủ là { ,A A1 2, ,A n}

Ví d ụ 12 Có 2 hộp chứa các lọ thuốc Tỷ lệ lọ thuốc hỏng ở hộp thứ nhất là 3%, hộp thứ hai là

5% Chọn ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ đó lấy ra 1 lọ Tính xác suất gặp lọ hỏng

Ví dụ 13 Ở một địa phương tỷ lệ người mắc bệnh A là 1/1000, có một loại xét nghiệm mà người

có bệnh A khi xét nghiệmluôn cho phản ứng dương tínhnhưng ngườikhông có bệnh A khi xét nghiệm vẫn có thể cho kết quả dương tính với xác suất 0,05 Chọn ngẫu nhiên 1 người ở địa phương này làm xét nghiệm, tính xác suất gặp kết quả dương tính

2

A là biến cố người được chọn không bị bệnh A

B là biến cố người được chọn có kết quả xét nghiệm dương tính

Ta có A A1, 2 tạo thành nhóm đầy đủ và theo đề bài  1  2

;

Máy xét nghiệm cho người có bệnh luôn được kết quả dương tính tức là P B A  / 1 1 ;

Máy xét nghiệm cho người không bệnh cho kết quả dương tính với xác suất 0,05 tức là

Công thức này được gọi là công thức Bayes

Công thức Bayes dễ dàng được suy ra từ công thức xác suất có điều kiện, công thức nhân và công thức xác suất đầy đủ (bạn đọc hãy tự chứng minh !)

Ví d ụ 14 Ở ví dụ 12, nếu chọn phải lọ thuốc hỏng, tính xác suất để lọ này thuộc hộp thứ nhất ?

1

1.0, 03

Ví d ụ 15.Tỷ lệ người mắc bệnh A trong cộng đồng là 1/1000, có một loại xét nghiệm mà người

mắc bệnh khi xét nghiệm luôn cho phản ứng dương tính nhưng người không mắc bệnh khi xét nghiệm vẫn có thể cho kết quả dương tính với tỷ lệ 5% Hỏi khi một người xét nghiệm bị phản ứng dương tính thì khả năng mắc bệnh của người đó là bao nhiêu?

Giải Bài này giống ví dụ 13, tuy nhiên ở đây biết biến cố B (dương tính) đã xảy ra Ta cần tính

xác suất người đó mắc bệnh trong điều kiện xét nghiệm kết quả dương tính:

1

1.1

Như vậy, cho dù kết quả dương tính nhưng chỉ có 1,96% khả năng người đó mắc bệnh

(Đây là bài toán được các nhà toán học Cassels, Shoenberger và Grayboys đem đố 60 sinh viên

và cán bộ y khoa Havard Medical School năm 1978 và rất tiếc, hầu hết trả lời là 100% - 5% = 95%).■

Ý nghĩa: Nếu như công thức xác suất đầy đủ cho ta cách tính xác suất của một biến cố B dựa

vào hệ đầy đủ { ,A A1 2, ,A n}khi đã biết các P A( )i thì công thức Bayes giúp ta tính (lại) xác suất

của các biến cố A i i; 1,n trong điều kiện B đã xảy ra, tức là tính P A B( / )i Các xác suất ( )i

P A gọi là các xác suất tiên nghiệm; các xác suất P A B( / )i gọi là các xác suất hậu nghiệm Công thức Bayes còn gọi là công thức xác suất hậu nghiệm

4 Công th ức Bernoulli

4 1 Công th ức Bernoulli

Dãy phép thử Bernuolli là dãy phép thử độc lập (xác suất của mỗi biến cố trong bất kỳ một phép thử nào đều không phụ thuộc vào kết quả của các phép thử còn lại), cùng quan sát biến cố A và trong mỗi phép thử, biến cố A xảy ra với xác suất bằng p không đổi

Chẳng hạn gieo một con xúc xắc cân đối 10 lần, quan sát biến cố xuất hiện mặt 6 chấm (biến cố A) là dãy 10 phép thử Bernoulli với 1

6

p  hay một người bắn 5 viên đạn vào một tấm bia, xác suất bắn trúng bia mỗi lần bắn bằng 0,8, là dãy phép thử Bernoulli

Giả sử có dãy n phép thử Bernoulli Ta gọi mỗi lần A xảy ra là một thành công Khi đó xác suất

để có k(0 k n)thành công tức biến cố A xảy ra k lần trong n phép thử này, ký hiệu là ( , , )

B k n p (hoặc đơn giản P k n( ) khi không có sự nhầm lẫn về p), được tính bởi công thức:

( , , ) k k n k

n

B k n p C p q , với q  1 p.Công thức này được gọi là công thức Bernoulli

Từ đây suy ra xác suất xuất hiện biến cố A từ k1 đến k2 lần là:

Ví d ụ 16 Đề thi trắc nghiệm gồm 10 câu, mỗi câu có 4 phương án lựa chọn, trong đó có 1

phương án đúng Một sinh viên làm bài thi bằng cách chọn hú họa cả 10 câu

a) Tính xác suất sinh viên này làm bài đúng được 5 câu

b) Nếu làm đúng từ 5 câu trở lên thì đậu, tính xác suất sinh viên thi đậu

Bernoulli, xác suất của biến cố“chọn đúng” (biến cố A) trong mỗi lần thử là 1

4

p  a) Xác suất sinh viên làm đúng được 5 câu là

5 5 5

a) Có đúng 2 nữ được chọn

b) Có ít nhất 1 nữ được chọn

Bài 2 Giả sử trong phòng thí nghiệm có 3 công việc khác nhau phải làm và có 5 người làm việc

đó Hỏi có bao nhiêu cách để giao 3 công việc này cho 5 người?

Bài 3 Trong nghiên cứu về mối liên quan giữa tiêm vaccine cúm và bệnh cúm, nhóm nghiên cứu điều tra thông tin của 480 người trong đó có 200 người bị cúm Khi hỏi về tình trạng tiêm vaccine cúm (có / không), kết quả cho thấy, trong nhóm bị cúm có 20 người đã tiêm vaccine và trong nhóm không bị cúm có 100 người đã tiêm vaccine Hãy tính:

a) Xác suất chọn một người bị cúm

b) Xác suất chọn một người đã tiêm vaccine

c) Xác suất để chọn một người vừa bị cúm vừa đã tiêm vaccine

d) Xác suất để chọn một người vừa bị cúm nếu họ chưa tiêm vaccine

Bài 4 Tung 2 con súc sắc cân đối Tính xác suất của các biến cố sau:

a) Tổng số chấm của hai con xúc xắc bằng 8

b) Tổng số chấm của hai con xúc xắc không quá 5

c) Hai con xúc xắc có số chấm bằng nhau

d) Số chấm của 2 con xúc xắc chênh lệch nhau 1 đơn vị

Bài 5 Một người để quên chìa khóa phòng, bèn mượn chùm chìa khóa của bạn trọ cùng phòng

để mở cửa Biết rằng chùm này có 5 chìa, nhưng không biết là chìa nào bèn chọn ngẫu nhiên lần lượt từng chìa loại một để tra vào ổ Tính xác suất:

a) Người này mở được khóa ngay lần thử đầu tiên

b) Người này mở được khóa sau 3 lần thử

Bài 6 Có 6 khách hàng không quen biết nhau cùng vào mua hàng ở một cửa hàng có 5 quầy hàng Biết sự lựa chọn quầy hàng của các khách hàng là độc lập Tính xác suất:

a) Cả 6 khách hàng vào cùng 1 quầy hàng

b) Có 3 người vào cùng 1 quầy

c) Có đúng 2 quầy có khách

d) Mỗi quầy đều có người mua

Bài 7 Một phân xưởng có 3 máy hoạt động độc lập Xác suất bị hỏng trong 1 ca làm việc của các máy tương ứng là 0,01; 0,02; 0,03 Tính xác suất:

a) Cả 3 máy đều không hỏng trong 1 ca làm việc

b) Có 2 máy bị hỏng trong 1 ca làm việc

c) Có ít nhất 1 máy không hỏng trong 1 ca làm viêc

d) Có 1 máy bị hỏng trong 1 ca làm việc

e) Máy thứ 3 bị hỏng, biết rằng có 1 máy bị hỏng trong 1 ca làm việc

Bài 8 Một hộp có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại lần lượt từng sản phẩm để kiểm tra cho đến khi lấy đủ 2 phế phẩm thì dừng lại

a) Tính xác suất việc kiểm tra dừng lại sau lần lấy thứ 2

b) Tính xác suất việc kiểm tra dừng lại sau lần lấy thứ 4

Bài 9 Một hộp có 10 phiếu trong đó có 2 trúng thưởng Có 10 người lần lượt bốc thăm Ai được phiếu trúng sẽ có phần thưởng Hỏi: bốc trước hay sau có lợi?

Bài 10 Hộp thứ nhất có 8 chính phẩm và 6 phế phẩm Hộp thứ hai có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm

1 Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm

a) Tính xác suất lấy được 2 chính phẩm

b) Biết rằng có 1 chính phẩm trong 2 sản phẩm lấy ra, tính xác suất phế phẩm được lấy ra từ hộp thứ nhất

2 Chọn ngẫu nhiên một hộp, rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm

a) Tính xác suất lấy được chính phẩm

b) Biết rằng đã lấy được chính phẩm, nhiều khả năng nhất hộp nào được chọn?

3 Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai, rồi từ hộp thứ hai lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm

a) Tính xác suất lấy được phế phẩm ở hộp thứ hai

b) Biết rằng lấy được phế phẩm ở hộp thứ hai, tính xác suất lấy được phế phẩm ở hộp thứ nhất

Bài 11 Tỉ lệ phế phẩm của một lô hàng là 3%

a) Chọn ngẫu nhiên có hoàn lại lần lượt từng sản phẩm cho đến khi gặp phế phẩm thì dừng Tính xác suất phải chọn đến lần thứ 4

b) Chọn ngẫu nhiên có hoàn lại lần lượt từng sản phẩm từ lô hàng Phải chọn bao nhiêu lần để xác suất chọn được ít nhất 1 phế phẩm không nhỏ hơn 90%

Bài 12 Một máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm Xác suất máy sản xuất ra phế phẩm là 0,05 Tính xác suất:

c) Trong 10 sản phẩm do máy sản xuất ra có 3 phế phẩm

d) Trong 10 sản phẩm do máy sản xuất ra có ít nhất 1 phế phẩm

e) Cần cho máy sản xuất tối thiểu bao nhiêu sản phẩm để xác suất có phế phẩm tối thiểu

b) Có 7 sản phẩm loại A trong số sản phẩm lấy ra

c) Có ít nhất 1 sản phẩm loại A trong số sản phẩm lấy ra

Bài 14 Một hộp có 10 phiếu trong đó có 2 phiếu trúng thưởng Có 3 người lần lượt lấy ngẫu nhiên mỗi người 1 phiếu Tính xác suất:

a) Người thứ 3 lấy được phiếu trúng thưởng

b) Người thứ 3 lấy được phiếu trúng thưởng biết trong 2 người đầu đã có 1 người lấy được phiếu trúng thưởng

c) Giả sử người thứ 3 lấy được phiếu trúng thưởng thì khả năng người thứ nhất lấy được phiếu trúng thưởng là bao nhiêu?

Bài 15 Có 3 hộp chứa các lọ thuốc Tỷ lệ lọ thuốc hỏng ở hộp thứ 1 là 1%, ở hộp thứ 2 là 0,5%, hộp thứ 3 là 1,5%

1 Chọn ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ đó lấy ra 1 lọ Tính xác suất:

a) Lọ lấy ra là lọ hỏng

b) Lọ lấy ra ở hộp thứ 3 biết rằng lấy được lọ không bị hỏng

2 Chọn ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ đó lấy ra 5 lọ Tính xác suất:

a) Cả 5 lọ lấy ra đều không bị hỏng

b) Có ít nhất một lọ không bị hỏng

Bài 16 Một phân xưởng có 3 máy cùng sản xuất một loại sản phẩm Sản lượng của các nhà máy sản xuất ra chiếm tỉ lệ 35%; 40%; 25% toàn bộ sản lượng của phân xưởng Tỉ lệ phế phẩmcủa các máy này tương ứng là 1%;2%; 1,5% Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm của phân xưởng để kiểm tra

a) Tính xác suất để lấy được phế phẩm

b) Giả sử sản phẩm lấy ra là phế phẩm, nhiều khả năng sản phẩm đó do máy nào sản xuất ra?

Bài 17 Một hộp có 15 sản phẩm trong đó có 10 sản phẩm loại I và 5 sản phẩm loại II Khách hàng thứ nhất mua ngẫu nhiên 2 sản phẩm Sau đó khách hàng thứ 2 mua ngẫu nhiên 2 sản phẩm Tính xác suất trong số sản phẩm người thứ 2 mua có 1 sản phẩm loại II

Bài 18 Trong kho có 15 máy tính Trong đó có 9 máy còn mới và 6 máy đã qua sử dụng Lần đầu tiên người ta lấy ngẫu nhiên ra 3 máy sử dụng, sau đó trả lại trong kho Lần thứ 2 cũng lấy ngẫu nhiên 3 máy ra sử dụng Tính xác suất trong lần thứ 2 có máy đã qua sử dụng

Bài 19 Một dân số có 45% đàn ông và 55% phụ nữ Tỉ lệ loạn sắc của đàn ông là 4% và của phụ

nữ là 0,5% Chọn ngẫu nhiên một người trong số đó

a) Tính xác suất người này bị loạn sắc

b) Nếu người được chọn bị loạn sắc, tính khả năng người này là đàn ông

CHƯƠNG II: ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

Hiện tượng ngẫu nhiên có thể có biểu hiện về mặt định tính (bóng đèn có thể cháy sáng hoặc không cháy sáng; lấy được bi xanh hay đỏ; bắn trúng hay không trúng mục tiêu,…) đó là các biến cố ngẫu nhiên ta đã biết ở chương trước; hoặc về mặt định lượng (con xúc xắc xuất hiện mặt 2 chấm hay 3 chấm,v.v ) Trong chương này ta nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên biểu hiện về mặt định lượng hay những con số, những số này được gọi là các đại lượng ngẫu nhiên

1 Định nghĩa.Đại lượng ngẫu nhiên hay biến ngẫu nhiên là đại lượng lấy giá trị là số thực, tùy

thuộc vào kết quả ngẫu nhiên của phép thử Thông thường kí hiệu X,Y,Z là đại lượng ngẫu nhiên, dùng các chữ nhỏ để ký hiệu các giá trị cụ thể:

Có hai lo ại đại lượng ngẫu nhiên:

Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: là loại chỉ nhận hữu hạn hoặc đếm được các giá trị Nếu mô tả các

giá trị mà đại lượng ngẫu nhiên này nhận được trên trục số thực ta được các điểm “cách quãng” nhau Chẳng hạn, gọi X là số chấm xuất hiện khi tung một con xúc xắc thì X nhận một trong các giá trị (rời rạc) 1, 2, 3, 4, 5, 6 Gọi Y là số lần sấp khi gieo một đồng xu 2 lần thì Y nhận một trong các giá trị 0, 1, 2; gọi Z là số sinh viên vắng mặt trong một buổi học ở một lớp sỉ

số 50 sinh viên thì Z nhận giá trị ngẫu nhiên là các số nguyên từ 0 đến 50; …

Ví dụ:

- Số sinh viên học y khoa trong một năm: x = 0, 1, 2, …

- Nhịp tim của một người

- Số lượng vi khuẩn trong mỗi cm3 nước uống, số hồng cầu, số bạch cầu của một người

Đại lượng ngẫu nhiên liên tục: là đại lượng ngẫu nhiên mà các giá trị của nó lấp đầy một hoặc

một số khoảng nào đó trên trục số thực , hoặc toàn bộ trục số thực

Chẳng hạn nhiệt độ tại một thời điểm trong một ngày là một đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị trên đoạn [cmin;cmax] với cmin;cmax lần lượt là nhiệt độ thấp nhất và cao nhất trong ngày hay thời gian hoạt động bình thường của một bóng đèn điện tử; khoảng thời gian giữa những người đến khám tại một bệnh viện: 0 ≤ x < ∞; Độ di về thời gian từ khi phẫu thuật đến khi hồi phục của một ca phẫu thuật cắt amidan; Một người có chiều cao 160 cm là người có chiều cao đo được

từ trên 159,5 cm đến dưới 160,5 cm nếu chấp nhận sai lệch 0,5cm Như vậy chiều cao là đại lượng ngẫu nhiên liên tục Tương tự: cân nặng, các kích thước đo được của cơ thể … là các đại lượng ngẫu nhiên liên tục

2 Phân ph ối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên

Để xác định một đại lượng ngẫu nhiên, không những chúng ta phải biết đại lượng ngẫu nhiên đó

có thể nhận những giá trị nào mà còn phải biết đại lượng ngẫu nhiên này nhận giá trị tại một

điểm hay trên một khoảng với xác suất bằng bao nhiêu

1, 2 n

x x x

a) B ảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc gồm 2 dòng; dòng trên liệt kê các giá trị mà biến ngẫu nhiên có thể nhận (thường theo thứ tự tăng dần), dòng dưới ghi các xác suất để biến ngẫu nhiên nhận những giá trị tương ứng với dòng trên

Ví d ụ 2 Giả sử tỉ lệ bệnh B trong dân số là 0,2 Quan sát ngẫu nhiên 3 người Gọi X là số người

bệnh Hãy lập bảng phân phối xác suất của X

b) Hàm m ật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục

Đối với biến ngẫu nhiên liên tục X, nó có thể nhận vô hạn (không đếm được) giá trị nên xác suất

để nó nhận giá trị tại một điểm bằng 0 Do đó ta quan tâm đến xác suất đểX nhận giá trị trên khoảng a b, nào đó Nếu có hàm số f x( ) xác định trên thỏa mãn các tính chất sau đây:

thì hàm số này được gọi là hàm mật độ xác suất củaX

Nh ận xét: Vì xác suất tại một điểm của biến ngẫu nhiên liên tục bằng 0 nên:

4.Đối với biến ngẫu nhiên liên tục, nếu F khả vi tại điểm x thìF x( ) f x( ).

H ệ quả Nếu X liên tục thì

P a X b P a X b P a X b P a X b F b F a

Ý nghĩa: Hàm phân phối xác suất phản ánh mức độ tập trung xác suất về phía bên trái của điểm

x, cụ thể giá trị F x( ) cho biết có bao nhiêu phần một đơn vị xác suất trong khoảng ( , )x , vì vậy, hàm phân phối còn được gọi là hàm tích lũy xác suất trái

§2 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

Ví dụ 1 a)Biến ngẫu nhiên rời rạcX có bảng phân phối xác suất:

Ví d ụ 2 a) Với biến ngẫu nhiên cho trong ví dụ 1a ta có:

 Trong kĩ thuật, phương sai đặc trưng cho độ sai số của thiết bị Trong kinh doanh, phương sai đặc trưng cho độ rủi ro của các quyết định

 Cho các biến ngẫu nhiên X và Y có bảng phân phối xác suất:

P 0,99 0,01

Y -0,31 -0,29

Tính kỳ vọng, phương sai và so sánh sự phân tán của chúng

Tính chất của phương sai

Như vậy, ( )X , E(X) và X có cùng đơn vị đo, trong khi ( )X vẫn có thể đo lường độ phân tán giá trị của X quanh E(X)

Ví d ụ 4 Một nghiên cứu y học cho biết xác suất thành công của phép hóa trị khi điều trị ung thư da

là 70% Giả sử có 5 bệnh nhân điều trị bằng hóa trị và đặt X là số người điều trị thành công trong 5 người, ta có bảng sau:

P 0,002 0,029 0,132 0,309 0,360 0,168

Tìm kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X

4 Mode

Mode của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là Mod(X), còn được gọi là giá trị tin chắc nhất hay giá trị có

khả năng nhất của X, được xác định như sau

 Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì Mod(X) là giá trị có xác suất lớn nhất

 Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tụcthì Mod(X) là giá trị làm cho hàm mật độ đạt cực đại

Ví dụ 5 a)Biến ngẫu nhiên rời rạcX có bảng phân phối xác suất:

P 0.1 0.4 0.3 0.2 Khi đó Mod(X) = 0

5 Trung vị (Median): Trung vị của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là Med(X), là giá trị của biến ngẫu

nhiên X chia phân phối thành hai phần có xác suất bằng nhau

 Với biến ngẫu nhiên rời rạc:

Khi n 1 :X ~ (1, )B p thì X còn được gọi là có phân phối 0–1 hay phân phối Bernoulli, kí hiệu X ~ ( ).A p

suất xuất hiện A trong mỗi phép thử P A( ) p thì X ~ ( , )B n p

Ví d ụ 1 Một phương pháp điều trị mới có tỷ lệ khỏi bệnh là 0,8 Điều trị ngẫu nhiên 50 người, tính

Các số đặc trưng của phân phối nhị thức: Nếu X ~ ( , )B n p thì

 E X( ) np

 Var X( ) npq

 np q (n 1)p 1 Mod( )X (n 1)p np q 1, với q 1 p

Ví dụ 2 Một phương pháp điều trị mới có tỷ lệ khỏi bệnh là 0,75 Điều trị ngẫu nhiên 50 người

a) Tính số bệnh nhân trung bình khỏi bệnh

b) Tính số bệnh nhân khỏi bệnh nhiều khả năng nhất

Giải Gọi X là số người khỏi bệnh trong 50 người được điều trị bằng phương pháp mới

Ta có X~B(50; 0,75)

a) Số bệnh nhân trung bình khỏi bệnh E X( ) 50.0,75 37,5

b) Số số bệnh nhân khỏi bệnh nhiều khả năng nhất

50.0,75 0,25 Mod( )X 50.0,75 0,25 1

Suy ra 37,25 Mod( )X 38,25 hay Mod( )X 38

Vậy số số bệnh nhân khỏi bệnh nhiều khả năng nhất là 38 người

2 PHÂN PHỐI SIÊU BỘI

Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X có phân phối siêu bội với tham số N N n, A, , kí hiệu

nhiên nphần tử từ tổng thể Gọi Xlà số phần tử có tính chất A trong nphần tử lấy ra Khi đó, Xcó phân phối siêu bội, ~ ( ,X H N N n A, )

Ví dụ 3 Xét nghiệm nhóm máu cho 100 người, trong đó có 48 người có nhóm máu O Mỗi lần xét

nghiệm cho 10 người

a) Tính xác suất có 5 người có nhóm máu O

b) Tính xác suất có ít nhất 1 người có nhóm máu O

c) Tính người có nhóm máu O trung bình trong 10 người làm xét nghiệm

a)

5 5

48 52 10 100

Ví dụ 4 Một kiện hàng gồm 1000 sản phẩm, trong đó có 700 sản phẩm loại I và 300 sản phẩm loại

II Lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm từ kiện để kiểm tra Tính xác suất để có tối đa 2 sản phẩm loại II trong 10 sản phẩm lấy ra

Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham số ( 0), kí hiệu

Mô hình phân phối: Gọi X là số lần xuất hiện của một biến cố A tại những thời điểm ngẫu nhiên

trong khoảng thời gian t t1, 2 thỏa mãn 2 điều kiện sau

 Số lần xuất hiện của biến cố A trong khoảng thời gian này không ảnh hưởng đến xác suất

xuất hiện biến cố A trong khoảng thời gian tiếp theo

 Số lần xuất hiện biến cố A trong một khoảng thời gian bất kỳ thì tỉ lệ với độ dài của

khoảng thời gian đó

Khi đó, X ~ ( ),P  x t(2 t1),  được gọi là cường độ xuất hiện A

Số lần xuất hiện một sự kiện ngẫu nhiên trong một khoảng thời gian nhất định chẳng hạn số vụ tai nạn xảy ra tại một địa điểm nào đó trong một ngày, số cuộc điện thoại tại một trạm trong một đêm,

số khách hàng vào một hệ thống dịch vụ trong một buổi sáng, số trẻ em sinh đôi trong 1 năm tại bệnh viên X, số sản phụ đến sinh trong một thời điểm,… là những biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson

Các số đặc trưng Nếu X ~ ( )P thì

 E X( ) Var( )X

 1 Mod( )X

Ví dụ 5 Trong một bệnh viện phụ sản, số sản phụ sinh trong 1 giờ có phân phối Poisson với trung

bình là 4 Tính xác suất trong 1 giờ có:

c) Trong 1 giờ trung bình có 4 sản phụ đến sinh nên trong 30 phút trung bình có 2 sản phụ đến sinh

Gọi Y là số sản phụ đến sinh trong 30 phút thì Y có phân phối Poisson, Y ~ (2)P

2 2.2

Ý nghĩa trong thực hành tính toán:

1 Nếu X ~ ( , )B n p với n khá lớn; p khá bé (thông thường, khi n 50;p 0,1) thì

Ví dụ 6 Trong một đợt tiêm chủng cho 2000 trẻ em ở một vùng dân cư Biết xác suất 1 trẻ bị phản

ứng với thuốc khi tiêm là 0,001 Tính xác suất trong 2000 trẻ có 5 trẻ bị phản ứng khi tiêm thuốc

thức, X ~ (2000;0, 001)B Dùng công thức xác suất của phân phối nhị thức ta có xác suất cần tìm là

2000( 5) C 0, 001 0, 999

P X , tuy nhiên ở đây ta có thể tính gần đúng bằng xấp sỉ Poisson như sau:

Vì n 2000khá lớn, p 0, 001 khá bé nên X P( np 2) Vậy, xác suất có 5 trẻ bị phản ứng khi tiêm thuốc:

2 5.2

5!

e

P X

Phân phối chuẩn là một trong những phân phối quan trọng nhất trong xác suất và thống kê Có thể nói rằng nếu không có phân phối chuẩn thì sẽ không có khoa học thống kê.

Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn với hai tham số là và 2

( ) 21

2

x

Đồ thị f(x) có dạng hình chuông, trục đối xứng x ,các

2

e , nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

Biến ngẫu nhiên Z được gọi là có phân phối chuẩn tắc nếu Z ~N(0,1), tức hàm mật độ xác suất

của Z là

2

21

1( )

2

x e dt có giá trị được cho trong bảng hàm Laplace

 Hàm Laplace là hàm lẻ, ( x) ( )x và đơn điệu tăng