Bài giảng Xác suất thống kê: Phần 1 - Trường CĐ Cộng đồng Đồng Tháp

Giáo trình Xác suất thống kê với mục tiêu giúp các bạn có thể cung cấp các kiến thức để người học hiểu được bản chất xác suất và cách tính xác suất bằng các định nghĩa và bằng các công thức xác suất. Hiểu được bản chất và phân loại được đại lượng ngẫu nhiên. Lập được dãy phân phối xác suất, tìm kỳ vọng số, phương sai, độ lệch chuẩn, mode, ... của một tập hợp số liệu quan sát. Nắm được khái niệm về hàm ngẫu nhiên. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung phần 1 giáo trình!

(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH KẾ TOÁN, QUẢN TRỊ

KINH DOANH, TIN HỌC )

ThS Nguyễn Thành Tâm

Đồng Tháp – 2017

(Lưu hành nội bộ)

KINH DOANH, TIN HỌC ) (SỐ TÍN CHỈ: 2 (LÝ THUYẾT: 30 TIẾT))

ThS Nguyễn Thành Tâm

Đồng Tháp - 2017

LỜI NÓI ĐẦU

1 Đối tượng sử dụng

Tài liệu xác suất thống kê dùng cho khối ngành kinh tế, các ngành kế toán, quản trị kinh doanh, tin học và sinh viên thuộc các khối ngành khác có thể sử dụng bài giảng xem như một tài liệu tham khảo

2 Cấu trúc bài giảng

Bài giảng môn học xác suất thống kê được phân bố thành 5 chương, cụ thể

Chương 1: Những khái niệm cơ bản về lý thuyết xác suất

Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất của ĐLNN

Chương 3: Mẫu ngẫu nhiên

Chương 4:Ước lượng các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu

• Cung cấp các kiến thức để người học hiểu được bản chất xác suất và cách tính xác suất bằng các định nghĩa và bằng các công thức xác suất

• Hiểu được bản chất và phân loại được đại lượng ngẫu nhiên Lập được dãy phân phối xác suất, tìm kỳ vọng số, phương sai, độ lệch chuẩn, mode, của một tập hợp số liệu quan sát Nắm được khái niệm về hàm ngẫu nhiên Hiểu rõ bản chất của một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

• Giúp người học biết sắp xếp số liệu thu được qua thực nghiệm để xử lý thống kê Qua mẫu số liệu thu thập tính được các đặt trưng mẫu gồm: trung bình mẫu, phương sai mẫu, độ lệch chuẩn mẫu, mode của mẫu

• Cung cấp các phương pháp ước lượng các tham số thông kê của tổng thể và kiểm định giả thiết về các tham số của tổng thể, so sánh hai trung bình, hai tỉ lệ của hai tổng thể, tạo nền tản để phân tích các dữ liệu thống kê kinh tế xã hội

4 Phương pháp giảng dạy

Phương pháp thuyết trình, phân tích, thảo luận, giải quyết vấn đề, thực hành nhóm

• Giảng lý thuyết trên lớp: 28 tiết

• Kiểm tra : 2 tiết

• Tự học, tự nghiên cứu: 60 tiết

MỤC LỤC

Lời nói đầu 1

Mục lục 2

Chương 1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 5

1.1 CÁC KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP 5

1.1.1 Quy tắc nhân 5

1.1.2 Chỉnh hợp 7

1.1.3 Hoán vị 7

1.1.4 Tổ hợp 8

1.2 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 9

1.2.1 Khái niệm phép thử và biến cố 9

1.2.2 Các loại biến cố 100

1.2.3 Các mối quan hệ giữa các biến cố 12

1.3 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT 14

1.3.1 Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển 14

1.3.2 Định nghĩa xác suất theo tần suất 15

1.3.3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học 16

1.3.4 Các tính chất cơ bản của xác suất 18

1.4 CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 19

1.4.1 Công thức cộng xác suất 19

1.4.2 Công thức nhân xác suất 22

1.4.3 Công thức xác suất toàn phần 28

1.4.4 Công thức Bayes 29

Bài tập ôn tập chương 1 31

Chương 2 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 37

2.1 KHÁI NIỆM ĐLNN VÀ PHÂN LOẠI ĐLNN 37

2.1.1 Khái niệm ĐLNN 37

2.1.2 Các loại đại lượng ngẫu nhiện 38

2.1.3 Luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 38

2.2 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐLNN 44

2.2.1 Kỳ vọng (Expectation) 44

2.2.2 Phương sai ( Variance) 46

2.2.3 Độ lệch chuẩn ( Standard deviation) 49

2.2.4 Mode 49

2.3 MỘT SỐ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 50

2.3.1 Phân phối nhị thức B(n;p) 50

2.3.2 Phân phối Poisson P(a) 53

2.3.3 Phân phối siêu bội H(N;M;n) 54

2.3.4 Phân phối chuẩn N( )µ;σ2 56

Bài tập ôn tập chương 2 61

Chương 3 THỐNG KÊ VÀ DỮ LIỆU 69

3.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM 69

3.1.1 Thống kê và thống kê kinh tế 69

3.1.2 Tổng thể và mẫu 70

3.1.3 Các loại biến số và các loại thang đo ……… … 71

3.2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN MẪU 72

3.2.1 Một số phương pháp chọn mẫu 73

3.2.2 Khái niệm mẫu ngẫu nhiên và mẫu cụ thể 73

3.2.3 Các tham số đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên và luật phân phối của các tham số mẫu 76

3.3 DỮ LIỆU VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH THAM SỐ MẪU CỤ THỂ77 3.3.1 Dữ liệu 77

3.3.2 Các tham số mẫu cụ thể 80

3.3.3 Sắp xếp số liệu để tính các đặc trưng của mẫu 80

3.3.4 Các phương pháp tính giá trị các tham số đặc trưng mẫu 83

Bài tập ôn tập chương 3 89

Chương 4 ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐLNN 91

4.1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM 91

4.1.1 Đặt vấn đề 91

4.1.2 Các tiêu chuẩn ước lượng điểm 91

4.2 Phương pháp khoảng tin cậy 95

4.2.1 Đặt vấn đề 95

4.2.2 Phương pháp chung 95

4.2.3 Ước lượng trung bình 97

4.2.4 Ước lượng tỉ lệ 104

4.2.5 Ước lượng phương sai 107

Bài tập ôn tập chương 4 110

Chương 5 KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ 113

5.1 Các định nghĩa và phương pháp kiểm định 113

5.1.1 Các khái niệm và định nghĩa 113

5.1.2 Kiểm định giả thiết thống kê về các đặc trưng của ĐLNN 114

5.1.3 Nguyên tắc kiểm định 114

5.2 Một số bài toán kiểm định 116

5.2.1 Kiểm định giả thiết về trung bình 116

5.2.2 Kiểm định giả thiết về tỉ lệ 120

5.2.3 Kiểm định giả thiết về phương sai 122

5.2.4 Kiểm định giả thiết về sự bằng nhau của hai trung bình 124

5.2.5 Kiểm định giả thiết về sự bằng nhau của hai tỷ lệ 128

Bài tập ôn tập chương 5 131

Phụ lục 137

Tài liệu tham khảo 143

Chương 1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC

SUẤT

Các hiện tượng trong tự nhiên hay xã hội xảy ra một cách ngẫu nhiên (không biết trước kết quả) hoặc tất định (biết trước kết quả) Chẳng hạn khi thả một vật từ

trên cao thì chắc chắn sẽ rơi xuống đất, ta biết chắc rằng lá vàng sẽ rụng xuống

đó là những hiện tượng diễn ra có tính quy luật, tất định Trái lại khi tung đồng xu

ta không biết kết quả của nó là mặt sấp hay ngửa, ta không biết có bao nhiêu cuộc gọi đến tổng đài trong một ngày, ta không biết năng suất của vụ mùa tới ra sau,

không biết khi cải tiến sản xuất thì tỉ lệ phế phẩm có giảm không đó là những

hiện tượng ngẫu nhiên Tuy nhiên nếu quan sát nhiều lần một hiện tượng ngẫu nhiên trong những hoàn cảnh như nhau, thì trong nhiều trường hợp ta có thể rút ra những kết luận có tính quy luật về hiện tượng này Lý thuyết xác suất nghiên cứu các quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên Việc nắm bắt các quy luật này sẽ cho phép dự báo các hiện tượng ngẫu nhiên đó sẽ xảy ra như thế nào Chính vì vậy các phương pháp của lý thuyết xác suất có ứng dụng trong việc giải quyết các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học tự nhiên, kỹ thuật, kinh tế − xã hội, y

học, nông nghiệp Trong chương này ta làm quen với các khái niệm, các kết quả

chính về lý thuyết xác suất:

− Nhắc lại sơ lược các khái niệm giải tích tổ hợp

− Các khái niệm biến cố, phép thử, không gian mẫu, các loại biến cố và quan hệ giữa các biến cố

− Các định nghĩa về xác suất: định nghĩa xác suất theo cổ điển, theo thống kê, theo quan điểm hình học

− Các công thức tính xác suất: công thức cộng xác suất, công thức nhân xác

suất, xác suất có điều kiện, công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes

− Làm quen với dãy phép thử Bernoulli và công thức Bernoulli

Để học tốt chương này cần trang bị kiến thức về giải tích tổ hợp, các khái niệm, các phép tính của tập hợp, phân tích được một số tình huống trong thực tế để giải các bài toán

1.1 CÁC KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP

1.1.1 Quy tắc nhân

Xét ví dụ 1: Đoạn đường đi từ A đến C phải đi qua B Từ A đến B có 3 cách

đi, từ B đến C có 2 cách đi Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến C?

Giải

Vậy số cách để người đó lựa chọn là: 5.4.3.3 = 180 

Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số?

b) Có bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số

1.1.2 Chỉnh hợp

- Định nghĩa: Chỉnh hợp chập k của n phần tử (k≤n) là một nhóm gồm k phần tử khác nhau, có sự phân biệt thứ tự, chọn từ tập n phần tử cho trước

⇒ có A560 cách chọn thỏa yêu cầu đề bài 

a) Biết rằng biển số xe gắn máy có 4 chữ số Hỏi có thể có tối đa bao nhiêu

biển số trên đó có 4 chữ số hoàn toàn khác nhau?

b) Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 người vào một dãy ghế có 10 ghế?

Ví dụ 5: Khi sắp xếp 10 quyển giáo trình khác nhau vào một kệ sách thì có bao

Ví dụ 7: Từ một lô hàng gồm 10 sản phẩm, cần chọn ngẫu nhiên (đồng thời) ra 3

sản phẩm để kiểm tra Hỏi có bao nhêu cách chọn?

Giải

Do mỗi cách chọn ra một mẫu kiểm tra là một tổ hợp chập 3 của 10 phần tử nên tổng số cách chọn khác nhau là

3 10

10!

3! 7 !

Nhóm A gồm 10 Sinh viên và nhóm B gồm 12 Sinh viên, cần chọn

ngẫu nhiên 9 sinh viên trong đó có 4 sinh viên nhóm A và 5 sinh viên nhóm B Hỏi

đó Khi thực hiện phép thử ta thường không thể biết trước kết quả nào sẽ xảy ra

Khi thực hiện một phép thử, sẽ có nhiều kết quả có thể xảy ra Có kết quả đơn giản cũng có kết quả phức hợp (gồm nhiều kết quả đơn giản nhất hợp thành)

1.2.1.2 Không gian mẫu

Tập tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử ngẫu nhiên được gọi là

không gian mẫu và kí hiệu là Ω

Xét phép thử rút 1 sản phẩm từ lô hàng Qui ước: sản phẩm có khối lượng <

95 g là phế phẩm Gọi A là biến cố rút được phế phẩm Trong phép thử này sẽ xuất hiện các loại biến cố sau:

- Sản phẩm rút được có khối lượng < 95 g thì ta nói rằng biến cố A xảy ra

- Sản phẩm rút được có khối lượng > 95 g thì biến cố A không xảy ra

 Nhận xét

Một biến cố chỉ có thể xảy ra khi phép thử gắn liền với nó được thực hiện

1.2.2 Các loại biến cố

1.2.2.1 Biến cố sơ cấp

Mỗi phần tửω∈ Ω, được gọi là một biến cố sơ cấp ( biến cố cơ bản) Nói cách khác biến cố sơ cấp là biến cố không thể biểu diễn được thành tổng của các biến cố khác hay nó là một kết quả đơn giản nhất của phép thử

1.2.2.2 Biến cố chắc chắn

Biến cố chắc chắn là biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện phép thử

Kí hiệu: (Ω)

Ví dụ 11: Trong phép thử tung xúc xắc cân đối đồng chất, biến cố xúc xắc xuất hiện

không quá 6 chấm là biến cố chắc chắn

1.2.2.3 Biến cố không thể

Biến cố không thể là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện phép thử

Kí hiệu: O/

Ví dụ 12: Trong phép thử tung xúc xắc cân đối đồng chất, biến cố xúc xắc xuất hiện

mặt nhỏ hơn 1 là biến cố không thể

1.2.2.4 Biến cố ngẫu nhiên

Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra và cũng có thể không xảy ra khi thực hiện phép thử

Kí hiệu: A, B, C,… hay A A A1, , , 2 3

Ví dụ 13: Trong phép thử tung xúc xắc cân đối đồng chất , các biến cố xúc xắc xuất

hiện mặt có số chấm lẻ (chẵn), mặt có số chấm nhỏ hơn 3, … là những biến cố ngẫu nhiên

Ví dụ 14: Cho phép thử là tung một con xúc xắc cân đối đồng chất

Ta có không gian mẫu là Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Nếu mặt 1 xuất hiện: ta nói biến cố {1}, B, C, D xảy ra

Nếu mặt 2 xuất hiện: ta nói biến cố {2}, A, C, D xảy ra

1.2.2.5 Biến cố thuận lợi ( quan hệ kéo theo)

Biến cố A được gọi là biến cố thuận lợi cho biến cố B nếu A xảy ra thì sẽ kéo

theo B xảy ra

Kí hiệu: A ⇒ (hay A B ⊆ ) B

Ví dụ 15: Trong phép thử tung xúc xắc cân đối đồng chất

Gọi A là biến cố xúc xắc xuất hiện 5 chấm

B là biến cố xúc xắc xuất hiện số chấm lẻ

Khi đó: A ⇒ B

a) Một người mua một tờ vé số Gọi A là biến cố người này trúng số độc đắc,

B là biến cố người này trúng số Tìm quan hệ giữa hai biến cố A và B?

b) Một gia đình có hai con Gọi A là biến cố gia đình có con trai, B là biến cố gia đình có hai con trai Hỏi A⊆B hay B⊆A

1.2.2.6 Biến cố tương đương

Biến cố A được gọi là biến cố tương đương biến cố B nếu A xảy ra thì sẽ kéo theo B xảy ra và ngược lại

Kí hiệu: A = hay A B ⇔ B

Ví dụ 16: Trong phép thử tung xúc xắc cân đối đồng chất

Gọi A là biến cố xúc xắc xuất hiện 5 chấm

B là biến cố xúc xắc xuất hiện số chấm lẻ và lớn hơn 3 Khi đó: A = B

1.2.2.7 Biến cố tổng

Biến cố C được gọi là biến cố tổng của hai biến cố A và B khi và chỉ khi nếu

C xảy ra thì có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra và ngược lại

Kí hiệu: C = + hay C A B = A∪ B

Ví dụ 17: Quan sát hai xạ thủ bắn mỗi người một viên đạn vào cùng một bia

Gọi: A là biến cố “người thứ nhất bắn trúng”

B là biến cố “người thứ hai bắn trúng”

C là biến cố “trúng đạn”

Khi đó : C= A∪ B

1.2.2.8 Biến cố tích

Biến cố C được gọi là biến cố tích của hai biến cố A và B khi và chỉ khi nếu C

xảy ra thì A và B đồng thời cùng xảy ra

Kí hiệu: C = A.B hay C = ∩ A B

Ví dụ 18:

Một dây điện có hai nhánh được mắc song song Gọi A và B lần lượt là biến

cố dòng điện ở nhánh thứ nhất và nhánh thứ hai bị khóa, C là biến cố đường dây

?

Chú ý

Định nghĩa biến cố về tổng và tích có thể mở rộng ra cho tổng và tích của nhóm nhiều hơn hai biến cố

cố sản phẩm lấy ra từ lô thứ i là phế phẩm i =1,5 , A là biến cố trong số sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 phế phẩm, B là biến cố cả 5 sản phẩm lấy ra đều là phế phẩm

Hai biến cố A và B được gọi là đối lập nhau nếu A và B không đồng thời xảy

ra (xung khắc nhau), và một trong hai biến cố A hoặc B phải xảy ra khi thực hiện

phép thử AB=φ,A B+ = Ω

Biến cố đối lập của A kí hiệu là A

Ví dụ 20 Trong phép thử tung xúc xắc cân đối đồng chất

- Nếu A là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt lẻ thì A là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt chẵn

Tung một con xúc xắc Gọi

A: biến cố xuất hiện mặt chẵn

B: biến cố xuất hiện mặt lẻ

C: biến cố xuất hiện mặt 2 hoặc 4

Hỏi A và B có đối lập không? B và C có đối lập không?

1.2.3 Các mối quan hệ giữa các biến cố

Một thí sinh đi thi đại học Gọi A là biến cố thi đậu, B là biến cố thi trượt, và

C là biến cố đạt tổng điểm trên 10 Hỏi A và B, A và C, B và C có xung khắc không?

Họ xung khắc:(Còn gọi là họ xung khắc từng đôi)

Họ các biến cố A A1, 2, ,A n được gọi là họ xung khắc nếu 2 biến cố tuỳ ý trong họ các biến cố đó xung khắc với nhau

?

?

Ví dụ 22: Quan sát điểm bài thi của một thí sinh Gọi A A A A5, 6, 7, 8 tương ứng là các biến cố bài thi được 5, 6, 7, 8 điểm, thì các biến cố A A A A5, 6, 7, 8 xung khắc từng đôi

1.2.3.2 Nhóm biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi

Họ biến cố {A A1, 2, ,A được gọi là đầy đủ và xung khắc từng đôi nếu chúng n}

- Họ đầy đủ và xung khắc là { }A A vì , A A + = Ω và A A O= /

1.2.3.3 Quan hệ độc lập

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không

xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố kia và ngược lại

Tổng quát các biến cố A A1, 2,…,A n được gọi là độc lập toàn phần nếu việc

xảy ra hay không xảy ra của một nhóm bất kỳ k biến cố, trong đó 1 k≤ ≤ , không n

làm ảnh hưởng đến việc xảy ra hay không xảy ra của các biến cố còn lại

Cần lưu ý là: nếu A, B độc lập, thì A và B ; B và A; A và B cũng độc lập với nhau

1.2.3.4 Các tính chất phép toán của biến cố

i) A+(B C+ )=(A B+ )+ ; ( ) ( ).C A B C = A B C (kết hợp)

ii) A B+ = + ; B A A B =B A (giao hoán)

iii) A B C.( + ) =A B +A C (phân phối)

− Hai hay nhiều biến cố trong một phép thử có khả năng xảy ra như nhau, được gọi là đồng khả năng

− Trong một phép thử mà mọi biến cố sơ cấp đều đồng khả năng thì số phần tử của không gian mẫu được gọi là số trường hợp đồng khả năng của phép thử

1.3.1 Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển

Xét một phép thử có n biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra, trong đó có

A

m biến cố thuận lợi cho biến cố A Khi đó, xác suất xảy ra biến cố A, kí hiệu:

P(A), được xác định bởi hệ thức:

Số trường hợp thuận lợi cho A (1.6)

Hộp có 15 viên bi trong đó có 6 viên bi màu đỏ, còn lại là màu trắng Rút ngẫu nhiên đồng thời 5 viên bi Tính xác suất của biến cố A: trong đó rút được 3 bi

đỏ

Giải

* Số trường hợp đồng khả năng: n =C155

* Số trường hợp rút được 3 viên bi đỏ từ 6 viên bi đỏ là: C36

Số trường hợp rút được 2 viên bi trắng từ 9 viên bi trắng là: C92

⇒ Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A là: 3 2

.( ) m A C C 0, 24

P A

a) Trên 1 giá sách có một bộ sách tham khảo gồm 12 quyển Tìm xác suất để

số sách đó được sắp theo 1 thứ tự nhất định (từ trái sang phải hay từ phải sang trái) b) Một lớp học có 30 sinh viên Trong đó có 5 giỏi, 9 khá, 12 trung bình và 4 yếu Chọn ngẫu nhiên cùng lúc 3 sinh viên Tìm xác suất để

i) Cả 3 đều học yếu ii) Có đúng 1 học sinh giỏi c)Giả sử xác suất sinh con trai và con gái là như nhau và đều bằng 0,5 Quan sát số con gái của một gia đình có 3 con được chọn một cách ngẫu nhiên Tìm xác suất để gia đình này có 2 con gái

 Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa xác suất theo lối cổ điển

− Ưu điểm: Tính được chính xác giá trị của xác suất của các biến cố mà không cần phải tiến hành phương pháp để thực hiện các thí nghiệm, thử nghiệm, các quan sát thực tế

− Hạn chế: Do đòi hỏi phải có hữu hạn các biến cố sơ cấp và tính đồng khả năng của chúng mà trong thực tế lại có nhiều phép thử không có tính chất đó

1.3.2 Định nghĩa xác suất theo tần suất ( hay thống kê)

Tần suất xuất hiện biến cố viên đạn được bắn trúng tâm của một xạ thủ là 0,85 Nếu xạ thủ đó bắn 500 viên, tìm số viên đạn được bắn trúng tâm?

1.3.2.2 Xác suất

Khi số phép thử n càng tăng lên (n khá lớn), tần suất f ( A ) tiến dần về một n

giá trị ổn định p nào đó và giá trị đó được định nghĩa là xác suất xảy ra biến cố A

 Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa xác suất theo tần suất

− Ưu điểm: Không đòi hỏi phép thử có hữu hạn biến cố đồng khả năng, tính xác suất dựa trên quan sát thực tế vì vậy được ứng dụng rộng rãi

− Nhược điểm: Đòi hỏi phải lặp lại nhiều lần phép thử Trong nhiều bài toán thực tế điều này không cho phép do điều kiện và kinh phí làm phép thử

1.3.3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học

Xét một phép thử có không gian các biến cố sơ cấp là miền hình học W (đoạn

thẳng, hình phẳng, khối không gian,…) có số đo (độ dài, diện tích, thể tích,…) hữu

hạn khác 0 Biến cố A được biểu diễn tương ứng thành miền hình học A, là miền con của W Khi đó: xác suất xảy ra biến cố A được xác định bởi hệ thức:

Số đo của miền A (1.9)

Số đo của miền W

Ví dụ 29

Thả rơi ngẫu nhiên một chất điểm vào một hình vuông có độ dài cành bằng 2R Tính xác suất của biến cố A sao cho chất điểm rơi vào trong hình tròn nội tiếp hình vuông

Giải

Mỗi vị trí có thể của chất điểm là một điểm của hình vuông

Do đó:

* Không gian các biến cố sơ cấp W là các điểm của hình vuông

* Biến cố A được biểu diễn tương ứng bởi hình tròn nội tiếp

Suy ra xác suất của biến cố A là

Giải

Lấy gốc thời gian là 12 h Gọi x, y lần lượt là thời gian đến điểm hẹn của

người thứ I, II và đơn vị tính là giờ

Không gian các biến cố sơ cấp

Diện tích của miền W 16

1.3.4 Một số tính chất cơ bản của xác suất

1.3.4.1 Ý nghĩa của xác suất

Xác suất là một độ đo, cho biết khả năng xảy ra của một biến cố, biến cố có xác suất càng lớn thì khả năng xảy ra càng cao và ngược lại

Xét phép thử tung ngẫu nhiên một con xúc xắc

Gọi: A là biến có xuất hiện số chấm lẻ

B là biến cố xuất hiện 3 hoặc 5 chấm

B⊂ ⇒A P A = >P B = 

Ví dụ 32: Từ một lô có 20 sản phẩm, trong đó có 6 phế phẩm, lấy ngẫu nhiên ra 5

sản phẩm Tính xác suất sao cho trong các sản phẩm lấy ra có

a) Đúng 2 phế phẩm

b) Ít nhất một phế phẩm

Giải

a) Gọi A là biến cố có đúng 2 phế phẩm trong 5 sản phẩm lấy ra

Theo định nghĩa xác suất cổ điển, ta có

2 3

6 14 5 20

5 14 5 20

Giải

* Gọi A là biến cố nhân viên được chọn là nam

B là biến cố nhân viên được chọn là có nhà gần cơ quan

C là biến cố nhân viên được chọn phải trực đêm

Theo qui định của cơ quan, ta có

a) Gọi A là biến cố chọn được số điện thoại có chữ số 1

Xác suất xảy ra biến cố A được tính theo biến cố đối lập

= − = − = − =

6 6

9

b) Gọi B là biến cố chọn được số điện thoại có chữ số 2

C là biến cố chọn được số vừa có chữ số 1 vừa có chữ số 2

Một nhóm 48 người trong đó có 14 người biết sử dụng máy A, 22 người biết

sử dụng máy B, 12 người biết sử dụng máy C Trong số người biết sử dụng máy nói trên có:

- 10 người biết sử dụng cả 2 máy A và B

- 8 người biết sử dụng cả 2 máy A và C

- 6 người biết sử dụng cả 2 máy B và C

- 4 người biết sử dụng cả 3 máy

Chọn ngẫu nhiên một người từ nhóm người đã chọn Tính xác suất để người được chọn ra biết sử dụng một loại máy nào đó

Nếu các biến cố A , A , , A tạo nên họ biến cố xung khắc từng đôi thì 1 2 n

1/ Công ty sử dụng hai hình thức quảng cáo là đài phát thanh và vô tuyến

truyền hình Giả sử 25% khách hàng nắm được thông tin này qua vô tuyến truyền hình, 34% khách hàng nắm được thông tin này qua đài phát thanh và 10% khách hàng nắm được thông tin này qua cả hai hình thức quảng cáo Tìm xác suất để chọn ngẫu nhiên 1 khách hàng thì người đó nắm được thông tin về sản phẩm của công ty?

2/ Trong một cuộc điều tra gồm 100 người trong đó: 65 người có uống rượu,

28 người có hút thuốc, 30 người không hút thuốc cũng không uống rượu Chọn ngẫu nhiên 1 người, tính xác suất để người đó:

a) Hoặc hút thuốc, hoặc uống rượu

b) Vừa hút thuốc, vừa uống rượu

c) Chỉ hút thuốc

d) Chỉ uống rượu

1.4.2 Công thức nhân xác suất

1.4.2.1 Xác suất có điều kiện

Xác suất của biến cố A được xác định khi biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của biến cố A đối với biến cố B (với điều kiện B)

Và P B A( / )=P B( )

a) Một hộp có 10 vé trong đó có 3 vé có thưởng, có 2 người mỗi người bốc 1 tấm vé Tính xác suất người thứ 2 bốc được vé trúng thưởng, biết rằng người đầu

đã bốc được 1 vé trúng thưởng ?

b) Một công ty cần tuyển 2 nhân viên Có 6 người nạp đơn trong đó có 4 nữ và

2 nam Khả năng được tuyển của mỗi người là như nhau

i) Tính xác suất để cả 2 nữ được chọn nếu biết rằng ít nhất một nữ đã được chọn

ii) Giả sử A là một trong 4 nữ Tính xác suất để A được chọn Tính xác suất

để A được chọn nếu biết rằng ít nhất một nữ đã được chọn

1.4.2.2 Công thức nhân xác suất

i) Với A, B là hai biến cố tùy ý, từ công thức xác suất có điều kiện, ta có

Ví dụ 40: Một chùm có 5 chìa khóa, trong đó có 2 chìa khóa mở được cửa phòng

thí nghiệm Thử lần lượt từng chìa cho đến khi nào mở được cửa thì dừng Tính xác suất để việc thử dừng lại ở lần thứ 2

* Gọi A , A lần lượt là các biến cố xúc xắc thứ 1 và thứ 2 xuất hiện mặt 6 1 2

Có hai hộp chứa các viên bi, mỗi hộp chứa 5 bi với số bi đỏ lần lượt là 1 và 3

Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên ra một bi

a) Tính xác suất sao cho hai bi lấy ra đều là bi đỏ

b) Biết hai bi lấy ra có đúng một bi đỏ, tính xác suất để bi đỏ là bi của hộp thứ nhất

Giải

Gọi A ; A lần lượt là biến cố bi đỏ được lấy ra từ hộp thứ I và thứ II 1 2

a) * Gọi A là biến cố lấy được hai bi đỏ

P(B) Trong đó: B= A A 1 2+ A A 1 2

Một phân xưởng có 3 máy Xác suất để các thiết bị hỏng trong ngày tương ứng

là 0,1; 0,2; 0,15 Tính xác suất sau đây

a) Có 1 máy bị hỏng trong ngày

b) Có ít nhất 1 máy bị hỏng trong ngày

1/ Trong một hộp có 12 bóng đèn, trong đó có 3 bóng hỏng Lấy ngẫu nhiên

có thứ tự và không hoàn lại 3 bóng đèn Tính xác suất để:

a) Cả 3 bóng đều hỏng

b) Cả 3 bóng đều không hỏng

c) Có ít nhất một bóng hỏng

d) Chỉ có bóng thứ hai hỏng

e) Nếu lấy có hoàn lại thì sao?

2/ Một nhân viên bán hàng mỗi năm đến bán ở công ty A ba lần Xác suất để lần đầu bán được hàng là 0,8 Nếu lần trước bán được hàng thì xác suất để lần sau bán được hàng là 0,9 còn nếu lần trước không bán được hàng thì xác suất để lần sau bán được hàng chỉ là 0,4 Tìm xác suất để:

a) Cả ba lần đều bán được hàng

?

b) Có đúng hai lần bán được hàng

1.4.3 Công thức xác suất toàn phần

Giả sử {A , A , , A1 2 n} là họ các biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi Với

B là biến cố ngẫu nhiên có thể xảy ra đồng thời với một trong các biến cố A i

* Gọi A i i ( =1,3) là biến cố sản phẩm rút ra do phân xưởng i sản xuất

a) Có hai lô sản phẩm: lô thứ nhất có 10 sản phẩm loại I, 2 sản phẩm loại

II; lô thứ hai có 16 sản phẩm lọai I, 4 sản phẩm lọai II Ta chọn ngẫu nhiên một lô, sau đó chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm chọn ra là sản phẩm loại I

lệ viêm họng trong số những người hút thuốc lá là 60%, trong số người không hút thuốc lá là 30% Khám ngẫu nhiên 1 người, tính xác suất để người này bị viêm họng

1.4.4 Công thức Bayes

Giả sử {A , A , , A1 2 n} là họ các biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi Với

B là biến cố ngẫu nhiên có thể xảy ra đồng thời với một trong các biến cố A i

Giải

* Gọi A , A là biến cố bộ phận thứ nhất, thứ hai bi hỏng 1 2

B là biến cố mạch điện ngưng làm việc

( ) ( ) ( ) ( ) , , ,

a) Trước khi mở kiện hàng để kiểm tra thì xác suất để kiện hàng đó là kiện hàng của xí nghiệp A là bao nhiêu?

b) Giả sử mở kiện hàng và lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm thì được phế phẩm Vậy khả năng cao nhất đó là kiện hàng của xí nghiệp nào?

Tài liệu tham khảo chương 1: tài liệu 1, 2,3,4,6,7,8

?

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG 1

1 Có 8 người được đề cử, hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 người bố trí vào 3 công

việc khác nhau?

2 Một đoàn tàu có 10 toa, 7 người lên một cách ngẫu nhiên vào các toa

a) Có bao nhiêu cách để mỗi người vào một toa

b) Có bao nhiêu cách để toa số 1 có 2 người và những người còn lại không

vào toa này

3 Trong một lô sản phẩm có 20 bóng đèn, trong đó có 6 bóng xanh, 14 bóng đỏ

Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 4 bóng đèn mà ít nhất có 2 bóng màu xanh ?

4 Xếp ngẫu nhiên 5 người vào 7 phòng Có bao nhiêu cách để:

a) 5 người vào 5 phòng đầu tiên

b) Hai người A, B vào cùng một phòng

c) A, B vào phòng đầu tiên, ngoài ra không có ai vào phòng này

5 Một tàu hoả có 3 toa sẽ dừng lại ở một ga Ở sân ga có 15 hành khách đợi tàu Có

bao nhiêu cách lên tàu của 15 hành khách đó sao cho toa đầu có 6 người, toa 2 có 7 người, toa 3 có 2 người

6 Có 5 lá phiếu ghi số từ 1 đến 5, xếp ngẫu nhiên chúng cạnh nhau

a) Có mấy cách xếp

b) Có mấy cách xếp để số chẳn luôn cạnh nhau

c) Có mấy cách xếp để số chẳn và số lẻ riêng biệt

7 Một lớp có 50 sinh viên trong đó có A và B Có mấy cách để cử 4 sinh viên đi du

học

a) Cùng một đất nước

b) Ở 4 nước khác nhau, mỗi nước có 1 sinh viên

c) Ở 4 nước khác nhau mỗi nước có 1 sinh viên, trong đó có A và B

d) Cùng một nước trong đó có A và B

8 Từ một nhóm có 6 nam và 4 nữ Người ta muốn thành lập một nhóm điều hành

gồm 4 người mà trong đó có cả nam và nữ Biết rằng anh A và chị B chỉ có 1 người trong nhóm lãnh đạo trên

9 Kiểm tra 3 sản phẩm Gọi A k là biến cố sản phẩm thứ k tốt Hãy trình bày cách

biểu diễn qua A k

a) A: tất cả sản phẩm đều xấu

b) B: Có ít nhất 1 sản phẩm xấu

c) C: Có ít nhất một sản phẩm tốt

e) E: Có đúng một sản phẩm xấu

f) F: Có ít nhất 2 sản phẩm tốt

10 Quan sát 4 sinh viên làm bài thi Kí hiệu A i = i( 1, 4)là biến cố sinh viên thứ i làm bài thi đạt yêu cầu Hãy viết các biến cố sau:

a) Có đúng 1 sinh viên đạt yêu cầu

b) Có đúng 3 sinh viên đạt yêu cầu

c) Có ít nhất 1 sinh viên đạt yêu cầu

d) Không có sinh viên nào đạt yêu cầu

d) Thua hoàn toàn

12 Cho 1 thùng hàng gồm 15 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm bị hư Lấy ngẫu

nhiên cùng lúc 4 sản phầm

a) Tìm xác suất để lấy được cả 4 sản phẩm đều là tốt

b) Tìm xác suất để có 2 sản phẩm tốt trong 4 sản phẩm lấy ra

c) Tìm xác suất để có ít nhất một sản phẩm tốt trong 4 sản phẩm lấy ra

d) Tìm xác suất để có nhiều nhất là 2 sản phẩm tốt trong số 4 sản phẩm lấy

ra

13 Ta viết các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lên các mảnh bìa và đặt cạnh nhau

thành một hàng ngang Tìm xác suất để được một số chẳn

14 Xếp 10 người vào 1 bàn có 10 chổ một cách ngẫu nhiên Tìm xác suất để:

a) A và B ngồi đầu bàn

b) A và B ngồi cạnh nhau ( giải bài toán này trong trường hợp bàn dài và bàn

tròn)

c) A và B không ngồi cạnh nhau

d) A và B ngồi cách nhau 1 người

e) A và B ngồi cách nhau 5 người

15 Có 5 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 5 Rút ngẫu nhiên 3 tấm rồi đặt cạnh nhau

Tìm xác suất để được một số chẳn

16 Thang máy của 1 toà nhà 7 tầng xuất phát từ tầng 1 với 3 khách Tìm xác suất

để:

a) Tất cả cùng ra ở tầng 4

b) Tất cả cùng ra ở 1 tầng

c) Mỗi người ra ở 1 tầng khác nhau

d) Hai trong 3 người ra ở tầng 2

e) A, B ở cùng một toa, ngòai ra không có ai khác

18 Tần suất xuất hiện biến cố viên đạn bắn trúng đích của một xạ thủ là 0,85 Tìm

số viên đạn trúng đích của xạ thủ đó nếu người đó bắn 200 viên đạn

19 Có thể xem xác suất sinh con trai là bao nhiêu nếu theo dõi 88200 trẻ sơ sinh ở

một vùng thì thấy có 45600 con trai

20 Số lượng nhân viên của công ty A được phân loại theo lứa tuổi và giới tính như

Tìm xác suất để chọn ngẫu nhiên 1 người của công ty đó thì được

a) Một nhân viên từ 40 tuổi trở xuống

b) Một nam nhân viên trên 40

c) Một nữ nhân viên từ 40 tuổi trở xuống

21 Ba chữ số cuối cùng của 1 số điện thoại có 3 số đầu là 123 bị xoá nhoà trong

sổ Tính xác suất :

a) 3 chữ số là 3 chữ số khác nhau

b) 3 chữ số bị xoá là 3 chữ số khác nhau và khác 3 chữ số đầu

c) 3 chữ số bị xoá trùng nhau ( giống nhau )

d) 2 trong 3 chữ số bị xoá trùng nhau

( biết rằng số điện thoại có 6 chữ số )

22 Một hộp có 80 tách pha trà, trong đó có 3 cái mẻ miệng, 4 cái gãy quai và trong

những cái này có 2 cái vừa mẻ miệng vừa gãy quai Lấy ngẫu nhiên 1 cái tách trong hộp Tính xác suất để cái đó bị lỗi

23 Một sinh viên phải thi liên tiếp 2 môn là triết học và toán Xác suất qua môn

triết là 0,6 và xác suất qua môn toán là 0,7 Nếu trước đó qua môn triết thì xác suất qua môn toán là 0,8 Tính xác suất :

a) Qua cả 2 môn

b) Qua ít nhất một môn

c) Qua đúng một môn

d) Qua toán biết rằng đã không qua triết

24 Có 3 đứa trẻ chơi trò ném vòng vào cổ vịt, mỗi đứa ném 1 vòng Xác suất ném

được vòng vào cổ vịt của 3 đứa lần lược là 0,5; 0 6; 0,7 Tính xác suất để:

a) Cả 3 đều ném được vòng vào cổ vịt

25 Một lô hàng có 9 sản phẩm Mổi lần kiểm tra chất lượng lấy ngẫu nhiên 3 sản

phẩm Sau khi kiểm tra xong trả vào lại lô hàng Tính xác suất để sau 3 lần kiểm tra

lô hàng , tất cả các sản phẩm đều được kiểm tra

26 Có 3 hộp, mỗi hộp có 5 sản phẩm Hộp thứ nhất có 1 sản phẩm loại B; hộp thứ

hai có 2 sản phẩm loại B; hộp thứ ba có 3 sản phẩm loại B Lấy ngẫu nhiên từ mỗi

hộp ra một sản phẩm

a) Tìm xác suất để lấy được 3 sản phẩm loại B

b) Tìm xác suất để lấy được ít nhất một sản phẩm loại B trong 3 sản phẩm

lấy ra

c) Tìm xác suất để lấy được một sản phẩm loại B trong 3 sản phẩm lấy ra d) Nếu có một sản phẩm loại B trong 3 sản phẩm lấy ra, tìm xác suất để sản

phẩm loại B là của hộp thứ nhất

e) Chọn ngẫu nhiên một hộp từ 3 hộp đó, rồi từ đó chọn ra 2 sản phẩm Tính

xác suất để 2 sản phẩm chọn ra không phải là loại B

27 Hai máy cùng sản xuất ra một loại sản phẩm Tỷ lệ phế phẩm của máy I là 3%,

của máy II là 2% Từ một kho gồm 2/3 sản phẩm của máy I và 1/3 sản phẩm của máy II, ta lấy 1 sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm đó là tốt

28 Một người câu cá thường đi câu ở 3 chổ khác nhau với xác suất như nhau Biết

rằng ông ta câu được cá ở vị trí thứ nhất, vị trí thứ 2, vị trí thứ 3 với các xác suất

tương ứng là 0,2; 0,3; 0,4 Cũng biết rằng ông ta đã câu được cá Hãy tìm xác suất

để con cá này câu được ở vị trí thứ nhất

29 Qua kinh nghiệm, người quản lý của một cửa hàng bán giày thể thao biết rằng

xác suất để một đôi giày cao su của một hãng nào đó có 0 hoặc 1 hoặc 2 chiếc bị hỏng tương ứng là 0,90; 0,08; và 0,02 Anh ta lấy ngẫu nhiên một đôi giày loại đó

từ tủ trưng bày và sau đó lấy ngẫu nhiên 1 chiếc thì thấy nó bị hỏng Hỏi xác suất để chiếc kia cũng bị hỏng là bao nhiêu?

30 Một nhà máy có 3 phân xưởng Tỷ lệ phế phẩm tương ứng các phân xưởng là

1%; 5%; 10% Tỷ lệ sản phẩm tương ứng từng phân xưởng là 0,25; 0,25; 0,5

a) Tìm xác suất để khi lấy 1 sản phẩm của nhà máy thì đó là 1 phế phẩm b) Nếu lấy được một phế phẩm Tìm xác suất để phế phẩm đó là của phân

xưởng thứ nhất

31 Một nhà máy sản suất linh kiện điện tử có 4 phân xưởng Phân xưởng 1 sản xuất

40%, phân xưởng 2 sản xuất 30%, phân xưởng 3 sản xuất 20% và phân xưởng 4 sản xuất 10% sản phẩm của toàn xí nghiệp Tỉ lệ phế phẩm tương ứng là

1%,2%,3%,4% Kiểm tra ngẫu nhiên 1 sản phẩm do nhà máy sản xuất

a) Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt

b) Cho biết sản phẩm lấy ra kiểm tra là phế phẩm Tính xác suất để phế phẩm

đó do phân xưởng 1 sản xuất

32 Một nhà máy sản xuất giày xuất khẩu làm việc 3 ca: sáng, chiều tối, trong đó

40% sản phẩm được sản xuất ca sáng; 40% sản phẩm sản xuất ca chiều; 20% sản phẩm sản xuất ca tối Tỷ lệ phế phẩm trong các ca tương ứng là: 5%; 10%; 20% Lấy một sản phẩm để kiểm tra thì được phế phẩm, tính xác suất sản phẩm đó của:

ca sáng, ca chiều, ca tối

33 Một công ty bảo hiểm chia dân cư ( đối tượng bảo hiểm) làm 3 loại: ít rủi ro; rủi

ro trung bình; rủi ro cao Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ dân gặp rủi ro trong một năm tương ứng với các loại trên là : 0,05; 0,15; 0,30 và trong tổng số dân cư có 20% ít rủi ro; 50% rủi ro trung bình; 30% rủi ro cao Tìm tỉ lệ dân cư có sự cố sau một năm

cố định nào đó Nếu người đó không gặp tai nạn năm 2012 thì xác suất người đó thuộc loại ít rủi ro là bao nhiêu?

34 Có hai hộp đựng các mẫu hàng xuất khẩu Hộp thứ nhất đựng 10 mẫu trong đó

có 6 mẫu loại A và 4 mẫu loại B Hộp thứ hai đựng 10 mẫu trong đó có 3 mẫu loại

A và 7 mẫu loại B

a) Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một mẫu hàng Tính xác suất để 2 mẫu lấy ra đều là cùng loại

b) Giả sử xác suất lựa chọn các hộp lần lượt là 0,45 và 0,55

i) Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một mẫu Tính xác suất mẫu lấy ra là loại B

ii) Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một mẫu thì được loại A Hỏi mẫu đó khả năng thuộc hộp nào là nhiều hơn?

35 Tỷ lệ phế phẩm của một máy là 5% Người ta dùng một thiết bị kiểm tra tự động

đạt được độ chính xác khá cao song vẫn có sai sót Tỷ lệ sai sót đối với chính phẩm

là 4% còn đối với phế phẩm là 1% Nếu sản phẩm kết luận là phế phẩm thì bị loại

a) Tìm tỷ lệ sản phẩm được kết luận là chính phẩm mà thực ra là phế phẩm b) Tìm tỷ lệ sản phẩm bị kết luận là phế phẩm mà thức ra là chính phẩm c) Tìm tỷ lệ sản phẩm bị thiết bị đó kiểm tra nhầm

36 Có ba người đi săn Họ cùng trông thấy một con nai và cùng nổ súng Con nai bị

trúng một viên đạn và chết Nên chia phần theo tỉ lệ nào là công bằng ? Biết rằng

xác suất bắn trúng của nguời thứ nhất là 0,3; của người thứ hai là 0,4; của người thứ

ba là 0,5

37 Có 3 sinh viên nhưng chỉ có 2 vé xem ca nhạc Họ làm 3 lá thăm trong đó có 2

thăm có đánh dấu Mỗi người lần lược rút một lá thăm Nếu ai rút được thăm có dấu thì được vé để đi xem ca nhạc Hãy chứng minh sự công bằng của cách làm này

38 Một chuồng gà có 9 con mái và 1 con trống Chuồng kia có 1 con mái và 5 con

trống Từ mỗi chuồng ta bắt ra ngẫu nhiên 1 con làm thịt Các con gà còn lại được dồn vào chuồng thứ 3 Từ chuồng thứ 3 này lại bắt ngẫu nhiên 1 con gà Tính xác suất để ta bắt được con gà trống

39 Điều tra sở thích xem Ti vi của các cặp vợ chồng cho thấy 30% các ông chồng

thường xem các chương trình quảng cáo, 50% bà vợ thường xem chương trình quảng cáo, song nếu thấy chồng xem thì tỷ lệ vợ xem cùng là 60% Chọn ngẫu nhiên 1 cặp vợ chồng Tìm xác suất để

a) Cả 2 cùng thường xem chương trình thể thao

b) Có ít nhất 1 người thường xem

c) Không có ai thường xem

d) Nếu vợ xem thì chồng xem cùng

e) Nếu vợ không xem thì chồng vẫn xem

40 Hộp A có 15 lọ tốt và 5 lọ hỏng Hộp B có 17 lọ tốt và 3 lọ hỏng Hộp C có 10

lọ tốt và 10 lọ hỏng

a) Lấy mỗi hộp ra 1 lọ Tính xác suất được 2 lọ tốt và 1 lọ hỏng

b) Chọn 1 trong 3 hộp rồi từ đó lấy ra 3 lọ Tính xác suất được 2 lọ tốt và 1 lọ

hỏng

c) Trộn chung 3 hộp với nhau rồi từ đó lấy ra 3 hộp Tính xác suất được 2 lọ

tốt và 1 lọ hỏng

Chương 2 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

Trong chương này ta khảo sát các biến cố gắn với các giá trị nào đó, khi các giá trị này thay đổi ta được các đại lượng ngẫu nhiên

Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên (hay biến ngẫu nhiên) và các đặc trưng của chúng là các khái niệm rất quan trọng của lý thuyết xác suất

Đối với ĐLNN ta chỉ quan tâm đến vấn đề ĐLNN này nhận một giá trị nào đó hoặc nhận giá trị trong một khoảng nào đó với xác suất bao nhiêu Nói cách khác

ĐLNN X có thể được khảo sát thông qua hàm phân phối của nó F(x) = P(X < x)

Như vậy khi biết được luật phân phối của một ĐLNN thì ta nắm được toàn bộ thông tin về ĐLNN này

Khi ĐLNN chỉ nhận được giá trị rời rạc thì hàm phân phối xác suất hoàn toàn được xác định bằng bảng phân phối xác suất , đó là bảng ghi các giá trị mà ĐLNN nhận với các xác suất tương ứng Khi ĐLNN nhận giá trị liên tục thì hàm phân phối xác suất được xác định bởi hàm mật độ xác suất

Ngoài phương pháp sử dụng hàm phân phối để xác định ĐLNN, trong nhiều trường hợp bài toán chỉ đòi hỏi khảo sát những đặc trưng cơ bản của ĐLNN Các

đặc trưng của ĐLNN gồm: kỳ vọng, mốt, trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn,

Trong chương này ta xét các luật phân phối xác suất quan trọng bao qồm : luật phân phối nhị thức, luật Poisson, luật siêu bội, luật chuẩn, luật chi bình phương, luật phân phối student, luật phân phối đều, luật phân phối mũ

Với mỗi luật phân phối xác suất ta sẽ khảo sát bảng phân phối xác suất hoặc hàm mật độ, các tính chất và các đặc trưng của chúng

Trong chương này ta còn khảo sát về hàm của đại lượng ngẫu nhiên và luật số lớn Để học tốt chương này ta cần nắm vững định nghĩa xác suất, biến cố và các tính chất của chúng

2.1 KHÁI NIỆM ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN LOẠI ĐẠI

LƯỢNG NGẪU NHIÊN

2.1.1 Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN)

Trong thực tế có nhiều hiện tượng ngẫu nhiên mà sự thay đổi của nó được đặc trưng bởi các số Chẳng hạn như số khách hàng đến mua tại một cửa hàng vào ngày hôm sau, số phể phẩm khi kiểm tra lô hàng, số lượng hàng sẽ bán được vào ngày hôm sau , chúng ta không thể nào biết chính xác một con số cụ thể khi xét về các vấn đề trên, chúng ta chỉ có thể dựa vào kinh nghiệm, dựa vào một số thông tin để

dự đoán, suy đoán (không chắc chắn) Để nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên tương tự như trên người ta đưa ra khái niệm đại lượng ngẫu nhiên (biến ngẫu nhiên)

ĐLNN là một hàm xác định trên không gian các biến cố sơ cấp nhận giá trị có thể của nó với một xác suất nhất định phụ thuộc vào kết quả của phép thử ngẫu nhiên

Các ĐLNN thường được kí hiệu là X, Y, Z, … hoặc X1, X2,… còn các giá trị

cụ thể của nó được kí hiệu là x y z, , , hoặc x x y y1, 2, ,1 2,

Ví dụ 1: Trong phép thử tung ngẫu nhiên một con xúc xắc & gọi X là số chấm xuất

hiện Ta có X là một ĐLNN (vì trong kết quả của phép thử X có thể nhận 1 trong 6 giá trị với xác suất tương ứng là 1/6) X nhận các giá trị có thể là 1, 2, 3, 4, 5, 6

Ví dụ 2: Gọi Y là phế phẩm có trong 10 sản phẩm lấy ra để kiểm tra Ta có Y là một

ĐLNN (vì trong kết quả của phép thử Y sẽ nhận các giá trị: 0, 1, 2, …, 10)

Ví dụ 3: Chọn một người bất kỳ rồi đo chiều cao Gọi X là chiều cao của người vừa

chọn , ta có X là một ĐLNN

2.1.2 Các loại đại lượng ngẫu nhiện: Có 2 loại

2.1.2.1 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

Là đại lượng mà các giá trị có thể của nó tạo nên một tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị rời rạc Tức là ta có thể liệt kê tất cả các giá trị của nó Các ĐLNN như trong Ví dụ 1, 2 là những ĐLNN rời rạc

Ví dụ 4: Số sản phẩm làm ra trong 5 phút, số máy hỏng trong một ngày ở phân

xưởng, số người vào bưu điện trong 5 phút

2.1.2.2 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục

Là đại lượng mà các giá trị có thể của nó lấp kín liên tục một khoảng nào đó trên trục số Tức là ta không thể liệt kê tất cả các phần tử của nó

Các ĐLNN chỉ chiều cao của các Sinh viên trong trường học hay trọng lượng một loại sản phẩm do nhà máy sản xuất, … là những ĐLNN liên tục

2.1.3 Luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên

Luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên là biểu đồ (bảng, đồ thị,…) trong đó chỉ ra:

i) Các giá trị có thể nhận được của ĐLNN

ii) Xác suất tương ứng để ĐLNN nhận giá trị, khoảng giá trị đó

Có 3 hình thức để thiết lập một luật phân phối xác suất của ĐLNN

- Bảng phân phối xác suất

- Hàm mật độ xác suất

- Hàm phân phối xác suất