HH 12 chương 3 bài 1 full

CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I Vecto trong không gian 1 Định nghĩa Trong không gian, vecto là một đoạn thẳng có định hướng[.]

Trang 1

CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

I Vecto trong không gian:

1 Định nghĩa

Trong không gian, vecto là một đoạn thẳng có định hướng tức là đoạn thẳng có quy định thứ tự của hai đầu

Chú ý: Các định nghĩa về hai vecto bằng nhau, đối nhau và các phép toán trên các vecto trong

không gian được xác định tương tự như trong mặt phẳng

2 Vecto đồng phẳng

a Định nghĩa: Ba vecto a b c, ,

   khác 0

 gọi là đồng phẳng khi giá của chúng cùng song song với

một mặt phẳng

Chú ý:

n vecto khác

 0 gọi là đồng phẳng khi giá

của chúng cùng song song với một mặt

phẳng

Các giá của các vecto đồng phẳng có thể



là các đường thẳng chéo nhau

b Điều kiện để ba vecto khác 0



đồng phẳng:

Định lý 1:

, ,

a b c

  

đồng phẳng  m n R a,  : mb nc

c Phân tích một vecto theo ba vecto không đồng phẳng:

Định lý 2: Cho ba vecto

 e e e  1, ,2 3

không đồng phẳng Bất kỳ một vecto a

 nào trong không gian cũng có thể phân tích theo ba vecto đó, nghĩa là có một bộ ba số thực x x x1, 2, 3

duy nhất sao cho:

1 1 2 2 3 3

ax e x e x e

Chú ý:

 Cho ba vecto khác :

 đồng phẳng nếu có ba số thực không đồng thời bằng 0 sao cho:

, ,

a b c

  

0

, ,

a b c

  

, ,

m n p

Trang 2

 không đồng phẳng nếu từ

II Tọa độ của vecto:

Trong không gian xét hệ trục , có trục vuông góc với trục tại O, và trục vuông góc với mặt phẳng tại Các vectơ đơn vị trên từng trục lần lượt là

2

III Tọa độ của véctơ

Trong không gian với hệ tọa độ



0

ma nb pc  

, ,

a b c

  

ma nb pc    m n  p



j 0 0 1; ; ,



k 0 0 1; ;



a a i a j a k 1  2  3

a a ; a ; a1 2 3



M(x ; y ; z )OM                           x i y j z k                            

A x ; y ; z B x ; y ; z B B B



Oxyz

a (a ; a ; a ) 1 2 3



a a i a j a k 1  2  3

a (a ; a ; a ) 1 2 3 b (b ;b ;b ) 1 2 3





1 1

2 2

3 3

a b (a   1b ; a1 2 b ; a2 3b )3

k.a (ka ; ka ; ka ) 1 2 3



a.ba b cos(a;b) a b 1 1a b2 2a b3 3

a  a12a22a23



1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

 

Trang 3

 và vuông góc

 và cùngphương

III Tích có hướng của hai vectơ và ứng dụng:

1 Tính chất:



 và cùng phương 

 , , đồng phẳng 

2 Các ứng dụng tích có hướng:

Diện tích tam giác:

Thểtích tứ diệnVABCD=

Thể tích khối hộp:

VABCDA’B’C’D’ =

IV Phương trình mặt cầu

1 Mặt cầu (S) tâm I a;b;c  bán kính R có phưong trình là:

x a 2y b 2 z c 2 R2

2 Phương trình: x2 y2z22ax2by2cz d 0 với a2b2 c2  d 0

là phương trình mặt cầu tâm I a;b;c , bán kính R A2 B2C2  D

a b  a.b  0 a b1 1a b2 2 a b3 3 0





1 1

2 2

3 3

a (a ; a ; a ) 1 2 3



b (b ;b ;b ) 1 2 3



 

a,b a b sin(a,b)

a



b

  0

a



b



c

   0

ABC

2

 

[ AB, AC].AD

1 6

  

[ AB, AD].AA'

  

Trang 4

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Dạng 1: Các dạng toán mở đầu về hệ tọa độ oxyz Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba vecto a1; 2;3 ; b2; 2; 1 ;  c 4;0; 4 

Tọa độ của vecto d a b 2c là

A d  7;0; 4 

B d  7;0; 4

C d7;0; 4 

D d7;0; 4

Lời giải Chọn B

Ta có: d a b 2c 1 2 2.4;2 2 2.0;3 1 2.( 4)        7;0; 4 

Câu 2: Trong không gian Oxyz cho hai điểm , A1;1; 1  và B2;3; 2

Vectơ AB

có tọa độ là

A 1; 2; 3

B 1; 2; 3  C 3;5;1

D 3; 4;1

Lời giải Chọn A

 B A; B A; B A 1; 2;3

AB x  x y  y z  z 

Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A  3; 4 và B5;6 Trung điểm

của đoạn thẳng AB có tọa độ là

A 1;5

C 5;1

D 8; 2

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB Khi đó ta có:

3 5 1

4 6

5

I

x

y









1;5

I

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a    2;1; 2   và vectơ

 1;0;2 

b   Tìm tọa độ vectơ c là tích có hướng của a  và b .

A c    2;6; 1   B c    4;6; 1  

C c    4; 6; 1    D c    2; 6; 1   

Lời giải Chọn D

Áp dụng công thức tính tích có hướng trong hệ trục tọa độ Oxyz ta được:

Trang 5

 

ca b   

Vậy chọn đáp án D

Câu 5: Trong không gian với trục hệ tọa độ Oxyz, cho a i 2j 3 k

Tọa độ của vectơ a là:

A a  1; 2; 3 



B a2; 3; 1  



C a  3; 2; 1 



D a2; 1; 3  



+) Ta có a xi y j zk    a x y z ; ; 

nên a  1; 2; 3  



Do đó Chọn A

Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A2; 4;3 

và B2;2;9

Trung điểm của đoạn

AB có tọa độ là

A 0;3;3

B 4; 2;12  C 2; 1;6  D

3 3 0; ;

2 2

 

Lời giải Chọn C

Gọi I là trung điểm của đoạn AB Ta có

2 2

2

4 2

1

3 9

6

I

x

y

z









Câu 7: Cho a(2;1;3), b (4; 3;5),  c ( 2;4;6)



Tọa độ của vectơ u a  2b c  là

A (10;9;6) B (12; 9;7) C (10; 9;6) D (12; 9;6)

Lời giải

Ta có: u a  2b c 2 8 2;1 6 4;3 10 6       12; 9;7 

Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A2;1; 3 

và B1;0; 2 

Độ dài đoạn thẳng

AB

 32  12 12 11

AB AB

Trang 6

Câu 9: Trong không gian Oxyz, cho a 1; 2; 3 



, b     2; 4;6 Khẳng định nào sau đây là

đúng?

A a2b B b2a C a2b D b2a

Ta có 22.1; 4 2.2;62 3 

suy ra b2a

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A0; 2; 1 ,  B5; 4; 2 , C1;0;5

Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là:

A 1;1;1

B 6;6;6

C 3;3;3

D 2;2; 2

Ta có tọa độ trọng tâm tam giác ABC là

0 5 1 3

2 4 0

( 2; 2; 2) 3

1 2 5 3

G

x

z

 







 







  







Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a  3; 2;1, b    2;0;1 Độ dài

của vectơ a b bằng

Ta có a b  1; 2; 2  a b   1 4 4 3  

Câu 12: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;2; 1 

, B vectơ AB 1;3;1 Xác

định tọa độ B

A B2;5;0. B B0; 1; 2  

C B0;1;2. D B   2; 5;0

Lời giải.

Chọn A

Câu 13: Trong không gian Oxyz cho điểm A2 1 3; ;  Hình chiếu vuông góc của A lên trục Ox

có tọa độ là:

A 0;1;0

B 2;0;0 C 0;0;3

D 0;1;3

Lờigiải Chọn B

Trang 7

Chiếu vuông góc một điểm bất kỳ lên trục Ox khi đó giữ nguyên hoành độ còn tung độ

và cao độ bằng 0

Vậy hình chiếu vuông góc của A lên trục Ox có tọa độ là: 2;0;0

Câu 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a i 2j 3k

Tìm tọa độ của a



A 2; 1; 3  

B 3; 2; 1 

C 2; 3; 1  

D 1;2; 3 

2 3

a i j k ar1; 2; 3 

Câu 15: Trong không gian Oxyz, cho điểm M3 ; 2 ; 1  Hình chiếu vuông góc của điểm M lên

trục Oz là điểm:

A M33 ; 0 ; 0

B M40 ; 2 ; 0

C M10 ; 0 ; 1 

D M23 ; 2 ; 0

Câu 16: Trong không gianOxyz, cho hai điểm A1; 2; 1  

và B1; 4;3

Độ dài đoạn thẳng AB là

Ta có: AB0;6; 4

Suy ra AB  026242 2 13

Câu 17: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A0;1; 1 

,B2;3;2

Vectơ AB

có tọa độ là

A 2;2;3. B 1;2;3

C 3;5;1. D 3;4;1 .

Hai điểm A0;1; 1 

,B2;3; 2

Vectơ AB

có tọa độ là 2; 2;3

Câu 18: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho ba điểm A(- 1;2; 3 ,- ) (B 1;0;2 ,) C x y( ; ; 2- )

thẳng hàng Khi đó x+ bằngy

A x+ =y 1 B x+ =y 17 C

11 5

x+ =-y

11 5

x+ =y

Có AB (2; 2;5 ,) AC (x 1;y 2;1)

Trang 8

, ,

A B C thẳng hàng AB AC,

 

3

1 8

5

x

x y y

ìïï =-ï

Câu 19: Tìm tọa độ véctơ u  biết rằng u a      0 và a  1; 2;1 

A u     3; 8;2. B u   1; 2;8.

C u    1;2; 1 

Ta có u a   0 ua  1;2; 1 

Câu 20: Trong không gian Oxyz, cho các vectơ am;1;0 , b2;m1;1

, c1;m1;1

Tìm m để ba vectơ a, b



, c đồng phẳng

A m2. B

3 2



m

C m1. D

1 2



m

Ta có: a b;  1;m m; 2 m 2   ;  2 1

 



Ba véctơ a ,  b ,  a b c, , đồng phẳng   ; . 0



a b c  2m 1 0 m 12

Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ a2;m1;3

, b1; 2; 2 n

Tìm ,

m n để các vectơ a



, b

 cùng hướng

A m  ; 7

3 4

n 

C m  ; 7

4 3

n 

Trang 9

Hai vectơ a, b cùng hướng  a, b cùng phương a kb 

2

1 3

3 2

k

k n







   

 



2 7 3 4

k m n



 



  



 

Câu 22: Cho điểm M1; 2; 3 , 

hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng Oxy

là điểm

A M' 1; 2;0  

B M' 1;0; 3    C M' 0; 2; 3    D M' 1; 2;3  

Tọa độ hình chiếu vuông góc M ' của M1;2; 3 

lên mặt phẳng Oxy

có dạng

' 1;2;0

M

Câu 23: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, hình chiếu của điểm M1; 3; 5  

trên mặt phẳng Oyz

có toạ độ là

A 0; 3;5 

B 0; 3;0 

C 1; 3;0 

D 0; 3; 5  

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên Oyz .

Oyz

có phương trình: x0

Đường thẳng d qua M1; 3; 5  

và vuông góc với Oyz

có phương trình:

1 3 5

 









 



y z

Ta có Oyzd  H nên toạ độ H

thoả mãn hệ:

1 3 5 0

 



 









 



y z x

3 5 0







  

 



y z x

0 3 5

 H ; ; 

Trang 10

Câu 24: Trong không gian cho tam giác biết

Tìm tọa độ vector trung tuyến

Câu 25: Trong không gian cho tam giác : biết

Tìm tọa độ vector trung tuyến

Câu 26: Trong không gian cho tam giác biết

Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

ABCD là hình bình hành

2, 4, 3 ;  3, 1,1 ; 2, 6,6

AM

1,7, 7  1, 7,7 

1 7 7 , ,

2 2 2



1 7 7 , ,

2 2 2

 

, ,

AM AB AC  AM   

2, 4, 3 ;  3, 1,1 ; 2, 6,6

AM

5 5 2 , ,

3 3 3

 

5 5 2 , ,

3 3 3



7 1 2 , ,

3 3 3



8

1, 3, 3

2 1 4

4 3 2

3 2 3

x

G y

z











2, 4, 3 ;  3, 1,1 ; 2, 6,6

7,1, 2  1, 3, 4  7 ,1, 2  1, 3, 4 

     

2 3

6 1 7; 1; 2

6 1

A A A

x x

z z



   



Trang 11

Câu 27: Cho ba điểm Tìm tọa độ của để là tam

giác đều:

Tam giác ABC đều

Hai điểm

Câu 28: Cho ba điểm Tìm tọa độ của để tam giác

là tam giác vuông cân tại

Tam giác ABC vuông cân tại A

Câu 29: Cho ba điểm Tính và để thẳng hàng:

thẳng thàng cùng phương với

3,1,0 ; 2,1, 1 ;  , , 1

3, 2,1 ; 3, 0, 1     3, 2, 1 ; 3, 0, 1    

 

   

2 2

2

3; 2; 1 ; ' 3; 0; 1  

3,1,0 ; 2,1, 1 ;  , , 1

A

4,1 2 ; 4,1   2 4,1

AB AC



 

2

4

4;1 1

x

C y



 





3,1,0 ; 2,1, 1 ;  , , 1

, ,

A B C  AB

AC

1 2 2 1

2 3 3 2

3 1 1 3

0

2

1

a b a b

x

y





Trang 12

Câu 30: Cho ba điểm Tính để là trọng

tâm tam giác

Câu 31: Cho ba điểm Tìm điểm N trên cách đều

và

Câu 32: Cho ba điểm Tìm điểm trên mặt phẳng

cách đều

Gọi trên mặt phẳng Ta có:

Câu 33: Tính góc của hai vectơ

3,1,0 ; 2,1, 1 ;  , , 1

2

2, 1,

3

G   

ABC

 

1

5 2

3

x

x y

y











     



2, 1,1 ; 3, 2, 1 ; 1, 3, 4

B

4,0,0 4,0, 0 1,0,0 2,0,0

 ,0,0

N x x Ox' AN2 BN2

2, 1,1 ; 3, 2, 1 ; 1, 3, 4

, ,

A B C

14 26 , ,0

3 3

7 13 , ,0

3 3

26 14



26 14 , ,0

3 3

 , ,0

26

, ,0

x

x y











4, 2, 4 ; 2 2 , 2 2 ,0

0

Trang 13

để và vuông góc

vuông góc

Với

Dạng 2: Các bài toán cơ bản về phương trình mặt cầu Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( )S có phương trình

2 2 2 4 2 4 0

x y z  x y  Tính bán kính R của ( ).S

Giả sử phương trình mặt cầu

( ) :S x y z  2ax 2by 2cz d 0 (a b c  d 0)

Ta có: a2,b1,c0,d 4 Bán kính R a2b2c2 d  3

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) ( )2 ( )2 ( )2

S x- + +y + -z = Tâm của ( )S

có tọa độ là

A (- 3;1; 1- ). B (3; 1;1- ). C (3; 1; 1- - ). D (3;1; 1- ).

Tâm của ( )S

có tọa độ là (3; 1;1- ).

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hỏi trong các phương trình sau phương trình nào là

phương trình của mặt cầu?

A x2y2z2 2x4z 1 0 B x2z23x 2y4z 1 0

2

36 16

2

V ma  b

W mb  a

2,1, 1



1, 2,1

b  



m

V

W

V

 W  ma 2b mb a    0  1

a  b  a b

 1  m218m  2 0 m 9 79

Trang 14

C x2y2z22xy 4y4z 1 0 D x2y2z2 2x2y 4z 8 0

Đáp án B vì không có số hạng y Đáp án C loại vì có số hạng 2 2xy Đáp án D loại vì

2 2 2 1 1 4 8 2 0

a b c  d      

Đáp án A thỏa mãn vì a2b2 c2 d      1 0 4 1 6 0

Câu 4: Trong không gian Oxyz , có tất cả bao nhiêu giá nguyên của m để

2 2 22 2  2 1 3 2 5 0

là phương trình một mặt cầu?

Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi

2

m

Theo bài ra m m  2; 1;0;1; 2;3; 4   có 7 giá trị của m nguyên thỏa mãn bài

toán

Câu 5: Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I1;2; 1 

và tiếp xúc với mặt phẳng

 P : x 2 y 2 z 8 0    có phương trình là :

A x12y22z12 3

B x12y 22z12 3

C x12y 22 z12 9

D x12y22z12 9

Khoảng cách từ tâm I1; 2; 1  đến mặt phẳng  P

có phương trình là :

 

 2  2

2

1 2.2 2 8

    Đây là bán kính mặt cầu Vậy chọn C

x12y 22 z12 9

Trang 15

Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọ độ Oxyz , cho hai điểm A1;2;3 , B5;4; 1  Phương

trình mặt cầu đường kính AB là

A x 32y 32z12 36 B x 32y 32z12  9

C x 32y 32z 12  6 D x32y32z12  9

Lời giải.

Chọn B

Tọa độ tâm mặt cầu là I3;3;1

, bán kính RIA3

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu có tâm I1; 4;3 

và

đi qua điểm A5; 3;2 

A      

x  y  z 

C      

x  y  z 

Lời giải

Chọn D

Mặt cầu có tâm I1; 4;3 

và đi qua điểm A5; 3;2 

nên có bán kính R IA 3 2 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:      

x  y  z 

Câu 8: Với giá trị nào của m thì mặt phẳng  P : 2x y z   5 0

tiếp xúc với mặt cầu

S x y z  mx  m y mz m  

A m 3 B m 1 m 3 C m 1 D

 







1 3

m m

2

am bm c m d m  Tâm I m m ,  2, 2m

 

tiếp xúc  S

khi:

6

m

3

m

 

Trang 16

Câu 9: Với giá trị nào của m thì mặt phẳng  Q :x y z   3 0

cắt mặt cầu   2 2

:

S x y 

z  m x my mz m  

?

A 4m5 B m4  m 5 C m 5 D

  







4 5

m

2

am bm cm d m  Tâm I m 1,m m, 

      P

cắt  S

khi:

3

m

d I P R   m  m  m   m

Câu 10: Mặt phẳng  P : 2x 4y4z 5 0

và mặt cầu   2 2 2

S x y z  x y  2z  3 0

qua tâm  S

a b c d  R Tâm I 1, 2, 1  

6

d I P  R   P

cắt  S

Câu 11: Xét vị trí tương đối của mặt cầu   2 2 2

S x y z   x y z 

và mặt phẳng

 Q :x 2y2z 5 0

C  Q

là mặt phẳng đối xứng của  S

D Không cắt nhau

a b c d  R Tâm I3, 2, 4

3

d I P    R P

tiếp xúc  S

Câu 12: Với giá trị nào của m thì mặt cầu   2 2 2 2

S x y z  x my mz m  3m  2 0 tiếp xúc trục z Oz'

2

2 3



Tiêu đề	Hệ tọa độ trong không gian
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Giáo trình

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	799,41 KB