Giáo án Giải tích 12 chương 3 bài 1: Nguyên hàm

Mục tiêu - Kiến thức cơ bản: khái niệm nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm, sự tồn tại của nguyên hàm, bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp, phương pháp tính nguyên hàm phương

CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG.

 NGUYÊN HÀM

I Mục tiêu

- Kiến thức cơ bản: khái niệm nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm, sự tồn tại của

nguyên hàm, bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp, phương pháp tính nguyên

hàm (phương pháp đổi biến số, phương pháp tính nguyên hàm từng phần)

- Kỹ năng: biết cách tính đạo hàm của hàm số, nguyên hàm của hàm số, sử dụng thông thạo cả hai phương pháp tính nguyên hàm để tìm nguyên hàm của các hàm số

- Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn

của Gv, năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của

toán học trong đời sống, từ đó hình thành niềm say mê khoa học, và có những đóng góp

sau này cho xã hội

- Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy

nghĩ

II PHƯƠNG PHÁP,

a Phương pháp: Thuyết trình, gợi mở, vấn đáp, nêu vấn đề

b Công tác chuẩn bị:

- Giáo viên: giáo án, sgk, thước kẻ, phấn, …-Học sinh: Sgk, vở ghi, dụng cụ

học tập,…

III TIẾN TRÌNH BÀI HỌC

a Ổn định lớp: 1 phút

b Bài mới:

G

I NGUYÊN HÀM VÀ

TÍNH CHẤT

1 Nguyên hàm:

“Cho hàm số xác định

trên K Hàm số F(x)

được gọi là nguyên hàm

của hàm số f(x) trên K

nếu F’(x) = f (x) với mọi

x thuộc K”

“Nếu F(x) là một

nguyên hàm của hàm

f(x) trên K thì với mỗi

hằng số C, hàm số G(x)

= F(x) + C cũng là một

nguyên hàm của hàm

f(x) trên K”

Hoạt động 1 : Hãy tìm hàm

số F(x) sao cho F’(x) = f (x) Biết

a/ f(x) = 3x2 b/ f(x) =

2

1 os

c x với x ∈ ;

2 2

π π

− 

Gv giới thiệu với Hs nội dung định nghĩa sau:

Gv giới thiệu cho Hs

vd 1 (SGK, trang 93) để Hs hiểu rõ định nghĩa vừa nêu

Hoạt động 2 :

Em hãy tìm thêm những nguyên hàm khác của các hàm số đã nêu trong ví dụ 1

Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý 1 sau:

Hoạt động 3 :

Em hãy dựa vào tính chất F’(x) = f (x) ở hoạt động vừa làm ở trên để chứng minh định lý vừa nêu

Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý 2 sau:

Suy nghĩ tìm tìm hàm số F(x) của các hàm số

a/ f(x) = 3x2 b/ f(x) = 2

1 os

c x

với x ∈ ;

2 2

π π

− 

 để F’(x) = f (x).

thêm các hàm số khác cũng vẫn thoả tính chất:

F’(x) = f (x)

Suy nghĩ dựa vào tính chất F’(x)

= f (x) ở hoạt động vừa làm ở trên để chứng minh định lý vừa nêu

45’

“Nếu F(x) là một

nguyên hàm của hàm

f(x) trên K thì mọi

nguyên hàm của f(x)

trên K đều có dạng F(x)

+ C, với C là hằng số”

Tóm lại, ta có:

( ) ( )

f x dx F x= +C

∫

Với f(x)dx là vi phân

của nguyên hàm F(x)

của f(x), vì dF(x) =

F’(x)dx = f(x)dx

2 Tính chất của nguyên

hàm:

+ Tính chất 1:

'

( ) ( )

f x dx= f x +C

∫

+ Tính chất 2:

kf x dx k f x dx k= ≠

+ Tính chất 3:

[ ( )f x ±g x dx( )] = f x dx( ) ± g x dx( )

Gv giới thiệu với Hs phần chứng minh SGK, trang 94,

để Hs hiểu rõ nội dung định lý 2 vừa nêu

Gv giới thiệu cho Hs vd 2 (SGK, trang 94) để Hs hiểu

rõ 2 định lý vừa nêu

Gv giới thiệu với Hs phần chứng minh SGK, trang 95, để Hs hiểu rõ nội dung tính chất 2 vừa nêu

Gv giới thiệu cho Hs

vd 3, 4 (SGK, trang 95) để

Hs hiểu rõ các tính chất vừa nêu

Hoạt động 4 :

Em hãy chứng minh tính chất vừa nêu

Gv giới thiệu cho Hs vd 5 (SGK, trang 96) để Hs hiểu

rõ các tính chất vừa nêu

Suy nghĩ chứng minh tính chất vừa nêu

15’

3 Sự tồn tại của nguyên

hàm:

Ta thừa nhận định lý

3 sau:

“Mọi hàm số liên tục

trên K đều có nguyên

hàm trên K”

4 Bảng các nguyên hàm

của một số hàm số

thường gặp:

Hoạt động 5 :

Hãy hoàn thành

bảng sau:

Suy nghĩ để hoàn thành bảng nguyên hàm đã cho

0

αxα - 1 1

x

ex

axlna (a > 0, a ≠ 1)

cosx

- sinx

2

1 os

c x

1

sin x

−

Gv giới thiệu với Hs bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp sau:

0dx C=

ln

x

a

= + < ≠

∫

dx x C= +

1

( 1) 1

x

x dxα α C α

α

+

+

dx

x C x

os

dx tgx C

∫

e dx e= +C

sin

dx

gx C

∫

HS

TG

II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN

HÀM

1 Phương pháp đổi biến số:

:

“Nếu ∫ f u du F u( ) = ( )+C và u = u(x) là

hàm số có đạo hàm liên tục thì:

'

( ( )) ( ) ( ( ))

f u x u x dx F u x= +C

2 Phương pháp tính nguyên hàm từng

Gv giới thiệu cho Hs vd 6(SGK, trang 96) để Hs hiểu

rõ bảng nguyên hàm vừa nêu

Hoạt động 6 : Hãy hoàn thành các công việc sau:

a/ Cho ∫(x−1)10dx Đặt u = x – 1, hãy viết (x – 1)10dx theo

u và du

b/ Cho ln x dx

x

∫ Đặt x = et, hãy viết ln x dx

x theo t và dt

Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý 4 sau

Gv giới thiệu với Hs nội dung chứng minh định lý 4 (SGK, trang 98) để Hs hiểu

rõ định lý vừa nêu

Gv giới thiệu cho Hs vd

7, 8 (SGK, trang 98, 99) để

Hs hiểu rõ phương pháp tính nguyên hàm vừa nêu

Hoạt động 7 : Hãy tính ∫xsinxdx

+ Hd: Ta có: (xcosx)’ = cosx – xsinx

Hay : - xsinx = (xcosx)’ – cosx

Suy nghĩ để hoàn thành các công việc mà Gv yêu cầu trong phiếu học tập :

a/ Cho ∫(x−1)10dx Đặt

u = x – 1, hãy viết (x – 1)10dx theo u và du

b/ Cho ln x dx

x

∫ Đặt x

= et, hãy viết ln x dx

x

theo t và dt

Suy nghĩ để tính sinx

∫ theo hướng dẫn của Gv

42’

phần :

“Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có

đạo hàm liên tục trên K thì:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

u x v x dx u x v x= − u x v x dx

Vì v’(x)dx = dv, u’(x)dx = du nên công

thức trên còn được viết dưới dạng :

u dv uv= − v du

Hoạt động 8 :

Cho P(x) là đa thức của x Qua ví dụ 9,

em hãy hoàn thành bảng sau:

Đặt ∫P x e dx( ) x ∫P x( ) cosxdx∫P x( ) lnxdx

u = P(x)

dv = exdx

Tính : ∫( cos )x x dx'

và ∫cos x dx ⇒∫xsinxdx

Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý 5 sau:

Gv giới thiệu với Hs nội dung chứng minh định lý 5 (SGK, trang 99) để Hs hiểu

rõ định lý vừa nêu

Gv giới thiệu cho Hs vd 9 (SGK, trang 98, 99) để Hs hiểu rõ phương pháp tính nguyên hàm vừa nêu

Suy nghĩ để hoàn thành bảng trong phiếu học tập theo hướng dẫn của Gv

Củng cố: ( 2’) Củng cố lại các kiến thức đã học trong bài nguyên hàm.

LUYỆN TẬP VỀ NGUYÊN HÀM

IV Mục tiêu

- Kiến thức cơ bản: khái niệm nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm, sự tồn tại của

nguyên hàm, bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp, phương pháp tính nguyên

hàm (phương pháp đổi biến số, phương pháp tính nguyên hàm từng phần)

- Kỹ năng: biết cách tính đạo hàm của hàm số, nguyên hàm của hàm số, sử dụng thông

thạo cả hai phương pháp tính nguyên hàm để tìm nguyên hàm của các hàm số

- Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn

của Gv, năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của

toán học trong đời sống, từ đó hình thành niềm say mê khoa học, và có những đóng góp

sau này cho xã hội

- Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy

nghĩ

V PHƯƠNG PHÁP,

a Phương pháp: Thuyết trình, gợi mở, vấn đáp, nêu vấn đề

b Công tác chuẩn bị:

- Giáo viên: giáo án, sgk, thước kẻ, phấn, …-Học sinh: Sgk, vở ghi, dụng cụ

học tập,…

VI TIẾN TRÌNH BÀI HỌC

a Ổn định lớp: 1 phút

b Bài mới:

GV

HOẠT ĐỘNG CỦA HS T

G

1. Trong các cặp hàm số dưới

đây, hàm số nào là nguyên

hàm của hàm số còn lại ?

a)e−x và −e−x ;

b) sin2x và sin2x ;

c)

2

2

1 x e x

 − 

4  và

1 x e x

 − 

a/Tính (e-x)’= ? qua đó ta kết luận được điều gì ? điều ngược lại có đúng không ? vì sao ?

Cho HS tiến hành hoạt động giải các câu còn lại

Hs suy nghĩ làm bài : a) ( )x '

e− = – e−x nên e−x là một nguyên hàm của – e−x

và ( x)'

e−

− = e−x nên –e−x là một nguyên hàm của – e−x

b) sin 2 x là một nguyên hàm

20

’

2. Tìm nguyên hàm của các

hàm số sau :

a) f(x) = 3

1

x

;

b) f(x) =

2x 1

x e

− ;

c) f(x) = 2 2

1 sin x.cos x ;

d) f(x) =

sin5 cos3x x ;

e) f(x) = tan2x ;

g) f(x) =

3 2

1 1

x x

+

− ;

h) f(x) = e 3 2x− ;

i) f(x) = + −

1 (1 x)(1 2 )x

Gợi ý:

n

m

n a m =a ; n m n

m

a a

a = −

của six2x

c) e x

x









 − 4

1 là một nguyên

hàm của e x

x

2 2









 −

Bài 2:

a)

dx x x x dx x

x x











+ +

= + + 3 2 6 1 −3 1

3

1

=

5 x + 7 x + 2 x + C

b) ∫ − dx

e x

2

=









e

x x

2

=

2 ln 2 1 (ln 2 1)

x

e

−

d)

) 2 sin 8 (sin 2

1 3 cos 5

⇒ x xdx sin 8xdx sin 2xdx

2

1 3 cos 5 sin

C x









−

4

1 4 1

g) 1 3 2 2

x

20

’

3 Sử dụng phương pháp đổi

biến số, hãy tính :

a) ∫(1− x) d9 x (đặt

= −1 )

b)

3 2

2

(1 ) d

u = + x ;

c) ∫cos3xsin dx x (đặt

cos )

t = x ;

d) ∫ x+d−x+2

x

e e (đặt

x

u e= )

4 Sử dụng phương pháp tính

nguyên hàm từng phần, hãy

tính :

a) ∫xln(1+ x x)d ;

b)

2

(x +2x−1) de x x

c) ∫xsin(2x+1)dx ;

d)

−

∫(1 x)cos dx x

Yêu cầu hs lên bảng trình bày

Yêu cầu hs lên bảng

(1 x)(1 2 )x = 3 1 x+ 1 2x

Vậy ta có

( ) ln

x

x

+

−

Bài 3:Hs suy nghĩ làm bài:

a)

10

(1 )

; 10

x

C

−

5

2 2

1

5 + x + C

c) 1 4

os

1

e

+

Bài 4: Tính nguyên hàm từng phần

a) ∫xln( 1+x)dx đặt u = lnx ;

dv = xdx KQ:

C

x x x

2 4

1 ) 1 ln(

) 1 ( 2

b) ∫ (x + x− )e x dx

1 2 2

đặt u = x2 +2x – 1; dv = exdx KQ: ex(x2-1)+C

c) ∫xsin( 2x+1 )dx

20

’

trình bày đặt u = x ; dv = sin(2x+1)dx

KQ:

C x

x

4

1 ) 1 2 cos(

2

20

’

Củng cố: ( 3’) Củng cố lại các kiến thức đã học trong bài