HH 12 chương 3 bài 2 full

BÀI 2 MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Định nghĩa Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 với A2+B2+C2 > 0 đuợc gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng [.]

Trang 1

BÀI 2 MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

Định nghĩa:

Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0

với A 2 +B 2 +C 2 > 0 đuợc gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng

Phương trình mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 với A2+B2+C2 > 0 Có véctơ pháp tuyến là

n ( A; B;C)



 Mặt phẳng (P) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và nhận vectơ n ( A; B;C)



,n 0  làm vectơ pháp tuyến có dạng (P): A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

Nếu (P) có cặp vectơ a (a ;a ;a ) b (b ;b ;b ) 1 2 3  1 2 3

không cùng phương,có giá song song hoặc nằm

trên (P).Thì vectơ pháp tuyến của (P) được xác định na,b

1 Các trường hợp riêng của mặt phẳng:

Trong không gian Oxyz cho mp(): Ax + By + Cz + D = 0, với A2+B2+C2 > 0 Khi đó:

D = 0 khi và chỉ khi ()đi qua gốc tọa độ

 A=0, B0, C 0, D 0 Khi và chỉ khi ( ) song song với trục Ox

 A=0, B = 0, C0, D 0 Khi và chỉ khi ( ) song song mp (Oxy )

A, B, C, D0 Đặt

Khi đó

y

( ):

a b c

2 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho (): Ax+By+Cz+D=0 và (’):A’x+B’y+C’z+D’=0

() cắt (’) 

AB' A' B BC' B'C CB' C' B









() // (’) 

AB' A' B BC' B'C CB' C' B







() ≡ (’) 

AB' A' B BC' B'C CB' C' B AD' A' D















Đặc biệt

()  (’)  n n  1 2  0 A.A' B.B' C.C'  0

Trang 2

3 Góc giữa hai mặt phẳng:

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng 00   900

 P : Ax By Cz D   0 và  Q : A' x B' y C' z D'   0

P Q

n n A.A' B.B' C.C' cos = cos(n ,n )

n n A B C A' B' C'

 

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Phương trình tổng quát của mặt phẳng  

qua điểm B3, 4, 5 

và có cặp vectơ chỉ

phương a 3,1, 1 



,b   1, 2,1 là:.

A x 4y 7z 16 0 B x 4y7z16 0 .

C x4y7z16 0 D x4y 7z16 0 .

Lời giải Chọn C

Vectơ pháp tuyến của   là na, b   1, 4, 7  

 

có thể thay thế bởi n  1, 4, 7

Phương trình  

có dạng x4y7z D 0.

B     D  D

 

: x4y7z16 0

Câu 2: Phương trình tổng quát của mặt phẳng qua A3, 1, 2 

,B4, 2, 1  

,C2,0, 2

là:

A x y  2 0 B x y  2 0 C x y 2 0 D x y  2 0 .

Lời giải Chọn A

1, 1, 3 ,  1,1,0 ; , 3,3,0 :

AB   AC  AB AC 

Chọn n  1,1,0làm vectơ pháp

tuyến:phương trình ABC

có dạng x y D  0 Qua A  3 1 D 0 D2

Phương trình ABC

:x y  2 0

Câu 3: Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A2, 1,3 

,B3,1, 2

và song song với

vectơ a  3, 1, 4  

là:

A 9x y  7z40 0 B 9x y 7z 40 0 .

C 9x y  7z40 0 D 9x y 7z 40 0 .

Lời giải Chọn B

Trang 3

1, 2, 1 ; ,a  9,1, 7

AB  AB    n 

.Chọn n  9, 1, 7 

làm vectơ pháp tuyến

Phương trình mặt phẳng phải tìm có dạng:9x y 7z D 0

Qua A nên 9.2 ( 1) 7.3   D 0 D40

Phương trình cần tìm là:9x y 7z 40 0

Câu 4: Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A4, 1,1 

,B3,1, 1 

và song song với trục

Ox là:

 1, 2, 2 :

AB   



vectơ chỉ phương của trục Ox:i 1, 0,0

, 0, 2, 2

AB i

 

:Chọn n  0,1,1

làm vectơ pháp tuyến thì phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng y z D  0, qua A nên: 1 1  D 0 D0

Câu 5: Viết phương trình của mặt phẳng  P

qua điểm H 2, 2, 2

và nhận OH

A  P : x y z  6

B  P : x y 4

C  P : y z 4

D Ba câu A, B và C đúng.

OH  2; 2; 2

suy ra phương trình mặt phẳng

 P :2x 22y 22z 2  0  P : x y z  6

Câu 6: Cho tứ diện ABCD có A3, 2,1 

,B4,0,3 , C1,4, 3 ,  D2,3,5

Phương trình tổng

quát của mặt phẳng chứa AC và song song với BD là:

A 12x10y21z35 0 B 12x10y21z 35 0 .

C 12x10y 21z 35 0 D 12x10y 21z35 0 .

 2, 6, 4 ; 6,3, 2 ; , 24, 20, 42 

AC   BD AC BD   

Có thể chọn

12, 10, 21

n   



làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng

Phương trình mặt phẳng này có dạng 12x10y 21z D 0.Điểm A thuộc mặt phẳng nên:12.3 10( 2) 21.1   D 0 D35

Phương trình cần tìm:12x10y 21z 35 0 ,

Trang 4

Câu 7: Cho vectơ chỉ phương điểm A4,3, 2 , B1, 2,1 ,  C2, 2, 1 

Phương trình tổng quát

của mặt phẳng qua A và vuông góc với BC là:

A x 4y2z 4 0 B x4y 2z 4 0 .

C x 4y2z 4 0 D x 4y 2z 4 0 .

 1, 4, 2 

BC   

Chọn n   1, 4, 2

Phương trình mặt phẳng chứa A và vuông góc với BC có dạng x 4y2z D 0

Chứa A nên 4 4.3 2.2  D 0 D4

Vậy:x 4y2z 4 0

Câu 8: Cho hai mặt phẳng điểm A1, 4, 4 ,  B3, 2,6

Phương trình tổng quát của mặt phẳng

trung trực của đoạn AB là:

C x3y z  4 0 D x3y z  4 0 .

Lời giải Chọn D

Gọi I là trung điểm của AB: I2, 1,5 

2,6, 2

AB 

.Chọn n  1,3,1 làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB có dạng x3y z D  0

I thuộc mặt phẳng này:2 3( 1) 5   D 0 D4

Phương trình cần tìm:x3y z  4 0

Câu 9: Phương trình tổng quát của mặt phẳng qua điểm M3,0, 1 

và vuông góc với hai mặt phẳng x2y z  1 0 và 2x y z   2 0 là:

A x 3y 5z 8 0 B x 3y5z 8 0 .

C x3y 5z 8 0 D x3y5z 8 0.

1, 2, 1 ; 2, 1,1

a  b 

là hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cho trước

Chọn na, b 1, 3, 5  

 

làm vectơ pháp tuyến,ta có mặt phẳng có dạng

x y z D 

Qua M nên: 3 3.0 5.( 1)   D 0 D8

Phương trình mặt phẳng cần tìm là: x 3y 5z 8 0

Trang 5

Câu 10: Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua hai điểm A2, 1,1 

,B  2,1, 1 

và vuông góc với mặt phẳng 3x2y z  5 0 là:

A x5y7z1 0 B x 5y7z 1 0.

C x 5y 7z0 D x5y 7z0.

 4, 2, 2 ;

AB   



vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng 3x2y z  5 0:

3, 2, 1 ; , 2, 10, 14

n  AB n  n  



  

.chọn b    1, 5, 7 làm vectơ pháp tuyến.có

mặt phẳng x 5y 7z D 0

A thuộc mặt phẳng này: 2 5.9 1) 7.1   D0 D0

Vậy x 5y 7z0 là mặt phẳng cần tìm

Câu 11: Cho hai mặt phẳng   :x5y z  1 0,  : 2x y z    4 0

Gọi  là góc nhọn tạo bởi  

và  

thì giá trị đúng của coslà:

A

5

6

5

 

có vectơ pháp tuyến a  1,5, 2 

  có vectơ pháp tuyến b  2, 1,1 

   

 2  2

cos

6

Câu 12: Ba mặt phẳng x2y z  6 0, 2 x y 3z13 0,3 x 2y3z16 0 cắt nhau tại

điểm A Tọa độ của A là:

A A1, 2,3

B A1, 2,3 

D A  1, 2, 3 

Lời giải

Chọn D

Tọa độ giao điểm của ba mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình:

 

x y z











Giải (1),(2) tính x,y theo z được x z 4;y z 5. Thế vào phương trình (3) được

3,

z  từ đó có x1,y2

Vậy A  1, 2, 3 

Trang 6

Câu 13: Cho hai điểm A1, 4,5 ,  B2,3, 4 

và vectơ a 2, 3, 1  



Mặt phẳng   chứa hai điểm A B, và song song với vectơ a có phương trình:

A 34x 21y5z 25 0 B 34x21y 5z25 0 .

C 34x21y5z25 0 D 34x 21y 5z 25 0 .

1, 4,5 ;  2,3, 4  3,7, 9 ; 2, 3, 1

A  B    AB    a  

AB

và a sẽ là cặp vectơ chỉ phương của  

,

AB a

 

 34, 21, 5

Chọn n  34, 21,5 làm vectơ pháp tuyến của  

Phương trình mặt phẳng  

có dạng 34x21y5z D 0 Điểm A  34 84 25  D 0 D25

Phương trình  

:34x21y5z25 0

Câu 14: Cho hai điểm C  1, 4, 2 

,D2, 5,1 

.Mặt phẳng chứa đường thẳng CD và song song với Oz có phương trình:

A 3x y  1 0 B 3x y 1 0 C x 3y 1 0 D x3y1 0 .

 1, 4, 2 ; 2, 5,1

3, 9,3

CD

   

cùng phương với vectơ a   1, 3,1

Trục Oz có vectơ chỉ phương k  0,0,1

a k

    

 

cùng phương với vectơ n  3,1,0

Chọn n  3,1, 0 làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng chứa CD và song song với trục

Oz

Phương trình mặt phẳng này có dạng:3x y D  0

Mặt phẳng qua C    3 4 D 0 D1

Phương trình mặt phẳng cần tìm:3x y  1 0

Câu 15: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng  P

qua M 2,  3, 1

và vuông góc với

đường thẳng  D

qua hai điểm A 3, 4, 5 ; B  1, 2, 6 

A 4x  6y  z 110 B 4x 6y  z 110

C 4x 6y  z 250 D 4x  6y  z  250

Trang 7

Pháp vecto của  P :AB   4,6,1

  P : x 2   4 y 3 6 z 1 0 4x 6y z 25 0

qua hai điểm

và có một vectơ chỉ phương a  2, 3, 4 



A 9x 3y  z 40.B 9x 3y  z  40

C 13x  2y  8z 720 D 13x 2y  8z  720

Pháp vecto của (P): AB  2, 5, 2   na AB,  2 13, 2, 8   

0

  P : x 2 13 y 3   2 z 5  8 0 13x 2y 8z 72 0

qua M  2, 1, 3

và song song với mặt

phẳng  Q

: 2x  5y  3z  70.

A 2x 5y  3z  80 B 2x  5y  3z  70

C 2x 5y  3z  180 D 2x 5y  3z 80

 P : 2x5y 3z D 0

qua M2,1, 3 D8

 P : 2x 5y 3z 8 0

qua hai điểm E 3,  2, 4 ; F 1, 3, 6

và song song với trục y Oy'

A x y z  70 B x  z  70 C x  y  z 70 D.

x z  

 P / / 'y Oy 

ecto chỉ phương của  P

là: e  2 0,1,0

Vecto chỉ phương thứ hai EF  2, 5, 2 ne EF2,  2 1,0,1 

  P : x 3 1 y 2 0 z 4 1 x z 7 0

qua M  3, 5, 2 và vuông góc với '

x Ox

Trang 8

A x  30 B x  3 0.

C x y  30 D x  y 30

 P x Ox'

tại A3,0,0 n e 11,0,0



 

A   P  P x y z   x 

Câu 20: Cho tứ diện ABCD có A5,1,3 , B1,6, 2 , C5,0, 4 , D4,0,6

Mặt phẳng chứa BC

và song song với AD có phương trình:

A 8x 7y5z 60 0 B 8x7y5z 60 0 .

C 8x 7y 5z 60 0 D 8x7y 5z 60 0 .

5,1,3 , 1,6, 2 , 5,0, 4 , 4,0,6

4, 6, 2 ;  1, 1,3

BC  AD  

BC AD

 

cùng phương với n  8,7,5

Chọn n làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng chứa BC và song song với AD

Phương trình  P

có dạng:8x7y5z D 0 Điểm B P 8 42 10  D 0 D60

Phương trình  P :8x7y5z 60 0

qua hai điểm

và vuông góc với mặt phẳng (Q):3x 4y  2z  5 0.

A 16x  13y  2z 820 B 16x  13y  2z  820

C 16x  13y  2z  820 D 16x 13y  2z 820

Cặp vecto chỉ phương của  P :MN1, 2, 5 ;  n Q 3, 4, 2 

 Pháp vecto của  P n: MN n, Q 16, 13, 2  

  P : x 2 16 y 4  13 z 1  2 0 16x 13y 2z 82 0

qua E  4, 1, 2 

và vuông góc với hai mặt phẳng (Q):2x  3y 5z  40; (R):x  4y  2z  30.

A 14x  9y 11z430 B 14x 9y  11z  430

Trang 9

C 14x 9y 11z  430 D 14x  9y  11z 430.

Cặp vecto chỉ phương của  P a:2, 3, 5 ;  b1,4,2

Pháp vecto của  P n: a b,    14,9,11

 

  

  P : x 4  14 y 1 9 z 2 11 0 14x 9y 11z 43 0

Câu 23: Cho tứ giác ABCD có A0,1, 1 ;  B1,1, 2 ; C1, 1,0 ; 0,0,1   

Gọi H I K, , lần lượt là hình chiếu vuông góc của B C D, , trên ba trụcOx,Oy Oz, Viết phương trình tổng

quát của mặt phẳngHIK

A x y z   1 0 B x y z   1 0

C x y z   1 0 D x y z   1 0

1, 0, 0 ; 0, 1,0 ; 0,0,1

y



Câu 24: Cho mặt phẳng  P : 3x 4y2z 5 0

Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng

 

đối xứng của  P

qua trục y Oy' :

A 3x4y2z 5 0 B 3x 4y 2z 5 0

C 3x4y 2z 5 0 D 3x4y2z 5 0

Gọi E x y z , ,    

là điểm đối xứng của M x M,y M,z M   P

qua trục

y Oy x x y y z z

Câu 25: Cho điểm M1, 4, 2  

và mặt phẳng  P :x y 5z 14 0

Tính khoảng cách từ M

đến ( )P

A 2 3 B 4 3 C 6 3 D 3 3

Trang 10

 ,  1 4 5 2 14 27 3 3

d M P       

 

song song với mặt phẳng

 Q : 2x 4y4z 3 0

và cách điểm A2, 3, 4 

một khoảng bằng 3 :

A 2x 4y4z 140

B 2x 4y4z 500

C 2x 4y4z 140; 2x 4y4z 500

D 2x 4y  4 140; 2x 4y4z 500

32

4 12 16

6

4 16 16

D D



cách mặt phẳng

 Q : 3x 2y 6z 5 0

một khoảng bằng 4 :

A 3x 2y 6z 230; 3x 2y 6z330

B 3x 2y 6z230; 3x 2y 6z33 0

C 3x 2y 6z 230; 3x 2y 6z 330

D 3x 2y 6z230; 3x 2y 6z 330

   / / : 3 2 6 5 0;  , ,     ,  4

9 4 36

x y z

 

Câu 28: Với giá trị nào của m thì hai mặt phẳng sau song song:

 P : (m 2)x 3my6z 60;  Q : (m 1)x2y(3 m z)  5 0

Trang 11

Với thoả cả 3 điều trên

Câu 29: Giá trị m thỏa mãn điều kiện nào để hai mặt phẳng

 P :mxm 2y2 1  m z  2 0

;   Q : m2x 3y1 m z  3 0

cắt nhau?

A m  1 B m  và 1 m  4 C m  4 D m  4

(P) cắt (Q)



2

m m



Câu 30: Với giá trị nào của m và n thì hai mặt phẳng sau song song:

 P :x my z   2 0;  Q : 2x y 4nz 3 0

A

;

m n

;

m n

C

;

m n

;

m n

Để hai mặt phẳng song song chắc chắn n 0 nên:

m

n



Câu 31: Hai mặt phẳng  P : 4x 2y4z 5 0

và  Q :x 3 y 3 2 0 

tạo với nhau một góc bằng:

A 45o B 30o C 60o D 90o

2

6 6

o



2

1 2 2 1

2

4

3

1

m      P / / Q

Trang 12

Câu 32: Cho hai mặt phẳng  P :mxm 1y z  3 0

và   Q : m 1x my z   5 0

Với

giá trị nào của m thì  P

và  Q

vuông góc?

A 1 3 B 1 3 C 11 3

2



Câu 33: Cho hai mặt phẳng  P :mxm 1y z  3 0

và   Q : m 1x my z   5 0

Với

giá trị nào của m thì  P và  Q tạo với nhau một góc 60o

?

2

cos 60

2

Câu 34: Tìm tập hợp các điểm M x y z , ,  sao cho MA2 MB2 4 với A2, 1, 3 

; B  4, 3,1

A 3x2y z  40 B 3x 2y z 40

x y z

Câu 35: Tìm tập hợp các điểm M cách đều hai mặt phẳng:

 P : 2x y 2z 9 0;  Q : 4x 2y4z 3 0

A 2x y 2z 2 0 B 2x y 2z 20

C 6x 3y6z 5 0 D 8x 4y8z15 0

Trang 13

 ,   ,  2 2 9 4 2 4 3

d M P d M Q

x y z

Tiêu đề	Mặt Phẳng Trong Không Gian
Trường học	Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Hình Học Không Gian
Thể loại	Bài tập luyện tập
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	655,19 KB