BÀI 1 NGUYÊN HÀM A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT 1 Nguyên hàm Định nghĩa Cho hàm số xác định trên ( là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa đoạn của Hàm số được gọi là nguyên hàm của[.]
Trang 1BÀI 1 NGUYÊN HÀM
A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM
I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT
1 Nguyên hàm
Định nghĩa: Cho hàm số f x( ) xác định trên K (K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa đoạn của ).¡ Hàm số F x( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K nếu F x'( ) = f x( ) với mọi x K∈
Định lý 1: Nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số ( ) ( )
G x =F x +C cũng là một nguyên hàm của f x( ) trên K
Định lý 2: Nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K thì mọi nguyên hàm của f x( ) đều có dạng F x( )+C,với C là một hằng số.
Hai định lý trên cho thấy:
Nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K thì F x( ) +C, C∈¡ là họ tất cả các nguyên hàm của f x( ) trênK. Kí hiệu
( ) ( )
f x dx F x= +C
∫
Chú ý: Biểu thức f x dx( ) chính là vi phân của nguyên hàm F x( ) của f x( ), vì ( ) '( ) ( )
dF x =F x dx= f x dx
2 Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1
( ) ( ) '
f x dx= f x +C
∫
Tính chất 2
kf x dx k f x dx=
∫ ∫ , k là hằng số khác 0
Tính chất 3
f x ±g x dx= f x dx± g x dx
3 Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lý 3: Mọi hàm số f liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
4 Bảng nguyên hàm
0dx C=
1
1
x
α
α
α
+
+
1
ax b
a
α α
α
+
+
+
∫
1
ln
dx x C
(ax b)dx=a ax b C+ + +
∫
e dx e= +C
a
∫
Trang 2cosxdx=sinx C+
cos ax b dx sin ax b C
a
∫ sinxdx= −cosx C+
sin ax b dx cos ax b C
a
∫ ln
x
a dx C
a
a a
α β
α β + = + +
∫
2
1
tan
cos x dx= x C+
tan cos ax b dx=a ax b+ +C
+
∫
2
1
cot sin x dx= − x C+
cot sin ax b dx= −a x C+
+
∫
2 2
1
2
C a
x a a x a
−
1
2
C a
−
∫
2
3
xdx= x x C+
3
ax b dx ax b ax b C
a
∫ 1
2
dx x C
a
+
∫
II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1 Phương pháp đổi biến số
Định lý 1: Nếu ∫ f u du F u( ) = ( )+C và u u x= ( ) có đạo hàm liên tục thì:
[ ( ) '( )] [ ( )]
f u x u x dx F u x= +C
∫
Hệ quả: Với u ax b a= + ( ≠0) ta có
f ax b dx F ax b C
a
∫
2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:
Định lý 2: Nếu hai hàm số u u x= ( ) và v v x= ( ) có đạo hàm liên tục trên K thì:
( ) ( )' ( ) ( ) '( ) ( )
u x v x dx u x v x= − u x v x dx
B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Nguyên Hàm Đa Thức Câu 1: Khẳng định nào sau đây sai?
A 0dx C∫ = B
5
4d 5
x
x x= +C
e dx x= +ex C
Lời giải Chọn C
Ta có: 1dx ln x C
Trang 3Câu 2: Tìm nguyên hàm F x( ) =∫π2dx.
A F x( ) =π2x C+ B F x( ) =2πx C+ C F x( ) =π33 +C. D.
( ) 2 2
2
x
F x =π +C.
Lời giải Chọn A
Ta có F x( ) =∫π2dx=π2x C+
Câu 3: Cho ∫ f x x F x( )d = ( )+C Khi đó với a≠0, a, b là hằng số ta có ∫ f ax b x( + )d bằng
A f ax b x( )d 1F ax b( ) C
a
a b
+
C ∫ f ax b x F ax b( + )d = ( + +) C D ∫ f ax b x aF ax b( + )d = ( + +) C
Lời giải Chọn A
Theo công thức nguyên hàm mở rộng ta có: f ax b x( )d 1F ax b( ) C
a
Câu 4: Họ nguyên hàm của hàm số f x( ) =3x2+1 là
A 3
3 3
x
x C
x + +x C
Lời giải Chọn D
Ta có ∫ (3x2+1 d) x 3 3
3
x
x C
= + + = + +x3 x C
Câu 5: Họ nguyên hàm của hàm số f x( ) =3x2+2x+5là
A F x( ) = + +x3 x2 5 B F x( ) = + +x3 x C
C ( ) 3 2
5
F x = + +x x C
Lời giải Chọn C
Nguyên hàm của hàm số f x( ) =3x2+2x+5 là F x( ) = + +x3 x2 5x C+
Câu 6: Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2
2
3
x
= − − là
A
4 2
3 3
x x
C x
x
− − + C
4 2
3 3
x x
C x
+ +
3 1
C x
Lời giải
Trang 4Chọn D
Ta có 12 2 1 d
3
x
− −
d 3
= − − ÷
x
Câu 7: Họ nguyên hàm của hàm số f x( ) =e.xe+4 là
A 101376 B 2 e 1
e x− +C C
e 1 4
e 1
x
x C
+
e 1
e
4
e 1
x
x C
+
Lời giải Chọn D
e 1
x
+
+
Câu 8: Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số ( )5
( ) 3 1
f x = x+ ?
A ( ) (3 1)6 8
18
x
18
x
C F x( ) (3x18+1)6
= D F x( ) (3x6+1)6
Lời giải Chọn D
Áp dụng ( ) d 1( ) 1
1
ax b
a
α α
α
+ +
+
Vậy hàm số ở phương án D thỏa yêu cầu đề
Câu 9: Họ các nguyên hàm của hàm số f x( ) =5x4−6x2+1 là
A 20x3−12x C+ B x5−2x3+ +x C C 20x5−12x3+ +x C.D.
4
2
4
x
x x C
Lời giải Chọn B
Ta có ∫ (5x4−6x2+1 d) x x= −5 2x3+ +x C
Câu 10: Nguyên hàm của hàm số f x( ) =x2018, (x∈¡ là hàm số nào trong các hàm số dưới)
đây?
A F x( ) =2017.x2018+C, (C∈¡ ) B F x( ) =2019x2019 +C, (C∈¡ )
C F x( ) =x2019+C, (C∈¡ ) D F x( ) =2018.x2017+C, (C∈¡ )
Trang 5Lời giải Chọn B
Ta có:
2019
2018d
2019
x
x x= +C
Câu 11: Cho F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) =x2−2x+3 thỏa mãn F( )0 =2, giá trị
của F( )1 bằng
11
3 .
Lời giải Chọn B
Ta có:
3
3
x
x − x+ x= − +x x C+
( )
F x là một nguyên hàm của hàm số f x( ) có F( )0 =2⇒ =C 2
Vậy ( ) 3 2 3 2
3
x
F x = − +x x+ ( )1 13
3
F
Câu 12: Xét 3( 4 )5
I =∫x x − x Bằng cách đặt: u=4x4−3, khẳng định nào sau đây đúng?
A 1 5d
16
I = ∫u u B 1 5d
12
I = ∫u u C I =∫u u5d D 1 5d
4
I = ∫u u
Lời giải Chọn A
16
u= x − ⇒ u= x x⇒ u x x=
5 1 d 16
⇒ = ∫
2 3x x−2 dx=A x3 −2 +B x3 −2 +C
biểu thức 12A+7B bằng
A 23
241
52
7
9.
Lời giải Chọn D
Đặt t=3x−2 2
3
t
x +
3 t x
Trang 6Ta có: 2 2 d6
t
t t
+
+2 d
= ∫ 2 8 4 7
9 8 9 7
C
Suy ra 1
36
A= , 4
63
B= , 12 1 7 4 7
36+ 63 9=
Dạng 2: Nguyên Hàm Phân Thức Câu 1: Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 6
2
1 1
f x x
x x
= + + − là
A x7 ln x 1 2x
x
+ − − B x7 ln x 1 2x C
x
+ + − +
x
x
+ − − +
Lời giải Chọn D
( )d
f x x
x
= + − − + .
Câu 2: Nguyên hàm của hàm số f x( ) 12
x
= + là:
A ln x+ +2 C B 1ln 2
2 x+ +C C ln(x+ +2) C D.
( )
1
2 x+ +C
Lời giải Chọn A
Câu 3: Nguyên hàm của hàm số f x( ) 1 21
x
=
− là
A ∫ f x x( )d = −2ln 1 2− x C+ B ∫ f x x( )d =2ln 1 2− x C+
C ( )d 1ln 1 2
2
f x x= − − x C+
∫ D ∫ f x x( )d =ln 1 2− x C+
Lời giải Chọn C
Ta có 1 d 1ln 1 2
1 2x x= −2 − x C+
−
Câu 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( )2
1 1
y
x
= + .
A ( )2 ( )3
d
d
1
+ +
Trang 7C ( )2
d
1
+ +
d
−
Lời giải Chọn B
( )2
1 d
x+
1 d
x − x
1
x − C
1 C
x
−
Câu 5: Một nguyên hàm của hàm số f x( ) x1
x
= + .
A ∫ f x x x( )d = −ln x+ +1 1 B ∫ f x x( )d =ln x+ + +1 x 1
C ∫ f x x x( )d = −ln(x+1) D x+ln(x+1)
Lời giải Chọn A
d 1
x x
x+
1
x
x x
+ −
= +
1 x
x
+
Vậy ∫ f x x x( )d = −ln x+ +1 1 là một nguyên hàm của f x( ).
Câu 6: Biết F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) 11
x
= + và F( )0 =2 thì F( )1 bằng.
Lời giải Chọn B
( ) 1 d ln 1
1
x
+
∫ mà F( )0 =2 nên F x( ) =ln x+ +1 2
Do đó F( )1 = +2 ln 2
Câu 7: Nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) 2 1 1
x
= + , biết
F − =÷
A ( ) 2ln 2 1 1
2
F x = x+ − B F x( ) =2ln 2x+ +1 1
C ( ) 1ln 2 1 1
2
2
F x = x+ +
Hướng dẫn giải Chọn C
Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng
x
= +
Trang 8Mà e 1 3
F − =÷
−
⇔ ÷+ + =
⇔ =C 1.
Câu 8: Cho F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) 2 1 1
x
=
− ; biết F( )1 =2 Tính F( )2 .
A ( )2 1ln 3 2
2
F = − B ( )2 1ln 3 2
2
F = + C F( )2 =ln 3 2+ D.
( )2 2ln 3 2
Lời giải Chọn B
Ta có ( ) 1ln 2 1
2
F x = x− +C; F( )1 = ⇒ =2 C 2
( ) 1ln 2 1 2 2
2
F
Câu 9: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1
1
x x
f x
x
− +
=
A x+x11+C
1 1
x
2
ln 1 2
x
2 ln 1
x + x− +C
Lời giải:
Chọn C
Ta có f x( ) x2 x1 1 x 11
− +
( )d 2 ln 1
2
x
Câu 10: Tính nguyên hàm
2
d 3
x x
x
=
−
A I =x2− +x 2ln x− +3 C B I =x2− −x 2ln x− +3 C
C I =2x2− +x 2 ln x− +3 C. D I =2x2− −x 2 ln x− +3 C
Lời giải Chọn A
Ta có:
2
d 3
x x
x
=
−
2
x
= − + ÷
−
( 1)( 2)
x
x x
Trang 9A a+2b=8 B a b+ =8 C 2a b− =8 D a b− =8.
Hướng dẫn giải Chọn D
Ta có
2 13
d ( 1)( 2)
x
x
x x
−
5ln x 1 3ln x 2 C
Vậy 5
3
a b
=
= −
⇒ − =a b 8.
Câu 12: F x( ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1
3
f x x
x
= +
+ Biết F( )0 =0, ( )1 bln 3
c
= + trong đó a , b , c là các số nguyên dương và b
c là phân số tối giản Khi
đó giá trị biểu thức a b c+ + bằng
Lời giải Chọn A
2 1
x
+
ln 2 1 2
Do F( )0 = ⇒0 C= ⇒0 ( ) 3 1
ln 2 1 2
F x = +x x+ Vậy ( )1 1 1ln 3
2
F = + ⇒ a=1; b=1; c=2 ⇒ a b c+ + =4
Câu 13: Cho hàm số f x( ) xác định trên \ 1
2
¡ thỏa mãn f x( ) 2 2 1
x
′ =
− và f ( )0 =1 Giá trị của biểu thức f ( )− +1 f ( )3 bằng
A 4 ln15+ B 3 ln15+ C 2 ln15+ D ln15
Lời giải Chọn C
1
ln 2 1
d x
−
′
( )0 1
f = ⇔ =c 1 ⇔ f x( ) =ln 2x− +1 1
( ) ( )
1 ln 3 1
3 ln 5 1
f
f
− = +
⇔ f ( )− +1 f ( )3 = +2 ln15
Dạng 3: Nguyên Hàm Căn Thức Câu 1: Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f x( ) = x−1 trên (0;+∞)
A ( ) 23 2
1 3
2 3
F x = x − +x
Trang 10C ( ) 1
2
F x
x
2
x
Hướng dẫn giải Chọn B
Ta có : ( ) 2 3
1 d
3
x− x= x − +x C
Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số f x( ) =3 x x+ 2018là
A
2019 673
x
2019 3
2
2019
x
x + +C
C
2019 1
673
x C
2 x + x +C.
Hướng dẫn giải Chọn B
Ta có:
(3 x x+ 2018)dx
∫ 3x12 x2018dx
= + ÷
∫
3 2019 2
3
3 2019 2
x x
C
2
2019
x
Câu 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x( ) = 2x+3
3
f x x= x x+ +C
3
f x x= x+ x+ +C
C ( )d 2(2 3) 2 3
3
f x x= x+ x+ +C
∫ D ∫ f x x( )d = 2x+ +3 C
Lời giải Chọn B
Xét I =∫ ( 2x+3 d) x
Đặt 2x+ =3 t ⇔ =t2 2x+3 ⇔2 dt t =2dx
2 d t d
I =∫t t t=∫ t 1 3
3t C
= + 1( )3
= + + ( )d 1(2 3) 2 3
3
Câu 4: Một nguyên hàm của hàm số f x( ) = 1 2− x là:
A 3(2 1 1 2)
2 x− − x B 3(1 2 ) 1 2
− − − C 3(2 1 1 2)
4 x− − x D.
1
Hướng dẫn giải
Trang 11Chọn D
Ta có ∫ f x x( )d =∫ 1 2 d− x x 1 1 2 d 1 2( )
2
x≤
( )d
f x x
⇔∫ = 1 2 ( )3
− − + 1(1 2 ) 1 2
Câu 5: Hàm số F x( ) nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số y=3 x+1?
A ( ) 3( )43
1 8
F x = x+ +C B ( ) 43( )4
1 3
F x = x+ +C
C ( ) 3( ) 3
4
F x = x+ x+ +C D ( ) 34( )3
1 4
F x = x+ +C
Lời giải Chọn C
Ta có: I =∫3 x+1dx
Đặt: t= 3 x+1⇒ = +t3 x 1⇒3 dt t2 =dx
2 3 d
I t t t
⇒ =∫ =∫3 dt t3 3 4
4t C
= + 33( )4
1
= + + 3( )3
Vậy ( ) 3( ) 3
4
F x = x+ x+ +C.
Câu 6: Tìm hàm số F x( ) biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) = x và F( )1 =1
A F x( ) =23x x B F x( ) =23x x+13
C ( ) 1 12
2 2
F x
x
Lời giải Chọn B
Ta có: F x( ) =∫ x xd
Đặt t= x suy ra t2 =x và dx=2dt Khi đó 2 3
.2 d
3
I =∫t t t= t +C ⇒ =I 23x x C+
Vì F( )1 =1 nên 1
3
C= Vậy F x( ) =23x x+13
Câu 7: Tìm hàm số f x( ) , biết rằng f x′( ) =4 x x− và f ( )4 =0
A f x( ) =8x x3 −x22 −403 B f x( ) 2 1
x
Trang 12C f x( ) =8x x3 + x22 −883 D ( ) 2 2 1
2
x
f x
x
= − +
Hướng dẫn giải Chọn A
Ta có: f x( ) =∫ f x x′( )d =8x x3 −x22 +C
( )4 0
3
⇔ = − =∫ −
x x x
f x = − −
Câu 8: Tìm một nguyên hàm của hàm số ( ) 2
1
f x
x
=
− .
1
F x
x
=
− . B F x( ) =4 x−1 C F x( ) =2 x−1 D.
F x = x−
Lời giải Chọn B
Đặt t= x−1 ⇒ = −t2 x 1 ⇒2 dt t=dx
Ta có:
( )d
f x x
1 x
x
=
−
t
=∫ ' 2( ) 4
49
h = − = +4t C =4 x− +1 C.
Vậy một nguyên hàm của hàm số ( ) 2
1
f x
x
=
− là F x( ) =4 x−1
Câu 9: Biết F x( ) là nguyên hàm của hàm số ( ) 1 1
x
+ thỏa mãn F( )0 =0 và ( )3 7
F = Khi đó, giá trị của tham số m bằng
Hướng dẫn giải Chọn B
Ta có F x( ) 1 1 d
= + − ÷
+
∫ = x+ +1 (m−1)x C+ Theo giả thiết, ta có ( )
( )
F F
=
1 0
C
+ =
⇒ + =
1 3
C m
= −
⇔ =
Trang 13Vậy F x( ) = x+ +1 2x−1.
Câu 10: Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2 3
4
f x =x +x là
A 2 ( 3)3
4
2 4 x+ +C C 1 ( 3)3
4
9 +x +C D.
( 3)3
2 4 x+ +C
Lời giải Chọn A
Ta có ∫x2 4+x x3d 1 3 ( 3)
= ∫ + + 1 ( 3) (12 3)
4
( 3)3
2
4
Chú ý: Trong lời giải viết dấu “→” thay cho dấu “=” vì ( )1
4+x ≠ +4 x nhưng ta mượn tạm công thức nguyên hàm của ( )1
3 2
4 x+ để tính nguyên hàm của 3
4 x+
Câu 11: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) 1
2 2 1
f x
x
=
+ .
A ( )d 1 2 1
2
f x x= x+ +C
∫ B ∫ f x x( )d = 2x+ +1 C
C ∫ f x x( )d =2 2x+ +1 C D ( )d ( )1
Hướng dẫn giải Chọn A
Đặt 2x+ =1 t ⇒2x+ =1 t2 ⇒dx t= dt
Khi đó ta có 1 2 1d
2 x+ x
∫ =12∫tdtt = 1 dt
2
= ∫ =12t C+ 1 2 1
= + + .
Câu 12: Với cách đổi biến u= 1 3ln+ x thì tích phân
1
ln
d
1 3ln
e
x x
A 2( 2 )
1
2
1 d
3∫ u − u B 2( 2 )
1
2
1 d
9∫ u − u C 2( 2 )
1
2∫ u −1 du D
2 2
1
d 9
u
u u
−
Lời giải Chọn B
1 3ln
u= + x ⇒u2 = +1 3lnx ln 2 1
3
u
3
x u
u x
Khi đó
1
ln
d
1 3ln
e
x x
∫
2 2
1
1 2
3
u
u u u
−
1
2
1 d
= ∫ −
Câu 13: Khi tính nguyên hàm 3 d
1
x x x
− +
∫ , bằng cách đặt u= x+1 ta được nguyên hàm nào?
Trang 14A ∫2u u( 2−4 d) u B ∫ (u2−4 d) u C ∫2(u2−4 d) u D ∫ (u2−3 d) u.
Lời giải Chọn C
Đặt u= x+1, u≥0 nên 2
1
u = +x d 2 d2
1
x u u
x u
=
⇒ = −
Khi đó 3 d
1
x x x
− +
u
− −
=∫ =∫2(u2−4 d) u
Câu 14: Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số ( ) 2
2 1
f x
x
=
− thỏa mãnF( )5 =7
A F x( ) =2 2x−1 B F x( ) =2 2x− +1 1
C F x( ) = 2x− +1 4 D F x( ) = 2x− −1 10
Lời giải Chọn B
x x
−
=
∫ ∫ =2 2x− +1 C;
Do F( )5 =7 nên 6+ =C 7⇒ =C 1
Dạng 4 Nguyên hàm của hàm số lượng giác Câu 1: Khẳng định nào sau đây là đúng.
A ∫tanxdx= −ln cosx C+ B ∫sin =2 cos +
x dx x C
C ∫cotxdx= −ln sinx C+ D ∫cos = −2 sin +
x dx x C
Lời giải Chọn A
cos cos
Câu 2: Tính tích phân 4 2
0
os
=∫
π
8
I =π +
4
I =π +
C 1
3
3
I =
Lời giải Chọn A
π
Trang 15Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số
3 2
1 sin x
f (x)
sin x
−
Lời giải Chọn A
3
sin x cot osx+C
x
Câu 4: Cho hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x( ) =sin3xcosx Tính
( )0 2
I =F π −F
÷
2
I =π
B 1
4
2
I = π
D 3
4
I =
Lời giải Chọn B
1
4
π
Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) (sin= x c+ os )x 2
A ( ) 1cos 2
2
f x dx x= + x C+
2
f x dx= x C+
∫
C ( ) 1cos 2
2
f x dx= − x C+
2
f x dx x= − x C+
∫
Lời giải Chọn D
2
Câu 6: Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?
A f x( ) =sin 2x và g x( ) =cos2 x B f x( ) =tan2 x và ( ) 2 2
1 cos
g x
x
C f x( ) =e x và g x( ) =e−x D f x( ) =sin 2x và g x( ) =sin2 x
Lời giải Chọn D
Vì ( 2 )/
sin x = 2sin cosx x=sin 2x
Dạng 5: Nguyên Hàm Hàm Mũ, Loga Câu 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) =e2x
2
2
∫
Trang 16C ∫e dx 2e2x = 2x +C D ∫e dx2x = −2e2x +C.
Lời giải Chọn B
Theo công thức nguyên hàm cơ bản eax bdx 1eax b C
a
∫ Suy ra e dx2x 1e2x C
2
Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số y 12 = 12x
A ∫12 dx 122x = 12 4x− ln12 C+ B ∫12 dx 12 ln12 C2x = 12x +
C 2x 1212x
ln12
ln12
−
∫
Lời giải Chọn D
Ta có 12x 1 12x ( ) 1212x 12x 1212x 1
−
Câu 3: Cho F x( ) là nguyên hàm của hàm số f x( ) lnx
x
= Tính F e( )−F(1)
e
2
I = D I =1
Lời giải Chọn C
( ) (1)
2 1
2
x
e
x
x
F F
Câu 4: Biết F làm một nguyên hàm của hàm số f x( ) =2016e2016x và F( )0 =2018 Giá trị của
F là
F 1 =2016e
C F 1( ) =2016e2016+2 D F 1( ) =e2016+2017
Lời giải Chọn D
F x =∫2016e dx e= + →C F 0 = + =1 C 2018→ =C 2017
Câu 5: Tìm nguyên hàm ( 2 )
2
1
+
=
+
x
A I = ln(x2 + + 1) C B 1ln2( 2 1)
4
C 1 ( 2 )
2
Lời giải Chọn B
Trang 17Áp dụng công thức nguyên hàm hợp ( ( 2 ) )
2
2
1
+ =
+
x
x
⇒ =I ∫ x + d x + = x + +C
Câu 6: Kí hiệu F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x( ) x1 1
e
= + , biết F( )0 = −ln 2 Tìm tập
nghiệm S của phương trình ( ) ln( x 1) 3
F x + e + =
A S= −{ 3;3} B S ={ }3 C S = ∅ D S = −{ }3
Lời giải Chọn B
( )
1
x
x
e
Vì F( )0 = −ln 2⇔ = ⇒C 0 F x( ) = −x ln(e x+1)
Xét phương trình F x( ) +ln(e x+ = ⇔ =1) 3 x 3
Dạng 6: Nguyên Hàm Từng Phần Câu 1: Biết F x( ) (= ax b e+ ). x là nguyên hàm của hàm số y=(2x+ 3 ) e x Khi đó a b+ là
Lời giải Chọn A
Khi đó a b+ = 3
Câu 2: Cho tích phân 4( )
0
1 sin 2 d
=∫ −
π
I x x x Tìm đẳng thức đúng
0
π π
0
= − − −∫
π
0
π π
0
π π
Lời giải Chọn C
Trang 18Đặt 1 1
2
=
= −
du dx
u x
0
π
π
Câu 3: Biết rằng ∫e cos xdx e 2 x 3 = 2 x(acos x bsin x 3 + 3 ) + c, trong đó a, b, c là các hằng số, khi đó
tổng
a + b có giá trị là
A 1
13
13
13
Lời giải Chọn C
Đặt f x( )= e acos x bsin x 2 x( 3 + 3 )+ c Ta có
( )
Để f là một nguyên hàm của hàm số e cos x 2 x 3 , điều kiện là
2
3
13
13
=
− =
Câu 4: Tính nguyên hàm I = ∫ (x− 2 sin3xdx) = −(x−2 cos3) x+bsin3x C+
Chọn đáp án đúng:
Lời giải Chọn A
sin3xdx
u x dv
= −
=
du dx
x v
=
= −
Do đó:
Câu 5: Họ nguyên hàm của hàm số f x( )=xsin 2x là
A ( ) 1 cos 2 1sin 2
F x = − x x+ x C+ B ( ) 1 cos 2 1sin 2
F x = x x− x C+
C F x( )= −xcos 2x+sin 2x C+ D F x( )=xcos 2x−sin 2x C+
Lời giải Chọn A