Giáo án Giải tích 12 chương 3 bài 1: Nguyên hàm

NGUYÊN HÀM A.Mục tiêu: 1.Kiến thức: -Khái niệm nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm, sự tồn tại của nguyên hàm, bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp, phương pháp tính nguyên

Trang 1

NGUYÊN HÀM A.Mục tiêu:

1.Kiến thức:

-Khái niệm nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm, sự tồn tại của nguyên

hàm, bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp, phương pháp tính nguyên hàm (phương pháp đổi biến số, phương pháp tính nguyên hàm từng phần)

2.Kỷ năng

-Rèn luyện tư duy logic,tính sáng tạo

3.Thái độ

- Giáo dục học sinh ý thức tự giác,nghiêm túc

B.Phương pháp.

-Gợi mở,vấn đáp, đan xen thảo luận nhóm

C.Chuẩn bị.

1.Giáo viên Giáo án, sách giáo khoa,sách tham khảo.

2.Học sinh Ôn lại bài cũ,làm các bài tập trong sgk.

D.Tiến trình bài dạy.

1 Ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.

2.Kiểm tra bài cũ

?Phát biểu các tính chất của hàm số bậc ba

3.Nội dung bài mới.

a Đặt vấn đề.Các em đã được học xong nội dung chương trình học kì I.Hôm nay

chúng ta sẽ tiến hành tìm hiẻu các khái niệm,tính chất của nguyên hàm các hàm số

b.Triển khai bài

Tiết 49

Trang 2

HOẠT ĐỘNG THẦY VÀ TRÒ NỘI DUNG KIẾN THỨC

* Cho hàm số y = f(x) thì bằng các quy

tắc ta luôn tìm được đạo hàm của hàm

số đó Vấn đề đặt ra là :” Nếu biết được

f’(x) thì ta có thể tìm lại được f(x) hay

không ?

* Giới thiệu định nghĩa.

Cho ví dụ : Tìm nguyên hàm của :

a/ f(x)=2x

b/f(x)=

x

2

cos

1

+)Nếu biết F(x) là một nguyên hàm của

f(x) thì ta còn chỉ ra được bao nhiêu

nguyên hàm của f(x)

I Khái niệm nguyên hàm:

1.Định nghĩa

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu xK ta có : F’(x)= f(x) Chú ý : K= [ a; b] : SGK

Ví dụ:

a F(x) = x2 là nguyên hàm của f(x) = 2x

trên R

b F(x) = tanx là nguyên hàm của f(x) =

x

2

cos

1

trên 



  2

; 2



vì (tanx)’=

x

2

cos

1

với x 



  2

; 2



2.Các tính chất của nguyên hàm *)Định

lí 1:

Giả sử hàm số F là một nguyên hàm của f trên K khi đó :

a)Với mỗi hằng số C,F(x) + C cũng

là nguyên hàm của f(x) trên K b) Ngược lại, với ø mỗi nguyên hàm G của f trên

K thì tồn tại một hằng số Csao cho G(x)

= F(x) + C , với xK

*Họ tất cả các nguyên hàm của f trên

K được ký hiệu

Trang 3

+)Từ định lý 1 ta thấy nếu F là một

nguyên hàm của f trên K thì mọi

nguyên hàm của f trên K đều có dạng

F(x) + C

 Người ta chứng minh được :

Mọi hàm số liên tục trên K đều có

nguyên hàm trên Kù

Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp sau:

f(x)dx = F(x)+C

*) TÍNH CHẤT CỦA NGHUYÊN HÀM

+ Tính chất 1

' ( ) ( )

�

+ Tính chất 2.

( ) ( ) ( 0)

+ Tính chất 3.

[ ( )f x �g x dx( )]  f x dx( ) �g x dx( )

Ví dụ.Tìm nguyên hàm F của hàm số

f(x) = 3x 2 biết F(1) = - 1

2 Tìm

2

a/ x dx b/ 3x dx c) 2xdx

d) e) sin xdx f )

3.Sự tồn tại của nguyên hàm:

Định lý 2:

“Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K”

4 Bảng các nguyên hàm của một số hàm số thường gặp(sgk)

dx x C 

�

1 ( 1) 1

x





�

dx

x C x

�

e dx e C

�

ln

x

a

�

cosxdx sinx C

�

sinxdx  cosx C

�

2 os

dx tgx C

�

2 cot

sin

dx

gx C

�

Trang 4

4.Củng cố.

- Nắm vững định nghĩa định lí nguyên hàm.

- Nắm vững các công thức nguyên hàm và vận dụng vào làm bài tập.

5.Dặn dò

-Học sinh về nhà học thuộc bài cũ,làm các bài tập trong sgk

*****************************************************

Trang 5

2.Kỷ năng

3.Thái độ

C.Chuẩn bị.

chúng ta sẽ tiến hành tìm hiểu các khái niệm,tính chất của nguyên hàm các hàm số

Tiết 50

Trang 6

Giới thiệu bảng các nguyên hàm

thường gặp

GV: Để tìm nguyên hàm của

3 x 2 x

f (x)

x



 ta làm như thế nào?

GV:

2 2

2

2 2

( )

cos

1 2

cos 1 2

cos

x x

x

F x

e

x







�

Do F(0) = -5=> C= -1

=> F(x)= e2x tanx1

GV: a/ Cho �(x 1) 10dx

Đặt u = x – 1, hãy viết

(x – 1)10dx theo u và du

b/ Cho ln x dx

x

� Đặt x = et, hãy viết

4 Áp dụng Tìm các nguyên hàm sau:

1) (5x2 - 7x + 3)dx =

3

5

x3 -

2

7

x2 + 3x + C

2) (7cosx -

x

2

cos

3

)dx = 7sinx – 3tanx + C

3) 3 x 2x xdx = 3 3 x 4 x+ C

Ví dụ: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm

số f(x) = e2x )

cos 2

2

x

e x



biết F(0) = -5

Giải :

F(x)= e2x tanx1

II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM.

1 Phương pháp đổi biến số

Gợi ý: a) Xét nguyên hàm �(x 1) 10dx

Đặt u = x-1 � du = dx

Ta có: (x-1)10dx = u10du

Trang 7

ln x

dx

x theo t và d

*Chú ý: �f(ax + b)dx = F(ax + b) + C 1

a

c)Xét ln x dx

x

� ; đặt x = et Biểu thức

ln x

dx

x được viết thành . t

t

e dt tdt

Thông qua VD trên Gv đưa đến

Định lý 1:

“Nếu �f u du F u( )  ( ) C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:

' ( ( )) ( ) ( ( ))

VD1: Tính �  7

1

I = 2x + 3 dx

VD2: Tính �2

2

I = sin xcosxdx

VD3: Tính �1+x 2

3

I = x.e dx

4.Củng cố.

Nhắc lại cho HS phương pháp đổi biến số tính nguyên hàm

Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau

6

1

I (2x 5) dx (2x 5) d(2x 5) C



5

2

sin x

I sin x cos xdx sin xd(cos x) C

5

5.Dặn dò

Trang 8

*****************************************************

Trang 9

2.Kỷ năng

3.Thái độ

C.Chuẩn bị.

Tiết 51

Trang 10

Cho bài toán: Vận dụng các kiến thức

tính nguyên hàm đã học để Tính

�x.sinxdx

Đặt vấn đề:Chúng ta không thể dùng

các kiến thức đã học, ta sẽ dùng

phương pháp sau đây để giải bài toán

trên

Hướng dẫn cho HS:

 Tính  '

x.cosx

 Lấy nguyên hàm hai vế và tính

�x.sinxdx

 Ta đặt u = x và v = cosx Hãy

viết lại (1) theo u, v và giải

thích

Công thức (*) là công thức của

phương pháp lấy nguyên hàm từng

phần

Cho Hs đọc định lí 2 trong SGK

Dựa vào định lí 2 để tính nguyên hàm

theo pp nguyên hàm từng phần ta phải

xác định các yếu tố nào?

Chú ý cho HS, đặt u và dv sao cho

nguyên hàm sau đơn giản và dễ tính

hơn nguyên hàm ban đầu

2 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần:

Định lí 2:

Nếu u = u(x), v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì

u.v dx = u.v - v.u dx

hoặc được viết gọn dưới dạng:

�udv = uv - vdu�

VD1: Tính �x.sinxdx

Giải

Đặt��

u = x du = dx

dv = sinxdx v = -cosx

�x.sinxdx = -xcosx + cosxdx�

= -xcosx + sinx + C

VD5: Tính �xlnxdx

VD2: Tính �x 2x

e dx 3 Giải

Trang 11

Từ những Vd trên các em hãy nhận xét

khi tính �P(x)sin(ax + b)dx

�P(x)cos(ax + b)dx

�P(x)e ax+b dx,�P(x)lnxdx

Ta đặt u là gì? và dv là gì?

*Nhận xét: Khi tính

 �P(x)sin(ax + b)dx hoặc

�P(x)cos(ax + b)dx,

đặt

�

u = P(x)

sin(ax + b)dx

dv =

cos(ax + b)dx

 �P(x)e ax+b dx, đặt��

� ax+b

u = P(x)

dv = e dx

�P(x)lnxdx,đặt ��

�

u = lnx

dv = P(x)dx

Đặt:

�

1

3

1

v = e

dv = e dx

2

�x 2x 1 2x 1�2x

e dx = xe - e dx

1 2x 1 2x

= xe - e + C

VD3: Tính �x

�x x �x x x

VD4: Tính  xcosxdx Đặt u = x và dv = cosxdx ta có: du = dx

và

v = sinx   xcosxdx = xsinx -  sinxdx = xsinx + cosx + C

VD5: Tính  lnxdx

Đặt u = lnx và dv = dx ta có: du = 1dx

x

và v = x

 lnxdx = xlnx -  dx = xlnx – x + C

4.Củng cố.

6

1

I (2x 5) dx (2x 5) d(2x 5) C



Trang 12

2

sin x

5

5.Dặn dò

*****************************************************

Trang 13

BÀI TẬP

A.Mục tiêu:

2.Kỷ năng

3.Thái độ

C.Chuẩn bị.

2.Kiểm tra bài cũ : Tìm các nguyên hàm sau:

I=  

  dx x

Tiết 53

Trang 14

GV: Cho HS làm các bài tập

Hướng dẫn giải.

a)I1 1x3 2x2 2x 1 C

3



�

x 1

x

3x 3x C

�

3

2

� 

4

d)I x x 1 dx 2x5   x C

5

a) J 1  

  

�x �

x

e dx dx

e x C

b)



�x x

e

cos x =

x

2e  tgx C 

Bài 1 Tìm nguyên hàm các hàm số sau:

2

3

a) f (x) x 4x ; b) f (x)

c) f (x) ; d) f (x) x 1 x x 1



a) I1 1 3  2   1 

x 2x 2x C 3

b) �  53 23

x

c)  ��  ��   

2

d) I 4 �  x 1 x    x 1 dx   � x x 1 dx  

 3 5

x 1 dx x x C

5

Bài 2 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số

sau:

2

e a) f(x) e 1 e ; b) f(x) e 2

cos x c) f(x) 2a x; d) f(x) 2 3



Trang 15

 



�

x x

4

d)J 2 3 dx

2 dx 3 dx

C ln2 ln3

b) Đặt  



�

3 2

u x 5

du 3x dx

�



�

2 3

2

3

1

3

.Đặt u=lnx, dv=x-1/2dx

ta có: du= dx/x; v= 2.x1/2

lnx

dx

x

� =2x1/2 lnx�2x 1/2dx

=2x1/2 lnx - 4x1/2 + C

a) J 1 �e dx x �dx e x C    x

b)



�x x

e

cos x =2e x  tgx C 

d)

4

ln2 ln3

Bài 3 Tính:

2 3

3cosx

a) E cos(ax b)dx (a 0); b) E x x 5dx c) E tgxdx; d) E e sinxdx

a) Đặt u = ax+b  du = adx

1

E cos(ax b)dx

1�cos(ax b)d(ax b)   1sin(ax b) C  

d) Đặt u = 3cosx du = 3sinxdx



� �3cosx 4

E e sinxdx

  1�e3cosxd(3cosx)  1e3cosx C

Bài 4 : Tính a/. lnx dx

x

Kết quả: I ==2x1/2 lnx - 4x1/2 + C

4.Củng cố.

Trang 16

6

1

I (2x 5) dx (2x 5) d(2x 5) C



5

2

sin x

5

5.Dặn dò

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	345,5 KB