HH 12 chương 3 bài 3 full

BÀI 3 ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Định nghĩa Phương trình ttham số của đường thẳng đi qua điểm M0 và có vectơ chỉ phương , Nếu a1, a2, a3 đều khác không Phương trình đường[.]

BÀI 3 ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

Định nghĩa:

Phương trình ttham số của đường thẳng  đi qua điểm M0 và có vectơ chỉ phương a (a ;a ; a ) 1 2 3



,

a 0

 

x x a t

y y a t (t R)

z z a t

  





  



0 1

0 2

0 3

Nếu a1, a2, a3 đều khác không.Phương trình đường thẳng viết dưới dạng chính tắc như sau:

1 Vị Trí tương đối của hai đường thẳng:

1)Vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng

o o

' '

' ' o

x x a t'

x x a t

d : y y a t d' : y y a t'

  

  



 

1 1

vtcpuđi qua Movà d’có vtcp u'

đi qua Mo’

u,u'



cùng phương

d // d’

u ku'

M d'

 







 0



 

d ≡ d’

u ku'

M d'

 







 0

 

u



,u'



Không cùng phương

' '

o

x a t x a t'

y a t y a t'

z a tz a t'









d chéo d’

 Hệ Ptrình vô nghiệm

d cắt d’

  Hệ Ptrình có một nghiệm

1)Vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng

' ' o o

' '

o

x x a t'

x x a t

d : y y a t d' : y y a t'

  

  



 

1 1

vtcpuđi qua

Movà d’có vtcp u'



đi qua Mo’

 / /  o

[u,u']=0

M d'











 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 ≡ 

[u,u']=0

M d'







 0

  

 cắt 

' o

u,u' u,u' M M

  

 





 

0

0



 



 

 chéo 

' u,u' M M

  0 0 0

 

2 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Trong Kg Oxyz cho   : Ax By Cz D   0 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng

và

o

o

x x a t

d : y y a t

z z a t

  



 



  



1 2

0 3

Phương trình

A x0 a t1 B y0a t2 C z0a t3 D 0

 P.trình vô nghiệm thì d //

 P.trình có một nghiệm thì d cắt

 P trình cóvôsốnghiệm thìd thuộc

Đặc biệt :

(d)  ()  a,n

  cùng phưong

d qua M có vtcp a (a ; a ; a ) 1 2 3



và  : Ax By Cz D   0có vtpt n ( A; B;C)



 cắt  a.n 0 

 // 

a.n

M ( )







 0

 

 nằm trên mp 

a.n

M ( )







 0

 

3 Khoảng cách :

 Khoảng cách từ M0 đến mặt phẳng : Ax+By+Cz+D=0 cho bởi côngthức

0

d( M , )

 

0 0

Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng

Phương pháp 1:

Lập ptmp(

 ) đi qua M và vuông góc với d

Tìm tọa độ giao điểm H của mp(

d =MH



Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau

Phương pháp 1:

d đi qua M; cóvtcp a (a ; a ; a ) 1 2 3



d’qua M’; vtcp a' (a' ; a' ; a' ) 1 2 3

Lập ptmp(

 ) chứa d và song song với d’

d= d)



Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng Phương pháp 2:

0

[M M,u]

d( M, )

u

 

 



Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau Phương pháp 2:

d đi qua M; cóvtcp a (a ;a ; a ) 1 2 3



d’qua M’; vtcpa' (a' ; a' ; a' ) 1 2 3



hop day

[a,a'].MM' V d( , ')

S [a,a']



 

  

 

4 Góc giữa hai đường thẳng:

 Góc giữa hai đường thẳng

đi qua M có VTCP a (a ; a ; a ) 1 2 3



đi qua M’ có VTCP a' (a' ; a' ; a' ) 1 2 3

a.a' a a' a a' a a' cos cos(a,a')

a a' a a a a' a' a'

1 1 2 2 3 3



 

 

 

5 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

đi qua M0 có VTCP a

 , mp có VTPT n ( A; B;C)



Gọi j là góc hợp bởi và mp

2

Aa +Ba +Ca sin cos(a,n)

A B C a a a

 2 2 12  22 32

 

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho E( 1;0;2)- và F(2;1; 5)- Phương trình đường thẳng EF là

A



C

Lời giải Chọn B

Ta có: EF (3;1; 7)

Đường thẳng EF đi qua điểm E ( 1;0; 2) và có VTCP (3;1; 7)

u EF   

có phương trình:



Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  đi qua điểm M2;0; 1 

và có một vectơ chỉ phương a  4; 6; 2 .Phương trình tham số của  là

A

2 4 6

1 2

y t

 









  

2 2 3 1

y t

 









  

4 2 6 2

y

 









  

2 2 3 1

y t

z t

 









  

Lời giải Chọn B

4; 6;2 2 2; 3;1 

a    

\

Do đó đường thẳng  có một vectơ chỉ phương là u  2; 3;1 

Vậy phương trình tham

số của  đi qua M2;0; 1 

và có một vectơ chỉ phương là u  2; 3;1 

là:

2 2 3 1

y t

 









  

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M1; 2;1 , N0;1; 3

Phương

trình đường thẳng qua hai điểm M , N là

A

C

Lời giải Chọn C

 1; 3; 2

MN  

Đường thẳng MN qua N nhận MN    1; 3; 2

làm vectơ chỉ phương có phương trình

Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình tham số trục Oz là

A z  0 B

0 0

x

y t z











 

0 0

x t y z











 

0 0

x y

z t











 

Lời giải Chọn D

Trục Oz đi qua gốc tọa độ O0;0;0

và nhận vectơ đơn vị k r 0;0;1

làm vectơ chỉ

phương nên có phương trình tham số

0 0

x y

z t











 

Câu 5: Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M2;0; 1 

và có véctơ chỉ phương a  2; 3;1 

là

A

4 2

6 2

y

 









  

2 2

1

y t

z t

 









  

2 4

1 2

y t

 









  

2 2

3 1

y t

 









  



Lời giải

Chọn D

Theo lý thuyết về dường thẳng trong không gian Oxyz, ta có phương trình tham số của

đường thẳng đi qua điểm M x y z 0; ;0 0

và có véctơ chỉ phương aa a a1; ;2 3

là

0 1

0 2

0 3

x x a t

y y a t t

z z a t







  





Do đó, đáp án D đúng.

Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A1;2;3 , B3;4;1 , C  5; 2; 4 

Đường thẳng

di qua A và song song với đường thẳng BC có phương trình

A

C

Lời giải Chọn A

 8; 2; 5

BC    

là vectơ chỉ phương của đường thẳng qua A và song song với đường

thẳng BC

Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số

2 2

3 5

 







  





Khi đó, phương trình chính tắc của d là

A





C x 2  y z 3 D x   2 y z 3

Lời giải

Chọn A

Ta có phương trình đường thẳng d:

2 2 3

3 5

 









  



đi qua điểm A(2;0; 3) và có vectơ chỉ

phương (2; 3;5)



u nên có phương trình chính tắc là



Câu 8: Trong không gian tọa độ Oxyz , đường thẳng d đi qua điểm I1; 2;3 

và nhận

4; 5;6

u  

là vectơ chỉ phương có phương trình tham số là

A

1 4

2 5

3 6

 





 



  

4

5 2

6 3

 





 



  

4

5 2

6 3

 





 



  

1 4

2 5

3 6

 





 



  

Lời giải

Chọn D

Đường thẳng d đi qua điểm I1; 2;3  và nhận u  4; 5;6  là vectơ chỉ phương có

phương trình tham số là

1 4

2 5

3 6

 





 



  

Câu 9: Trong hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng

:



d

Phương trình nào sau đây là phương là phương trình tham số của d ?

A

1 2

2 3







 



  



x

1

2 2

1 3

 





 



  



x t

1

2 2

2 3

 





 



  



x t

1 2 1







 



  



x

z t

Lời giải

Chọn C

Đường thẳng d có một VTCP r1; 2;3 

u và đi qua M1; 2; 2 

Vậy đường thẳng dcó phương trình tham số là

1

2 2

2 3

 





 



  



x t

z t.

Câu 10: Trong không gian tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của

đường thẳng đi qua hai điểm A 1; 2;5 và B3;1;1?

A

C



Lời giải Chọn C

+ Ta có AB 2;3; 4

là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB , từ đáp án ta loại

đáp án A và đáp án B

+ Đáp án C thỏa mãn đi qua điểm A 1; 2;5

nên đáp án C là đáp án đúng.

+ Thay tọa độ điểm A 1; 2;5

vào đáp án D:

 nên loại đáp án D.

Câu 11: Viết phương trình tham số của đường thẳng qua điểm E2, 4, 3 

và song song với đường thẳng MN với M3, 2, 5 ; N1, 1, 2  

A

3 2

5 3

  





  





1 2

1 3 ;

2 3

  





  





C

2 2

4 3 ;

3 3

  





  





Lời giải

Chọn C

Một vectơ chỉ phương của  d :MN   2, 3, 3    2, 3, 3

 

2 2

3 4 ;

3 3

  



  





Câu 12: Phương trình tham số đường thẳng qua I  1, 5, 2

và song song với trục x Ox' là

A

1

2

x t

z

  





 



 B

5 ; 2

x m

y m m

z m

 





 



 C

2

10 ; 4

x t

z t

 





 



 D Cả A và C

Lời giải

Chọn A

 D / / 'x Ox 

Vectơ chỉ phương của  D e : 1 1,0,0

 

1

2

x t

z

  



 





Câu 13: Viết phương trình tham số của đường thẳng  D

qua E2, 1, 3  

và vuông góc với hai

3

y

A

2 7

1 ;

3 10

y t

  





  





2 7

3 10

  





  





C

2 8

7 1 ;

3 10

y t

  





  





2 9

  









.

Lời giải

Chọn D

Hai vectơ chỉ phương của D1

vàD2:a3,1, 2 ; b2, 4, 1 

Một vectơ chỉ phương của  D c: a b,    9,7,10

 

  

 D :x 2 9 ;t y 7tz 1;t 10 1;

Câu 14: Cho tam giác ABC có A1, 2, 3 ;  B2, 1, 4 ;  C3, 2, 5  

Viết phương trình tham số của trung tuyến AM:

A

1 3

2 7 ;

15 3

z t

  









1 3

3 15

  





  





C

1 3 cos

2 7 cos ; 15cos 3

  









Lời giải

Chọn A

Trung điểm M của BC:

M  

Một vecto chỉ phương của AM: 3, 7 15, 13, 7,15

AM   

AM x t y tz t

Câu 15: Cho tam giác ABC có A1, 2, 3 ;  B2, 1, 4 ;  C3, 2, 5  

Viết phương trình chính tắc của cạnh AB

A

1

2

C

1

Lời giải

Chọn D

Một vecto chỉ phương của AB:

1, 3,7

AB

y z x

Câu 16: Hai đường thẳng  : 1 3 2;  : 2 1 4

y

A Song Song B Trùng nhau C Chéo nhau D Cắt nhau

Lời giải

Chọn C

1, 3, 2  

và  D

có vecto chỉ phương a 2,1, 3



 2,1, 4  

và  d

có vecto chỉ phương b 3, 2, 4



 3, 4, 6 ,  2,1,1 3, 4, 6   4 0

AB    a b AB      

 

 D



và  d

chéo nhau

Câu 17: Hai dường thẳng

 D :x2t3; y tz 1; t 3  2;d x :t 4y 1; tz2 t 5; 6 1;  

A Song song B Chéo nhau C Cắt nhau D Trùng nhau

Lời giải

Chọn A

 D

qua M3,1, 2 

và có vecto chỉ phương a 2,1, 3



 d

qua M  1, 5,1 

và có vecto chỉ phương b 4, 2,62 2,1, 3 



a





và b

 cùng phương   D

và  d

cùng phương

 4, 6, 3

MN   

không cùng phương với a    D / / d



Câu 18: Đường thẳng  : 1 1 2

và mặt phẳng  P :x2y 4z 23 0

:

A Song song B Vuông góc C Cắt nhau D chứa

Lời giải

Chọn C

 D

có vecto chỉ phương a 2, 1, 3 



 P

có pháp vecto: n 1, 2, 4 



 

và  P

cắt nhau

Chú ý: nếu đòi hỏi hính tọa độ giao điểm thì viết phương trình tham số của

 d :x2t1;y 1 tzt; 3  2

Thay x y z, , vào phương trình  P

ta có t  1 Tọa độ giao điểm M  1, 2, 5 

Câu 19: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng sau song song?

 : 1 3 1 ;  : 3 1 2



Lời giải

Chọn D

 D

qua 1, 3,1

và có vecto chỉ phương a2, ,m m 2 ; m0



và m 2

 d

qua B3, 1, 2 

và có vecto chỉ phương b 1,3, 2



   / / 2 2

và A d  m6

Câu 20: Với giá trị nào của m và n thì đường thẳng

 

z t

  



 



  



3 4

3 t   song song với mặt phẳng   P : m 1x2y 4z n  9 0 ?

A m4; n14 B m4; n10 C m3; n11 D.

m n

Lời giải

Chọn D

 D

qua A3,1, 3 

và có vecto chỉ phương a 4, 4,1 



Vecto pháp tuyến của   P : m  1, 2, 4 

   

 

a n





 

Câu 21: Với giá trị nào của m thì đường thẳng  D x y z





3

:

phẳng  P :x3y2z2

Lời giải

Chọn C

Vecto chỉ phương của  D a: 2, ,m m 2



Vecto pháp tuyến của  P n : 1,3, 2





và n cùng phương:

2

m



Câu 22: Tính góc của hai đường thẳng  : 1 3 2

y

và

 d :x 3 2 ;t y2tz 4; t 2   

Lời giải

Chọn D

 D

và  d

có vec-tơ chỉ phương a2, 4, 4 ; b2, 2,0

0 2.2 4.2 4.0 2

2 6.2 2

Câu 23: Hai đương thẳng ( )d1 :

 





 



  

 và ( )d2 :

5 '

1 4 '

20 '

 





 



  

 cắt nhau tại C

Tọa độ điểm C là:

A C(3, 7,18) B C(3,7,18) C C(3, 7, 18)  D C ( 3,7,18)

Lời giải

Chọn B

Hệ phương trình





  



 có nghiệm t3, 't 2

Từ đó có C(3,7,18)

Câu 24: Cho hai đường thẳng: 1

:

d     

 và  2

:

d      



Chọn câu trả lời đúng:

A  d1

và d2

và d2

vuông góc nhau

C  d1

và d2

trùng nhau D  d1

và d2

chéo nhau

Lời giải

Chọn D

Phương trình  d1  d1 cho A7,3,7 và vectơ chỉ phương của  d1 :

1,2, 1

a  

Phương trình d2

cho B3,1,1 d2 và vectơ chỉ phương của d2

:

 7,2,3

b  

, 8, 4,16

a b

  

 

; AB     4, 2, 8

a b AB

 

 

 

 d1

và d2

chéo nhau

Câu 25: Cho điểm A3, 2,1

và đương thẳng  : 3

x y

d   z

.Mặt phẳng   chứa điểm A và

 d

có phương trình tổng quát là:

A 14x15y 8z24 0. B 14x5y 8z 24 0.

C 14x 5y8z24 0. D 14x 5y 8z 24 0

Lời giải

Chọn D

Phương trình  d

cho B0,0, 3   d

và vectơ chỉ phương của  d

:

2, 4,1

a 

 3, 2, 4

AB    

;  AB a,   14, 5, 8   Gọi M x , y, z  , BM x y z, , 3

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

là phương trình của  

Câu 26: Cho đường thẳng

 

1 2

3

 





 



 

 và điểm I2, 1,3 .Điểm K đối xứng với điểm I qua đường thẳng  d

có tọa độ:

A K4, 3, 3    B K  4,3, 3   C K4, 3,3   D K4,3,3 

Lời giải

Chọn D

 d

có vectơ chỉ phương a  2, 1,3 

.Xét mặt phẳng   : 2x y 3z D 0

 

I 

nên D 14

  : 2x y 3z14 0.

Thế x y z, , theo t vào phương trình   được 1

t    d

cắt   tại M3,1,3

M là trung điểm của IK nên K4,3,3

Câu 27: Cho ba điểm A1, 2,3 , B2,1,1 , C5,0,0

.Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên

AB Tọa độ điểm H là:

A

4 5 7

3 3 3

H  

H   

C

4 5 7

H  

4 5 7 , ,

3 3 3

H 

Lời giải

Chọn D

Đương thẳng ABcó phương trình tham số

1 2

3 2

 





 



  



Gọi   là mặt phẳng chứa C và vuông góc với AB Phương trình   có dạng:

x y z D 

C   D

Phương trình   :x y 2z 5 0

Thế x y z, , theo t từ phương trình tham số của AB được

1 3

t 

H

 có tọa độ:

4 5 7 , ,

3 3 3

H 

Câu 28: Cho điểm A2,3,5

và mặt phẳng  P : 2x3y z 17 0. Gọi A’ là điểm đối xứng của

A qua  P

.Tọa độ điểm A’ là:

A

12 18 34

7 7 7

A  

12 18 34

A   

C

12 18 34

A    

12 18 34

A   

Lời giải

Chọn A

Phương trình tham số của đường thẳng  d

qua A vuông góc với  P

:

2 2

3 3 5

 





 



  

, , z

x y theo t vào phương trình của  P

được

1 14

t 

Thế

1 14

t 

vào phương trình của  d được guao điểm I của  d và  P :

26 39 69

, ,

14 14 14

I  

I là trung điểm của AA’ nên:

12 18 34

7 7 7

Câu 29: Cho ba điểm A4, 4, 0 , B 2, 0, 4 ,   C1, 2, 1 .Khoảng cách từ C đến đường thẳng AB là

Lời giải

Chọn A

 5, 2,1

CA  

;CB   1, 2,5

;AB 6, 4, 4 

Khoảng cách cần tìm bằng:

13

2 9 4 4

CA CB AB

 

 



d          

và mặt phẳng ( ) : x y z   3 0 Hình chiếu của ( )d2 theo phương của ( )d1 lên mặt phẳng ( ) có phương trình tổng quát:

A

3 0

x y z





3 0

x y z





C

3 0

x y z





3 0

x y z





   



Lời giải

Chọn C

Vectơ chỉ phương của ( ) :d1 a   ( 7, 2,3) Vectơ chỉ phương của ( ) :d2 b  (1, 2, 1). Phương trình của mặt phẳng chứa ( )d2 và có phương của ( )d1 có dạng:

2x y 4z D 0

Điểm A(7,3,9) thuộc mặt phẳng này  D53

Giao tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng ( ) là hình chiếu của ( )d2 theo phương

của ( )d1 lên

( ) :

3 0

x y z

   



Câu 31: Hai đường thẳng  d1

:

x y z

và  2

:

d     

 cắt nhau tạiA.

Tọa độ của A là:

A A3, 2,1 

B A3, 2,1   C A3, 2, 1    D A  3, 2,1

Lời giải

Chọn B

 d1

có dạng tham số:

5 2

1 3

7 6

 





 



  

 ;d2

có dạng tham số:

3 14 '

2 5 '

1 2 '

 





 



  



Hệ phương trình:

5 2 3 14 '

7 6 1 2 '





  



   

 có nghiệm t 1, ' 0

 d1

 cắt d2

tại A3, 2,1 

Câu 32: Cho hai đường thẳng

x y z

 và d2 2

( ) :

d    

 cắt nhau tạiA.

Tọa độ của A là:

A A(3, 2,1). B A(3, 2,1). C A(3, 2, 1).  D A ( 3, 2,1).

Lời giải

Chọn C

Dễ thấy  d1 / /d2

1, 2, 0

A  d1 ;B2, 2, 0  d2

1, 2, 2

a  

là vectơ chỉ phương của  d1

;AB 1,0,0

, (0, 2, 2)

AB a

 

0,1,1

n 

 

Phương trình mặt phẳng chứa  d1

và d2

có dạng y z D  0,cho qua A được 2

D 

Vậy y z  2 0