Giáo án Giải tích 12 chương 3 bài 1: Nguyên hàm

Về kĩ năng: - Tìm được nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm.. - Từ HĐ1 SGK cho học sinh rút ra nhận xét có thể gợi ý ch

NGUYÊN HÀM

(3 tiết)

I Mục đích yêu cầu:

1 Về kiến thức:

- Hiểu được định nghĩa nguyên hàm của hàm số trên K, phân biệt rõ một nguyên hàm với họ nguyên hàm của một hàm số

- Biết các tính chất cơ bản của nguyên hàm

- Nắm được các phương pháp tính nguyên hàm

2 Về kĩ năng:

- Tìm được nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm

- Sử dụng phương pháp đổi biến số, phương pháp tính nguyên hàm từng phần để tính nguyên hàm

3 Về tư duy, thái độ:

- Thấy được mối liên hệ giữa nguyên hàm và đạo hàm của hàm số

- Cẩn thận, chính xác, nghiêm túc, tích cực phát biểu xây dựng bài

II Chuẩn bị:

1 Giáo viên: Giáo án, bảng phụ, phiếu học tập.

2 Học sinh: SGK, đọc trước bài mới.

III Tiến trình bài học:

1 Ổn định lớp: Kiểm tra sỉ số, tác phong…

2 Kiểm tra bài cũ: (3’)

Câu hỏi: Tìm đạo hàm các hàm số sau:

a/ y = x3 b/ y = tan x

3 Bài mới:

Tiết1: Nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm

Tiết 2: Phương pháp tính nguyên hàm bằng cách đổi biến số

Tiết 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Tiết 1:

T/

9

5’

HĐ1: Nguyên hàm

HĐTP1: Hình thành khái niệm

nguyên hàm

- Yêu cầu học sinh thực hiện

HĐ1 SGK

- Từ HĐ1 SGK cho học sinh rút

ra nhận xét (có thể gợi ý cho

học sinh nếu cần)

- Từ đó dẫn đến việc phát biểu

định nghĩa khái niệm nguyên

hàm (yêu cầu học sinh phát

biểu, giáo viên chính xác hoá và

ghi bảng)

HĐTP2: Làm rõ khái niệm

- Thực hiện dễ dàng dựa vào kquả KTB cũ

- Nếu biết đạo hàm của một hàm số ta có thể suy ngược lại được hàm số gốc của đạo hàm

- Phát biểu định nghĩa nguyên hàm (dùng SGK)

I Nguyên hàm và tính chất

1 Nguyên hàm

Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng của IR Định nghĩa: (SGK/ T93)

- Nêu 1 vài vd đơn giản giúp

học sinh nhanh chóng làm quen

với khái niệm (yêu cầu học sinh

thực hiện)

H1: Tìm Ng/hàm các hàm số:

a/ f(x) = 2x trên (-∞; +∞)

1

b/ f(x) = trên (0; +∞)

x

c/ f(x) = cosx trên (-∞; +∞)

HĐTP3: Một vài tính chất suy

ra từ định nghĩa

- Yêu cầu học sinh thực hiện

HĐ2 SGK

- Từ đó giáo viên giúp học sinh

nhận xét tổng quát rút ra kết

luận là nội dung định lý 1 và

định lý 2 SGK

- Yêu cầu học sinh phát biểu và

C/M định lý

- Học sinh thực hiện được 1 cách dễ dàng nhờ vào bảng đạo hàm

TH:

a/ F(x) = x2

b/ F(x) = lnx

c/ F(x) = sinx

a/ F(x) = x2 + C b/ F(x) = lnx + C c/ F(x) = sinx + C (với C: hằng số bất kỳ)

- Học sinh phát biểu định lý (SGK)

VD:

a/ F(x) = x2 là ng/hàm hàm số f(x) = 2x trên (-∞; +∞) b/ F(x) = lnx là ng/hàm của 1

hàm số f(x) = trên (0; +∞) x

c/ F(x) = sinx là ng/hàm của h/số f(x) = cosx trên (-∞; +∞)

3’ Định lý1: (SGK/T93)

C/M

T/

9

3’

- Từ định lý 1 và 2 (SGK) nêu

K/n họ nguyên hàm của h/số và

kí hiệu

- Làm rõ mối liên hệ giữa vi

phân của hàm số và nguyên

hàm của nó trong biểu thức

(Giáo viên đề cập đến thuật

ngữ: tích phân không xác định

cho học sinh)

HĐTP4: Vận dụng định lý

- H/s làm vd2 (SGK): Giáo viên

có thể hướng dẫn học sinh nếu

cần, chính xác hoá lời giải của

học sinh và ghi bảng

HĐ2: Tính chất của nguyên

hàm

HĐTP1: Mối liên hệ giữa

nguyên hàm và đạo hàm:

- Từ đ/n dễ dàng giúp học sinh

suy ra tính chất 1 (SGK)

- Minh hoạ tính chất bằng vd và

y/c h/s thực hiện

HĐTP2: Tính chất 2 (SGK)

- Yêu cầu học sinh phát biểu

tính chất và nhấn mạnh cho học

sinh hằng số K+0

- Chú ý

- H/s thực hiện vd

Định lý2: (SGK/T94) C/M (SGK)

C Є R

Là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K

*Chú ý:

f(x)dx là vi phân của ng/hàm F(x) của f(x) vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx

Vd2:

a/ ∫2xdx = x2 + C; x Є(-∞; +∞)

b/ ∫1/sds = ln s + C; s Є(0; +∞)

c/ ∫costdt = sint + C; t Є(0; +∞)

2 Tính chất của nguyên hàm

∫f(x) dx = F(x) + C

3’

5’

- HD học sinh chứng minh tính

chất

HĐTP3: Tính chất 3

- Y/cầu học sinh phát biểu tính

chất

- Thực hiện HĐ4 (SGK)

(giáo viên hướng dẫn học sinh

nếu cần)

- Phát biểu tính chất

1 (SGK)

- H/s thực hiện vd

- Phát biểu tính chất

- Phát biểu dựa vào SGK

- Thực hiện

Tính chất 1:

Vd3:

∫(cosx)’dx = ∫(-sin)dx = cosx + C

Tính chất2:

k: hằng số khác 0 C/M: (SGK)

Tính chất 3:

C/M: Chứng minh của học sinh được chính xác hoá

∫[f(x) ± g(x)]dx=∫f(x)dx ±∫g(x)dx ∫f’(x) dx = f(x) + C

∫kf(x) dx = k ∫f(x) dx

4’

- Minh hoạ tính chất bằng

vd4 SGK và yêu cầu học sinh

thực hiện

- Nhận xét, chính xác hoá và

ghi bảng

HĐ3: Sự tồn tại của nguyên

hàm

- Giáo viên cho học sinh phát

biểu và thừa nhận định lý 3

- Minh hoạ định lý bằng 1

vài vd 5 SGK (y/c học sinh

giải thích)

HĐ4: Bảng nguyên hàm

- Cho học sinh thực hiện hoạt

động 5 SGK

- Treo bảng phụ và y/c học

sinh kiểm tra lại kquả vừa

thực hiện

- Từ đó đưa ra bảng kquả các

nguyên hàm của 1 số hàm số

thường gặp

- Luyện tập cho học sinh

bằng cách yêu cầu học sinh

làm vd6 SGK và 1 số vd

khác gv giao cho

- HD h/s vận dụng linh hoạt

- Học sinh thực hiện Vd:

Với x Є(0; +∞)

Ta có:

∫(3sinx + 2/x)dx = 3∫(sin)dx + 2∫1/xdx = -3cosx + 2lnx +C

- Phát biểu định lý

- Thực hiện vd5

- Thực hiện HĐ5

- Kiểm tra lại kquả

- Chú ý bảng kquả

Vd4: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3sinx + 2/x trên khoảng (0; +∞) Giải:

Lời giải của học sinh đã chính xác hoá

3 Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lý 3: (SGK/T95)

Vd5: (SGK/T96)

4 Bảng nguyên hàm của một

số hàm số thường gặp:

Bảng nguyên hàm:

(SGK/T97)

4’

bảng hơn bằng cách đưa vào

các hàm số hợp

- Thực hiện vd 6 a/ = 2∫x2dx + ∫x-2/3dx = 2/3x3 + 3x1/3 + C

b/ = 3∫cosxdx - 1/3xdx

1 3x

= 3sinx - +C

3 ln3 c/ = 1/6(2x + 3)6 + C d/ = ∫sinx/cosx dx = - ln/cosx/ +C

Vd6: Tính 1 a/ ∫[2x2 + ─ ]dx trên (0; +∞)

3√x2

b/ ∫(3cosx - 3x-1) dx trên (-∞; +∞)

c/ ∫2(2x + 3)5dx

d/ ∫tanx dx

Tiết 2

T/

9

HĐ5: Phương pháp đổi biến số

HĐTP1: Phương pháp

- Yêu cầu h/s làm hđộng 6

SGK

- Những bthức theo u sẽ tính

được dễ dàng nguyên hàm

- Gv đặt vđề cho học sinh là:

∫(x-1)10dx = ∫udu

Và ∫lnx/x dx = ∫tdt

- Thực hiện a/ (x-1)10dx chuyển thành u10du

b/ lnx/x dx chuyển thành : t

II Phương pháp tính nguyên hàm

1 Phương pháp đổi biến số

5’

- HD học sinh giải quyết vấn

đề bằng định lý 1(SGKT98)

- HD h/s chứng minh định lý

- Từ định lý y/c học sinh rút ra

hệ quả và phát biểu

- Làm rõ định lý bằng vd7

(SGK) (yêu cầu học sinh thực

hiện)

- Lưu ý học sinh trở lại biến

ban đầu nếu tính nguyên hàm

theo biến mới

HĐTP2: Rèn luyện tính

nguyên hàm hàm số bằng p2

đổi biến số

- Nêu vd và y/c học sinh thực

hiện HD học sinh trả lời bằng

1 số câu hỏi

H1: Đặt u như thế nào?

H2: Viết tích phân bất định ban

đầu thẽo?

H3: Tính?

H4: Đổi biến u theo x

- Nhận xét và chính xác hoá lời

giải

─ etdt = tdt

et

- Phát biểu định lý 1 (SGK/T98)

- Phát biểu hệ quả

- Thực hiện vd7

Vì ∫sinudu = -cosu + C Nên: ∫sin (3x-1)dx

= -1/3 cos (3x - 1) + C

- Thực hiện vd:

Đặt u = x + 1 Khi đó: ∫x/(x+1)5dx

= ∫ u-1/u5 du

= ∫1/u4 du - ∫1/u5 du

1 1 1 1

= - ─ ─ + ─ ─ + C

3 u3 4 u4

Định lý1: (SGK/ T98) C/M (SGK)

Hệ quả: (SGK/ T98)

(a + 0) VD7: Tính ∫sin (3x -1)dx

* Chú ý: (SGK/ T98)

Vd8 (SGK) Tính ∫x/(x+1)5 dx Giải:

Lời giải học sinh được chính xác hoá

∫f(ax+b)dx=1/a F(ax+b) + C

0’

1 1 1 1

= - ─ ─ + ─ ─ + C

3 (x+1)3 4 (x+1)4

1 1 1

= ─ [- ─ + ─ ]+ C (x+1)3 3 4(x+1)

T/

9

- Nêu vd9; yêu cầu học sinh

thực hiện GV có thể hướng

dẫn thông qua 1 số câu hỏi:

H1: Đổi biến như thế nào?

H2: Viết tích phân ban đầu

theo u

H3: Tính dựa vào bảng nguyên

hàm

- Từ những vd trên và trên cơ

sở của phương pháp đổi biến

số y/cầu học sinh lập bảng

nguyên hàm các hàm số cấp ở

dạng hàm số hợp: dạng: f(u)

với u = u (x)

- Học sinh thực hiện a/

Đặt U = 2x + 1

U’ = 2

∫2 e 2x+1 dx = ∫ eu du

= eu + C

= e 2x+1 + C b/ Đặt U = x5 + 1

U’ = 5 x4

∫ 5 x4 sin (x5 + 1)dx

= ∫ sin u du = - cos u +c

= - cos (x5 + 1) + c

- Học sinh thực hiện

Vd9: Tính a/ ∫2e2x +1 dx b/ ∫ 5 x4 sin (x5 + 1)dx Giải: Lời giải học sinh được chính xác hoá

- Bảng nguyên hàm 1 số hàm số sơ cấp ở dạng hàm

số hợp

(bảng phụ)

Tiết 3

T/

9

HĐ6: Phương pháp nguyên

hàm từng phần

HĐTP1: Hình thành phương

pháp

- Yêu cầu và hướng dẫn học

sinh thực hiện hoạt động 7

SGK

- Từ hoạt động 7 SGK hướng

dẫn học sinh nhận xét và rút ra

kết luận thay U = x và V = cos

x

- Từ đó yêu cầu học sinh phát

biểu và chứng minh định lý

- Lưu ý cho học sinh cách viết

biểu thức của định lý:

V’(x) dx = dv

U’ (x) dx = du

HĐTP2: Rèn luyện tính

nguyên hàm hàm số bằng

phương pháp nguyên hàm

từng phần

- Nêu vd 9 SGK yêu cầu học

sinh thực hiện GV có thể

hướng dẫn thông qua các câu

- Thực hiện:

∫(x cos x)’ dx = x cos + C1

∫cosx dx = Sin x + C2

Do đó:

∫x sin x dx = - x cosx + sin x + C (C = - C1 + C2)

- Phát biểu định lý

- Chứng minh định lý:

2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:

Định lý 2: (SGK/T99)

Chứng minh:

*Chú ý:

∫u (x) v’ (x) dx =

u (x) v(x) - ∫u’ (x) v(x) dx

∫u dv = u v - ∫ vdu

hỏi gợi ý:

Đặt u = ?

Suy ra du = ? , dv = ?

Áp dụng công thức tính

- Nhận xét , đánh giá kết quả

và chính xác hoá lời giải , ghi

bảng ngắn gọn và chính xác

lời giải

- Từ vd9: yêu cầu học sinh

thực hiện HĐ8 SGK

- Nêu 1 vài ví dụ yêu cầu học

sinh thực hiện tính khi sử

dụng phương pháp nguyên

hàm từng phần ở mức độ linh

hoạt hơn

- GV hướng dẫn học sinh thực

hiện tính (lặp lại tính nguyên

hàm 1 số lần )

- Nhận xét và chính xác hoá

kết quả

- Thực hiện vídụ:

a/ Đặt: U = x dv = ex dx Vậy: du = dx , v = ex

∫x ex dx = x ex - ∫ ex de

- x ex - ex + C b/ Đặt u = x , dv = cos

dx, du = dx , v = sin x

Do đó:

∫ x cos x dx = x sin x -

∫sin dx = x sin x + cosx + C

c/ Đặt u = lnx, dv = dx

du = 1/2 dx , v= x

Do đó:

∫ lnx dx = xlnx - x + c

- Thực hiện 1 cách dễ dàng

- Thực hiện theo yêu cầu giáo viên

a/ Đặt u = x2 và dv =

VD9: Tính a/ ∫ xex dx b./ ∫ x cos x dx c/ ∫ lnx dx

Giải:

Lời giải học sinh đã chính xác hoá

VD10: Tính a/ ∫x2 cos x dx

HĐ7: Củng cố:

- Yêu cầu học sinh nhắc lại :

+ Định nghĩa nguyên hàm

hàm số

+ Phương pháp tính nguyên

hàm bằng cách đảo biến số và

phương pháp nguyên hàm

từng phần

cosx dx

ta có: du = 2xdx, v = sin x

do đó:

∫x2 cosxdx = x2 sin x -

∫2x sin x dx Đặt u = x và dv = sin x dx

du = dx , v = - cosx

∫x sin x dx = - xcos x + ∫ cos x dx

= - x cos x + sin x + C Vậy: kết quả = x2 sin x -

2 (- x cosx + sin x +C)

- Nhắc lại theo yêu cầu của giáo viên

Giải:

Lời giải của học sinh đã chính xác hoá

4 Hướng dẫn học bài ở nhà:

- Nắm vững các cách tính nguyên hàm của hàm số

- Làm các bài tập SGK và SBT

BÀI TẬP PHẦN NGUYÊN HÀM

I Mục đích yêu cầu :

1/ Kiến thức :

- Nắm được khái niệm nguyên hàm có một hệ số

- Biết các tính chất cơ bản của nguyên hàm

2/ Kỹ năng :

- Tìm được nguyên hàm của một hàm số tưong đối đơn giản dựa vào bảng nghàm 1 cách tìm nguyên hàm từng phần

- Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính nghàm

3/ Tư duy, thái độ :

- Thấy được mlg giữa nguyên hàm 1 đạo hàm

- Rèn luyện tính cảm nhận, chính xác

II Chuẩn bị :

GV - Bảng phụ, sgk, gán, phiếu học tập

HS - học thuộc bảng hàm & làm BTVN

III.Phương pháp: đàm thoại, vấn đáp, thảo luận nhóm

IV.Tiến trình bài học :

1, Ổn định lớp

2, KTBC (10 ‘)

HS1 : Bảng hàm ( ghi bảng phụ )

HS2: Chữa bài 2c sgk

GV NX, ghi điểm cho học sinh

3, Luyện tập ( 33’)

18’

Hđ1 : Nắm vững nguyên hàm

Hđtp 1 : Tiếp cận nguyên hàm gọi từng học

sinh trả lời miệng và giải thích lí do bài 1

SGK

Hđtp 2: Hình thành kỹ năng tìm nghàm

Bài 2 : Cho học sinh thảo luận nhóm các câu

a, b, c, d, e, g, h có thể hướng dẫn cho học sinh

câu d sử dụng công thức đổi từ tích đến tổng

hướng dẫn câu h:



3 / 2

; 3 / 1 0

2

1

) 2 1 )(

1 (

) 2 ( ) ( ) 2 1 )(

1

(

) 1 ( ) 2 1

(

2 1 1

) 2 1

)(

1

(

1























































B A

B A

B

A

x x

B A B

A x

x

x B x A

x

B x

A x

x

Hđ2 : Sử dụng phân số đổi biến số

Hđtp 1 : Vận dụng địa lý để làm bài tập , gọi 2

hs lên bảng làm câu 3a,b SGK

4, HDVN : (2’)

- Nắm vững bảng nghàm & biết cách tìm

nghàm bằng phân số đổi biến số

Thảo luận nhóm Da9ị diện nhóm trình bày lời giải

2/a, x5/3 x7/6  x2/3C

2

3 7

6 5

3

e

x









) 1 2 (ln

1 2 ln 2

d,  cos8xcos2x)C

4

1 ( 4 1

e, tanx – x + C

g,  e3  2xC

2 1

x

x





 1

1 ln 3 1

3a,   x C

10

) 1

b, (1x2)5/2C

5 1

- BTVN : 3c, d, : 4 SGK

+ Bài tập thêm :

1/ CMR Hàm số F ( x) = ln x x21C

là nguyên hàm của hàm số

1

1 )

(

2





x x f y

2/ Tính a, dx

x

x

1cos2sin

b, sinxdx3x

cos

Làm việc cá nhân

Tiết 2 :

1, Ổn định lớp

2, KTBC ( 10’ )

Chữa bài tập thêm

GV chính xác hóa lời giải & ghi điểm cho học sinh

3 Luyện Tập ( 35’ )

Hđtp 2: Rèn luyện kỹ năng đặt biến

Bài 3 c, d SGK

gọi 2 học sinh lên bảng làm

Hđ 3 : Rèn luyện kỹ

năng đặt u, dv trong phương

pháptính nguyên hàm bằng

phương pháp từng phần

Làm bài 4 sgk

gọi 4 hs lên bảng làm

Câu b : các em phải đặt 2 lần

Hđ4 : Nâng cao phát biểu bài

tập theo bàn có thể hướng dẫn

câu a : hs làm b

Hướng dẫn câu a :

Làm việc cá nhân

Thảo luận theo bài

Thảo luận

3c,  cos 4x  C

4 1

d, C

e 



 1 1

4/a,

C

x x x

x     







2 4

1 ) 1 ln(

) 1 ( 2

1 : Kq

dx

x dv

x) ln(1 u

2 2

b,

C x

e Kq

dx e dv x

u











) 1 ( :

, 1

2 2

c,

C x

x

x Kq

dx x dv

x u

















) 1 2 sin(

4

1 ) 1 2 cos(

2 :

) 1 2 sin(

,

d, u Kq x dv x x xdx x C











cos sin

) 1 ( :

cos ,

b,

C x

x

dx x

x

x J



















3 ln 5 1 ln 2

3 4

1 3

2

C x

x

x

dx x

dx

I

x x

x

x

x

B

A B

A

B

A

B A x B A

x

x B x

A

x

x

B x

A x

x

x

dx x

x

x

I









































































































2 ln 3 3

ln

2

2

3 3

2

2

3 3

2 6

5

5

3

2 5

3

2

5

) 3 2 ( ) (

5

5

) 3 ( ) 2 (

5

5

2 3

6

5

5

6

5 5

2

2

2

trong 5’

Thảo luận trong 5’

4, HDVN :

- Nắm vững bảng nghàm

- Vận dụng linh hoạt các phương

pháp tìm nghàm = 2 phân số đối

biến & từng phần

- BTVN : các bài tập trong

Phụ lục:

Bảng phụ: Hãy điền vào dấu ….

C x

C x

C x

dx





























sin

cos

1 ,

1

1







1 , 0 .,

cot

tan

















C x

C x

Phiếu học tập:

Tính a, dx

x x

x

I    

6

5 5

2

b,     dx

x x

x J

3 4

1 3

2