Trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho ACN = ACO... b là tam giác đều2.. Gọi D E, thứ tự là hình chiếu của M trên AC AB,.. Tìm vị trí của M để DE có độ dài nhỏ nhất Câu 5... Vậy giá
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BỐ TRẠCH
ĐỀ CHÍNH THỨC
KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN LỚP 7 NĂM HỌC: 2017-2018 Câu 1 (5,0 điểm)
Tính giá trị các biểu thức sau:
2 1.3 2.4 3.5 2015.2017
2
b B= x − x+
với
1 2
x =
c)
2016
C= x− y+ x y x y− + y x x y−
+ ÷
biết
0
x y− =
Câu 2 (4,0 điểm)
1 Tìm
,
x y
biết:
2 1
6
2 Tìm
, ,
x y z
biết
x− y = z− x = y− z
và
18
x y z+ + =
Câu 3 (5,0 điểm)
1 Tìm các số nguyên
,
x y
biết
x− xy y+ − =
2 Cho đa thức f x( ) =x10−101x9 +101x8 −101x7 + 101− x+101
Tính f ( )100
3 Chứng minh rằng từ 8 số nguyên dương tùy ý không lớn hơn 20, luôn chọn được ba số
, ,
x y z
là độ dài ba cạnh của một tam giác
Câu 4 (5,0 điểm)
1 Cho ∆ABC
có
B C+ =
phân giác AD.Trên AD
lấy điểm O,
trên tia đối của tia AClấy điểm M
sao cho
·ABM =·ABO
Trên tia đối của tia AB
lấy điểm N sao cho
ACN = ACO
Chứng minh rằng a) AM = AN
Trang 2b) là tam giác đều
2 Cho tam giác ABCvuông ở A,
điểm M
nằm giữa B và C Gọi D E,
thứ tự là hình chiếu của M
trên AC AB,
Tìm vị trí của M
để DE
có độ dài nhỏ nhất
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho
1, 0, 0
x y+ = x > y>
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
P
(avà b là hằng số dương đã cho)
Trang 3ĐÁP ÁN Câu 1.
b) Vì
1
1 2
2
x x
x
=
= ⇒
= −
Với
2
x= ⇒ =B − + =
÷
Với
2
x= − ⇒ =B − − − + =
Vậy B=4
khi
1 2
x=
và B=7
khi
1 2
x= −
0
3 2
2015
2016
Câu 2.
1.Vì
2 1
6
− ≥ ∀ + ≥ ∀
, do đó:
2 1
6
Theo đề bài thì
− + + ≤ ⇒ − + + =
Trang 4Khi đó ta có:
6
x− =
và
12
y+ = ⇔ =x y= −
2.Ta có :
x− y = z− x = y− z
Suy ra
0
x− y z− x y− z x− y+ z − x+ y− z
3 2
0 3 2
0 2 4
−
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
18
2 3 4 2 3 4 9
+ +
+ +
Câu 3.
1) Ta có :
x− xy y+ − =
Lập bảng:
Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn 2) Ta có:
Trang 5( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
100 100 100 101 101
100 1
f
3) Giả sử 8 số nguyên dương tùy ý đã cho là 1 2 3 8
, , , ,
với
1≤ ≤a a ≤ ≤ ≤a 20
Nhận thấy rằng với ba số dương a b c, ,
thỏa mãn a b c≥ ≥
và b c a+ >
thì a b c, ,
là độ dài ba cạnh của một tam giác Từ đó, ta thấy nếu trong các số 1 2 3 8
, , , ,
không chọn được 3 số là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:
6 7 8
5 6 7
4 5 6
3 4 5
2 3 4
1 2 3
1 1 2
2 1 3
3 2 5
5 3 8
8 5 13
13 8 21
≥ + ≥ + =
≥ + ≥ + =
≥ + ≥ + =
≥ + ≥ + =
≥ + ≥ + =
≥ + ≥ + =
(trái với giả thiết)
Vậy điều giả sử trên là sai.Do đó, trong 8 số nguyên trên đã cho luôn chọn được 3 số , ,
x y z
là độ dài ba cạnh của một tam giác
Câu 4.
1
Trang 6
a) ∆
có + =
nên =
Do AD
là tia phân giác nên
1 2 60 ,
A = A =
ta lại có
A =A = − =A
Suy ra
µ µ µ µ ( 0)
1 2 3 4 60
A = A = A = A =
Từ (1) và (2) suy ra AM = AN
b)
( ) (3)
Từ (3) và (4) suy ra OM ON= =NM ⇒ ∆MON
là tam giác đều 2
Trang 7DE AM= ≥ AH
(AH là đường cao của
)
ABC
∆
Vậy DE
nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất ⇔ M
trùng với H
Câu 5.
Ta có:
2 2
a y b x
Các số dương
2
a y x
và
2
b x y
có tích không đổi nên tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ
khi
+
Suy ra
b y
a b
=
+
Trang 8Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=(a b+ )
khi
;